Vzorce počítačové grafiky

Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u = b a + b a (, ) 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 2

Vektorové operace u = u, u u v = uv + u v skalární součin dvou vektorů a 2 2 ( ) 2 v = ( v, v ) 2 u = u u α α α ( ) 2 u = u u = u platí: u v = v u u+ v w= u w+ v w ( ) ( αu) v = α( u v)

Vektorové operace úhel ϕ 0, π nenulových vektorů uv, u v cosϕ = u v Cauchyova nerovnost u v u v ; u, v rovnoběžné vektory kolmé vektory

Vektorové operace uv, vektorový součin dvou vektorů v prostoru u u u u u u u v =,, v v v v v v 2 3 3 2 2 3 3 2 lze vyjádřit pomocí bázových vektorů kartézské soustavy souřadnic i, j, k i j k u v = u u u 2 3 v v v 2 3

Vektorové operace uv, vektorový součin dvou vektorů v prostoru A u v ϕ v u C B geometrický význam vektorového součinu platí ( u v u) ( u v v) u v = o u, v LZ u v o u, v LN u v = u v sinϕ

Vektorové operace uv, vektorový součin dvou vektorů v prostoru A u v ϕ v u C B geometrický význam vektorového součinu v v sinϕ ϕ u P= u v = u v sinϕ obsah rovnoběžníka sestrojeného nad oběma vektory umístěnými do společného bodu trojúhelník - 2 P

Vektorové operace uvw,, uvw,, = u v w smíšený součin dvou vektorů v prostoru [ ] ( ) D umístění vektorů do společného počátečního bodu n v w C A u B

n Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace smíšený součin dvou vektorů v prostoru v D w C A u B geometrický význam smíšeného součinu V uvw,, u u2 u3 [ uvw,, ] = v v2 v3 = w w w = [ u, v, w] a a a b b b c c c d d d 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 = - objem rovnoběžnostěnu

Geometrie v rovině a v prostoru různá vyjádření přímky a roviny vzájemná poloha dvou přímek rovnoběžnost, různoběžnost (průsečík), mimoběžnost vzájemná poloha rovin rovnoběžnost, různoběžnost (průsečnice) vzdálenost dvou bodů vzdálenost bodu od přímky vzdálenost bodu od roviny vzájemná poloha bodu a geometrického útvaru odchylky

Vzdálenost bodu od přímky v rovině přímka obecná rovnice ax + by + c = 0,( a, b) (0,0) vzdálenost bodu P[ p, p2] ap+ bp2 + c d = 2 2 a + b P[ p, p ] A[ a, a ], B[ b, b ], A B orientovaná vzdálenost bodu 2 od přímky určené dvěma body 2 2 přímka parametrické vyjádření X = A+ ( B A) t, t tj. vzdálenost opatřená znaménkem,,+ nebo,,- podle toho, zda je bod nalevo nebo napravo od přímky

orientovaná vzdálenost bodu od přímky určené dvěma body P[ p, p2] A[ a, a2], B[ b, b2], A B d( A, I) = ti B A P d( P, AB) = d( P, I) = s B A s P P A t I B vzdálenost bodu od přímky, význam parametrů t a s I t t t I I I s s s P P P < 0 0, > 0 > 0 = 0 < 0 - bod na přímce před body A a B - bod úsečky AB - bod na přímce za body A a B - bod P leží nalevo od přímky AB - bod P leží na přímce AB - bod P leží napravo od přímky AB

Vzdálenost bodu od přímky v prostoru přímka určená dvěma body A[ a, a2, a3], B[ b, b2, b3], A B POZOR v prostoru nelze přímku popsat jednou obecnou rovnicí vzdálenost bodu X = A+ ( B A) t, t u = AB P[ p, p2, p3] ( P A) u d = ( P A) + u 2 u

Vzdálenost bodu od přímky v prostoru přímka určená dvěma body A[ a, a2, a3], B[ b, b2, b3], A B vzdálenost bodu NEBO pomocí roviny kolmé přímce a procházející daným bodem NEBO X = A+ ( B A) t, t u = AB P[ p, p2, p3] pomocí vektorového součinu d = u AP u

Vzdálenost bodu od úsečky leží-li bod v pásu vymezeném dvěma kolmicemi na úsečku v jejích koncových bodech vzdálenost bodu od úsečky = vzdálenosti bodu od přímky leží-li mimo pás, je výsledek menší ze vzdáleností ke koncovým bodům úsečky k testování lze využít parametr z předchozích vztahů t I

Vzdálenost bodu od úsečky P P d A d I B A B

Poloha bodu vůči přímce a úsečce úloha má smysl pouze v rovině (v prostoru vůči rovině) lze použít předchozí vztah pro výpočet stačí zjistit znaménko čitatele P[ p, p ] pro bod 2 a přímku (úsečku) určenou dvěma body s P A[ a, a2], B[ b, b2], A B > 0 - bod P leží nalevo od přímky AB ( p a )( b a ) ( p a )( b a ) 2 2 2 2 = < 0 0 - bod P leží na přímce AB - bod P leží napravo od přímky AB

Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek převedení na předchozí případ Vzdálenost dvou mimoběžných přímek rovná se délce jejich nejkratší příčky (k oběma mimoběžkám kolmá) nebo odvození pomocí vektorového součinu d = u v AB u v ( )

obecná rovnice roviny zadané třemi nekolineárními body A[ a, a2, a3], B[ b, b2, b3], C[ c, c2, c3] x y z a a a 2 3 b b b 2 3 c c c 2 3 = 0 analogicky lze zapsat i pro přímku

Vzdálenost bodu od roviny rovina obecná rovnice ax + by + cz + d = 0,( a, b, c) (0,0,0) vzdálenost bodu P[ p, p, p ] 2 3 d = ap + bp + cp + d 2 3 a + b + c 2 2 2 analogicky k přímce v rovině - orientovaná vzdálenost bodu P[ p, p2, p3] A[ a, a, a ], B[ b, b, b ], C[ c, c, c ] od roviny určené třemi nekolineárními body 2 3 2 3 2 3

Poloha bodu vůči rovině rovina obecná rovnice ax + by + cz + d = 0,( a, b, c) (0,0,0) poloha bodů P[ p, p, p ], Q[ q, q, q ] 2 3 2 3 h = ap + bp + cp + d 2 3 h = aq + bq + cq + d 2 2 3 hh 2> 0( < 0) P, Q leží ve stejné (opačné) polorovině

Svazek rovin společná průsečnice Trs rovin společný bod 3 i= 2 i= λ λ ( ax by cz d) ( λ λ ) + + + = 0,, (0,0) i i i i i 2 ( ax by cz d) ( λ λ λ ) + + + = 0,,, (0,0,0) i i i i i 2 3

Odchylka dvou přímek směrové vektory přímek ϕ 0, π uv, cosϕ = u v u v Odchylka přímky a roviny n ψ u ϕ p ρ u n cosψ = = u n sinϕ

Odchylka dvou rovin normálové vektory rovin n α, n β cosϕ = n n α α n n β β Vzájemné polohy přímek, rovin průsečíky, průsečnice vzájemná poloha tří rovin

Poloha bodu vůči mnohoúhelníku lokalizace bodu v konvexním a nekonvexním mnohoúhelníku konvexní mnohoúhelník orientace vrcholů, použití determinantů nekonvexní mnohoúhelník paprskový algoritmus určení polohy bodu vzhledem k množině mnohoúhelníků viz minulý semestr

Poloha bodu vůči kružnici snadné dosazení do rovnice kružnice Ss [, s] r P[ p, p2] pro střed a poloměr a bod 2 ( ) ( ) 2 2 2 + 2 2 p s p s r > = < 0 0 0 - bod P leží vně kružnice - bod P leží na kružnici - bod P leží uvnitř kružnice nebo - z porovnání vzdálenosti bodu a středu s poloměrem S P d( P, k) = d( P, S) r

Poloha bodu vůči kouli pro střed Ss [, s2, s3] a poloměr r a bod P[ p, p2, p3] ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 + 2 2 + 3 3 p s p s p s r > = < 0 0 0 - bod P leží vně koule - bod P leží na povrchu koule - bod P leží uvnitř koule nebo opět z porovnání

Poloha přímky a kružnice přímka y = kx+ q 2 2 2 kružnice x + y = r ( ) + k 2 x 2 + 2kqx+ q 2 r 2 = 0 > 0 -přímka protíná kružnici ve dvou bodech D = < 0 0 -přímka je tečnou kružnice -přímka neprotíná kružnici

Kružnice zadaná třemi body A[ a, a ], B[ b, b ], C[ c, c ] 2 2 2 rovnice kružnice 2 2 x y x y + a + a a a 2 2 2 2 2 2 + 2 2 2 2 + 2 2 b b b b c c c c = 0 určení středu a= b a b= b a 2 2 c= c a d = c a 2 2 ( ) ( 2 2) ( ) ( ) e= a a + b + b a + b f = c a + c + d a + c 2 2

Kružnice zadaná třemi body a= b a c= c a e= a a + b + b a + b je-li, leží zadané body na přímce a kružnice neexistuje jinak b= b a 2 2 g = 0 d = c a 2 2 ( ) ( 2 2) ( ) ( ) f = c a + c + d a + c ( ) ( ) ( ) g = 2 a c b b c b 2 2 2 ( ) ( ) s = de bf / g s = af ce / g ( ) ( ) 2 2 2 r = a s + a2 s2 2 2

Plocha trojúhelníka s vrcholy A[ a, a ], B[ b, b ], C[ c, c ] 2 2 2 a a P= b b 2 c c 2 2 2 Plocha mnohoúhelníka triangulace, součet ploch trojúhelníků