NUMERICKÝ VÝPOČET INVERZNÍ LAPLACEOVY TRANSFORMACE

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV RADIOELEKTRONIKY FACULTY OF ELECTRICAL ENGINEERING AND COMMUNICATION DEPARTMENT OF RADIO ELECTRONICS NUMERICKÝ VÝPOČET INVERZNÍ LAPLACEOVY TRANSFORMACE NUMERICAL INVERSION OF THE LAPLACE TRANSFORM BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR'S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR TOMÁŠ CEPEK Ing. MARTIN ŠTUMPF BRNO 011

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakula elekroechniky a komunikačních echnologií Úsav radioelekroniky Bakalářská práce bakalářský sudijní obor Elekronika a sdělovací echnika Suden: Tomáš Cepek ID: 106390 Ročník: 3 Akademický rok: 010/011 NÁZEV TÉMATU: Numerický výpoče inverzní Laplaceovy ransformace POKYNY PRO VYPRACOVÁNÍ: Sezname se základy eorie Laplaceovy ransformace a prosuduje možnosi výpoču inverzní Laplaceovy ransformace. Zaměře se na algorimy založené na numerickém výpoču Bromwichova inegrálu pomocí Fourierových řad. Implemenuje vybrané meody v programu Malab. Tyo algorimy vzájemně porovneje a diskuuje jejich vlasnosi na vhodně zvolených příkladech. DOPORUČENÁ LITERATURA: [1] MELKES, F. Maemaika. Elekronické skripum. Brno: FEKT VUT v Brně, 005. [] DUFFY, D. G. Transform mehods for solving parial differenial equaions, /E. Chapman & Hall/CRC, 004. Termín zadání: 8..010 Termín odevzdání: 8.5.010 Vedoucí práce: Ing. Marin Šumpf UPOZORNĚNÍ: prof. Dr. Ing. Zbyněk Raida Předseda oborové rady Auor bakalářské práce nesmí při vyváření bakalářské práce poruši auorská práva řeích osob, zejména nesmí zasahova nedovoleným způsobem do cizích auorských práv osobnosních a musí si bý plně vědom následků porušení usanovení 11 a následujících auorského zákona č. 11/000 Sb., včeně možných resněprávních důsledků vyplývajících z usanovení čási druhé, hlavy VI. díl 4 Tresního zákoníku č.40/009 Sb.

ABSTRAKT V práci jsou popsány možnosi výpoču inverzní Laplaceovy ransformace. Dále jsou popsány a odvozeny 3 algorimy popisující numerický výpoče inverzní Laplaceovy ransformace. Tyo 3 algorimy jsou oesovány a popsány v prosředí Malab na jednoduchých abulkových příkladech a v poslední řadě na příkladech sdělovacího vedení. Numerické výsledky a vlasnosi esovaných algorimů jsou porovnány a diskuovány. KLÍČOVÁ SLOVA Bromwichův inegral, Dubner-Abaeho algorimus, Hosonův algorimus, lichoběžníkové pravidlo, Simpsonovo pravidlo, obdélníkové pravidlo. ABSTRACT In he work are described possibiliies of a calculaion of he inverse Laplace ransform. Furher are described and derived 3 algorihms describing he numerical inversion of he Laplace ransform. These 3 algorihms are esed and described in he Malab environmen on he simple abular examples and on he examples from a ransmission line heory. Numerical resuls and feaures of all esed algorihms are compared and discussed. KEYWORDS Bromwich inegral, Dubner-Abae algorihm, Hosono algorihm, Trapezoidal rule, Midpoin rule, Simpson rule.

CEPEK, T. Numerický výpoče inverzní Laplaceovy ransformace. Brno: Vysoké učení echnické v Brně, Fakula elekroechniky a komunikačních echnologií. Úsav radioelekroniky, 011. 49 s. Bakalářská práce. Vedoucí práce: ing. Marin Šumpf.

PROHLÁŠENÍ Prohlašuji, že svou bakalářskou práci na éma Numerický výpoče inverzní Laplaceovy ransformace jsem vypracoval samosaně pod vedením vedoucího bakalářské práce a s použiím odborné lieraury a dalších informačních zdrojů, keré jsou všechny ciovány v práci a uvedeny v seznamu lieraury na konci práce. Jako auor uvedené bakalářské práce dále prohlašuji, že v souvislosi s vyvořením éo bakalářské práce jsem neporušil auorská práva řeích osob, zejména jsem nezasáhl nedovoleným způsobem do cizích auorských práv osobnosních anebo majekových a jsem si plně vědom následků porušení usanovení 11 a následujících zákona č. 11/000 Sb., o právu auorském, o právech souvisejících s právem auorským a o změně někerých zákonů (auorský zákon), ve znění pozdějších předpisů, včeně možných resněprávních důsledků vyplývajících z usanovení čási druhé, hlavy VI. díl 4 Tresního zákoníku č. 40/009 Sb. V Brně dne...... (podpis auora)

PODĚKOVÁNÍ Děkuji vedoucímu bakalářské práce Ing. Marinu Šumpfovi za účinnou meodickou, pedagogickou a odbornou pomoc a další cenné rady při zpracování mé bakalářské práce. V Brně dne...... (podpis auora)

OBSAH Seznam obrázků Seznam abulek ix xi Úvod 1 1 MOŽNOSTI VÝPOČTU INVERZNÍ LAPLACEOVY TRANSFORMACE 1.1 Bromwichův inegrál... 1.1.1 Bromwichova inegrační cesa... 3 1.1. Výpoče Bromwichova inegrálu... 4 1. Výpoče pomocí slovníku... 5 1.3 Heavisideův rozvoj... 6 1.3.1 Nenásobné kořeny :... 6 1.3. Násobné kořeny :... 6 MODIFIKACE BROMWICHOVA INTEGRÁLU 7.1 Dubner-Abaeho algorimus... 7.1.1 Odvození Dubner-Abaeho algorimu... 7. Algorimus založený na Simpsonově pravidlu... 9..1 Odvození algorimu založené na Simpsonově pravidlu... 9.3 Hosonův algorimus... 11.3.1 Odvození Hosonova algorimu... 11 3 esování algorimů na jednoduchých obrazech 1 3.1 Tesování Dubner Abaeho algorimu na funkci jednokového skoku 1 3. Tesování Hosonoho algorimu na funkci jednokového skoku... 19 3.3 Tesování algorimu založeném na Simpsonově pravidle... 4 3.4 Tesování Dubner-Abaeho algorimu na lineární funkci... 6 3.5 Tesování Dubner-Abaeho algorimu na goniomerické funkci sinus 7 3.6 Tesování Hosonoho algorimu na goniomerické funkci sinus... 30 3.7 Tesování algorimu založeného na Simpsonově pravidle na goniomerické funkci... 3 4 esování algorimů na obrazech sdělovacího vedení 34 vii

4.1 Vedení se zanedbaelným svodem i indukčnosí, spojené na jednom konci nakráko ( podzemní kabel ).... 34 4.1.1 Tesování Dubner-Abaeho algorimu na vedení se zanedbaelným svodem i indukčnosí spojené na jednom konci nakráko ( podzemní kabel )... 36 4.1. Tesování Hosonoho algorimu na vedení se zanedbaelným svodem i indukčnosí spojené na jednom konci nakráko ( podzemní kabel )... 38 4.1.3 Tesování algorimu založeného na Simpsonově pravidle na vedení se zanedbaelným svodem i indukčnosí spojené na jednom konci nakráko ( podzemní kabel )... 40 5 Závěr 4 Lieraura 43 Seznam symbolů, veličin a zkraek 44 Seznam příloh 45 viii

SEZNAM OBRÁZKŮ Obr. 1 Bromwichova inegrační cesa... 3 Obr. Rozdělení funkce f(x) na inervaly délky h ( x )... 8 Obr. 3 Tesování Dubner-Abaeho algorimu na funkci jednokového skoku pro c = 0.1 a pro N = 100.... 13 Obr. 4 Tesování Dubner Abaeho algorimu na funkci jednokového skoku pro c = 0.5 a N=100.... 14 Obr. 5 Tesování Dubner-Abaeho algorimu na funkci jednokového skoku pro c = 1 a N = 100.... 15 Obr. 6: Tesování Dubner-Abaeho algorimu na funkci jednokového skoku při c = 0.5 a N=10.... 16 Obr. 7 Tesování Dubner Abaeho algorimu na funkci jednokového skoku pro c = 1... 17 Obr. 8 Tesování Dubner-Abaeho algorimu na funkci jednokového skoku při c = 0,5 a N = 10 4.... 18 Obr. 9 Tesování Hosonoho algorimu na funkci jednokového skoku pro c = 0,1 a N=10.... 19 Obr. 10 Tesování Hosonoho algorimu na funkci jednokového skoku při c = 0.1 a N=100... 0 Obr. 11 Tesování Hosonoho algorimu na funkci jednokového skoku pro c = 0,3 a N = 100... 1 Obr. 1 Tesování Hosonoho algorimu na funkci jednokového skoku pro c = 1 a N = 100.... Obr. 13 Tesování Hosonoho algorimu na funkci jednokového skoku při c = 0,35 a N = 10 4... 3 Obr. 14 Tesování algorimu odvozeného pomocí Simpsonova pravidla pro c = 0.1 a N = 100.... 4 Obr. 15 Tesování algorimu odvozeného pomocí Simpsonova pravidla pro c = 0.5 a N = 100... 5 Obr. 16 Tesování Dubner-Abaeho algorimu na lineární funkci pro c = 0.5 a N = 100.... 6 Obr. 17 Tesování Dubner-Abaeho algorimu na funkci sin(a) pro c = 0.1 a N = 100... 7 Obr. 18 Tesování Dubner-Abaeho algorimu na funkci sin(a) pro c = 0.3 a N=100 a a = 10... 8 Obr. 19 Tesování Dubner-Abaeho algorimu na funkci sin(a) pro c = 0.8 a N = ix

Obr. 0 Obr. 1 100 a a = 10... 9 Tesování Hosono algorimu na funkci f() = sin(a) pro c = 1 a N = 100 a a = 5.... 30 Tesování Hosonoho algorimu na funkci f() = sin(a) pro c = a N = 100 a a = 5.... 31 Obr. Tesování algorimu založeného na Simpsonově pravidle na funkci f() = sin(a) pro c = 1 a N = 100 a a = 4.... 3 Obr. 9 Obr. 30 Obr. 31 Obr. 3 Obr. 33 Obr. 34 Tesování Dubner-Abaeho algorimu na vedení se zanedbaelným svodem i indukčnosí spojené na jednom konci nakráko pro c = 1, N = 100 a m = 10, délka vedení je l = 5m a je zjišěn časový průběh napěí v bodě x = 4.5 m. 36 Tesování Dubner-Abaeho algorimu na vedení se zanedbaelným svodem i indukčnosí spojené na jednom konci nakráko pro c = 1, N = 100 a m = 10, ω = 4π délka vedení je l = 5m a je zjišěn časový průběh napěí v bodě x = 4.5 m... 37 Tesování Hosonoho algorimu na vedení se zanedbaelným svodem i indukčnosí spojené na jednom konci nakráko pro c = 1, N = 100 a m = 10, ω = 4π délka vedení je l = 5m a je zjišěn časový průběh napěí v bodě x = 4.5 m... 38 Tesování Hosonoho algorimu na vedení se zanedbaelným svodem i indukčnosí spojené na jednom konci nakráko pro c = 1, N = 100 a m = 10, ω = 4π délka vedení je l = 5m a je zjišěn časový průběh napěí v bodě x = 4.5 m... 39 Tesování algorimu založeném na Simpsonově pravidle na vedení se zanedbaelným svodem i indukčnosí spojené na jednom konci nakráko pro c = 1, N = 100 a m = 10, ω = 4π délka vedení je l = 5m a je zjišěn časový průběh napěí v bodě x = 4.5 m... 40 Tesování algorimu založeném na Simpsonově pravidle na vedení se zanedbaelným svodem i indukčnosí spojené na jednom konci nakráko pro c = 1, N = 100 a m = 10, ω = 4π délka vedení je l = 5m a je zjišěn časový průběh napěí v bodě x = 4.5 m... 41 x

SEZNAM TABULEK Tab. 1 Příklad slovníku Laplaceovy ransformace :... 5 xi

ÚVOD Kvůli pořebě výpoču předměů inverzní Laplaceovy ransformace, keré nejsou známy v uzavřeném varu, bylo vyvinuo několik meod pro výpoče inverzní Laplaceovy ransformace. Tyo meody nejvíce využívají Bromwichova inegrálu a Fourierových řad [4]. Laplaceova ransformace se používá například k řešení parciálních diferenciálních rovnic. Sám Leonard Euler zvažoval použií Laplaceovy ransformace na řešení diferenciálních rovnic. řádu (1763 až 1769). Nejvěší průlom ale udělal Oliver Heaviside, kerý zavedl operáorový poče a en se dodnes užívá v elekroechnice, zejména u přechodových dějů. Poom pokračoval výzkum dále a vědci chěli Heavisideův poče spoji s Laplaceovou ransformací. Jedním z nich byl Bromwich, kerý objevil vzorec na inverzní Laplaceovu ransformaci (1.1) [4]. Obyčejné a parciální diferenciální rovnice popisují různé fyzikální jevy závislé na čase. Takovéo jevy jsou například kolísání proudu v RLC obvodu, mechanické oscilace na membráně nebo problémy šíření epla. Aplikací Laplaceovy ransformace na složié diferenciální rovnice, keré popisují výše zmíněné fyzikální problémy, se řešená diferenciální rovnice zjednoduší na rovnici algebraickou, jejíž řešení ransformujeme zpě do originální oblasi pomocí Laplaceovy inverze. Tao bakalářská práce se zabývá použiím různých meod pro numerický výpoče inverzní Laplaceovy ransformace a jejich aplikací na různé druhy obrazů sdělovacích vedení či jednoduchých abulkových obrazů. Použié algorimy vycházejí z Bromwichova inegrálu [4]. 1

1 MOŽNOSTI VÝPOČTU INVERZNÍ LAPLACEOVY TRANSFORMACE 1.1 Bromwichův inegrál Bromwichův inegrál je hlavním klíčem pro získání originálu funkce f(), získaného z obrazu F(s) éo funkce. Ve vědě a inženýrsví bylo vyvinuo několik numerických meod používajících Bromwichův inegrál za pomoci Fourierových řad. Nejjednodušším schémaem pro výpoče inverzní Laplaceovy ransformace je právě použií Fourierových řad. Bromwichův inegrál je časo označován jako Fourier- Mellinovův inegrál. Bromwichův inegrál má následující var []: c+ i 1 f ( ) = F( s) e s ds πi c i (1.1),kde f() je originál funkce, i je označení imaginární složky, c je libovolná nezáporné celé číslo ležící napravo od všech singulari, F(s) je obraz originálu funkce, e je Eulerovo číslo, je čas, s je paramer Laplaceovy ransformace, definovaný jako komplexní proměnná. Laplaceova ransformace funkce f() je definována jako [4]: F ( s) = L( f ( ) ) = e f ( ) d 0 s (1.) Symbol L značí Laplaceovu ransformaci, kde funkce f = f() generuje novou F ( s) = L f ( ) funkci ( ) Vzorec (1.) lze přepsa do liminího varu, kdy [5] s s F( s) = e f ( ) d = lim e f ( )d (1.3) 0 τ τ 0 Pokud ao limia exisuje, pak inegrál konverguje (žádoucí případ) a pokud limia neexisuje inegrál diverguje (nežádoucí případ). Divergence limiy plaí za předpokladu, že s 0. V omo případě již Laplaceovu ransformaci nelze použí. Paramer s si lze předsavi jako komplexní proměnou, kdy s = x + yi.z maemaického hlediska, musí bý s vhodně zvolen, aby byla zajišěna konvergence Laplaceova inegrálu (1.3). V praxi je paramer s ale zanedbáván, proože diferenciální rovnice již mají výsledek známý. s V Bromwichově inegrálu (1.1) je velmi důležiým paramerem složka e, jádro Laplaceovy ransformace. Jelikož oo jádro má exponenciální charaker, ak výsledná

inverovaná funkce f() po aplikaci Bromwichova inegrálu na obraz funkce F(s) může bý v numerickém algorimu degradována. Čím více oiž rose čas, ím více se ao složka začne projevova a funkci f() již nelze rozezna od originálu. Záleží ale na použiém obrazu, chování algorimu a jeho rychlosi konvergence k hledanému výsledku. 1.1.1 Bromwichova inegrační cesa Obr. 1 Bromwichova inegrační cesa Bromwichovu inegrační cesu lze chápa jako přímku, jež spojuje body c - j a c + j. Tao přímka je napravo od všech singulárních bodů vyšeřované funkce Obr 1. Číslo c určuje vzdálenos inegrační cesy od imaginární osy Im a je vždy kladné. 3

1.1. Výpoče Bromwichova inegrálu Inegrál je vedený po přímce p = s + jω, kde < ω <, lze počía pomocí reziduí, poom plaí [5]: n c+ i 1 s ( ( ) ( )) > = = rez F p exp p pro 0 f ( ) F( s) e ds p= pk (1.4) k = 1 πi c i 0 pro < 0 Je-li znám obraz funkce F(s), pak lze provés inverzní Laplaceovu ransformaci pomocí residuí. Nejprve se určí poče pólů obrazové funkce F(s), poom se vypočou všechna residua pro každý pól a nakonec dojde k souču všech residuí. Teno souče je poom výslednou funkcí f() a konečnou inverzí. Bromwichův inegrál vyjádřený Fourierovou řadou má var [3]: c c e e f ( ) = Re[ F( c + iη) ] cos( η) dη = Im[ F( c + iη) ] sin( η) dη π π 0 0 (1.5),kde c je libovolné celé číslo, ležící napravo od všech singulari F(s), i je imaginární jednoka, e je Eulerovo číslo. 4

1. Výpoče pomocí slovníku Další možnosí, jak vypočía inverzní Laplaceovu ransformaci a naopak je slovník, v němž jsou obsaženy již předem známé obrazy. Obraz může bý přímo obsažen ve slovníku, poom je inverze velmi jednoduchá nebo se musí upravi, pokud se například jedná o racionální lomené funkce, je řeba uo racionální lomenou funkci upravi pomocí rozkladu na parciální zlomky. Výsledek je pak dán součem jednolivých obrazů převedených pomocí slovníku. Jedná se o zjednodušení na několik lehčích výrazů, jejichž posupnou ransformací pomocí slovníku lze lehce převés obraz. Výhodou slovníku je snadná a rychlá inverze obrazu, jeho nevýhodou je naopak převod složiějších výrazů, na keré musí bý aplikována někerá z meod Bromwichova inegrálu nebo eorie residuí [7]. Tab. 1 Příklad slovníku Laplaceovy ransformace []: 1 s n F(s) 1 1 s 1 s ( n = 1,,3..,) f() δ () 1 1 n ( n 1)! s s 1 a e s a 1 1 a ( e 1) ( s a) s + a a cos ( a) s s a + a a a sin ( a) sinh ( a) Uvedený slovník je pouze kráký, v různých odborných maemaických lieraurách jsou slovníky mnohem rozsáhlejší, eno slouží pouze jako ukázka nebo pomůcka řešící jednoduché obrazy. 5

1.3 Heavisideův rozvoj Veškeré uvedené vzorce éo kapioly jsou převzay z [8] Užívá se v případě, kdy obraz vyšeřované funkce F(s) je ve varu racionálně lomené funkce, jde edy o výrazy ypu m 1 ( s) bms +... + b1s + b0 = n 1 ( s) ans +... + a1s + a0 M F( s) = (1.6) N,čili výrazy ypu polynom lomeno polynomem. Teno výraz lze rozloži na : m 1 ( s) bms +... + b1s + b0 = ( s) a ( s p )...( s p )( s p ) M F( s) = (1.7) N n n ; p 1...pn jsou póly (singulární body body nespojiosi) funkce F(s). 1.3.1 Nenásobné kořeny : Funkce F(s) je zapsána ve varu : A1 A An F( s) = + +... + s p s p s p Kde A,..., 1 n 1. (1.8) 1 An jsou konsany v čiaelích parciálních zlomků p,..., 1 p n jsou póly ve jmenovaelích 1.3. Násobné kořeny : Funkce F(s) je ve varu : M ( s) k ( s p ) ( s p )( s p ) F( s) = (1.9) a n 1 3 Rozložením éo funkce pomocí rozkladu na parciální zlomky se výraz změní na : F( s) Kde B B 1 k 1 = + +... + + + +... s p1 ( s p1) s pk s p s p3 Ai a B Bk jsou konsany v čiaeli p, p,... 1 p n, p k jsou póly ve jmenovaelích A A A i s p i (1.10) 6

MODIFIKACE BROMWICHOVA INTEGRÁLU Meody sloužící k numerickému výpoču inverzní Laplaceovy ransformace využívají hlavně Bromwichova inegrálu, jak bylo popsáno v kapiole 1.1. Na základě modifikace vzorce (1.5), kde je Bromwichův inegrál není nic jiného než přepis pomocí Fourierovy řady, lze odvodi několik meod, keré využívají numerických meod v kombinaci s Bromwichovým inegrálem. Jsou o například lichoběžníkové, Simpsonovo nebo obdélníkové pravidlo. Tao kapiola bude hovoři o ěcho meodách[3]. Tao meoda má dva důvody pro numerický výpoče efekivním způsobem. Prvním důvodem je rychlejší zpracování na číslicových počíačích. Druhým důvodem je jednoduchá meoda, kerá vyžaduje poměrně minimum programovacího úsilí, proože výsledná inversní funkce se dá vyjádři jako Fourierova řada s funkcí kosinus nebo sinus s koeficieny s vhodnými hodnoami. Na začáku se provede omezení funkce f() ak, aby se sala reálnou funkcí [1]: Re { F( s) } = c e f ( ) = π,kde 0 0 c e f ( )cos w d (.1) Re s = a + iω { F( s) } cos w d (.) Veškeré níže uvedené vzorce éo kapioly byly odvozeny pomocí lieraur [3] a [6].1 Dubner-Abaeho algorimus Teno algorimus byl odvozen z kombinace rovnice (1.5) a lichoběžníkového pravidla. Dosazením lichoběžníkového pravidla z meod pro numerické inegrování do rovnice (1.5) dojde k převedení složiého inegrálu na algebraický výraz se sumou a ím k snadnému výpoču inverzní Laplaceovy ransformace..1.1 Odvození Dubner-Abaeho algorimu Lichoběžníkové pravidlo má var [6]: b h f = 0 1 f n 1 + f n a ( x) dx ( f + f + f +... + ) ( ) (.3) b a,kde h = a x k = a + kh ; k = 0;1; ;... n (.4) n 7

Obr. Rozdělení funkce f(x) na inervaly délky h ( x ) Meoda spočívá v rozdělení nějaké spojié funkce na n čásečných inervalů délky h. Pro jednolivé body y 0...yn funkce f(x), rozdělené na podinervaly, plaí: h h h 1.) y0 = f 0.) y1 = f1 = h f1 3.) y = f = h f... (.5) Označením h = Δx přejdou yo výrazy na vzahy : x x x 1.) y0 = f 0.) y1 = f1 = x f1 3.) y = f = x f... (.6) Dosazením výrazů do rovnice (1.5), pouze pro její kosinusový var, dojde ke zkompleování lichoběžníkového pravidla a Bromwichova inegrálu vyjádřeného pomocí Fourierovy kosinusové ransformace do varu Dubner-Abaeho algorimu. Čili pro jednolivé y 0...yn plaí subsiuce x = η, proože Bromwichův inegrál vyjádřený Fourierovou řadou byl inegrovaný podle η. Uvedené funkční hodnoy v jednolivých inervalech x přejdou do varů : 1.) y 0 = Re F( c) cos 0η = Re F( c) ( ) ( ) ( ) ( F( c + i η) ) cos( η) ( F( c + i η) ) cos( η).) y1 = Re 3.) y = Re 4.) Sečením ěcho nových hodno y 0...yn a dosazením do lichoběžníkového pravidla za předpokladu subsiuce x = η dojde ke konečnému převodu rovnice (1.5) do varu: c c e η e f ( ) = Re( F( c) ) + η Re( F( c + i η) ) cos( η)... (.7) π π 8

Funkci f() lze přepsa do výrazu se sumou, proože hodnoa f ( 0) = η y0 se dá označi jako sřední hodnoa, jelikož v dalších sčíancích už jsou jen dvojnásobky funkčních hodno f ( 1)... f ( n 1). Výraz se sumou lze edy přepsa do varu za π předpokladu subsiuce A = c a η = : A/ e f ( ) = A A e Re F + / N ( 1) n= 1 n A + nπi Re F (.8) Výraz ( 1) n π předsavuje pouze přepis výrazu cos( η) za subsiuce η =. Dosazením éo subsiuce do rovnice kosinu, dojde k odsranění času a hodnoa v něm π π se mění jako n násobek. Proože cos n = 0, dojde k odsranění všech lichých složek a zbydou pouze y sudé, keré obsahují výraz cos ( nπ ), což je vlasně přepis výrazu ( 1) n, proože kosinus se pohybuje v omo případě pouze na hodnoách <-1;1>.. Algorimus založený na Simpsonově pravidlu Algorimus je velmi podobný s lichoběžníkovým pravidlem, ale jeho chování je jiné, proože má jiný var. Dosazením Simpsonova pravidla z numerických meod do (1.5) dojde k převedení složiého inegrálu na algebraický výraz a ím k jednoduššímu výpoču inverzní Laplaceovy ransformace, obdobně jako u Dubner-Abaeho algorimu. Teno algorimus byl odvozen auorem éo bakalářské práce...1 Odvození algorimu založené na Simpsonově pravidlu Simpsonovo pravidlo má var [6]: b x y = f ( x) dx = ( f 0 + 4 f1 + f + 4 f 3 + f 4 +... + 4 f n 1 + f n ) (.9) 3 a,kde y 0...yn jsou jednolivé funkční body spojié funkce, x je délka inervalu funkce f(x), rozdělené na n inervalů éo délky x = h. Pro jednolivé body funkce f(x) plaí : x x 4 x 1.) y0 = f 0.) y1 = 4 f1 = x f1 3.) y = f = x f... (.10) 3 3 3 3 3 x Z uvedeného vzorce (.9) je vidě, že první člen f 0 je vynásoben výrazem a 3 osaní členy jsou násobeny poměrem x podle oho, jesli jde o sudou funkční hodnou 9

10 n f nebo lichou funkční hodnou n f. Lichá funkční hodnoa n f je vynásobena poměrem x 3 4 a sudá funkční hodnoa n f je vynásobena poměrem x 3. Dosazením Simpsonova pravidla do rovnice (1.5), pro její kosinusový var, dojde ke spojení Simpsonova pravidla a Bromwichova inegrálu a ím k usnadnění výpoču inverzní Laplaceovy ransformace. Jednolivé hodnoy funkce f(x) ( n y...y 0 ) přejdou do varů : ( ) ( ) ( ) ) ( Re 0 cos ) ( Re.) 1 0 c F c F y = = η ( ) ( ) η η + = i c F y cos ) ( Re.) 1 ( ) ( ) η η + = i c F y cos ) ( Re.) 3, což jsou vary sejné jako u lichoběžníkového pravidla. Sečením ěcho hodno n y...y 0 dojde k sečení výrazů v závorce rovnice (.9), posupným vynásobením výrazů v závorce podle oho, jesli jde o sudý nebo lichý vzorek a nakonec k vynásobení výrazem 3 x, vzorec (1.5) pak přejde do varu : ( ) ( ) { } ( ) { } ( )+ + + = η η η π η π i c F e c F e f c c cos Re 3 4 Re 3 ( ) { } ( )... cos Re 3 + + + η η η π i c F e c (.11) Za subsiuce c A = a π η =, dojde k převodu rovnice (.11) na výraz : ( ) + + + = i A F e A F e f A A cos Re 3 4 Re 3 / / π π π π π π... cos Re 3 / + + + i A F e A π π π π ( ) + + + = cos Re 3 4 Re 3 / / π π i A F e A F e f A A cos( )... Re 3 / + + + π π i A F e A (.1) Opě je vidě, že liché složky jsou odsraněny, proože 0 cos = π n. Čili všechny složky, keré jsou násobeny 3 4 v rovnici (.11) jsou auomaicky anulovány. Proo výraz (.1) přejde na snadnější zápis se sumou : ( ) ( ) = + + = N n n A A i n A F e A F e f 1 / / Re 1 3 Re 3 π (.13)

.3 Hosonův algorimus Teno algorimus byl vyvořen z kombinace rovnice (1.5) Bromwichova inegrálu v sinusovém varu a obdélníkového pravidla podle japonského vědce jménem Hosono. V algorimu je obsažena imaginární složka, což je způsobeno sinusovým varem Bromwichova inegrálu..3.1 Odvození Hosonova algorimu Obdélníkové pravidlo má var : b a ( f + f + f + f ) f... + ( x) dx = x 0 1 n (.14) Opě dojde k rozdělení funkce f (x) na inervalu <a;b> na podinervaly délky x. Pro jednolivé hodnoy y 0...yn inervalu <a;b> plaí : 1.) y0 = x f 0.) y1 = x f1 3.) y = x f... (.15) Je vidě, že všechny funkční hodnoy inervalu <a;b> jsou vynásobeny pouze hodnoou, kerou byla funkce f(x) rozdělena a o hodnoou x. Dosazením ěcho hodno y 0...yn z obdélníkového pravidla (.14) do rovnice (1.5) v sinusovém varu dosanou jednolivé hodnoy funkce f(x) ( y 0...yn ) var : ( F( c) ) sin( 0 ) 0 ( F( c + i η) ) sin( η) ( F( c + i η) ) sin( η) 1.) y 0 = Im η =.) y1 = Im 3.) y = Im (.16) Je vidě, že sřední hodnoa funkce f(x) y 0 je nulová, je o způsobeno indexem n=0 v sinusu, kerý je obsažen v sadě výrazů (.5) Sečením jednolivých výrazů y 0...yn funkce f(x) dojde ke zkompleování obdélníkového pravidla a Bromwichova inegrálu v sinusovém varu na var : c e f ( ) = η + π { Im[ F( c + i η) sin( η) ] + Im[ F( c + i η) sin( )]...} (.17) π Opě dojde ke subsiuci A = c a η = jako u lichoběžníkového nebo Simpsonova pravidla a ím k převodu rovnice (.6) na zápis : A / N e n A + (n 1) πi f ( ) = ( 1) Im F = (.18) n 1 11

3 TESTOVÁNÍ ALGORITMŮ NA JEDNODUCHÝCH OBRAZECH Tao kapiola se zabývá esováním odvozených algorimů z kapioly na jednoduchých, již známých obrazech z Laplaceova slovníku. Jedná se například o funkce jednokového skoku, lineární funkce nebo jednoduché funkce sinus či kosinus v Laplaceově obrazu. Jednolivé obrazy v Laplaceově varu jsou věšinou algebraické výrazy, proo se s nimi dobře pracuje. Ve všech níže uvedených grafech ( obr. 3 až ) je zeleným grafem originál esované funkce a modře je zvýrazněna inverovaná funkce f(), na keré byl daný algorimus esován. 3.1 Tesování Dubner Abaeho algorimu na funkci jednokového skoku Tao kapiola se zabývá esováním Dubner-Abaeho algorimu na nejzákladnější funkci a o funkci jednokového skoku. Ukazuje, co se děje s inverovanou funkcí f() při změně konsany c v malých či velkých hodnoách nebo změně poču opakování algorimu N. Veškeré obrázky jsou simulovány v programu malab. Program Malab má v sobě již zabudovanou funkci jednokového skoku a ou je funkce heaviside(x). X zde může nabýva jakýchkoliv hodno, funkce oiž pro jakékoliv x vráí vždy hodnou 1. 1

Obr. 3 Tesování Dubner-Abaeho algorimu na funkci jednokového skoku pro c = 0.1 a pro N = 100. 13

Obr. 4 Tesování Dubner Abaeho algorimu na funkci jednokového skoku pro c = 0.5 a N=100. 14

Obr. 5 Tesování Dubner-Abaeho algorimu na funkci jednokového skoku pro c = 1 a N = 100. Obr. 3 až 5 poukazují na esování Dubner-Abaeho algorimu pro změnu konsany c pro hodnoy c = 0,1; 0,5; 1 funkce jednokového skoku. 1 Neboli : F( s) = v Laplaceově obrazu a omu odpovídající Heavisideova funkce ( s jednokový skok ) f ( ) = 1H(). Z obr. 3 je parné, že pro malé c se inverovaná funkce usálí mnohem pomaleji než pro věší c. U obr. 4 je zase vidě vhodně zvolená konsana c = 0.5, kdy se inverovaná funkce se snaží udrže sejnou hodnou jako originál i ve velkých časech. Obr. 5 demonsruje, že při použií příliš velké konsany c dojde k rychlému exponenciálnímu nárůsu a inverovaná funkce začne nabýva enormních hodno a již vůbec nekopíruje originál funkce. Je o způsobeno exponenciální funkcí c e ve vzorci (1.5) pro výpoče inverzní Laplaceovy ransformace pomocí Bromwichova inegrálu ve Fourierově varu. Čím více oiž rose čas, ím rychleji dochází k omuo nárůsu. 15

Pro funkci jednokového skoku je edy nejvýhodnější c < 0.1;0. 4 > v daném časovém rozmezí pro < 0s; 0s > pro konsanní N = 100. Obr. 6: Tesování Dubner-Abaeho algorimu na funkci jednokového skoku při c = 0.5 a N=10. Dojde-li ale k snížení poču opakování (N) v algorimu na nižší hodnou než N = 100 při c = 0.5, dojde k usálení jednokového skoku jenom jen ve velmi malém časovém rozmezí. To ukazuje Obr. 6, kerý demonsruje použií algorimu na funkci jednokového skoku při c = 0.5 a N =10. Při nižším poču opakování N = 10 dojde c k projevu výše zmíněné funkce e mnohem dříve než při věším poču opakování. Zmíněné přiblížení k jednokovému skoku je jen pro časové rozmezí < s; 3s >. 16

Obr. 7 Tesování Dubner Abaeho algorimu na funkci jednokového skoku pro c = 1 Obr. 7 poukazuje na případ, kdy c = 1 a N = 10 4. Čili algorimus se velmi rychle usálí, než pro menší c, pro danou funkci f() na požadovanou hodnou 1. Bohužel velký poče opakování způsobuje věší časovou náročnos PC a o cca 5 sekund. Z výše zmíněných pokusů pro esování Dubner-Abaeho algorimu pro funkci jednokového skoku vyplývá, že malá konsana c sice prodlouží dobu usálení inverované funkce, ale na úkor pomalého usalování. Velká konsana c zase zlepší rychlé usalování pro kraší časy, ale rvání usálené inverované funkce je zase malé. Poče opakování algorimu N je důležiým fakorem, čím je oiž věší, ím déle vydrží usálení inverované funkce. Cílem je edy zvoli vhodně N i c ak, aby inverze byla co nejefekivnější, pro dosažení nejlepší shody s daným originálem v minimálním výpočením čase. Tuo vlasnos algorimu demonsruje Obr. 8. 17

Obr. 8 Tesování Dubner-Abaeho algorimu na funkci jednokového skoku při c = 0,5 a N = 10 4. Obr. 8 ukazuje, že použiím vhodné konsany c a ješě přijaelného poču opakování algorimu N, se inverovaná funkce jednokového skoku usálí v mnohem delším časovém inervalu, než při použií menšího poču opakování algorimu. V uvedeném případu dojde k přiblížení k jednokovému skoku v inervalu < 5s; 8s > s chybou cca. +0,009. Při čase nad = 8s začíná docháze k projevu exponenciální funkce a o již nelze ovlivni. Trvání výpoču a vykreslování grafu rvá asi 10 sec. Je-li zvoleno c = 0,5 a N = 100000, čili o řád vyšší, dojde k usálení algorimu v časovém inervalu < 4,75s; 37s >, bohužel časová náročnos na výpoče již byla minuy. 18

3. Tesování Hosonoho algorimu na funkci jednokového skoku Obr. 9 Tesování Hosonoho algorimu na funkci jednokového skoku pro c = 0,1 a N=10. Obr. 9 ukazuje případ, kdy se Hosonoho algorimus sice snaží přiblíži k originálu funkce f() = 1H(), ale díky malé konsaně c = 0,1 a nízkému poču opakování algorimu N =10 není možné, aby se s dosaečnou rychlosí a přesnosí přiblížil k originálu. 19

Obr. 10 Tesování Hosonoho algorimu na funkci jednokového skoku při c = 0.1 a N=100 Na Obr. 10 je vidě, že při malé konsaně c = 0,1 a zvýšení poču opakování algorimu se inverovaná funkce pomalu usaluje, ale výsledek je mnohem lepší, než demonsruje Obr. 9. V dalším Obr. 11 bude ukázáno, jak se bude chova Hosonoho algorimus při esování jednokového skoku na věší konsaně c = 0,3 při zachování poču opakování algorimu N = 100. 0

Obr. 11 Tesování Hosonoho algorimu na funkci jednokového skoku pro c = 0,3 a N = 100 Obr. 11 ukazuje, že při neparném zvýšení konsany c na hodnou c = 0,3 a zachování poču opakování algorimu N = 100 oproi Obr. 10, dojde k degradaci inverované funkce již při čase = 10s a k uspokojivému přiblížení k originálu v čase = 6 s. To při konsaně c = 0,1 a N =100 nebylo, zde se algorimus snažil přiblíži k originálu mnohem rychleji, zao však nedošlo k udržení inverované funkce f() a její rychlé degradaci. Obr. 1 ukáže, co se sane, když konsana c dosáhne hodnoy c = 1 a poče opakování algorimu N bude opě zachován a o N = 100. 1

Obr. 1 Tesování Hosonoho algorimu na funkci jednokového skoku pro c = 1 a N = 100. Obrázek 1 ukazuje, jak se chová Hosonoho algorimus na funkci jednokového skoku při použií příliš vysoké konsany c = 1. Algorimus se éměř vůbec nepřiblíží k originálu funkce a už vůbec nedojde k usálení. V dalším Obr. 13 bude demonsrováno, jak se nejlépe přiblíži k usálenému savu, aby algorimus serval na hodnoě originálu f() = 1H().

Obr. 13 Tesování Hosonoho algorimu na funkci jednokového skoku při c = 0,35 a N = 10 4 Z Obr. 13, je vidě, že použiím věší konsany dojde k rychlejšímu usalování inverované funkce f() = 1H() a zároveň při použií věšího poču opakování algorimu dojde aké k silnějšímu usálení. Jinými slovy algorimu drží při věším poču opakování mnohem lépe, než při menším poču opakování pro věší časy. V uvedeném případě algorimus se velmi přesně usálil pro časové rozmezí < 8 s; 16s > Závěr esování Hosonoho algorimu na funkci jednokového skoku je jednoduchý. Čím menší je konsana c, ím lépe se algorimus chová pro věší časy a drží inverovanou funkci mnohem déle než při věší konsaně c (řádově deseiny a seiny). Nevýhodou malé konsany je ale velmi dlouhé usalování inverované funkce f() V opačném případě, kdy konsana c je věší (pro c < 0.35; 1 > pro funkci jednokového skoku ), dojde k rychlejšímu přiblížení k originálu funkce f(), ale bohužel algorimus již nedokáže drže svou hodnou f() = 1 na daném originálu a velmi rychle klesá k nízkým hodnoám, obdobně jako omu bylo u degradace při použií Dubner-Abaeho algorimu. 3

3.3 Tesování algorimu založeném na Simpsonově pravidle Jak už bylo zmíněno při odvozování ohoo algorimu, eno algorimus byl odvozen auorem éo práce a není možné předpokláda, jak se bude chova. Obr. 14 Tesování algorimu odvozeného pomocí Simpsonova pravidla pro c = 0.1 a N = 100. Obrázek 14 ukazuje usalování inverované funkce na funkci jednokového skoku. Zpočáku dochází k velmi pomalému usalování inverované funkce f() a až asi po čase = 1s dojde k usálení na nějakou hodnou. Jelikož nelze přepokláda chování algorimu, ak dochází k usálení na hodnou cca f() = 0,67 pro >1s. Je zde poměrně velká chyba od originálu a o cca 0.33. 4

Obr. 15 Tesování algorimu odvozeného pomocí Simpsonova pravidla pro c = 0.5 a N = 100 Obrázek 15 spolu s předešlým Obr. 14 dokazuje, že použií algorimu odvozeného pomocí Simpsonova pravidla na funkci jednokového skoku má sice dobré usalující účinky pro věší N (řádově sovky až isíce), obdobné jako u Hosonoho algorimu, ale inverovaná funkce f() je značně posunuá od originálu. 5

3.4 Tesování Dubner-Abaeho algorimu na lineární funkci Tao kapiola je obdobná jako kapiola 3.1, jen je jako esovací funkce použia 1 lineární funkce, jejíž obraz je F ( s) = a originál funkce je f ( ) = H(). s Obr. 16 Tesování Dubner-Abaeho algorimu na lineární funkci pro c = 0.5 a N = 100. Siuace je éměř sejná jako u kapioly 3.1, kde byl Dubner-Abaeho algorimus esován na funkci jednokového skoku. Pro malé c (řádově deseiny) a dochází opě k pozvolnému usalování pro malé časy. Velké c ( nad 0.5 ) má za následek rychlé usálení inverované funkce, zao však pro věší časy již ao funkce nevydrží bý usálená. Jiné o bude, bude-li esována goniomerická funkce na Dubner-Abaeho algorimu, jak bude ukázáno v kapiole 3.5. 6

3.5 Tesování Dubner-Abaeho algorimu na goniomerické funkci sinus V éo kapiole, jak název napovídá, bude esován Dubner-Abaeho algorimus na funkci sinus. Obraz funkce sinus má v operáorovém varu následující var : a F( s) = a omu odpovídající originál funkce sinus: f ( ) = sin( a). s + a,kde označuje čas, konsana a určuje frekvenci goniomerické funkce a s je paramer Laplaceovy ransformace Obr. 17 Tesování Dubner-Abaeho algorimu na funkci sin(a) pro c = 0.1 a N = 100 V předešlých kapiolách již bylo naznačeno, že konsana c určuje rychlos konvergence k danému originálu a poče opakování algorimu N zlepšuje uo rychlos usalování k danému originálu. V případě Obr. 17, kdy je konsana c zvolena c = 0.1 a N = 100. I když dojde k neměnnosi konsany c a N se bude zvěšova, nedojde k vidielnému zlepšení usalování. 7

Obr. 18 Tesování Dubner-Abaeho algorimu na funkci sin(a) pro c = 0.3 a N=100 a a = 10 Na Obr. 18 je zřeelně vidě, že při neměnnosi poču opakování algorimu N a menšímu zvýšení konsany c na hodnou c = 0,3 dojde k zlepšení usalování inverované funkce a v čase věším jak s se již snaží algorimus kopírova zelený originál funkce, ale ne dosaečně. Řešením pro daný algorimus bude zvoli konsanu c dosaečně velkou. Z výše ověřených pokusů vyplývá, že poče opakování algorimu nemá na inverovanou funkci f() zas ak velký vliv. Sačí zvoli N = 5 a více ( ne však 6 přesahující hodnou N =10, došlo by k věší náročnosi na PC ) a v uvedeném časovém inervalu o bohaě posačí k usálení funkce. Cílem je zvoli správně c, opě ak velké, aby došlo k rychlejšímu usalování, ale ak velké, že ve věším čase dojde k degradaci funkce. 8

Obr. 19 Tesování Dubner-Abaeho algorimu na funkci sin(a) pro c = 0.8 a N = 100 a a = 10 Obrázek 19 ukazuje, že při použií věší konsany c = 0.8, dojde k usálení funkce sin(10) již při 3.periodě éo funkce, což u menší konsany c u Obr. 18 nebylo možné. Bude-li zvolena konsana c věší jak c = 1, dojde k degradaci inverované funkce již při. periodě a inverovaná funkce přesane kopírova originál ve věších časech. Je o c způsobeno opě nárůsem exponenciální funkce e ve vzorci pro výpoče Dubner- Abaeho algorimu. 9

3.6 Tesování Hosonoho algorimu na goniomerické funkci sinus Tao kapiola se zabývá esováním Hosonoho algorimu na funkci f ( ) = sin( a). Jde o sejné esování jako u kapioly 3.5, aby mohlo dojí v kapiole 4 k porovnání všech esovaných algorimů. Obr. 0 Tesování Hosono algorimu na funkci f() = sin(a) pro c = 1 a N = 100 a a = 5. Na Obr. 0 je vidě, že inverovaná funkce má problém pro první periodu, ale s rosoucím časem ( čas nad s ) dojde k splynuí originálu a inverované funkce éměř s nulovou přesnosí. To vše se děje až do doby, kdy se inverovaná funkce začne od originálu oddalova. Je o způsobeno opě exponenciálním členem ypu v Hosonoho i Dubner-Abaeho algorimu ( rovnice (.6) a (.7) ). Při odvozování bylo naznačeno, že konsana A je závislá na čase i konsaně c, jinými slovy A = c. Pro A/ éměr nulové časy, bude člen e malý, ale jelikož je eno člen vydělen časem a en je e A / hodně malý, ve výsledku bude člen hodně velký. Proo má Hosonoho a Dubner Abaeho algorimus dobré účinky až po uplynuí nějaké doby ( cca s pro výše e A / 30

esované funkce ). Pak se algorimus nějakou dobu snaží kopírova originál funkce, ale e A / pak dochází k exponenciálnímu nárůsu členu a již nepomáhá ani vydělení ohoo členu časem, aby došlo k redukci ohoo členu na nižší hodnou a funkce mohla déle kopírova daný originál. Dalším fakem je člen, obsažený v rovnicích (.6 a.7), jehož var je : A + nπi A + (n 1) πi Re F pro Dubner Abaeho algorimus a Im F pro Hosonoho algorimus. Tyo členy nabývají ze začáku velmi nízkých, éměř nulových hodno a s rosoucím časem se zvěšují ( záleží na ypu esované funkce ). To aké přispívá k oddálení inverované funkce od originálu ve věších časech. V případě Hosonoho algorimu nepomáhá ani zvýšení poču opakování algorimu N o několik řádů 6 ( cca N =10 a více ). Teno případ demonsruje Obr. 1, kde byla konsana c zvolena věší ( c = ). Dojde edy k rychlejšímu usalování pro menší časy na úkor rychlejšímu oddálení inverované funkce od originálu ve věších časech. Obr. 1 Tesování Hosonoho algorimu na funkci f() = sin(a) pro c = a N = 100 a a = 5. 31

3.7 Tesování algorimu založeného na Simpsonově pravidle na goniomerické funkci Tao kapiola je věnována oesování ohoo algorimu aké na funkci f ( ) = sin( a), jako omu bylo v kapiolách 3.5 a 3.6. Jelikož docházelo k jisému posunuí od originálu v případě kapioly 3.3, kde se esoval eno algorimus na funkci jednokové skoku, lze předpokláda, že dojde k jisému posunuí i u funkce sinus nebo její deformaci. Obr. Tesování algorimu založeného na Simpsonově pravidle na funkci f() = sin(a) pro c = 1 a N = 100 a a = 4. Obrázek demonsruje chování algorimu založeného na Sipsonově pravidle. Jako u všech algorimů, má problém pro minimální časy, jako omu bylo u Hosonoho algorimu i Dubner-Abaeho. Problém je ovšem v nepřesnosi usalování, uvedená modrá křivka (inverovaná funkce) se sice snaží kopírova originál funkce, ale dochází ke snížení ampliudy éo inverované funkce. Řešením ohoo problému je zvýši ampliudu o nějakou hodnou, inverovaná funkce pak bude kopírova dobře daný originál. Experimenálně pomocí malabovských kurzorů bylo zjišěno, že vynásobením inverováné funkce hodnoou 1.5 dojde k lepšímu přiblížení k originálu. Tao hodnoa je velmi důležiá a můžu v ní bý skrya nepřesnos, kerou algorimus založený na Simpsonově pravidle dělá pro esování éo goniomerické funkce i funkce 3

jednokového skoku. V obou esovaných připadech, dojde-li k vynásobení konečné inverované funkce právě ouo hodnoou, inverovaná funkce se přiblíží ke svému originálu mnohem přesněji. 33

4 TESTOVÁNÍ ALGORITMŮ NA OBRAZECH SDĚLOVACÍHO VEDENÍ Tao kapiola je věnována esování různých obrazů proudu či napěí sdělovacího vedení různých ypů operáorového varu. Bude se jedna o vedení se zanedbaelným svodem i indukčnosí, spojené na jednom konci nakráko pro dva druhy vsupních signálů. Výše uvedené ypy vedení mají vhodné obrazy proudu či napěí pro esování algorimů odvozených v kapiole. 4.1 Vedení se zanedbaelným svodem i indukčnosí, spojené na jednom konci nakráko ( podzemní kabel ). Pro oo vedení plaí podmínka nulové indukčnosi,svodu a impedance zapojené na konec vedení, u lze zapsa jako : G = L = 0 a Z ( s) = 0 (4.1) Napěí vedení ohoo ypu v operáorovém varu má pak var []: sinh( sx RC ) U s = U s (4.) () 0() sinh( sl RC ) Za předpokladu, že na vsup vedení bylo připojeno napěí, rovnající se funkci jednokového skoku, rovnice (4.) pak přejde do varu []: 1 sinh( sx RC ) U() s = (4.3) s sinh( sl RC ),kde s je paramer Laplaceovy ransformace, funkce sinh je označení pro hyperbolický sinus, x je zvolené míso ve vedení, l je délka vedení a konsany R a C označují po řadě odpor a indukčnos vedení. V následujícím odsavci bude odvozen originál funkce obrazu rovnice (4.3) za použií residuovy věy a Bromwichova inegrálu. Za podmínky α = x RC a β = l RC přejde rovnice (4.3) do prvního kroku inverze a o za použií Bromwichova inegrálu []: c+ i s 1 e sinhα s u( ) = ds πi (4.4) s sinh β s c i Z residuovy věy vyplývá, že inverzní Laplaceovu ransformaci zapsanou jako rovnici (4.4) lze vypočía jako souče všech residuí v příslušných pólech vyšeřované funkce. Póly jsou myšlena mísa, kde jmenovael funkce nabývá nulových hodno. Pro yo póly dojde k výpoču příslušných residuí a jejich souču. Výsledný souče residuí je poom inverovaná funkce ( v omo případě hledané napěí u() ). 34

Dále je nuno zjisi, jaké póly ( řadu pólů ) má funkcesinh β s. Součem ěcho residuí je poom řada zapsaná ve varu. To se ěžko zjišťuje, proože funkce sinh je nulová pouze v 0. Proo je nuno použí obor komplexních čísel a ím zjisi nulovos ako položené funkce. V oboru komplexních čísel je funkce sinh β s nulová pro β s = ± jmπ. Souče všech residuí je poom dán výrazem []: s e sinhα s α u () = β + (4.5) m= 1 scosh β s β β s =± jmπ,kde m je celé kladné číslo od 1 do. Výraz cosh β s lze přepsa jako cosh β s = cos mπ = ( 1) m, výraz (4.5) po výpoču všech residuí a zpěnému dosazení podmínek za α = x RC a β = l RC pak přejde do varu []: u( ) = m= 1 ( 1) m mπx sin l mπ e m π l RC + x l (4.6) Teno výpoče je pouze velmi zkrácenou verzí a demonsrací oho, jak složiý výpoče musí obraz funkce varu vedení ohoo ypu podsoupi, aby došlo k jeho inverzi a získání napěí u() v časové oblasi. V následující kapiole bude eno obraz rovnice (4.3) esován na všech řech algorimech. Na rozdíl od kapioly 4.1 je zde k dispozici originál i obraz, proo může dojí k lepšímu porovnání. Pokud je na vsup vedení přiveden harmonický signál, v omo případě u ( ) = cos( ω ) (4.7) 0, přejde obraz napěí na vedení (4.5) v časové oblasi do usáleného varu []: 4 ω lrc x m m x u ( ) cos ( 1) mπ π = ω + sin 4 4 4 l m= 1 ω lrc + mπ l m mπ mπx ωl RC sinω ( 1) sin 4 4 4 m= 1 ω lrc + mπ l (4.8), kde ω je úhlový kmioče ( ω = πf, f je frekvence ), l je délka vedení, m je libovolné celé číslo, osaní veličiny jsou již známe z předchozích kapiol 35

4.1.1 Tesování Dubner-Abaeho algorimu na vedení se zanedbaelným svodem i indukčnosí spojené na jednom konci nakráko ( podzemní kabel ) V éo kapiole bude ukázána inverze pomocí Dubner-Abaeho algorimu na vedení se zanedbaelným svodem i indukčnosí spojené na jednom konci nakráko pro dva případy. První případ bude, pokud na vsup vedení bude připojeno napěí jednokového skoku a v druhém případě, bude-li na vsup vedení připojen harmonický signál u0 ( ) = cosω. 1.) Na vsup vedení připojen jednokový skok : ( rovnice (4.3) a (4.6) ) Obr. 3 Tesování Dubner-Abaeho algorimu na vedení se zanedbaelným svodem i indukčnosí spojené na jednom konci nakráko pro c = 1, N = 100 a m = 10, délka vedení je l = 5m a je zjišěn časový průběh napěí v bodě x = 4.5 m Hodnoy odporu a kapaciy vedení byly zvoleny ako : R = 3 kω a C = 8pF, hodnoy svodu G a indukčnosi L jsou zanedbány. Modrá křivka naznačuje přibližování k funkci jednokového skoku vynásobenou určiým poměrem, kerý udává poměr x/l. Too je křivka inverované funkce (4.3). To, že dochází k prosému násobení funkce jednokového skoku poměrem x/l, bylo zjišěno experimenálními pokusy, kdy při zachování všech osaních hodno, změně hodnoy x a následnému odečení hodnoy pomocí malabovských kurzorů ( pro x = 1,,4.5, 5 ) došlo k zjišění éo skuečnosi. 36

Při hlubším zkoumání originálu funkce napěí rovnice (4.6) na vedení ohoo ypu o lze m e l RC vysvěli ak, že čás rovnice (4.6) nabývá ak malých hodno, že jejím vynásobením osaními členy v sumě rovnice (4.6) pak dojde k éměř úplnému vynulování osaních hodno a zbyde pouze člen x/l. To ale nevadí, proože cílem ohoo experimenu bylo zjisi, jak se bude chova funkce vedení se zanedbaelnou indukčnosí a svodem spojené na jednom konci nakráko při přivedení jednokového skoku na vsup vedení ve zvoleném bodě x vedení délky l na Dubner-Abaeho algorimus. π.) Na vsup vedení je připojen harmonický signál cos(ω): s ( rovnice (4.8 a 4. při U 0 ( s) =, což je obraz kosinu ) s + a Hodnoy paramerů vedení jsou shodné s hodnoami při esování v předchozím případě, kdy byl na vsup vedení přiveden jednokový skok. Obr. 4 Tesování Dubner-Abaeho algorimu na vedení se zanedbaelným svodem i indukčnosí spojené na jednom konci nakráko pro c = 1, N = 100 a m = 10, ω = 4π délka vedení je l = 5m a je zjišěn časový průběh napěí v bodě x = 4.5 m 37

Obrázek 30 ukazuje siuaci éměř sejnou, jako když byl Dubner-Abaeho algorimus esován na funkci goniomerické funkci sinus v kapiole 3.5. Modrá inverovaná křivka má zpočáku pro malé časy problémy s kopírováním originálu, o se dá opě zajisi zvýšením konsany c opě na úkor věších časů, jak popisuje kapiola 3.5. Je zřejmé, že ampliudu kosinu určuje opě poměr x/l, jako omu bylo v předchozím případě. V následujících dvou ukázkách bude ukázáno pouze pro srovnání esování obou předchozích případů na Hosonově algorimu a algorimu založeném na Simpsonově pravidle. 4.1. Tesování Hosonoho algorimu na vedení se zanedbaelným svodem i indukčnosí spojené na jednom konci nakráko ( podzemní kabel ) 1.) Na vsup vedení připojen jednokový skok : Obr. 5 Tesování Hosonoho algorimu na vedení se zanedbaelným svodem i indukčnosí spojené na jednom konci nakráko pro c = 1, N = 100 a m = 10, ω = 4π délka vedení je l = 5m a je zjišěn časový průběh napěí v bodě x = 4.5 m Na Obr. 31 je opě vidě, že Hosonoho algorimus není až ak silná meoda, inverovaná funkce se ani nepřiblíží ke svému originálu a hned dochází k exponenciálnímu nárůsu. Řešením by mohla bý opě jiná volba konsany c a zvýšení poču opakování algorimu N. 38

.) Na vsup vedení je připojen harmonický signál cos(ω) : Obr. 6 Tesování Hosonoho algorimu na vedení se zanedbaelným svodem i indukčnosí spojené na jednom konci nakráko pro c = 1, N = 100 a m = 10, ω = 4π délka vedení je l = 5m a je zjišěn časový průběh napěí v bodě x = 4.5 m Na Obr. 3 je vidě, že Dubner-Abaeho algorimus a Hosonoho mají éměř idenické průběhy jako je ukázáno na Obr. 30. Je o dáno varem algorimů, algorimy jsou si hodně podobné, i když jsou založeny na lichoběžníkovém a obdélníkovém pravidle. Na goniomerické funkci o není až ak zřeelné. 39

4.1.3 Tesování algorimu založeného na Simpsonově pravidle na vedení se zanedbaelným svodem i indukčnosí spojené na jednom konci nakráko ( podzemní kabel ) 1.) Na vsup vedení připojen jednokový skok Obr. 7 Tesování algorimu založeném na Simpsonově pravidle na vedení se zanedbaelným svodem i indukčnosí spojené na jednom konci nakráko pro c = 1, N = 100 a m = 10, ω = 4π délka vedení je l = 5m a je zjišěn časový průběh napěí v bodě x = 4.5 m Na Obr. 33 je vidě nedosaek algorimu založeném na Simpsonově pravidle. Algorimus oiž posouvá ampliudu inverované funkce od originálu v poměru 1.5/1. Čili dojde li k vynásobení inverované funkce hodnoou 1.5, algorimus založený na Simpsonově pravidle bude již ukazova správnou hodnou inverované funkce v porovnání s jejím originálem. 40

.) Na vsup vedení je připojen harmonický signál cos(ω) Obr. 8 Tesování algorimu založeném na Simpsonově pravidle na vedení se zanedbaelným svodem i indukčnosí spojené na jednom konci nakráko pro c = 1, N = 100 a m = 10, ω = 4π délka vedení je l = 5m a je zjišěn časový průběh napěí v bodě x = 4.5 m Na Obr. 34 je vidě, že algorimus založený na Simpsonově pravidle opě lumí ampliudu inverované funkce. Zpočáku se algorimus snaží přiblíži k originálu a kdyby byl esován pro věší časy, hodnoa ampliudy inverované funkce by se usálila na hodnoě menší než je ampliuda originálu. Siuace je sejná jako v kapiole 3.7. 41

5 ZÁVĚR Začáek práce je sousředěn na popsání základů Laplaceovy ransformace a její možnosi výpoču. Jedná se o výpoče Bromwichova inegrálu pomocí residuí, výpoče pomocí Laplaceova slovníku a nakonec Heavisideovy vzorce. Další čás práce je podrobněji zaměřena na odvození jednolivých 3 hlavních algorimů využívajícího numerický výpoče Laplaceovy ransformace. Jedná se o algorimy: Dubner-Abaeho algorimus, Hosonův algorimus a algorimus založený na Simpsonově pravidle. Algorimus založený na Simpsonově pravidle vykazoval velký nedosaek oproi Hosoho algorimu nebo Dubner-Abaeho a o, že lumil ampliudu inverované funkce. I po několikanásobné konrole odvozování ohoo algorimu nedošlo k nalezení chyby. Může o bý způsobení ím, že Simpsonovo pravidlo není vhodné pro numerický výpoče inverzní Laplaceovy ransformace. Po prosudování jednolivých numerických algorimů byly provedeny někeré simulace v prosředí Malab. Nejprve byly esovány algorimy na jednoduchých obrazech, jako je jednokový skok nebo lineární funkce. Poom došlo k oesování výše zmíněných algorimů na goniomerické funkci. V poslední řadě byl předsaven obraz sdělovacího vedení, jedná se o vedení se zanedbaelným svodem a indukčnosí spojené na jednom konci nakráko. Na jeho obrazu byly oesovány výše zmíněné algorimy v prosředí Malab. Z uvedených oesovaných obrazů lze usoudi, že všechny esované algorimy se hodí k inverování obrazů, keré nejsou náročné na esování pro velké časy. Všechny esované algorimy jsou náchylné na změnu konsany c. Její volba je hodně důležiá. Vliv konsany c je popsán v předešlých kapiolách. Nejlepší z uvedených algorimů po provedených esech je Dubner-Abaeho, proože inverovaná funkce dokáže kopírova originál mnohem déle než osaní dva algorimy. Hosonův algorimus není až ak silný jako Dubner-Abaeho. 4

LITERATURA [1] Dubner, H., and J.Abae, 1968: Numerical inversion of Laplace ransforms by relaing hem o he finie Fourier cosine ransform. J. ACM, 15, p. 115-13. [] André Ango : Užiá maemaika pro elekroechnické inženýry. SNTL 197 Praha, p.574-585 [3] DUFFY, D. G. Transform mehods for solving parial differenial equaions, /E. Chapman & Hall/CRC, 004, p. 37-375, p. 65 [4] The Laplace ransform: Theory and Aplicaion, Joel L. Schiff, Springer, p. [5] MELKES, F. Maemaika. Elekronické skripum. Brno: FEKT VUT v Brně, 005. [6] Přehled užié maemaiky, Karel Rekorys, 000. [7] Sedláček, J., Juraj Valsa Elekroechnika II Elekroechniské skripum. Brno: FEKT VUT v Brně [8] Sofwareová echnologie a managemen, Laplaceova ransformace dosupné na hp://moodle.dce.fel.cvu.cz/mod/resource/view.php?id=90&redirec... 43

SEZNAM SYMBOLŮ, VELIČIN A ZKRATEK Z(s) Obraz impedance vedení ω Úhlový kmioče Čas R Odpor vedení C Kapacia vedení G Vodivos vedení (svod) L Indukčnos vedení U ( ) Vsupní napěí na vedení 0 s 44