.. Binární relace Předpoklad: 0 Pedagogická poznámka: Naprostá většina studentů vřeší hodinu samostatně Ti nejrchlejší potřebují tak minut. Binární relace: Jsou dán množin A, B. Binární relace R z A do B ( R : A B ) je libovolná podmnožina kartézského součinu A B. Př. : Jsou dán množin {,,} množin jsou relace z A do B: M, A =, {, } B =. Rozhodni, které z následujících a) = { } b) M = {, } c) M = {,,,,, d) M = { } e) M = {,,,,,,,,,,, f) M 6 = {,,, } a) M = {, }. b) M {, } c) M = {,,,,, } = - není relace z A do B, není prvkem A d) M = { }, prázdná množina je podmnožinou každé množin e) M = {,,,,,,,,,,, f) M 6 = {,,, } Pedagogická poznámka: Většina studentů se spletu v bodě d). Jde o dobré místo ke zmínce o psaní poznámek. Snažím se studentům vsvětlit, že nestačí pokud si v sešitu škrtnou NE a napíší si ANO. Protože se spletli, měli b mít v sešitě i důvod ted poznámku tpu : prázdná množina je podmnožinou každé množin. Většinou se do relace se z kartézského součinu vbírají dvojice, které splňují nějakou podmínku. Př. : Jsou dán množin {,,} {[ ] } R = x, A B, x >. A =, {, } R =,,,,,,,,, B =. Urči relaci
V některých případech je výhodné znázornit relaci pomocí obrázku Př. : Navrhni, jak grafick znázornit binární relaci R množin A, B z předchozího příkladu do uvedeného obrázku. A - B Nejdříve si ujasni, co všechno musí grafické znázornění zachtit a poté hledej realizaci jednotlivých požadavků. Grafické znázornění musí zachtit: které prvk k sobě patří který z prvků je první Jak to provedeme? prvk, které k sobě patří spojíme šipkou šipka směřuje od prvního prvku k druhému A - B Pedagogická poznámka: Povídáme si se student o tom, jaký vliv na vmýšlení řešení měl fakt, že si dopředu ujasnili, jaké požadavk musí řešení splňovat. Samozřejmě poté, co si řekneme požadavk na řešení, dostanou studenti ještě čas na přemýšlení, než se odtajní výsledek. Př. : Jsou dán množin A = {,,}, B = {, } R = [ x ] A B x + >.,, {[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]} R =,,,,,,,,,. Urči relaci Kromě množinového zobrazení probíraného výše můžeme relace mezi čísl zobrazovat i do grafu pomocí bodů zakreslených v kartézských souřadnicích (navzájem kolmé os x x, z relace odpovídá bod o souřadnicích (vodorovná) a (svislá)). Každé dvojici prvků [ ] [ x, ].
Př. : Zakresli relaci R z příkladu do grafu v kartézských souřadnicích. - - x - - Pedagogická poznámka: Někteří vnímaví studenti si všimnou, že u zobrazení v kartézských souřadnicích není zcela jasné, které číslo je ve dvojici první. Připomínáme si, že způsob, jak rozlišit první číslo od druhého může být věcí dohod, jako v tomto případě, kd je dohodnuto, že první číslo v uspořádané dvojici zobrazujeme na vodorovnou osu x. Někteří studenti správně vnesou bod, ale pak je spojí čarou. Je třeba jim zdůraznit, že tím b relace obsahovala i další dvojice. Zároveň se bavíme o tom, že zcela automatick se pokusili nakreslit obrázek, který je podobnější tomu, co znají. Při zobrazování v kartézských souřadnicích vnášíme výchozí množin na vodorovnou osu. Př. 6: Urči relaci [ ] R = x, N N, = x, <. Relaci zakresli do grafu v kartézských souřadnicích. Rozebereme zadání relace: x, N N - relace je podmnožinou kartézského součinu přirozených čísel [ ] všechn dvojice v relaci budou sestaven z přirozených čísel = x - druhé číslo ve dvojici je druhou mocninou prvního < - druhé číslo ve dvojici je menší než R = {[ ; ],[ ;] } - - x - -
Pedagogická poznámka: Kromě problémů s významem písmene N v předpisu relace, někteří ;. studenti špatně odhadují vzájemnou velikost čísel x a a píší dvojice jako [ ] Tento problém se často vsktuje při sestavování rovnic, i v této situaci doporučuji, rozmslet si, které z čísel x je větší nebo ověřit si výsledek dosazením. Některé relace nemůžeme zachtit jinak než pomocí grafů. Pedagogická poznámka: U následujícího příkladu se studenti vmlouvají na to, že ještě nikd nic takového nedělali. Je dobré trvat na tom, že stačí: přeformulovat zadání slovně a zkoušet, které bod podmínkám relace vhovují a které ne. Př. 7: Do grafu v kartézských souřadnicích zakresli relace: a) R = [ x, ] R R, x < b) R = {[ x, ] R R, x >, } a) R = {[ x, ] R R, x < } kartézský součin R R = celá plocha grafu vbíráme do relace x < x-ová souřadnice bodů je větší než a menší než na -ové nezáleží - - x - - b) R = {[ x, ] R R, x >, } kartézský součin R R = celá plocha grafu vbíráme do relace x >, > x-ová souřadnice bodů je větší než -ová souřadnice je větší nebo rovna -
- - x - - Pedagogická poznámka: Většina studentů rchle přijde na to, že je potřeba ploch vbarvit (pokud jim to dělá problém připomínám jim, že reálná čísla jsme zaváděli proto, ab na přímce nebla prázdná místa). V druhé fázi pak vlepšujeme obrázek tak, ab v bodu a) blo vidět, že jednička mezi naše čísla patří zatímco ne. Objevují se různé nápad (prázdná kolečka, prázdné šipk), ale požadavek na to, ab fakt, že dvojice se čtřkou do naší relace nepatří, bla vidět v každém bodě obrázku je dovede k čárkované čáře. Hlavní smsl příkladu je samozřejmě v tom, ab studenti zkusili nějaké řešení, které si pak postupně kontrolují a vlepšují. Shrnutí: Relace je libovolnou podmnožinou kartézského součinu.