FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
|
|
- Blažena Slavíková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
2 1 0 Typeset by L A TEX 2ε 0 c V. Tryhuk, O. Dlouhý 2004
3 2
4 Obsah Úvod 5 Cíle Požadované znalosti Doba potřebná ke studiu Klíčová slova Vybrané části vektorového počtu Operace s geometrickými vektory ve V (E 3 ) Poznámka k označení Lineární nezávislost vektorů Součiny vektorů Skalární součin vektorů Vektorový součin vektorů Smíšený součin vektorů Dvojný vektorový součin vektorů Důležité identity Aplikace vektorového počtu ve sférické trigonometrii Sinová věta pro sférický trojúhelník První kosinová věta pro sférický trojúhelník Lineární prostor, báze a dimenze Vektory v ortonormální bázi Skalární součin v ortonormální bázi Vektorový součin v ortonormální bázi Smíšený součin v ortonormální bázi Některé aplikace vektorového počtu Vektory v souřadnicové soustavě prostoru E Rovina v E Přímka v E Úlohy metrické Vzdálenost bodu od roviny Vzdálenost bodu od přímky Úhel dvou rovin
5 4 OBSAH Úhel dvou přímek Úhel přímky a roviny Úlohy polohy Vzájemná poloha dvou rovin Vzájemná poloha přímky a roviny Vzájemná poloha dvou přímek Příčky a osa mimoběžek Vlastní čísla a vlastní vektory Rejstřík 53 Literatura 53
6 Úvod Cíle Cílem našeho textu není přesné formální vybudování základů vektorové algebry a analytické geometrie v trojrozměrném prostoru. Naopak, chceme pouze vytvořit doplněk textů již napsaných pro studenty kombinované formy studia, který bude reagovat na potřeby studijního programu geodézie a kartografie. V úvodní části modulu se budeme věnovat vektorové algebře, v níž zvolíme poněkud odlišný přístup od modulu BA01 M02 určeného pro obecné zaměření kombinované formy studia. Dáme přednost geometrickému a fyzikálnímu popisu vektorových operací, které navíc nebudeme studovat od začátku v ortonormální bázi. V odpovídajících číselně vyjádřených odstavcích textu jsou stanoveny následující cíle: 1.1 Připomenout základní operace s geometrickými vektory. Je potřebné pochopit geometrickou interpretaci pojmů vektory kolineární (nekolineární), vektory komplanární (nekomplanární) a naučit se s nimi pracovat. 1.2 Jedná se o nejdůležitější odstavec celého modulu. Je potřebné pochopit skalární, vektorový i smíšený součin vektorů včetně vytvoření geometrické představy o významu a možnostech použití těchto pojmů. Jedná se o základní stavební prvky dalších následujících odstavců modulu. 1.3 Odstavec obsahuje základní potřebné pojmy sférické trigonometrie, se kterými je potřebné se do detailů seznámit. Odvozování vzorců není samoúčelné, je zkouškou pochopení obsahu odstavce Pojmy používané v prvních třech odstavcích zobecníme na úroveň, která se standardně používá nejen v matematické literatuře. Potřebné je vytvořit si představu o obsahu pojmu lineární prostor a především pochopit pojmy báze a dimenze lineárního prostoru. 1.5 Studijní zaměření geodézie a kartografie pracuje s vektory nezávisle na volbě souřadnicových soustav. V odstavci se seznámíte s ortonormálními bázemi ve třírozměrném prostoru a aritmetikou počítání s vektory v ortonormální bázi.
7 6 OBSAH 1.6 Cílem odstavce je prohloubit pochopení analytické geometrie v prostoru. Důsledně jsou aplikovány skalární, vektorový a smíšený součin vektorů na metodiku řešení úloh i výpočetní postupy. Přístup se odlišuje od pojetí používaného na středních školách. Pečlivě si proto promyslete a propočítejte i řešené příklady tohoto odstavce. 1.7 Prostudujte si motivační příklad, který pro vás může být v budoucnu užitečný. Odstavec obsahuje základní pojmy nezbytné pro zvládnutí výpočtu vlastních čísel a vlastních vektorů matice. Je potřebné zvládnout techniku výpočtu. V jednom z dalších modulů se seznámíte s rozklady polynomů, které vám umožní zvolit si i jinou metodiku řešení příkladů. Požadované znalosti Znalost geometrických vektorů a základů analytické geometrie v prostoru v rozsahu látky probírané na středních školách. Doba potřebná ke studiu Čas potřebný ke zvládnutí tohoto modulu je odhadnut pro průměrného studenta jako hodnota nejméně?? hodin. Klíčová slova Geometrické vektory, skalární součin vektorů, vektorový součin vektorů, smíšený součin vektorů, lineární nezávislost vektorů, reálný lineární prostor, sférický trojúhelník, souřadnice vektoru, přímka v prostoru, rovina v prostoru, úlohy polohy, úlohy metrické. Na konci modulu zařazen Rejstřík, ve kterém jsou další klíčová slova přehledně uspořádána i s odkazy na odpovídající stránky.
8 Kapitola 1 Vybrané části vektorového počtu 1.1 Operace s geometrickými vektory ve V (E 3 ) Poznámka k označení Aniž bychom se zabývali přesnou definicí afinního prostoru A 3, budeme nejprve studovat tzv. afinní vlastnosti euklidovského prostoru E 3. Euklidovským prostorem E 3 přitom budeme rozumět bodový prostor, v němž: každému bodu A E 3 je jednoznačně přiřazena uspořádaná trojice [a 1, a 2, a 3 ] reálných čísel, které nazýváme souřadnicemi bodu A a píšeme A = [a 1, a 2, a 3 ], každým dvěma bodům A, B E 3, kde A = [a 1, a 2, a 3 ], B = [b 1, b 2, b 3 ], je přiřazena euklidovská vzdálenost ρ(a, B) bodů A, B, pro kterou platí ρ(a, B) = 3 i=1 (a i b i ) 2. Každé uspořádané dvojici bodů (A, B) přiřadíme orientovanou úsečku s počátečním bodem A a koncovým bodem B a budeme ji nazývat umístěním vektoru u = AB. Můžeme pak také psát B = A + u nebo B A = u. Přitom vektorem u budeme rozumět třídu orientovaných úseček, které mají týž směr a velikost. Tuto vlastnost můžeme také popsat tak, že orientované úsečky AB, CD patří do jedné třídy, jestliže úsečky (A, D) a (B, C) mají týž střed. B à D A C
9 8 Vybrané části vektorového počtu Množinu všech vektorů pak nazýváme vektorovým zaměřením prostoru E 3 a označujeme ji V (E 3 ). Pro takto zavedené pojmy platí: a) Pro libovolný bod A E 3 a libovolný vektor u V (E 3 ) existuje jediný bod B E 3 takový, že AB= u. b) Je-li AB= u, BC= v, pak AC= u + v se nazývá součet vektorů u, v. B AB= u BC= v A 3 C AC= u + v Je-li u = AA, pak vektor u se nazývá vektor nulový, značí se o a má délku rovnou nule. Je-li u = AB, pak vektor u = BA (změněná orientace) se nazývá vektor opačný k vektoru u. Úhlem nenulových vektorů u = AB, v = AC nazýváme úhel ϕ polopřímek AB, AC měřený v mezích 0 ϕ π. Poznámka: Prostor bodů v trojrozměrném prostoru E 3 spolu s vektorovým zaměřením V (E 3 ), v nichž platí a) a b) se často nazývá afinním prostorem a značí se A 3. Věta 1. Pro libovolné tři vektory u, v, w ve V (E 3 ) platí 1. u + v = v + u, 2. ( u + v ) + w = u + ( v + w ), 3. u + o = u, 4. ke každému vektoru u existuje opačný vektor u tak, že u + ( u ) = o.
10 1.1 Operace s geometrickými vektory ve V (E 3 ) 9 Součin vektoru s reálným číslem Má-li u = AB délku u a je-li γ R libovolné číslo, pak klademe γ u = o, pokud γ = 0 nebo u = o, γ u = v, kde u o, v = γ u a vektor v je souhlasně (nesouhlasně) rovnoběžný s vektorem u v případě γ > 0 (γ < 0.) A u B v = AC= γ u = 2 u pro γ = 2 > 1 > 0, v = 2 u C Věta 2. Nechť α, β R jsou libovolná čísla a u, v libovolné vektory ve V (E 3 ). Pak platí 1. α(β u) = αβ u, 2. α( u + v ) = α u + α v, 3. (α + β) u = α u + β u, 4. 1 u = u. Lineární nezávislost vektorů Poznámka: Všimněme si, že pro vektory z V 3 = V (E 3 ) platí: (ι) u, v V 3 = u + v V 3 (součet vektorů z V 3 je vektor ve V 3 ). (ιι) u V 3, α R = α u V 3 (násobek vektoru z V 3 je vektor ve V 3 ). (ιιι) Operace sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem mají vlastnosti uvedené ve větách 1, 2. Vektory kolineární (nekolineární) Nenulové vektory u, v, pro které existují taková umístění, že leží na jedné přímce, nazýváme kolineární vektory. Nulový vektor považujeme za kolineární s každým vektorem. Pro kolineární vektory u, v, platí: a) Je-li u o, pak existuje právě jedno číslo k R takové, že v = k u.
11 10 Vybrané části vektorového počtu b) Rovnice k u + l v = o je splněna alespoň pro jednu dvojici čísel k, l R, přičemž čísla k, l nejsou současně rovna nule. Řekneme naopak, že vektory u, v jsou nekolineární, když rovnice k u+l v = o je splněna pouze tehdy, když k = 0 a současně l = 0. Příklad Vektory x 1, x 2 = 2 x 1 jsou kolineární, protože vektor x 2 je násobkem vektoru x 1. V jiném pohledu, platí rovnice 2 x 1 + x 2 = o a rovnice k x 1 + l x 2 = o má nenulové řešení k = 2, l = 1. Příklad Vektory x 1, x 2 jsou nekolineární. Zjistěte, zda jsou vektory u = x 1 + x 2, v = x 1 x 2, rovněž nekolineární. Řešení: Předpokládejme, že existuje nenulové reálné číslo k takové, že u = k v, tj. vektory u, v jsou kolineární. Pak platí x 1 + x 2 = k( x 1 x 2 ) a odtud (1 k) x 1 + (1 + k) x 2 = o. Protože vektory x 1, x 2 jsou nekolineární, musí platit 1 k = 0 a současně 1 + k = 0, což není možné. Neplatí proto náš předpoklad a vektory u, v jsou nekolineární. Vektory komplanární (nekomplanární) Řekneme, že nenulové vektory u, v, w jsou komplanární, jestliže existují taková jejich umístění, že leží v jedné rovině. Pokud je některý z vektorů u, v, w nulovým vektorem, pak tuto trojici vektorů považujeme také za komplanární. Pro komplanární vektory u, v, w platí: a) Jsou-li u, v nekolineární vektory, pak existuje právě jedna dvojice čísel k, l R taková, že w = k u + l v. b) Rovnice k u + l v + m w = o je splněna alespoň pro jednu trojici čísel k, l, m R, přičemž čísla k, l, m nejsou současně rovna nule. Trojici vektorů u, v, w nazveme nekomplanární, když je rovnice k u + l v + m w = o splněna pouze pro k = l = m = 0. Příklad Vektory x 1, x 2, x 3 jsou nekomplanární. Zjistěte, zda jsou vektory u = x 1 + x 2 + x 3, v = x 1 x 2 + x 3, w = x x 2 + x 3, rovněž nekomplanární. Řešení: Sestavíme rovnici α 1 u + α 2 v + α 3 w = o. Dosadíme-li do rovnice vyjádření vektorů u, v, w, máme α 1 ( x 1 + x 2 + x 3 ) + α 2 ( x 1 x 2 + x 3 ) + α 3 ( x x 2 + x 3 ) = = (α 1 + α 2 + α 3 ) x 1 + (α 1 α 2 + 3α 3 ) x 2 + (α 1 + α 2 + α 3 ) x 3 = o a c 1 = α 1 + α 2 + α 3 = 0, c 2 = α 1 α 2 + 3α 3 = 0, c 3 = α 1 + α 2 + α 3 = 0, protože x 1, x 2, x 3 jsou podle zadání úlohy nekomplanární vektory. Soustava rovnic
12 1.2 Součiny vektorů 11 α 1 + α 2 + α 3 = 0, α 1 α 2 + 3α 3 = 0 má obecné řešení α 1 = 2t, α 2 = α 3 = t R. Pro t 0, například t = 1, můžeme vybrat nenulové řešení α 1 = 2, α 2 = α 3 = 1. Vektory u, v, w jsou proto komplanární a platí rovnice 2 u + v + w = o. Proto je w = 2 u v lineární kombinací vektorů u, v, jak se můžeme přesvědčit provedením zkoušky. Nekolineární vektory x 1, x 2 x 2 x 1 nelze umístit na jedné přímce. Nekomplanární vektory x 1, x 2, x 3 x 3 x 2 x 1 nelze umístit do jedné roviny. 1.2 Součiny vektorů Skalární součin vektorů Definice Skalárním součinem nenulových vektorů u, v V (E 3 ) rozumíme číslo (skalár) u v = u v cos ϕ, kde ϕ = ( u, v ) 0, π je úhel vektorů u, v a u, v jsou jejich délky. Je-li alespoň jeden z vektorů nulový, klademe u v = 0. Pro skalární součin platí následující tvrzení: Věta 3. Je-li α R a u, v, w V (E 3 ), pak 1. u v = v u, 2. u ( v + w ) = u v + u w, 3. (α u) v = α( u v), 4. u u 0 ( u u = 0 u = o). Poznámka: Skalární součin nenulových vektorů lze využít při řešení následujících úloh. 1. Vyšetřování kolmosti nenulových vektorů: Platí přímo z definice, že u v = 0 ϕ = π 2.
13 12 Vybrané části vektorového počtu 2. Výpočet délky nenulového vektoru: u = u u = u. Číslo u = u u se nazývá euklidovská délka vektoru u. 3. Výpočet úhlu nenulových vektorů: Přímo ze vzorce obdržíme vztah cos ϕ = u v u v, ϕ 0, π. 4. Nalezení kolmého průmětu v u vektoru v do vektoru u : v u = u v u. (1.1) u 2 Z pravoúhlého troúhelníku v obrázku v v ϕ u v u můžeme pro u 0 = u psát: u v u = v cos ϕ u 0 = v u v u v u u = u v u 2 u. Všimněte si, že uvedený vztah platí i pro ϕ ( π, π), neboť pak cos ϕ < 0 2 a dojde ke změně orientace jednotkového vektoru u 0 na opačný vektor. 5. Práce A, kterou vykoná síla F stálého směru a velikosti po přímé dráze s je dána vztahem A = F s. Poznámka: Pomocí kolmých průmětů vektorů se můžeme lehce přesvědčit o vlastnosti 2 ve větě 3. v + w w v u v u w u
14 1.2 Součiny vektorů 13 Platí ( v + w ) u = v u + w u. Odtud ( v + w ) u = v + w cos ( v + w, u ) u 0 = v cos ( v, u ) u 0 + w cos ( w, u ) u 0. Odtud v + w cos ( v + w, u ) = v cos ( v, u ) + w cos ( w, u ) a u ( v + w ) = u v + w cos ( v + w, u ) = = u ( v cos ( v, u ) + w cos ( w, u )) = u v + u w. Příklad Řešení: Vypočítejte u v, jestliže u = 4, v = 5, ( u, v ) = 2π/3. u v = u v cos ( u, v ) = 4 5 cos 2π 3 = 4 5 ( 1 2 ) = 10. Příklad Vypočítejte a + b, jestliže a = 4, b = 5, ( a, b ) = 2π/3. Řešení: Pomocí Věty 3 určíme, že a + b 2 = ( a + b ) ( a + b ) = a a + 2 a b + b b = a a b + b 2. Proto a + b 2 = = 21 a a + b = 21 s využitím výsledku předcházejícího příkladu. Vektorový součin vektorů Definice Vektorovým součinem vektorů u, v V (E 3 ) rozumíme vektor označovaný jako u v. Je-li alespoň jeden z vektorů nulový nebo jsou-li vektory u, v kolineární, klademe u v = o. V opačném případě požadujeme, aby měl vektor u v následující vlastnosti: 1. Vektor u v je kolmý k oběma vektorům u, v. 2. Vektory u, v, u v tvoří v tomto pořadí pozitivní trojici vektorů (platí pravidlo pravé ruky). 3. Délka vektoru u v je rovna obsahu plochy sestrojené nad vektory u, v, tj. u v = u v sin ϕ, kde ϕ = ( u, v ) 0, π je úhel vektorů u, v.
15 14 Vybrané části vektorového počtu u v u v = u v sin ϕ = P v P obsah plochy ϕ u Vektorový součin. u v směr palce v směr prstů u Pravidlo pravé ruky pro pořadí u, v, u v. Pro vektorový součin platí následující tvrzení: Věta 4. Je-li α R a u, v, w V (E 3 ), pak 1. u v = v u, 2. α ( u v) = (α u) v = u (α v), 3. ( u + v ) w = u w + v w, 4. w ( u + v ) = w u + w v. Upozornění: Některá pravidla pro násobení reálných čísel u vektorového součinu neplatí! neplatí: u v = v u (viz platné pravidlo u v = v u), neplatí: ( u v) w = u ( v w), neplatí: u v = o ( u = o nebo v = o). Poznámka: Vektorový součin nenulových vektorů lze využít při řešení následujících úloh. 1. Vyšetřování kolinearity nenulových vektorů u, v: u v = o (ϕ = 0 nebo ϕ = π). 2. Výpočet obsahu plochy sestrojené nad vektory u, v. (Výpočet obsahu trojúhelníku.) 3. Nalezení vektoru kolmého ke dvěma zadaným nenulovým vektorům.
16 1.2 Součiny vektorů 15 Příklad Vektory u = AB, v = AC mají délky u = 1, v = 3, a svírají úhel ϕ = ( u, v ) = π/4. Určete obsah trojúhelníku ABC. Řešení: P = 1 2 u v = 1 2 u v sin ϕ = sin π 4 = Smíšený součin vektorů b ` c a c v b P = b c Uvažujme nejprve pozitivní trojici vektorů b, c, a a rovnoběžnostěn, sestrojený nad těmito vektory. Objem rovnoběžnostěnu je součinem obsahu P základny a výšky v, V = P v. Obsah základny je P = b c. Výška je průmět délky vektoru a do vektoru b c, proto (viz úloha 4. skalárního součinu) v = a b c = a cos ( a, b c ) = a ( b c). (1.2) b c Objem V rovnoběžnostěnu je proto v tomto případě vyjádřen tzv. smíšeným součinem V = a ( b c) vektorů b, c, a. Přejdeme k obecnému případu. Definice Nechť a, b, c V (E 3 ). Číslo [ a, b, c ] = a ( b c) nazveme smíšeným součinem vektorů a, b, c (v tomto pořadí).
17 16 Vybrané části vektorového počtu Poznámka: Víme, že c b = b c. Proto [ a, c, b ] = a ( c b) = a ( b c) = [ a, b, c ]. Lze ukázat, že vzájemnou výměnou dvou sousedních vektorů ve vzorci pro smíšený součin se změní znaménko smíšeného součinu. Například [ a, b }{{}, c ] = [ b, a, c }{{} ] = [ b, c }{{}, a ] = [ c, b, a ] = [ c, a }{{} }{{}, b ] = [ a, c, b ] Poznámka: Z geometrického pohledu vidíme, že smíšený součin nenulových vektorů lze využít při řešení následujících úloh. 1. Výpočet objemu rovnoběžnostěnu setrojeného nad vektory a, b, c V (E 3 ): V = [ a, b, c ]. 2. Vyšetřování komplanárnosti vektorů: Nenulové vektory a, b, c jsou komplanární právě tehdy, když je [ a, b, c ] = Stanovení pozitivnosti trojice vektorů: a, b, c je pozitivní trojice vektorů, když [ a, b, c ] > 0 (platí pravidlo pravé ruky), a, b, c je negativní trojice vektorů, když [ a, b, c ] < 0 (neplatí pravidlo pravé ruky), Příklad Rovnoběžnostěn je určen vektory a, b, c a víme, že a = 2, b = 1, c = 2, ( b, c ) = π/4, vektor a svírá se základnou určenou vektory b, c úhel α = π/6. Vypočítejte objem rovnoběžnostěnu. Řešení: Víme, že V = [ a, b, c ]. Platí: [ a, b, c ] = a ( b c ) = a b c cos ( a, b c ) = 2 b c cos π 3 = = 2 2 b c = Výsledek příkladu je V = b c sin ( b, c ) = sin π 4 = 1.
18 1.2 Součiny vektorů 17 Dvojný vektorový součin vektorů Jde o vektorový součin trojice vektorů tvaru a ( b c ). Je jasné, že výsledkem je vektor d, který je kolmý k vektoru b c, a je tedy komplanární s dvojicí vektorů b, c. Dá se ukázat, že pro koeficienty lineární kombinace vektorů b, c platí: a ( b c ) = ( a c) b ( a b) c. (1.3) Na základě tohoto vztahu lze odvodit další užitečné vztahy pro sférickou trigonometrii. Uvažujme například nenulové vektory a, b, c, d. Pak vektorový součin ( a } {{ } b ) ( c d ) = e ( c d ) }{{} = ( e d) c ( e c) d = [ a, b, d ] c [ a, b, c ] d, e (1.3) a skalární součin ( a } {{ } b ) ( c d ) = e ( c d ) = c ( d e ) = c ( d ( a b )) = e = }{{} (1.3) c (( d b) a ( d a) b ) = ( a c )( d b ) ( b c )( a d ). Potřebné vztahy pro sférickou trigonometrii si uvedeme v následujícím odstavci textu. Důležité identity Věta 5. Nechť a, b, c, d, u, v, w V (E 3 ). Pak platí (1) ( a b) ( c d) = a c a d b c b d = ( a c)( b d) ( b c)( a d), (2) a ( b c) = ( a c) b ( a b) c, (3) ( a b) ( c d) = [ a, b, d] c [ a, b, c ] d, (4) [ a, b, c ] [ u, v, w ] = a u a v a w b u b v b w c u c v c w. Zajímavost: V identitě (1) položme a = c = u, b = d = v. Pak ( u v) ( u v) = ( u u)( v v) ( v u)( u v), tj.
19 18 Vybrané části vektorového počtu u v 2 = u 2 v 2 ( u v) 2 0. Odtud ihned plyne známá Cauchyova identita: ( u v) 2 u 2 v 2. Jiný způsob odvození plyne z definice skalárního součinu u v = u v cos ϕ a vlastnosti vektorového součinu u v = u v sin ϕ, protože pak ( u v) 2 = u 2 v 2 cos 2 ϕ, a součtem opět tj. u v 2 = u 2 v 2 sin 2 ϕ ( u v) 2 + u v 2 = u 2 v 2, u v 2 = u 2 v 2 ( u v) 2 0.) 1.3 Aplikace vektorového počtu ve sférické trigonometrii Sférický trojúhelník (schematicky na obrázcích). a b c b O α a c a C A γ b α a = ( b, c ) β B c A α b C γ c a β B a a b b a a c c V prostoru E 3 zvolme body O, A, B, C tak, aby vektory a = OA, b = OB, c = OC byly nekomplanární a jednotkové, tj. a = b = c = 1. Opíšeme-li ze středu O jednotkovou kouli, pak body A, B, C leží na kulové ploše poloměru jedna a tvoří vrcholy sférického trojúhelníku. Rovina procházející body O, A, B protne kulovou plochu v tzv. hlavní kružnici
20 1.3 Aplikace vektorového počtu ve sférické trigonometrii 19 a kratší část hlavní kružnice mezi body A, B vytvoří stranu c sférického trojúhelníku. Podobným způsobem vytvoříme strany a, b sférického trojúhelníku. Úhel mezi stranami b, c při vrcholu A sférického trojúhelníku označíme α. Podobně značí β, γ úhly při vrcholech B, C. Tyto úhly tvoří odchylky stěn trojbokého jehlanu určeného body O, A, B, C. Základními prvky sférického trojúhelníku rozumíme vrcholy A, B, C, strany a, b, c a úhly α, β, γ sférického trojúhelníku. Mezi prvky sférického trojúhelníku platí následující vztahy: (5) a = ( b, c ) b = ( c, a ) c = ( a, b ) (6) α = ( a b, a c) β = ( b c, b a) γ = ( c a, c b) (7) cos a = b c cos b = c a cos c = a b (8) sin a = b c sin b = c a sin c = a b (9) cos α = ( a b) ( a c) a b a c cos β = ( b c) ( b a) b c b a cos γ = ( c a) ( c b) c a c b Vzorce (5), (6) jsou patrné ze schematického znázornění na předcházejícím obrázku vlevo. Protože a = b = c = 1, zjednoduší se vzorce pro skalární i vektorový součin. Například platí a b = a b cos ( a, b ) = cos ( a, b ) = cos c, a b = a b sin ( a, b ) = sin ( a, b ) = sin c. Takto obdržíme snadno pomocí vektorů a, b, c všechny vztahy (7) a (8). Vzorce (9) jsou důsledkem (6) a vzorce pro vyjádření úhlu vektorů pomocí skalárního součinu vektorů. Sinová věta pro sférický trojúhelník Použijeme vzorec (3) Věty 5: ( a b) ( c d) = [ a, b, d] c [ a, b, c ] d.
21 20 Vybrané části vektorového počtu Vektory a, b, c jsou vektory naší konstrukce. Vzorec obsahuje vektor d, který můžeme volit libovolně. Položme nejprve ve vzorci d = a. Získáme a úpravou ( a b) ( c } {{ a } ) = [ a, b, a ] c [ a, } {{ } b, c ] a = a c =0 [ a, b, c ] a = ( a b) ( a c). V euklidovské normě pak [ a, b, c ] a = [ a, b, c ] a }{{} =1 = a b a c sin α = sin c sin b sin α }{{} (8) = ( a b) ( a c) = }{{} 6 s výsledkem [ a, b, c ] = sin c sin b sin α. (1.4) Podobným způsobem lze pokračovat volbami d = b a d = c a ukázat, že můžeme zvolit cestu cyklické záměny : a b c a, a b c a, α β γ α. Ve vzorci, se kterým budeme pracovat, postupně nahrazujeme objekty (vektory, úhly, strany) těmi objekty, na které ukazuje šipka. Vzorec (1.4) má tvar [ a, b, c ] = sin c sin b sin α. První cyklickou záměnou získáme [ b, c, a ] = sin a sin c sin β, druhou cyklickou záměnou pak [ c, a, b ] = sin b sin a sin γ. (Další cyklická záměna by zopakovala vzorec (1.4).) Výměnou pořadí vektorů ve smíšeném součinu se nejvýše mění znaménko a s ohledem na absolutní hodnotu smíšeného součinu jsou čísla na levé straně všech tří získaných vzorců stejná. Proto platí rovnosti 1 sin c sin b sin α = sin a sin c sin β = sin b sin a sin γ, sin a sin b sin c tj. (10) sin α sin a = sin β sin b = sin γ sin c vzhledem k tomu, že sin a sin b sin c 0. Tyto poslední získané rovnosti jsou matematickým zápisem sinové věty pro sférický trojúhelník. Slovním vyjádřením sinové věty je formulace: Ve sférickém trojúhelníku poměry sinů stran ku sinům protilehlých úhlů jsou si rovny.
22 1.4 Lineární prostor, báze a dimenze 21 První kosinová věta pro sférický trojúhelník Použijeme vzorec (1) Věty 5: ( a b) ( c d) = ( a c)( b d) ( b c)( a d). Opět položme ve vzorci d = a. Získáme Odtud pomocí (7) pak ( a b) ( c } {{ a } ) = ( a c)( b a) ( b c)( a }{{} a ). a c a 2 =1 b c = ( a c)( b a) + ( a b) ( a c), cos a = cos b cos c + a b a c cos α. Vzorce (8) vedou k první kosinové větě pro stranu a: (11) cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α. Cyklickou záměnou a b c a, α β γ α získáme postupně první kosinové věty pro zbývající strany b, c : (12) cos b = cos c cos a + sin c sin a cos β, (13) cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ. Poznámka: Je-li γ = π/2, je sférický trojúhelník pravoúhlý a vzorec (13) dává tvar Pythagorovy věty pro pravoúhlý sférický trojúhelník: (14) cos c = cos a cos b. (Pro malé pravoúhlé sférické trojúhelníky pak platí vzorec c 2. = a 2 + b 2.) 1.4 Lineární prostor, báze a dimenze Poznámka: Pojem vektorového zaměření V (E 3 ) (včetně jeho vlastností daných Větami 1 a 2) se v matematice zobecňuje na pojem lineární prostor nebo též vektorový prostor. Geometrické vektory vytvářejí přirozený model lineárního prostoru a umožňují nám pochopení obsahu tohoto pojmu. Porovnejme v následující definici axiomy I1 I4 (zákony pro sčítání vektorů, existence nulového a opačného vektoru) s obsahem Věty 1 a axiomy II1, II2 (zákony pro násobení vektorů) spolu s III1, III2 (distributivní zákony) s obsahem Věty 2.
23 22 Vybrané části vektorového počtu Definice prostorem, když Množinu M = {x, y, z,...} nazveme (reálným) lineárním x, y M = x + y M (na M je definováno sčítání prvků), α R, x M = αx M (na M je definováno násobení skalárem α R), pro každé x, y M, α R a operace sčítání a násobení skalárem jsou pro každé x, y, z M a každé α, β R vázány axiomy: I1. x + y = y + x, I2. (x + y) + z = x + (y + z), I3. existuje nulový prvek o M takový, že x + o = x, I4. ke každému prvku x existuje opačný prvek x tak, že platí x + ( x) = o, II1. 1 x = x, II2. α(βx) = (αβ)x, III1. (α + β)x = αx + βx, III2. α(x + y) = αx + αy. Prvky x, y, z,... nazýváme vektory. Také pojmy kolinearity (nekolinearity) a komplanarity (nekomplanarity) se zobecňují v lineárním prostoru na tzv. lineární závislost (lineární nezávislost) vektorů. Jsou-li x 1, x 2,..., x n vektory a c 1, c 2,..., c n R čísla, pak vek- Definice tor x = c 1 x 1 + c 2 x c n x n nazveme lineární kombinací vektorů x 1, x 2,..., x n. Vektory x 1, x 2,..., x n nazveme lineárně nezávislé, když c 1 x 1 + c 2 x c n x n = o c 1 = c 2 = = c n = 0, tj. žádný z vektorů nelze zapsat jako lineární kombinaci vektorů zbývajících. V opačném případě jsou vektory x 1, x 2,..., x n lineárně závislé. Protože máme definován pojem lineární nezávislosti vektorů, můžeme zavést užitečné pojmy báze a dimenze lineárního prostoru. Definice Vektory x 1, x 2,..., x n tvoří bázi lineárního prostoru M, když jsou lineárně nezávislé a každý další vektor x M je již jednoznačnou lineární kombinací vektorů x 1, x 2,..., x n, tj. x M = x = c 1 x 1 + c 2 x c n x n (c 1,..., c n R). (1.5) Počet n vektorů báze se nazývá dimenze lineárního prostoru M a koeficienty c 1,..., c n R lineární kombinace (1.5) se nazývají souřadnice vektoru x v uspořádané bázi x 1, x 2,..., x n.
24 1.5 Vektory v ortonormální bázi 23 Příklad Vektorové zaměření V (E 3 ) je lineárním prostorem dimenze tři. Namísto zápisu M = {x, y, z,...} používáme zápis V (E 3 ) = { x, y, z,...}. Příklad Pravidla pro počítání s reálnými čísly nám umožňují ukázat, že množina M = R n uspořádaných n tic s prvky x = (x 1, x 2,..., x n ), y = (y 1, y 2,..., y n ) a operacemi sčítání x + y = (x 1, x 2,..., x n ) + (y 1, y 2,..., y n ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) a násobení reálným číslem αx = α(x 1, x 2,..., x n ) = (αx 1, αx 2,..., αx n ) je tzv. aritmetickým lineáním prostorem, který má dimenzi n. Nulovým prvkem je uspořádaná n tice o = (0, 0,..., 0) a opačným vektorem k vektoru x = (x 1, x 2,..., x n ) je vektor x = ( x 1, x 2,..., x n ). 1.5 Vektory v ortonormální bázi Nechť e 1, e 2, e 3 je uspořádaná pozitivní soustava vzájemně kolmých ( e i e j = 0 pro i j) a jednotkových ( e i = 1) vektorů (i, j {1, 2, 3}). Sestavíme-li pro α 1, α 2, α 3 R rovnici α 1 e 1 + α 2 e 2 + α 3 e 3 = o, pak postupné skalární násobení rovnice vektory e 1, e 2, e 3 vede k výsledku α 1 = α 2 = α 3 = 0. Například násobení vektorem e 1 dává výsledek α 1 e 1 e 1 } {{ } e 1 2 =1 +α 2 e 2 e } {{ } 1 0 +α 3 e 3 e 1 } {{ } 0 = o e }{{} 1 α 1 = 0. 0 Vektory e 1, e 2, e 3 jsou proto lineárně nezávislé, tvoří tzv. ortonormální bázi E = e 1, e 2, e 3 prostoru V (E 3 ) a každý vektor x V (E 3 ) je jejich lineární kombinací x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 (x 1, x 2, x 3 R). Ortonormálních bází je v prostoru V (E 3 ) nekonečný počet (liší se od sebe posunutím a otočením soustavy).vždy uvažujeme jednu konkrétní soustavu, ke které se vztahují souřadnice vektoru x V (E 3 ). Připomeneme si výsledky pro skalární a vektorové součiny vektorů báze E, vyplývající z dřívějších definic.
25 24 Vybrané části vektorového počtu Lze vyjádřit skalární součiny: e 1 e 1 = e 1 2 = 1 e 1 e 2 = 0 e 1 e 3 = 0 e 2 e 1 = 0 e 2 e 2 = e 2 2 = 1 e 2 e 3 = 0 e 3 e 1 = 0 e 3 e 2 = 0 e 3 e 3 = e 3 2 = 1 podle definice ortonormální báze. Podobně vektorové součiny jsou e 3 = e 1 e 2 e 2 = e 3 e 1 e 1 = e 2 e 3 e 1 e 1 = o e 1 e 2 = e 3 e 1 e 3 = e 2 e 2 e 1 = e 3 e 2 e 2 = o e 2 e 3 = e 1 e 3 e 1 = e 2 e 3 e 2 = e 1 e 3 e 3 = o podle definice vektorového součinu (použijte v obrázku pravidlo pravé ruky ). Skalární součin v ortonormální bázi S ohledem na pravidla pro počítání se skalárním součinem (Věta 3) můžeme počítat a b = (a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 ) (b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 ) = Získali jsme vzorec = a 1 b 1 e 1 e } {{ } 1 +a 1 b 2 e 1 e 2 +a } {{ } 1 b 3 e 1 e 3 + } {{ } a 2 b 1 e 2 e } {{ } 1 +a 2 b 2 e 2 e 2 +a } {{ } 2 b 3 e 2 e 3 + } {{ } a 3 b 1 e 3 e } {{ } 1 +a 3 b 2 e 3 e 2 +a } {{ } 3 b 3 e 3 e 3 = a } {{ } 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 pro vektory a = a 1 e 1 +a 2 e 2 +a 3 e 3, b = b 1 e 1 +b 2 e 2 +b 3 e 3, uvažované v ortonormální bázi E.
26 1.5 Vektory v ortonormální bázi 25 Vektorový součin v ortonormální bázi Podobným způsobem lze využít Větu 5 pro výpočet vektorového součinu vektorů a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3, b = b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 v ortonormální bázi E. Rozepsání vektorového součinu dává vektor a b = (a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 ) (b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 ) = = a 1 b 1 e 1 e } {{ } 1 +a 1 b 2 e 1 e 2 +a } {{ } 1 b 3 e 1 e } {{ } 3 o e 3 +a 2 b 1 e 2 e 1 } {{ } +a 2 b 2 e 2 e } {{ } 2 e 3 o e 2 + +a 2 b 3 e 2 e } {{ } 3 + e 1 +a 3 b 1 e 3 e } {{ } 1 +a 3 b 2 e 3 e 2 +a } {{ } 3 b 3 e 3 e } {{ } 3 e 2 e 1 o = (a 2 b 3 a 3 b 2 ) e 1 + (a 3 b 1 a 1 b 3 ) e 2 + (a 1 b 2 a 2 b 1 ) e 3. Tento výsledek můžeme zapsat jako symbolický determinant třetího řádu, který při výpočtu rozvineme podle prvního řádku: = a b = e 1 e 2 e 3 a 1 a 2 a 3 = (a 2 b 3 a 3 b 2 ) e 1 (a 1 b 3 a 3 b 1 ) e 2 + (a 1 b 2 a 2 b 1 ) e 3. b 1 b 2 b 3 Příklad Najděte vektor kolmý k vektorům a = e 1 2 e 2 + e 3, b = 2 e1 + e 2 e 3. Řešení: d = a b = e 1 e 2 e = e e e 3. Řešením úlohy je každý vektor kolineární s vektorem d. Smíšený součin v ortonormální bázi Uvažujeme smíšený součin [ a, b, c ] = a ( b c) pro vektory a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3, b = b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3, c = c 1 e 1 + c 2 e 2 + c 3 e 3 v ortonormální bázi E a víme, že d = b c = (b 2 c 3 b 3 c 2 ) e } {{ } 1 +(b 3 c 1 b 1 c 3 ) e } {{ } 2 +(b 1 c 2 b 2 c 1 ) e } {{ } 3 = d 1 e 1 +d 2 e 2 +d 3 e 3. d 1 d 2 d 3
27 26 Vybrané části vektorového počtu Skalární součin a ( b c) = a d = = a 1 d 1 + a 2 d 2 + a 3 d 3 = a 1 (b 2 c 3 b 3 c 2 ) + a 2 (b 3 c 3 b 1 c 3 ) + a 3 (b 1 c 2 b 2 c 1 ) = = a 1 b 2 c 3 + a 2 b 3 c 1 + a 3 b 1 c 2 a 1 b 3 c 2 a 2 b 1 c 3 a 3 b 2 c 1. Smíšený součin proto můžeme zapsat jako determinant třetího řádu [ a, b, c ] = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3. c 1 c 2 c 3 Příklad Vypočítejte objem rovnoběžnostěnu sestrojeného nad vektory a = e 1, b = e 1 3 e 3, c = 2 e 1 + e 2 + e 3. Tvoří vektory a, b, c pozitivní trojici vektorů? Řešení: [ a, b, c ] = = = 3 > 0. Vektory a, b, c tvoří pozitivní trojici vektorů, protože [ a, b, c ] > 0. Objem rovnoběžnostěnu sestrojeného nad vektory a, b, c je [ a, b, c ] = 3 = 3 (jednotky 3 ). Příklad Jsou dány vektory a = e 1 + e 3, b = e 2 e 3, c = e 1 + e 2. Vypočítejte a ( b c) a) podle vzorce pro počítání vektorového součinu v souřadnicích báze E, b) pomocí vzorce (2) Věty 5. Řešení: a) Nejprve najdeme d = b c = e 1 e 2 e = e 1 e 2 e 3. Pak b) Vzorec má tvar a ( b c) = a d = e 1 e 2 e a ( b c) = ( a c) b ( a b) c. = e e 2 e 3. Skalární součiny a c = (1 e e e 3 ) (1 e e e 3 ) = = 1, a b = (1 e e e 3 ) (0 e e 2 1 e 3 ) = ( 1) = 1. Proto a ( b c) = b ( 1) c = b + c = e 2 e 3 + e 1 + e 2 = e e 2 e 3.
28 Kapitola 2 Některé aplikace vektorového počtu 2.1 Vektory v souřadnicové soustavě prostoru E 3 Zvolíme-li v E 3 pevný bod O a uspořádanou pozitivní ortonormální bázi e 1, e 2, e 3 ve V (E 3 ), pak dostaneme tzv. kartézský souřadnicový systém a označíme jej O; e 1, e 2, e 3. Bod O nazýváme počátkem a přímky určené bodem O a postupně vektory e 1, e 2, e 3 nazýváme souřadnicovými osami x, y, z. Je konvence označovat tuto speciální bázi jako i, j, k namísto e 1, e 2, e 3. S každým bodem A je možné uvažovat polohový vektor (rádiusvektor) r A = OA = x A i + y A j + z A k bodu A. Zápis vektoru r A = OA budeme zkracovat na tvar OA = x A i + y A j + z A k = (xa, y A, z A ), čísla x A, y A, z A nazveme souřadnicemi bodu A a píšeme A = [x A, y A, z A ]. Dvěma různými body A = [x A, y A, z A ], B = [x B, y B, z B ] je pak určen vektor AB = OB OA = (x B x A ) i+(y B y A ) j+(z B z A ) k = (x B x A, y B y A, z B z A ). z y j k O i 1 OA A = [x A, y A, z A ] x A AB OA OB O B
29 28 Některé aplikace vektorového počtu 2.2 Rovina v E 3 Skutečnost, že rovina ρ je v prostoru E 3 určena bodem A = [x A, y A, z A ] ρ a dvěma nekolineárními vektory u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ) ležícími v rovině ρ budeme zapisovat ρ = [A; u, v ]. Můžeme použít několik různých přístupů k popisu roviny (stanovení podmínky, za které je obecný bod X = [x, y, z] bodem roviny ρ). Uvedeme dva z takových přístupů Libovolný bod X = [x, y, x] ρ právě, když vektory AX, u, v jsou komplanární. ρ ` X ρ ` vektory u, v leží v ρ ` v A AX X ρ u To lze vyjádřit dvěma způsoby: 1. AX = t u + s v (t, s R jsou parametry) jsou parametrické rovnice roviny ρ, které rozepisujeme do souřadnic x = x A + tu 1 + sv 1, y = y A + tu 2 + sv 2, z = z A + tu 3 + sv 3. Z těchto rovnic umíme vyčíst souřadnice bodu A ρ i vektorů u, v roviny ρ. 2. Pro komplanární vektory je smíšený součin [ AX, u, v ] = 0. Proto [ AX, u, v ] = x x A y y A z z A u 1 u 2 u 3 = v 1 v 2 v 3 = (x x A ) (u 2 v 3 u 3 v 2 ) (y y A ) (u 1 v 3 u 3 v 1 )+(z z A ) (u 1 v 2 u 2 v 1 ) = = ax + by + cz + d = 0 a výsledkem je obecná rovnice roviny ρ.
30 2.2 Rovina v E Vektor n = (n 1, n 2, n 3 ) o kolmý k rovině ρ se nazývá normálový vektor roviny ρ. Z vlastností vektorového součinu víme, že vektor u v je kolmý ke každému z vektorů u, v ležících v rovině ρ, proto je kolmý k rovině ρ. Je zřejmé, že za normálový vektor roviny můžeme volit libovolný nenulový vektor kolineární s vektorem u v. n = k( u v) ` v ρ A AX u ` ` X ρ Libovolný bod X = [x, y, x] ρ právě, když vektory AX, n jsou kolmé. Podmínku kolmosti vektorů vyjadřuje skalární součin AX n = (x x A, y y A, z z A ) (n 1, n 2, n 3 ) = = n 1 x + n 2 y + n 3 z (n 1 x A + n 2 y A + n 3 z A ) = ax + by + cz + d = 0. Vidíme, že koeficienty a, b, c obecného tvaru rovnice roviny ρ jsou souřadnice normálového vektoru roviny ρ, tj. n = (a, b, c), kde vektor n je kolineární s vektorem u v Příklad Rovina ρ má obecnou rovnici roviny x + 2z + 1 = 0. Najděte bod A a normálový vektor roviny ρ. Řešení: Obecná rovnice roviny ρ má tvar ax + by + cz + d = 0, kde normálový vektor n = (a, b, c). Zadání úlohy proto napíšeme ve tvaru 1x + 0y + 2z + 1 = 0 a proto n = (1, 0, 2). Bodem roviny je libovolný bod A = [x A, y A, z A ], který splňuje rovnici x A + 2z A + 1 = 0. Protože rovnice nezávisí na y, lze volit pro jednoduchost y A = 0 a například volbou x A = 1 získáme z rovnice z A = 0. Bod A = [ 1, 0, 0] ρ. Poznámka: Rovnice roviny x + 2z + 1 = 0 posledního příkladu nezávisí na y, pro každé y je rovnice stejná, proto je rovina rovnoběžná
31 30 Některé aplikace vektorového počtu se souřadnicovou osou y. To je vidět také na normálovém vektoru n = (1, 0, 2), který má druhou souřadnici nulovou (situaci graficky znázorněte). Podobně rovnice x = 3 je v E 3 obecnou rovnicí roviny, která je rovnoběžná se souřadnicovými osami y i z. Příklad Body A = [1, 1, 1], B = [0, 1, 2], C = [ 2, 3, 1] jsou body roviny ρ. Najděte obecnou rovnici roviny ρ a) Užitím vektorového součinu vektorů. b) Užitím smíšeného součinu vektorů. Řešení: Rovina ρ = [A; u, v ], kde A = [1, 1, 1] a vektory u = AB = ( 1, 0, 1), v = AC = ( 3, 2, 2) jsou nekomplanární. i j k a) Vektor u v = = 2 i 5 j 2 k = ( 2, 5, 2) je kolineární s normálovým vektorem roviny. Proto můžeme zvolit například n = (a, b, c) = (2, 5, 2). Bod A = [1, 1, 1] ρ : 2x + 5y + 2z + d = 0. Proto je d = 9 a hledaná rovnice je ρ : 2x + 5y + 2z 9 = 0. b) Vektory AX, u, v jsou pro body X ρ komplanární. Proto smíšený součin [ AX, u, v ] = 0, tj. x 1 y 1 z = 2(x 1) 5(y 1) 2(z 1) = 0. Úpravou získané rovnice obdržíme výsledek ρ : 2x + 5y + 2z 9 = 0. Cvičení Ukažte, že 3x + 6y + 2z 13 = 0 je obecnou rovnicí roviny, která vytíná na souřadnicových osách úseky v poměru 2 : 1 : 3 a prochází bodem A = [1, 2, 1]. Jaké jsou délky úseků na osách? Návod: Situaci si graficky znázorněte. Průsečíky hledané roviny se souřadnicovými osami jsou body A = [2q, 0, 0], B = [0, q, 0], C = [0, 0, 3q], kde q = 0 je délka úseku. Rovina je proto určena například bodem A a vektory u = AB, v = AC. Jedním z výpočetních postupů předcházejícího příkladu obdržíme požadovaný výsledek.
FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VíceEukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
Více6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE
Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných
VíceMatematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
VíceMatematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
VíceA[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
Více14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
VíceVybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2017-2018 Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 1 / 19 Základní informace předmět: 714-0513, 5 kreditů přednáší: Radek Kučera kontakt: radek.kucera@vsb.cz,
Více19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
Více6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
VíceM - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl
VíceVEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN
VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN Brno 2014 Verze 30. listopadu 2014 1 Volné a vázané vektory v rovině a prostoru 1.1 Kartézská soustava souřadnic, souřadnice bodu, vzdálenost
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
Více9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
Více1 Analytická geometrie
1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice
VíceVzorce počítačové grafiky
Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
VíceM - Příprava na 12. zápočtový test
M - Příprava na 1. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
Více6.1 Vektorový prostor
6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceEuklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)
Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
Více2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21
2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému
VíceX = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Více3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY
3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
VíceDá se ukázat, že vzdálenost dvou bodů má tyto vlastnosti: 2.2 Vektor, souřadnice vektoru a algebraické operace s vektory
Vektorový počet.1 Eklidovský prostor E 3 Eklidovský prostor E 3 je prostor spořádaných trojic (tj. bodů), v němž je definována vzdálenost dvo jeho bodů A, B (značíme ji AB ). Vzdálenost bodů A = [a 1,
Více3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY
3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceMatematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
Více3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna
Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceNecht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
VíceRovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R
Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
Více1.13 Klasifikace kvadrik
5 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 1.13 Klasifikace kvadrik V této části provedeme klasifikaci kvadrik. Vyšetříme všechny případy, které mohou různou volbou koeficientů v rovnici kvadriky a 11
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Více6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
VíceM - Příprava na 4. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK.
M - Příprava na 4. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK. Učebnice určená pro přípravu na 4. čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo března až června. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a
VíceZákladní vlastnosti eukleidovského prostoru
Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.
VíceCvičení z Lineární algebry 1
Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
VícePŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII
PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII V úvodu analytické geometrie jsme vysvětlili, že její hlavní snahou je popsat geometrické útvary (body, vektory, přímky, kružnice,...) pomocí čísel nebo proměnných.
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
VíceShodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem
Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A
Více11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceAnalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii
KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
VíceSkalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.
6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Více11 Vzdálenost podprostorů
11 Vzdálenost podprostorů 11.1 Vzdálenost bodů Eukleidovský bodový prostor E n = afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. (Pech:AGLÚ/str.126) Definováním skalárního součinu
Více1 Připomenutí vybraných pojmů
1 Připomenutí vybraných pojmů 1.1 Grupa Definice 1 ((Komutativní) grupa). Grupou (M, ) rozumíme množinu M spolu s operací na M, která má tyto vlastnosti: i) x, y M; x y M, Operace je neomezeně definovaná
VíceRovnice přímky v prostoru
Rovnice přímky v prostoru Každá přímka v prostoru je jednoznačně zadána dvěma body. K vyjádření všech bodů přímky lze použít parametrické rovnice. Parametrická rovnice přímky p Pokud A, B jsou dva různé
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VíceMatematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3
3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Více6 Samodružné body a směry afinity
6 Samodružné body a směry afinity Samodružnými body a směry zobrazení rozumíme body a směry, které se v zobrazují samy na sebe. Například otočení R(S má jediný samodružný bod, střed S, anemá žádný samodružný
VíceAfinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
Více2. kapitola: Euklidovské prostory
2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru
VícePoznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.
Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,
Více6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety
6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceVEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
Více7 Analytická geometrie v rovině
7 Analytická geometrie v rovině Myslím, tedy jsem (René Descartes) 71 Úsečka V kapitole 51 jsme zavedli pojem souřadnice v rovině pro potřeby konstrukce grafů funkcí Pomocí souřadnic lze ovšem popisovat
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VíceLingebraické kapitolky - Analytická geometrie
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V
VíceAB = 3 CB B A = 3 (B C) C = 1 (4B A) C = 4; k ]
1. část 1. (u 1, u 2, u, u 4 ) je kladná báze orientovaného vektorového prostoru V 4. Rozhodněte, zda vektory (u, 2u 1 + u 4, u 4 u, u 2 ) tvoří kladnou, resp. zápornou bázi V 4. 0 2 0 0 0 0 0 1 0 2 0
Více11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při
. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
VíceLineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
Vícepro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p
KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,
Více3) Vypočtěte souřadnice průsečíku dané přímky p : x = t, y = 9 + 3t, z = 1 + t, t R s rovinou ρ : 3x + 5y z 2 = 0.
M1 Prog4 D1 1) Určete vektor c kolmý na vektory a = 2 i 3 j + k, b = i + 2 j 4 k. 2) Napište obecnou a parametrické rovnice roviny, která prochází bodem A[ 1; 1; 2] a je kolmá ke dvěma rovinám ρ : x 2y
Více4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil
4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr
VíceEuklidovský prostor Stručnější verze
[1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)
VíceOdvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].
Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1
VíceAnalytická geometrie (AG)
Analytická geometrie (AG) - zkoumá geometrické útvary pomocí algebraických a analytických metod Je založena na vektorech a soustavě souřadnic, rozděluje se na AG v rovině a v prostoru. Analytická geometrie
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
Více7 Ortogonální a ortonormální vektory
7 Ortogonální a ortonormální vektory Ze vztahu (5) pro výpočet odchylky dvou vektorů vyplývá, že nenulové vektory u, v jsou na sebe kolmé právě tehdy, když u v =0. Tato skutečnost nám poslouží k zavedení
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
Více1.4. VEKTOROVÝ SOUČIN
.4. VEKTOROVÝ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: definici vektorového (také vnějšího) součinu, jeho vlastnosti a geometrický význam; co rozumíme pravotočivou ortonormální nebo ortogonální bází; definici
VíceEuklidovské prostory. Euklidovský prostor dimense 3
Euklidovské prostory Euklides nebo také Eukleides byl řecký matematik žijící kolem roku 300 př.n.l. Jeho nejznámějším dílem jsou Základy, ve kterých vybudoval geometrii způsobem definice- věta- důkaz.
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VíceVZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
Více