Mendelova univerzita v Brně MATEMATIKA. příklady pro přijímací zkoušky na LDF

Mendelova univerzita v Brně MATEMATIKA příklady pro přijímací zkoušky na LDF Brno 2017

Obsah 3 Obsah Úvod 4 Požadavky k přijímací zkoušce z matematiky 4 Ukázkový test 5 Příklady k procvičení 10 1. Algebraické výrazy 10 2. Mocniny, odmocniny a další výrazy 12 3. Funkce 13 4. Grafy elementárních funkcí 24 5. Rovnice 25 6. Nerovnice 26 7. Exponenciální a logaritmické rovnice 27 8. Slovní úlohy 28 9. Planimetrie a stereometrie 30 10.Úlohy na prostorovovou představivost 37

4 Požadavky Úvod Tato sbírka příkladů je určena pro uchazeče o studium těch studijních oborů na Lesnické a dřevařské fakultě Mendelovy univerzity v Brně, kde součástí přijímacích zkoušek je zkouška z matematiky. Sbírka je rozdělena do tří částí a obsahuje 10 řešených a 320 neřešených příkladů. V první části jsou uvedeny obecné požadavky k přijímací zkoušce. Druhou část tvoří ukázka zadání a její řešení, ve třetí části jsou uvedeny příklady na procvičení. Sbírku společně zpracovali učitelé Ústavu matematiky Lesnické a dřevařské fakulty. Požadavky k přijímací zkoušce z matematiky Předpokladem pro studium na Lesnické a dřevařské fakultě je znalost matematiky v rozsahu učiva středních škol. Přijímací zkouška z matematiky je přitom zaměřena zejména na tyto tematické celky: Algebra reálných čísel čísla přirozená, celá, racionální a iracionální. Absolutní hodnota reálného čísla a její geometrický význam. Mocniny a odmocniny reálných čísel. Výrazy s faktoriály a kombinačními čísly. Logaritmy a jejich vlastnosti. Algebraické výrazy a jejich úprava. Funkce definice, graf a vlastnosti funkce lineární, kvadratické, mocninné, exponenciální, logaritmické, nepřímé úměrnosti, s absolutní hodnotou a funkcí goniometrických v základním i posunutém tvaru. Trigonometrie hodnoty goniometrických funkcí. Vztahy mezi goniometrickými funkcemi. Úprava goniometrických výrazů. Sinová a kosinová věta. Použití goniometrických funkcí při řešení trojúhelníka. Rovnice lineární rovnice s jednou neznámou. Soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých. Kvadratické rovnice. Rovnice iracionální, exponenciální a logaritmické. Nerovnice soustavy lineárních nerovnic s jednou neznámou. Kvadratická nerovnice. Nerovnice s neznámou ve jmenovateli, užití nerovnic při určení definičního oboru funkce. Početní planimetrie a stereometrie výpočet určujících prvků základních rovinných útvarů a základních těles (např. poloměru kružnice, tělesové úhlopříčky krychle, atd.). Výpočet obsahů a obvodů rovinných útvarů. Výpočet objemů a povrchů těles. Posloupnosti a řady slovní úlohy řešitelné vztahy pro aritmetickou posloupnost a geometrickou posloupnost. (Také úlohy na procenta a poměr). Prostorová (geometrická) představivost útvary v rovině i tělesa v prostoru. Přijímací zkouška je písemná, uchazeč při ní řeší 10 příkladů. Jednotlivé úlohy jsou uzavřené. Ke každé z nich je nabízeno 5 výsledků, z nichž právě jeden je správný. Za nesprávnou odpověď mohou být body odečteny. Při zkoušce není povoleno používat žádné učebnice, sbírky, encyklopedie, notebooky a přehledy vzorců, je možné použít kalkulačku.

Ukázkový test 5 Ukázkový test Zadání ukázkového testu 1. Zjednodušte pro přípustné hodnoty proměnných ( ) 2 x 1 + 1 ( 1 2 x + 1 ). x a) 1 b) c) x+1 x 1 x 2. Zjednodušte pro přípustné hodnoty proměnných ab bc. c a d) x 1 x+1 e) x+1 x 1 a) abc b) b 2 4 ac c) b 2 ac d) b ac e) b 4 ac 3. K danému grafu vyberte správný funkční předpis 5 4 3 2 1-7 -6-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5 6 7-1 -2-3 -4-5 a) y = 3 x b) 2 + log x c) 2 + x d) 2 log x e) 3 + log x 4. Z následujících funkcí vyberte pouze ty, které nabývají na intervalu (0, ) kladných i záporných hodnot: ln x, e x, cos x, x + 2, x 2. a) x + 2, x 2 b) cos x, x 2 c) ln x, cos x d) ln x, e x e) cos x, x + 2 5. Vyřešte v oboru R rovnici 8x + 1 = 1 2x. Z nabízených možností vyberte interval nejmenší délky, který obsahuje všechna řešení této rovnice. a) ( 1, 6) b) (2, 7) c) nemá řešení d) ( 3, 2) e) ( 3, 4) 6. Určete, pro která m R má kvadratická rovnice dva reálné různé kořeny. x 2 + (2 2m)x + 3 + m 2 = 0 a) m (, 1) b) m ( 1, ) c) m ( 1, 1) d) m (, 1) e) m R

6 Ukázkový test 7. V oboru R řešte rovnici ln(2 x) + ln(2 + x) = 1 + ln(4 e). a) x 1,2 = ± e b) x 1 = 2 e, x 2 = e 2 c) x = e d) x ( 2, 0 e) nemá řešení. 8. Množství dřeva určeného k těžbě v dané oblasti je odhadnuto na 470 000 m 3 a jeho roční přírůstek na 3 %. Kolik krychlových metrů dřeva bude v této oblasti za 7 let, pokud nenastanou žádné nečekané události? a) 558 041 m 3 b) 578 041 m 3 c) 598 041 m 3 d) 618 041 m 3 e) 638 041 m 3 9. Kvádr ABCDEF GH, jehož podstavou je čtverec ABCD, má objem 128 cm 3. Tělesová úhlopříčka svírá s rovinou podstavy úhel α = 45. Vypočtěte povrch kvádru. a) 24 cm 2 b) 24 3 2 cm 2 c) 8 cm 2 d) 8(1 + 2 2) cm 2 e) 152,4 cm 2 10. Na skupinu tří stejných kvádrů se díváme v daném směru. Určete, jak z daného směru objekt vidíme.

Ukázkový test 7 Řešení ukázkového testu 1. Zjednodušte pro přípustné hodnoty proměnných ( ) 2 x 1 + 1 ( 1 2 x + 1 ). Řešení: Postupně upravujeme ( ) ( 2 x 1 + 1 1 2 ) x + 1 = 2 + x 1 x 1 x + 1 2 x + 1 = x + 1 x 1 x 1 x + 1 = 1. Správná odpověď je a). 2. Zjednodušte pro přípustné hodnoty proměnných ab bc. c a Řešení: Odmocniny převedeme na racionální mocniny a upravíme podle pravidel pro počítání s mocninami ab bc = a 1 2 b 1 2 c a c 1 4 Správná odpověď je e). b 1 2 c 1 2 a 1 4 3. K danému grafu vyberte správný funkční předpis = a 1 2 1 4 b 1 2 + 1 2 c 1 2 1 4 = a 1 4 b c 1 4 = b 4 ac. 5 4 3 2 1-7 -6-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5 6 7-1 -2-3 -4-5 Řešení: Jelikož funkce na obrázku je definovaná v nule, nemůže se jednat o funkci log x. Základní funkcí je tak y = x. Vzhledem ke tvaru a posunutí daného grafu se jedná o graf funkce y = 3 x. Správná odpověď je tedy a).

8 Ukázkový test 4. Z následujících funkcí vyberte pouze ty, které nabývají na intervalu (0, ) kladných i záporných hodnot: ln x, e x, cos x, x + 2, x 2. Řešení: Z uvedených funkcí nabývaji na intervalu (0, ) kladných i záporných hodnot pouze funkce ln x a cos x. Funkce e x, x + 2 a x 2 jsou na celém intervalu (0, ) kladné. Správná odpověď je tedy c). 5. Vyřešte v oboru R rovnici 8x + 1 = 1 2x. Řešení: Po umocnění rovnice dostaneme 8x + 1 = 1 4x + 4x 2 4x 2 12x = 0. Nemá-li kvadratická rovnice absolutní člen, vytýkáním upravíme na součin. Ten je roven nule, pokud alespoň jeden z činitelů je roven nule. Tedy 4x(x 3) = 0 4x = 0 x 3 = 0 a odtud x 1 = 0 x 2 = 3. Provedeme zkoušku L 1 = 0 + 1 = 1, P 1 = 1 0 = 1, L 1 = P 1, L 2 = 24 + 1 = 5, P 2 = 1 6 = 5, L 2 P 2. Řešením rovnice je pouze x = 0. Číslo x = 0 obsahují intervaly v odpovědích a), d) a e). První a poslední mají délku 7, interval ( 3, 2) má délku 5. Správná odpověď je tedy d). 6. Určete, pro která m R má kvadratická rovnice dva reálné různé kořeny. x 2 + (2 2m)x + 3 + m 2 = 0 Řešení: Kvadratická rovnice má dva reálné různé kořeny, pokud diskriminant rovnice D = b 2 4ac je větší než nula. V našem případě je a = 1, b = 2 2m a c = 3 + m 2, tedy Správná odpověď je a). 7. V oboru R řešte rovnici (2 2m) 2 4 1 (3 + m 2 ) > 0 4 8m + 4m 2 12 4m 2 > 0 8m 8 > 0 8m < 8 m < 1. ln(2 x) + ln(2 + x) = 1 + ln(4 e).

Ukázkový test 9 Řešení: Použijeme pravidla pro počítání s logaritmy, odlogaritmujeme a upravíme ln [(2 x) (2 + x)] = ln e + ln(4 e) ln [(2 x) (2 + x)] = ln(4e e 2 ) 4 x 2 = 4e e 2 x 2 = 4 4e + e 2 x 2 = (2 e) 2 x 1,2 = ±(2 e) Určíme ještě podmínky 2 x > 0... x < 2 2 + x > 0... x > 2 } x ( 2; 2) Obě řešení patří do daného intervalu, správná odpověď je b). 8. Množství dřeva určeného k těžbě v dané oblasti je odhadnuto na 470 000 m 3 a jeho roční přírůstek na 3 %. Kolik krychlových metrů dřeva bude v této oblasti za 7 let, pokud nenastanou žádné nečekané události? Řešení: Jedná se o příklad na využití geometrické posloupnosti, kdy máme určit osmý člen ze znalosti prvního členu a 1 = 470 000 a kvocientu q = 1,03. Použijeme proto vzorec a 8 = a 1 q 7 = 470 000 1,03 7 = 578 041. Můžeme použít i logické úvahy a počítat postupně Správná odpověď je b). 470 000 1,03 = 484 100 484 100 1,03 = 498 623 561 204,6 1,03 = 578 041 9. Kvádr ABCDEF GH, jehož podstavou je čtverec ABCD, má objem 128 cm 3. Tělesová úhlopříčka svírá s rovinou podstavy úhel 45. Vypočtěte povrch kvádru. Řešení: Abychom mohli povrch určit, potřebujeme znát rozměry podstavy a výšku hranolu. Jelikož AB = BC = a, dostaneme užitím Pythagorovy věty AC = a 2. Z pravoúhlého trojúhelníku ACE tg 45 = v a 2 = 1 = Ze vzorce pro objem kvádru dostaneme. v a 2 = v = a 2. V = a 3 2 = 128 = a 3 = 128 2 = 64 = 8 = a = 2. Pro povrch kvádru pak platí P = 2 a 2 + 4 a v = 2 4 + 4 2 2 2 = 8 + 16 2 = 8(1 + 2 2) cm 2. Správná odpověď je d). 10. Správná odpověď je a).

10 Algebraické výrazy Příklady k procvičení 1. Algebraické výrazy Zjednodušte pro přípustné hodnoty proměnných: ( 1. x+2 + ) ( 6 2x 2x 2 2x 4x 2. 12 3 a 2 4 2 a) : (a + 6) 3. 5. 7. 9. ( m + ) ( 9 3 m m 2 3m : (m + 3) 4. r+8 r ( 3 s+6 + s2 36 s 2 ) ( 1 + 1) (4 ) 1 x 3 x 2 x y 6x+6y + 64 r r 2 8r) (r + 1) 2 (6 s) 6. (1 ) 1 9 r r+9 8. x 2 16 2x 4 10x 3 20 5x x+y 4(x 2 y 2 ) 10. uv+v 2 5u 2 5uv 5u 8u+8v 11. a+b a b 5 5a+5b 12. a 2 b 2 a b 64 x 2 1 8 x : (x + 8) 13. m 3 + 27 m m 9 : 3 m 14. 32 m m 4 + 4 m : 8 m 15. 1 1 : a3 a 10 a 2 a 10 16. Ze vzorce pro povrch kvádru vyjádřete neznámou a. S = 2 (ab + ac + bc) 17. Ze vzorce pro obsah lichoběžníku vyjádřete neznámou a. 18. Odhad pro objem stromu je dán vztahem S = a + c 2 v V = b 0 + b 1 D 2 H, kde V je objem, D průměr v úrovni prsou, H užitková délka a b 0, b 1 empirické koeficienty. Vyjádřete D jako funkci ostatních parametrů. 19. Mezi nejslavnější rovnice všech dob patří rovnice E = mc 2 popsaná Albertem Einsteinem v rámci jeho teorie speciální relativity. Popisuje vztah mezi energií E, hmotností tělesa m a rychlostí světla ve vakuu c. Jedním z důsledků jeho teorie je, že hmotnost tělesa pohybujícího se rychlostí v je dána vztahem m 0 m =. 1 v2 c 2 Vyjádřete z tohoto vzorce rychlost v. 20. Dosaďte a = x + 3, b = x 1 do výrazu a a + b 1 a následně zjednodušte pro přípustné hodnoty proměnných.

Algebraické výrazy 11 21. Dosaďte r = 2s + 1 do výrazu 4 r s 1 s r a následně zjednodušte pro přípustné hodnoty proměnných. 22. Dosaďte x = 3a + 2, y = a + 2 do výrazu 2 x + y (x2 y 2 ) a následně zjednodušte pro přípustné hodnoty proměnných. 23. Dosaďte a = x + 5 do výrazu 1 a + 3 a 2 3 a následně zjednodušte pro přípustné hodnoty proměnných. 24. Dosaďte a = b + 3 do výrazu a 2 + 2ab + b 2 5 a následně zjednodušte pro přípustné hodnoty proměnných. Proveďte dělení: 25. (x 3 + 2x 2 5x + 1) : (x + 3) 26. (2x 4 5x 3 + 16x 2 3x + 2) : (x 2 1) 27. (x 3 + 9x 2 + 12x 16) : (x + 3) 28. (x 3 + 12x 2 13x + 2) : (x 1) 29. (x 4 + 10x + 3) : (x 2 + 1) 30. (x 3 x 2 + 16x 12) : (x 2 + 2)

12 Mocniny, odmocniny a další výrazy 2. Mocniny, odmocniny a další výrazy Zjednodušte pro přípustné hodnoty proměnných: ( ) 3 ( ( 3a 1. 2 b : b 2 2a) 2. 3. a 2 b 3 : ( 3a b 9 ) 2 4. 5. 7. ( a 5 b 4 c 3 ) 3 : ( a 2 b 3 c 4 ) 2 6. ( a 4 b 3 ) 3 (a 3 b 4 ) 3 8. x 2 y t 2 z ) 1 ( : xy ) 2 zt ( a 3 b c 1 ) 3 ( ) 2 ( x 2 y 2z 3 ( ( ab ) 7 ( c b ) 6 2 a ) 3 c 2 a 1 b 5 ) 3 x 3 z 2 y 9. [ ( a a 2 a 0 3 a ) 2 ] 1 5 10. ( ) 6 (a b 2 3 ) 1 2 a b 2 3 11. 13. 15. 17. (x 2 3 z) 1 3 (x 1 y 2 z) 2 3 a 3 b 3 a b 12. 14. n 3 m 2 : 3 16. n m ( ) ( 2 1 x+1 1 + ) x x 1 a (a a) 1 2 x3 y y 3 x a b b c : c a a+ 18. b a a b b a+ b 19. 1 4+4 m + 1 4 4 m 1 2+2m 20. a+1 a + 1 a a 21. n n 2 1 (n+1)! (n 2)! 22. 4 n 2 (n+2)! + n (n+1)! 23. 2 (n 1)! 2n2 +n (n+1)! 24. n! (n 1)! + (n+1)! n (n 1)! sin x 25. + sin x 26. cotg x + sin x 1+cos x 1 cos x 1+cos x a a+1 27. (sin x + cos x) 2 (sin x cos x) 2 28. (sin x cos x) 2 + 2 sin x cos x tg x cotg x 29. cotg 2 x+1 1+tg 2 x 30. tg 2 x 1 cos 2 x + 2

Funkce 13 3. Funkce 1. Na obrázku níže je graf funkce f(x). Najděte celá čísla, která jsou nejblíže řešení rovnice f(x) = 2. 2. Na obrázku níže je graf funkce f(x). Najděte celá čísla, která jsou nejblíže řešení rovnice f(x) = 3.

14 Funkce 3. Na obrázku níže je graf funkce f(x). Určete, která z následujících rovnic má nejvíce řešení: f(x) = 4, f(x) = 3, f(x) = 1, f(x) = 3, f(x) = 4. 4. Na obrázku níže je graf funkce f(x). Určete, která z následujících rovnic má nejvíce kladných řešení: f(x) = 3, f(x) = 1, f(x) = 0, f(x) = 1, f(x) = 2.

Funkce 15 5. Na obrázku níže je graf funkce f(x). Určete, která z následujících rovnic má právě dvě kladná řešení: f(x) = 3, f(x) = 2, f(x) = 0, f(x) = 2, f(x) = 3. 6. Na obrázku níže je graf funkce f(x). Určete, které z následujících rovnic mají právě dvě řešení: f(x) = 3, f(x) = 2, f(x) = 0, f(x) = 1, f(x) = 2.

16 Funkce 7. Na obrázku níže je graf funkce f(x). Najděte celá čísla, která jsou nejblíže řešení rovnice f(x) = 1 na intervalu (0, ). 8. Na obrázku níže je graf funkce f(x). Najděte celá čísla, která jsou nejblíže řešení rovnice f(x) = 1 na intervalu (0, 5).

Funkce 17 9. Na obrázku níže je graf funkce f(x). Určete, které z následujících intervalů jsou podmnožinou řešení nerovnice f(x) > 1: ( 5, 2), ( 6, 1), (1, 5), (3, 6), (1, ). 10. Na obrázku níže je graf funkce f(x). Určete, které z následujících intervalů jsou podmnožinou řešení nerovnice f(x) > 0: ( 6, 7), ( 5, 1), (4, 6), (0, ), (0, 4).

18 Funkce 11. Na obrázku níže je graf funkce f(x). Určete, pro které z následujících bodů nabývá funkce hodnot z intervalu (0, 2): x = 5, x = 1, x = 0, x = 1, x = 2. 12. Na obrázku níže je graf funkce f(x). Určete, pro které z následujících bodů nabývá funkce hodnot z intervalu ( 2, 2): x = 6, x = 3, x = 0, x = 3, x = 5.

Funkce 19 13. Na obrázku níže je graf funkce f(x). Určete, který z následujících bodů není řešením nerovnice f(x) < 1: x = 4, x = 1, x = 0, x = 2, x = 4. 14. Na obrázku níže je graf funkce f(x). Určete, který z následujících bodů není řešením nerovnice f(x) > 1: x = 4, x = 2, x = 0, x = 3, x = 5.

20 Funkce 15. Na obrázku níže jsou grafy funkcí f(x) a g(x). Najděte celá čísla, která jsou nejblíže řešení rovnice f(x) = g(x). 16. Na obrázku níže jsou grafy funkcí f(x) a g(x). Najděte celá čísla, která jsou nejblíže řešení rovnice f(x) = g(x).

Funkce 21 17. Na obrázku níže je červenou barvou nakreslen graf funkce f(x) a modrou barvou graf funkce g(x). Určete, které z následujících bodů jsou řešením nerovnice f(x) > g(x): x = 4, x = 1, x = 1, x = 4, x = 6. 18. Na obrázku níže je červenou barvou nakreslen graf funkce f(x) a modrou barvou graf funkce g(x). Určete, které z následujících bodů jsou řešením nerovnice f(x) < g(x): x = 5, x = 3, x = 0, x = 2, x = 4.

22 Funkce 19. Určete rovnici přímky z obrázku: 20. Určete rovnici přímky z obrázku: 21. Z následujících funkcí vyberte tu, která nabývá na intervalu (2017, 2020) největší funkční hodnoty: sin x, e x 1, x + 2, x, 1 x. 22. Z následujících funkcí vyberte tu, která nabývá na intervalu (1000, 1002) největší funkční hodnoty: x 8 10, x 6 + 200, x 7 + x, x 3 + 1, sin x.

Funkce 23 23. Z následujících nerovnic vyberte tu, která není splněna na intervalu (100, ): e x > x 2 + 1, x 2 > x + 2, sin x > 1 x, x2 > 1, ln x > 1. x 24. Z následujících nerovnic vyberte pouze ty, které platí na celém intervalu (20, ): x 2 > x + 2, sin x < cos x, cos x < sin x, 3 x > x, ln x < 0. 25. Z následujících funkcí vyberte pouze ty, které nabývají na intervalu (10, 50) pouze kladných hodnot: x 2 1, sin x, cos x, 1 e x, x 3. 26. Z následujících funkcí vyberte pouze ty, které nabývají na intervalu (50, ) pouze kladných hodnot: x 2 + 2, x 3 100, sin x, tg x, 2 3x. 27. Z následujících funkcí vyberte pouze ty, které nabývají na celém svém definičním oboru pouze kladných hodnot: x 2 + 1, x + 2, e x, cos x, x 3 + 1. 28. Z následujících funkcí vyberte pouze ty, které nabývají na intervalu (0, ) kladných i záporných hodnot: ln x, e x, sin x, x 2 + 5, x 3. 29. Z následujících funkcí vyberte pouze ty, které nabývají pro všechna reálná čísla pouze kladných hodnot: e x, cos x + 8, x 2 5, x 3, sin x. 30. Z následujících funkcí vyberte pouze ty, jejichž graf nemá v oboru reálných čísel žádný průsečík s osou x: 2 x, sin x, x 2 + 1, x 3, x 2.

24 Grafy elementárních funkcí 4. Grafy elementárních funkcí Nakreslete graf funkce. 1. y = (x 1) 2 2. y = x 2 1 3. y = (x + 1) 2 4. y = (x 3) 2 5. y = x 3 2 6. y = (x 1) 3 7. y = (x + 1) 3 8. y = 1 x 1 9. y = 1 10. y = 1 1 x+1 x 11. y = 1 12. y = log(x 2) x 13. y = 2 + log x 14. y = log x + 1 15. y = 2 x 2 16. y = ( 1 2) x 3 17. y = 3 2 x 18. y = 3 x 2 19. y = x 3 20. y = x 1 21. y = x + 2 22. y = x + 1 23. y = sin x 2 24. y = 1 sin x 25. y = 2 sin x 2 26. y = sin x 27. y = 2 cos x 28. y = 2 cos x 29. y = cotg x 30. y = 1 + tg x

Rovnice 25 5. Rovnice V oboru R řešte rovnici. 1. (x 5) 2 + (x + 3) 2 = 34 2. (x + 4) 2 + x(2x 8) = 0 3. 3x+8 x+1 = x 4. 3x = 4x+1 x+2 5. (2x 1)(x 4) 1 2x = 0 6. x 2 4 2x 4 = 0 7. 2x 2 +7x 4 x+4 = 0 8. 2x 2 9x+4 x+3 = 0 9. 3 + x 2 3 = x 10. 8 2x = x 11. x2 + 6 5x = 0 12. x + x + 1 = 5 13. x + 5 = x + 1 14. 2 x 2 = x 5 15. Určete, pro která a R, a 0 má kvadratická rovnice ax 2 + (2a + 1)x + a = 0 dvojnásobný reálný kořen. 16. Určete, pro která a R, a 0 má kvadratická rovnice 2ax 2 + 2x 3a 2 = 0 dvojnásobný reálný kořen. V oboru R 2 řešte soustavu rovnic. x 3 y 2 = 0 17. 2 3 x + 1 y + 2 = 1 3 2 18. 2y = 1 3 x + 2 y 2 + x 6 = 1 19. (x + 4)(y 2) = xy (x 1)(y + 1) = xy 20. 2(x y) 3(x + y) = 1 3(3x y) 8(x y) = 1 21. x + y + y 5 5 = 2 2x y 3x 3 4 = 1 2 22. x + 2 3 + y 1 5 = 2 x + 3y 5 = 4 23. 2(x y) = 3(1 x) y x 0,2y = 0,6 24. 2x + 7y + 1 = 4(x + y) 5x 4y + 1 = 2(x y) Určete průsečíky křivek. 25. y = 3x + 5 a 2x + y = 50 26. 3x 2y = 4 a 3y = 5 x 27. x + y = 1 a 4x = 12 + 4y 28. y = 2x 2 + 1 a y = 5x 1 29. y = 3 x 2 a y = 2x + 4 30. y = x 2 4x a y = x 4

26 Nerovnice 6. Nerovnice Řešte v oboru R soustavu nerovnic. 1. 3. 6x 2 12x + 13 x + 2 < 8 2 3 x + 1 2. 2x 3 (x 2) 1 > 1 3 (2x2 + 5) 6x + 12 > 2,4 5 4. 2(x 1) + x < 3(2 x) 3 x + 1 3 2x 2 (x + 1) 2 + 7 > x 2 + 4 3x 2 + 2x 1 x 2 4 5. 2(x 0,4) < 3,5x + 1,7 x + 3 0,5 x 5 4 Určete, pro která x R platí daná nerovnost. 6. 3x (2x + 1) 2 x(5 4x) 3 + 2x > 1 + 3x 3 4 7. 2x 2 + 3x 2 0 8. 9x 2 12x + 4 < 0 9. x 2 + 3x 3 0 10. 3x 2 + 2x + 5 > 0 11. 2x 2 + x 6 0 12. 5x 2 3x 2 > 0 13. 16x 2 + 8x 1 0 Řešte v oboru R nerovnici. 14. 6 x+3 1 15. 10 x+3 > 1 16. 2x x 2 2 17. 2x+5 x 1 1 18. 3x 4 1+3x < 1 19. 3x 1 2x 1 Určete v oboru R definiční obor funkce. 20. y = x x+2 21. y = x2 1 x + log(x + 2) 22. y = log x+1 6 x 23. y = log(2 x) + 2x + 4 24. y = x(x 4) 25. y = log[(x 2)(x 4)] 26. Určete, pro která m R má kvadratická rovnice x 2 +2(m+4)x+m 2 +6m = 0 dva reálné různé kořeny. 27. Určete, pro která m R, m 1 nemá kvadratická rovnice (m 1)x 2 2mx + m 2 = 0 reálné kořeny. 28. Určete, pro která m R, m 0 nemá kvadratická rovnice mx 2 2(2m + 1)x + 2m = 0 reálné kořeny. 29. Určete, pro která m R, m 5 nemá kvadratická rovnice (m+5)x 2 2mx+(m 1) = 0 reálné kořeny. 30. Určete, pro která m R, m 0 má kvadratická rovnice mx 2 2 3mx + 3m + 2 = 0 dva reálné různé kořeny.

Exponenciální a logaritmické rovnice 27 7. Exponenciální a logaritmické rovnice V oboru R řešte rovnici. 81 1. = ( 2 x ( 16 3) 9 ) x 1 2. 0,25 ( 1 x 4 8) = 16 3. ( 27 x ( 125) 5 ) x 1 3 = 9 4. 0,01 x2 3 = 10 000 25 5. 3 2 x2 +1 = 96 6. 5 8 x2 = 80 2 x2 7. 4 x+2 + 2 4 x+1 + 4 x = 100 8. 5 x+1 2 5 x 5 x 1 = 70 9. 2 x + 2 x 1 2 x 2 = 80 10. 2 x 7 x+2 = 4 x+1 11. 3 15 x = 5 2x+1 14 12. x = ( ) 7 2x+1 4 x 2 13. 2 x+3 2 x+2 3 x+2 = 0 14. 5 x + 5 x 1 6 x = 0 15. 7 x 7 x 2 6 2 x+1 = 0 V oboru R řešte rovnici. 16. log(3x 1) log 5 = 1 17. log(x 2) + log(x + 2) = 2 log(4 x) 18. 2 ln(2 x) ln(2 + x 2 ) = 0 19. log 50 + log(x + 1) log(x 1) = 2 20. log x + log x 2 + log x 3 log x 4 = 1 21. log x 4 log x 3 + log x 2 log x = 4 22. log x 2 log x + log 1 x = 1 23. log x + log x log 1 x = 2 24. log 2 x + 2 log x = 0 25. 2 log 2 x log x = 0 26. 2 ln 2 x + ln x = 0 27. ln x ln x+1 = 2 28. 30. 3 log x = 4 29. log(x 2 +7) = 2 2+log x log(x+1) log(x+9) 1+log x = 1

28 Slovní úlohy 8. Slovní úlohy Posloupnosti 1. První pracovní den v měsíci začali lesní dělníci s nahodilou lesní těžbou. Díky zlepšujícím se podmínkám vytěžili každý následující den o 3 m 3 více dřeva než den předchozí. Kolik dřeva vytěžili za celý měsíc (22 pracovních dní), když první den vytěžili 20 m 3? 2. V roce 2017 bylo v lese celkem 220 kusů spárkaté zvěře. Kolik kusů zvěře bude žít v lese v roce 2025, je-li roční přírůstek zvěře 3 %? 3. Harvestor byl pořízen za 1 100 000 Kč. Každý rok se odepisuje (tj. účetně se snižuje jeho cena) 10 % z jeho ceny. Jaká bude jeho hodnota po 7 letech? 4. Jedním z ohrožených druhů na našem území je sysel obecný. Velikost jeho populace se v současnosti odhaduje na 3800 kusů, přičemž tato populace se každým rokem zmenšuje o cca 3 %. Za kolik let podle těchto odhadů klesne velikost populace syslů pod 3000 kusů? 5. Očištěné kmeny stromů se skládají do vrstev tak, že kmeny každé horní vrstvy zapadají do mezer dolní vrstvy. Do kolika vrstev se tímto způsobem složí 65 kmenů, jsou-li v nejvyšší vrstvě 2 kmeny? 6. Množství dřeva určeného k těžbě v dané oblasti je odhadnuto na 5,5 10 5 m 3 a jeho roční přírůstek na 2,3 %. Kolik krychlových metrů dřeva bude v této oblasti za 5 let, pokud nenastanou žádné nečekané události? 7. Část střechy má tvar lichoběžníku, který chceme pokrýt taškami. Do spodní řady u okapu se vejde 40 tašek. Tašky budou srovnány do řad tak, že v každé další řadě je o jednu tašku méně než v předchozí. Celkem bude potřeba 15 řad tašek. Kolik bude třeba tašek na pokrytí této části střechy? 8. Orientační cena za 1 metr hloubkového vrtu při vrtání do hloubky 30 metrů je 800 Kč. Cena za každý další metr vrtu je o 5 Kč větší než za předchozí. Jaká je cena za provedení 45 m hlubokého vrtu? 9. Kolik stromů bude v lese, v kterém je cca 12000 stromů, za sedm let, jestliže každý rok uhyne jedna desetina stromů? 10. Přebytečné finanční prostředky ve výši 850 000 Kč uložíme na účet s měsíční úrokovou mírou 0,1 %, přičemž úrok podléhá 15 % dani. Jakou částku budeme mít po 8 měsících na účtu? Procenta a úměra 11. Cena za 100 kg dubových palivových briket je 530 Kč. Na podzim došlo ke zvýšení jejich ceny o 20 % a na jaře byly prodávány v akci se 40 % slevou. Jaká je cena, za kterou se brikety prodávají na jaře? 12. Na začátku roku jsme vložili do banky na roční termínovaný vklad s 1,1 % úrokovou mírou 65 000 Kč. Jakou částku obdržíme na konci úrokovacího období, když daň z úroku je 15 %?

Slovní úlohy 29 13. Zakoupením nových traktorů se očekává úspora nákladů na jejich údržbu ve výši 70 % a další úspora ve výši 12 % při nákupu pohonných hmot. Jaká je celková roční úspora, když náklady při provozu starých traktorů byly 125 000 Kč na údržbu a 650 000 Kč na nákup pohonných hmot? 14. V kolika gramech vody je třeba rozpustit 15 g soli, aby vznikl 12 % roztok? 15. Na vysazení nových stromků v lesní školce potřebujeme 2000 sazenic. V 1 g osiva jsou tři semena, přičemž klíčivost je 85 %. Kolik kg osiva potřebujeme? 16. Při výrobě čtvercových dřevěných desek stolů se o 10 % zvětšily jejich rozměry. O kolik procent více materiálu budeme nyní potřebovat na povrchovou úpravu takovéto desky? 17. Roztok obsahuje 100 g vody a 10 g soli. Kolika procentní roztok to je? 18. Na stavbu modelové dřevostavby bylo potřeba celkem 1400 člověkohodin. Vylepšením stavebního procesu a vyladěním projektové dokumentace se potřebný čas snížil o 15 %. Úpravami a standardizací materiálu bylo dosaženo dalších časových úspor a firma tak staví o dalších 10 % rychleji. Kolik člověkohodin je tak v současnosti potřeba na smontování jedné stavby? 19. Kolik korun musí firma investovat, aby při 5 % zhodnocení a 19 % dani z příjmů dosáhla zisku 1 000 000 Kč? 20. V níže uvedené tabulce jsou informace o počtu zájemců o studium a jejich bodový zisk při testech. Jaký je percentil uchazeče, který získal 8 bodů? Počet bodů 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Počet uchazečů 4 5 7 6 8 7 8 6 3 3

30 Planimetrie a stereometrie 9. Planimetrie a stereometrie Planimetrie 1. Vypočtěte obsah pravidelného šestiúhelníka, který je opsán kružnici o poloměru r = 3 cm. 2. Vypočtěte obsah pravidelného pětiúhelníka, který je opsán kružnici o poloměru r = 3 cm. Výsledek zaokrouhlete na jedno desetinné místo. 3. Vypočtěte obsah pravidelného pětiúhelníka, který je vepsán do kružnice o poloměru r = 4 cm. Výsledek zaokrouhlete na jedno desetinné místo. 4. Vypočtěte obsah rovnostranného trojúhelníka ABC, který je vepsán do kružnice o poloměru r = 4 cm.

Planimetrie a stereometrie 31 5. Vypočtěte obsah kruhu, který je vepsán do pravidelného šestiúhelníka o straně 4 cm. 6. Vypočtěte obsah kruhu, který je vepsán do rovnostranného trojúhelníka ABC se stranou a = 4 cm. 7. Vypočtěte obsah kruhu, jemuž je vepsán rovnostranný trojúhelník ABC se stranou a = 4 cm. 8. Čtverci ABCD, jehož strana má délku 2 cm, je vepsána a opsána kružnice. Určete obsah mezikruží omezeného těmito dvěma kružnicemi.

32 Planimetrie a stereometrie 9. Vypočtěte obsah obrazce, který vznikne z obdélníka vyřezáním kruhového otvoru. Obdélník má délky stran v poměru 5 : 7, jeho obvod je 96 cm. Průměr kruhového otvoru je roven polovině délky kratší strany obdélníka. Výsledek zaokrouhlete na jedno desetinné místo. 10. Určete, v jaké výšce nad zemí se nalomil kmen smrku, jestliže jeho vrchol dopadl do vzdálenosti 15 m od jeho kořene. Výška celého smrku přitom byla 25 m. 11. Zjistěte, jaká je vzdálenost horního konce žebříku od hřebene zdi. Výška zdi je 3,5 m, délka žebříku je 2,5 m. Žebřík opřeme o zeď tak, že jeho dolní konec je vzdálen 70 cm od paty zdi. 12. V trojúhelníku ABC má úhel α velikost 45, úhel β má velikost 15, délka strany a je 2 cm. Jak dlouhá je nejdelší strana trojúhelníka? 13. Jaký úhel spolu svírají strany a = 8 cm a b = 10 cm ostroúhlého trojúhelníka ABC, má-li úhel α velikost 45? 14. Jaká je velikost nejmenšího úhlu v trojúhelníku ABC, jehož strany mají délky a = 6 cm, b = 8 cm a c = 10 cm? 15. Jaká je velikost největšího úhlu v trojúhelníku ABC, jehož obvod je 45 cm, jsou-li délky jeho stran v poměru 4 : 5 : 6? Stereometrie 16. Vypočtěte povrch krychle, jejíž tělesová úhlopříčka má délku 15 cm. 17. Délky hran čtyřbokého hranolu jsou v poměru 2 : 4 : 5. Vypočtěte objem hranolu, je-li jeho povrch 684 cm 2. 18. Délky hran čtyřbokého hranolu jsou v poměru 1 : 2 : 4. Vypočtěte povrch hranolu, je-li jeho objem 64 cm 3.

Planimetrie a stereometrie 33 19. Je dán kvádr ABCDEF GH, jehož dolní podstavou je čtverec ABCD. Vypočtěte objem kvádru, je-li jeho osovým řezem BDHF čtverec o obsahu 50 cm 2. 20. Vypočtěte objem pravidelného čtyřbokého jehlanu, jehož podstavná hrana měří 4 cm. Odchylka boční hrany od roviny podstavy je α = 60. 21. Určete objem pravidelného čtyřbokého jehlanu, má-li jeho podstavná hrana délku a = 4 cm a jeho boční stěny svírají s rovinou podstavy úhel α = 60.

34 Planimetrie a stereometrie 22. Osovým řezem rotačního válce je obdélník s úhlopříčkou délky 6 5 cm. Výška válce je dvakrát větší než průměr podstavy. Vypočtěte objem válce. 23. Osovým řezem rotačního válce je čtverec o obsahu 25 cm 2. Vypočtěte objem válce. 24. Vypočtěte objem rotačního kužele o výšce 10 cm, jehož površka má od roviny podstavy odchylku α = 30.

Planimetrie a stereometrie 35 25. Stanovte objem rotačního kužele, jehož osovým řezem je rovnostranný trojúhelník se stranou délky 6 cm. 26. Jaký je celkový povrch rotačního kužele, pokud průměr podstavy má délku 10 cm a výška kužele je 12 cm? (Obsah pláště rotačního kužele se vypočítá podle vztahu S = πrs, kde s označuje délku površky na plášti kužele.) 27. Stanovte objem rotačního válce, do něhož je vepsána koule o objemu V K = 2 304π cm 3. (Vzorec pro výpočet objemu koule je dán vztahem V K = 4 3 πr3, kde r je poloměr koule.)

36 Planimetrie a stereometrie 28. Stanovte objem krychle, do níž je vepsána koule o objemu V K = 288π cm 3. (Vzorec pro výpočet objemu koule je dán vztahem V K = 4 3 πr3, kde r je poloměr koule.) 29. Vypočtěte objem rotačního válce, jemuž je vepsána krychle o objemu 512 cm 3. 30. Vypočtěte objem tělesa vepsaného do koule, které je tvořeno dvěma shodnými souosými rotačními kužely se společnou podstavou. Objem koule je 36π cm 3. (Vzorec pro výpočet objemu koule je dán vztahem V K = 4 3 πr3, kde r je poloměr koule.)

Úlohy na prostorovovou představivost 37 10. Úlohy na prostorovovou představivost 1. Na skupinu tří stejných kvádrů se díváme v daném směru. Určete, jak z daného směru objekt vidíme. 2. Na skupinu tří stejných kvádrů se díváme v daném směru. Určete, jak z daného směru objekt vidíme.

38 Úlohy na prostorovovou představivost 3. Na skupinu tří stejných kvádrů se díváme v daném směru. Určete, jak z daného směru objekt vidíme. 4. Na skupinu tří stejných kvádrů se díváme v daném směru. Určete, jak z daného směru objekt vidíme.

Úlohy na prostorovovou představivost 39 5. Na skupinu tří stejných kvádrů se díváme v daném směru. Určete, jak z daného směru objekt vidíme. 6. Na skupinu tří stejných kvádrů se díváme v daném směru. Určete, jak z daného směru objekt vidíme.

40 Úlohy na prostorovovou představivost 7. Daný útvar je torzem krychle složené z 64 krychliček. Kolik krychliček je potřeba k doplnění viditelné části tak, aby z něj byla krychle? 8. Daný útvar je torzem krychle složené z 64 krychliček. Kolik krychliček je potřeba k doplnění viditelné části tak, aby z něj byla krychle? 9. Daný útvar je torzem krychle složené z 64 krychliček. Kolik krychliček je potřeba k doplnění viditelné části tak, aby z něj byla krychle?

Úlohy na prostorovovou představivost 41 10. Daný útvar je torzem krychle složené z 64 krychliček. Kolik krychliček je potřeba k doplnění viditelné části tak, aby z něj byla krychle? 11. Daný útvar je torzem krychle složené z 64 krychliček. Kolik krychliček je potřeba k doplnění viditelné části tak, aby z něj byla krychle? 12. Daný útvar je torzem krychle složené z 64 krychliček. Kolik krychliček je potřeba k doplnění viditelné části tak, aby z něj byla krychle?

42 Úlohy na prostorovovou představivost 13. Který z daných obrazců doplní zadaný útvar na obdélník? 14. Který z daných obrazců doplní zadaný útvar na obdélník? 15. Který z daných obrazců doplní zadaný útvar na obdélník?

Úlohy na prostorovovou představivost 43 16. Který z daných obrazců doplní zadaný útvar na obdélník? 17. Který z daných obrazců doplní zadaný útvar na obdélník? 18. Který z daných obrazců doplní zadaný útvar na obdélník?

44 Úlohy na prostorovovou představivost 19. Ke které z kostek patří následující síť? 20. Ke které z kostek patří následující síť?

Úlohy na prostorovovou představivost 45 21. Ke které z kostek patří následující síť? 22. Ke které z kostek patří následující síť?

46 Úlohy na prostorovovou představivost 23. Ke které z kostek patří následující síť? 24. Ke které z kostek patří následující síť?

Úlohy na prostorovovou představivost 47 25. Kterou z nabízených variant je možno vložit prázdného místa tak, aby jej přesně vyplnila? 26. Kterou z nabízených variant je možno vložit prázdného místa tak, aby jej přesně vyplnila? 27. Kterou z nabízených variant je možno vložit prázdného místa tak, aby jej přesně vyplnila?

48 Úlohy na prostorovovou představivost 28. Kterou z nabízených variant je možno vložit prázdného místa tak, aby jej přesně vyplnila? 29. Kterou z nabízených variant je možno vložit prázdného místa tak, aby jej přesně vyplnila? 30. Kterou z nabízených variant je možno vložit prázdného místa tak, aby jej přesně vyplnila?