.2. Orientovaný úhel II Předpoklady: 20 Nejdříve opakování z minulé hodiny. Př. 1: Rozhodni, které z následujících hodnot jsou velikosti úhlu α = π. a) 11 π b) 7 a) Pokud je úhel π základní velikostí úhlu α musí platit: 11 π = π + k 2π. Upravíme: 11 π π = k 2π rozdíl 11 π π by měl být násobek 2π. 11 110 π π = π = π (není násobek 2π ) 11 π není velikost úhlu α. 2 b) α = π = 22 Má platit 7 = 22 + k rozdíl 7 22 by měl být násobek. 7 22 = 0, 0 = 1,... 7 není velikost úhlu α. Pedagogická poznámka: Nechávám studenty, aby si algoritmus na určení základní velikosti vymysleli sami. U stupňové míry s tím nejsou problémy. Při kontrole třetího příkladu si říkáme, jak najít výhodnější algoritmus, ale v žádném případě nikoho nenutím, aby se vzdal svého. Př. 2: Urči základní velikost úhlu 1220. Pro základní velikost musí platit 1220 = α + k α = 1220 k stačilo by od 1200 odečítat, dokud se nedostaneme do intervalu 0; ). Je to ale moc zdlouhavé. Zjistíme, kolik je k: 1220 =,8... k =. Teď dosadíme: α = 1220 k = 1220 = 10. Pedagogická poznámka: Se třídou si kontrolujeme pouze výsledek ne postup. Někteří studenti používají v předchozím příkladě i ten nejprimitivnější postup postupného odčítání. Tento postup je už v příštím příkladu nepoužitelný. Lepší studenti počítají i rychleji, třeba když si uvědomí, že zbytek po dělení velikosti úhlu vzniká dělením základní velikosti úhlu. Stačí tedy, když zbytek po dělení vynásobí a získají základní velikost: 1220 =,8 α = 0, 8 = 10. Snažím se studenty přesvědčit, aby si našli rychlejší algoritmus, ale zároveň se snažím ho neprozrazovat. 1
Př. : Urči základní velikost úhlů: a) 127 b) 2. a) Pro základní velikost musí platit: 127 = α + k α = 127 k. Zjistíme, kolik je k: 127 = 2,7... k = 2. Teď dosadíme: α = 127 k = 127 2 = 207. b) Pro základní velikost musí platit 2 = α + k α = 2 k. Zjistíme, kolik je k: 2 = 180,78... k = 180. Teď dosadíme: α = 2 k = 2 180 = 2. Dodatek: Můžeme použít rychlejší postup: 2 = 180,78... α = 0,78... = 2. Tento postup vychází z následujících úprav: 2 = α + k / : 2 α = + / k k 2 α k = 2 k = α. Můžeme si také uvědomit, že základní velikost u kladných úhlů se rovná zbytku po dělení. Desetinná místa, která po tomto dělení vzniknou pochází právě z tohoto zbytku a vynásobením se dostaneme k hledanému zbytku. Př. : Urči základní velikost úhlu 28. Pro základní velikost musí platit 28 = α + k α = 28 k. Zjistíme, kolik je k: 28 =, 9... k =. α = 28 k = 28 = 178. Teď dosadíme: ( ) 178 není základní velikost musíme ještě přičíst. α = 178 + = 182. Postřeh: Prostým zopakováním postupu pro kladnou velikost jsme u záporné nezjistili základní velikost, ale největší zápornou velikost (neboli zápornou velikost s nejmenší absolutní hodnotou). Museli jsme pak ještě jednou připočítat. Připočítávání jsme si mohli ušetřit, kdybychom použili hodnotu k = 7 (o jednu menší neboli s absolutní hodnotou o jednu větší), abychom přičítali větší počet násobků. Př. : Urči základní velikost úhlu 892. Pro základní velikost musí platit 892 = α + k α = 892 k. Zjistíme, kolik je k: 892 = 1,8 k = 17. 2
Teď dosadíme: k ( ) α = α = 892 = 892 17 =. Dodatek: V obou předchozích příkladech můžeme používat i přímý výpočet pomocí zbytků: 28 =, 9... 0,9... = 178 182, 28 nebo, 9... ( 1 0,9... ) 182 = =. Pedagogická poznámka: Následující příklady jsou algoritmicky stejné jako předchozí, ale zlomky je činí pro studenty podstatně zajímavější. Velkých problémem bývalo zohledňování různých jmenovatelů při výpočtu. Při posledním průchodu, kdy jsem nechal studenty algoritmy na hledání základní velikosti samostatně vymyslet, byly problémy zdaleka nejmenší. Z toho soudím, samostatně vyvinutý algoritmus vnímají studenti daleko neformálněji. Př. : Urči základní velikost úhlu 17 π. Pro základní velikost musí platit 17 17 π = α + k 2π α = π k 2π stačilo by od 17 odečítat 2 dokud se nedostaneme do intervalu 0;2 ), ale je to moc zdlouhavé. 17 α = π k π, přepsali jsme si 2π na třetiny, abychom mohli snadno odečítat ze zlomku. Zjišťujeme k, kolikrát se do 17 vejde, tedy kolikrát se do 17 vejde. Zjistíme, kolik je k: 17 = 2,8... k = 2. 17 17 Teď dosadíme: α = π k π = π 2 π = π. Základní velikost úhlu 17 π je π. Př. 7: Urči základní velikost úhlu 7777 π. Pro základní velikost musí platit 7777 π = α + k 2π 7777 7777 8 α = π k 2π = π k π - jiný zlomek než v předchozím příkladě. Zjistíme, kolik je k: 7777 = 972,12 k = 972. 8 7777 8 7777 8 1 Teď dosadíme: α = π k π = π 972 π = π.
Základní velikost úhlu 7777 π je 1 π. Pedagogická poznámka: Předchozí příklad zadávám stejně jako předchozí a neupozorňuji na fakt, že se změnil jmenovatel zlomku (a proto se při zjišťování k dělí jiným číslem). Jde o jeden z velmi dobrých testů formálního přístupu k matematice. Pokud mají někteří studenti opravdu velké problémy s tím, že počítají s číslem π, ukažte jim, že všechny výpočty při převádění na základní velikost prakticky probíhají zcela bez tohoto čísla. Př. 8: Urči základní velikost úhlu 917 π. Pro základní velikost musí platit 917 π = α + k 2π 917 917 12 α = π k 2π = π k π - jiný zlomek než v předchozím příkladě. Zjistíme, kolik je k: 917 = 712, 2 k = 712. 12 917 12 917 12 1 Teď dosadíme: α = π k π = π 712 π = π = π. 2 Základní velikost úhlu 917 π je 1 2 π. Př. 9: Urči základní velikost úhlu 221 π. 221 Pro základní velikost musí platit π = α + k 2π 221 221 α = π k 2π = π k π. Zjistíme, kolik je k: 221 =,8... k =. Teď dosadíme: α = 221 π k π = 221 π ( ) π = π. π není základní velikost musíme ještě přičíst 2π. 1 α = π + 2π = π 221 Základní velikost úhlu π je 1 π. Postřeh: Stejně jako u výpočtu ve stupňové míře je jednodušší použít hodnotu 7 k = (o jednu menší neboli s absolutní hodnotou o jednu větší), abychom přičítali větší počet násobků 2π.
Př. 10: Urči základní velikost úhlů: a) 21 π b) 21 π. 21 a) Pro základní velikost musí platit π = α + k 2π 21 21 12 α = π k 2π = k π. Zjistíme, kolik je k: 21 = 8, 1... k = 9. 12 Teď dosadíme: α = 21 π k 12 π = 21 π ( 9) 12 π = 7 π. 21 Základní velikost úhlu π je 7 π. 21 b) Pro základní velikost musí platit π = α + k 2π 21 21 8 α = π k 2π = π k π. Zjistíme, kolik je k: 21 = 702,2 k = 70. 8 Teď dosadíme: α = 21 π k 8 π = 21 π ( 70) 8 π = π. 21 Základní velikost úhlu π je π. Př. 11: Petáková: strana 0/cvičení 7 α ) β ) x 1 ) x ) x ) Shrnutí: Orientovaný úhel má nekonečně mnoho velikostí, které se liší o násobky 2π.