MĚRNÁ DEFORMAČNÍ ENERGIE OTEVŘENÉHO OCELOVÉHO

MĚRNÁ DEFORMAČNÍ ENERGIE OTEVŘENÉHO OCELOVÉHO PROFILU NAMÁHANÉHO TLAKEM ZA OHYBU SPECIFIC STRAIN ENERGY OF THE OPEN CROSS-SECTION SUBJECTED TO COUPLED COMPRESSION AND BENDING I. Kološ 1 a P. Janas 2 Abstract Steel arches that are used n mnng and underground engneerng are exposed to extreme load that often leads to the plastc deformaton of the structure. The paper presents calculaton of the specfc stran energy curves of the open cross-sectons (.e. dependence between specfc stran energy of the cross-secton and the bendng moment and the normal force). The energy curves can be used to determne energy absorbed by arch structure durng rock bump. 1 Úvod Výztužné konstrukce dlouhých důlních a podzemních děl bývají často vystaveny značnému zatížení. Př mmořádných událostech, jakým jsou např. důlní otřesy, je namáhání výztuže natolk extrémní, že zpravdla vede k takové deformac konstrukce, která se vymyká z rámce běžně uvažovaného v pozemním stavtelství. Dochází jak ke globální deformac konstrukce (obr. 3), tak k deformac lokální, kdy se vlvem zatížení mění v nejnamáhanějších průřezech příčný profl výztužných tyčí (obr. 4). Materál výztuže je přtom využíván za mezí kluzu, konstrukce se přetváří pružnoplastcky. Nejčastěj používaným typem výztuže je ocelová oblouková výztuž (obr. 1). Ta se sestává ze 3 až 5 přímých nebo zakřvených segmentů výztužných tyčí, které se spojují Obr. 1: Ocelová oblouková výztuž na ukázku sestavena ve výrobně 1 Ing. Ivan Kološ, Ph.D., VŠB Techncká unverzta Ostrava, Fakulta stavební, Katedra stavební mechanky, Ludvíka Podéště 1875, 78 33 Ostrava Poruba, van.kolos@vsb.cz, (+42) 59 732 134. 2 Doc. Ing. Petr Janas, CSc., VŠB Techncká unverzta Ostrava, Fakulta stavební, Katedra stavební mechanky, Ludvíka Podéště 1875, 78 33 Ostrava Poruba, petr.janas@vsb.cz, (+42) 59 732 138. 1

přesahem a spoje jsou fxovány spojkam (obr. 2). Tyče jsou válcované, jejch otevřený příčný profl je navržen tak, aby umožnl vzájemné vkládání tyčí do sebe. Předmětem tohoto příspěvku jsou právě otevřené korýtkové profly výztužných tyčí označované K-24, P-28 a TH-29 (obr. 5, 6 a 7). Vychází se zde z úvahy, že množství energe, která byla uvolněna př důlním otřesu a přeměněna př deformac Obr. 2: Detal šroubového spoje obloukové výztuže díla, by bylo možno odhadnout na základě výsledného tvaru deformovaného oblouku. K tomu je třeba znát jaké množství energe musí být vynaloženo př deformac výztužného proflu jednotkové délky a to nejen př jeho pružném, ale pružnoplastckém působení. Závslost mez mírou namáhání proflu a energí př namáhání vynaloženou je vyjádřena ve formě křvek měrné deformační energe (obr. 12), resp. ploch měrné deformační energe (obr. 13, 14, 15). Způsob jejch numerckého výpočtu je popsán dále v příspěvku. Obr. 3: Globální deformace ocelové výztuže důlního díla Obr. 4: Lokální deformace výztužných proflů 2

2 Předpoklady výpočtu Přesné stanovení měrné deformační energe plastzujícího proflu je poměrně složtá úloha, neboť průřez se přetváří slně nelneárně (vz např. obr. 4) a tím dochází k průběžné a současné změně několka parametrů výpočtu. Zřejmě nejvýstžnějším řešením by bylo namodelování průřezu v některém programovém systému využívajícím metodu konečných prvků, ovšem za cenu velké náročnost výpočtu na čas a na hardwarové vybavení počítače. Zde bylo uplatněno numercké řešení metodou vrstev. Jeho výpočtová náročnost je mnohem menší ve srovnání s řešením metodou konečných prvků, je ale vykoupena jednodušším výpočetním modelem, který některé aspekty chování průřezu nevysthuje (např. změna příčného proflu průřezu, lokální ztráta stablty). Analýza napjatost průřezu vychází z následujících předpokladů: průřez je z pružnoplastckého materálu, který působí obdobně v tahu a v tlaku celý průřez je materálově homogenní př pružnoplastckém působení průřezu se nemění jeho geometre (příčný profl) př ohybu zůstávají průřezy rovnné a kolmé k těžštní ose (Bernoull-Naverova hypotéza) teore malých deformací průřez je namáhán ve své rovně symetre prostým ohybem nebo tlakem za ohybu tlaková síla působí v těžšt průřezu, vzpěr průřezu (resp. prutu) se neuvažuje vlv posouvajících sl, vlastních pnutí, klopení a ztráty stablty se zanedbává Obr. 5: Profl K-24 Obr. 6: Profl P-28 Obr. 7: Profl TH-29 Napjatost průřezu je analyzována př uvažování skutečných pracovních dagramů ocel 11 5 (pro profly K-24 a P-28) a ocel 13 149 (profl TH-29), získaných tahovou zkouškou. Skutečné pracovní dagramy ocelí 11 5 (obr. 8) a 13 149 (obr. 9) jsou do výpočtu zavedeny jako multlneární, jejch tvar je aproxmován cca 26 přímkam. Meze kluzu σ fl jsou u jednotlvých druhů ocel uvažovány podle výsledků zkoušek hodnotam 45,1 MPa a 414 MPa, modul pružnost E = 21 GPa. Př aplkac pracovních dagramů do výpočtu v nch byla zohledněna příčná kontrakce zkušební tyče během tahové zkoušky. Possonův součntel je uvažován ν =,3. V plastckém stavu se má podle teore pružnost a plastcty [4] uvažovat ν =,5, ale srovnání výsledků výpočtu s expermentem [3] ukázalo, že tomuto výpočtovému modelu lépe odpovídá ν =,3 uplatněný jak v pružném tak v plastckém stavu. 3

σ [MPa] 7 6 5 4 3 2 1,% 5,% 1,% 15,% 2,% ε [%] σ [MPa] 7 6 5 4 3 2 1,% 5,% 1,% 15,% 2,% 25,% ε [%] Obr. 8: Pracovní dagram ocel 11 5 Obr. 9: Pracovní dagram ocel 13 149 3 Měrná deformační energe Pro poměrnou deformační energ W vztaženou na jednotku objemu (tzv. hustota deformační energe) platí př jednoosé napjatost vztah (1), kde σ je funkce napětí a ε poměrné délkové přetvoření (obr. 1). Integrací po objemu tělesa (prut jednotkové délky) dostáváme z výrazu (2) deformační energ vntřních sl Π. ε W = σ dε (1) Π = W d V (2) V Výpočet měrné deformační energe otevřeného korýtkového průřezu metodou vrstev má dvě fáze: V první fáz se provádí analýza napjatost průřezu vystaveného působení ohybového momentu M a normálové síly N. Cílem analýzy napjatost je určt polohu neutrální osy v průřezu n o (obr. 11). Průřez se rozdělí na řadu tenkých vrstev, kterým je na základě lneárního rozdělení přetvoření ε po výšce průřezu přřazeno z pracovního dagramu příslušné napětí σ. Z plochy každé vrstvy A se určí hodnoty dílčích normálových sl v průřezu N = σ A a pomocí nástrojů numercké matematky se hledá taková poloha neutrální osy n o, př níž je splněna podmínka rovnováhy vodorovných sl (vntřních a vnějších). Poté, co je poloha neutrální osy nalezena, určí se velkost ohybového Obr. 1: Hustota deformační energe 4

momentu M, který odpovídá aktuálnímu rozložení napětí v průřezu (hodnota N se volí na začátku výpočtu a př hledání polohy n o se nemění). Ve druhé fáz se jednotlvým vrstvám průřezu přřadí podle pracovního dagramu odpovídající hodnoty hustoty deformační energe W. Integrací po ploše vrstvy A dostaneme měrnou deformační energ vrstvy π. Vzhledem k velm malé tloušťce vrstvy předpokládáme konstantní průběh W ve vrstvě a můžeme psát π = W A. (3) Měrnou deformační energ celého proflu Π pak získáme součtem π ve všech vrstvách podle (4), kde n je počet vrstev. n Π = π (4) = 1 Obr. 11: Rozdělení napětí a přetvoření u otevřeného korýtkového proflu v pružnoplastckém stavu Závslost měrné deformační energe proflu na velkost ohybového momentu lze vyjádřt grafcky tzv. křvkou měrné deformační energe (obr. 12). Hodnoty uvedené v křvkách jsou vztaženy k prutu délky jednoho metru (jednotka [kj m -1 ]). Z křvek vypočtených pro různé hodnoty normálové síly N lze sestavt prostorový graf, tzv. plochu měrné deformační energe, z níž je možno odečítat hodnoty pro lbovolnou kombnac ohybového momentu M a normálové síly N (obr. 13, 14, 15). Měrná deformační energe [kj m -1 ] 18 16 14 12 1 8 6 4 2 N =,5 σ fl A N =,7 σ fl A N = N =,3 σ fl A 1 2 3 4 5 6 M [knm] Obr. 12: Závslost velkost měrné deformační energe proflu K-24 na velkost ohybového momentu M a normálové síly N 5

Obr. 13: Plocha měrné deformační energe proflu K-24 Obr. 14: Plocha měrné deformační energe proflu P-28 Křvky deformační energe pak mohou být využty př výpočtu deformační energe prutových konstrukcí. Pruty se po délce rozdělí na velký počet dílků a podle průběhů vntřních sl (M, popř. N) se z křvky měrné deformační energe přřadí každému dílku odpovídající hodnota. Integrací tohoto průběhu energí po délce konstrukce (tj. vyjádřením plochy obrazce) získáme velkost celkové potencální energe vntřních sl př daném Obr. 15: Plocha měrné deformační energe proflu TH-29 zatížení. Postup řešení je ukázán na následujícím příkladu prostého nosníku zatíženého osamělým břemenem F uprostřed rozpětí. Nosník má délku 1 m, je tvořen ocelovým proflem K-24, pracovní dagram ocel je uvažován podle obr. 8, křvka měrné deformační energe podle obr. 12 (pro N = ). Mezní plastcké únosnost dosáhne takový nosník př velkost břemene F = 228 kn, kdy má maxmální ohybový moment pod slou F velkost 57 knm a průhyb uprostřed rozpětí hodnotu 35,58 mm. Průběh měrné deformační energe po délce prutu př takovém zatížení ukazuje obr. 16. Integrací plochy pod křvkou získáme hodnotu Π = 6844,9 kj, což je množství energe vynaložené na pružnoplastckou deformac prutu do okamžku, kdy největší průhyb dosáhl hodnoty 35,58 mm. Deformační energe [kj m 1] 8 7 6 5 4 3 2 1,2,4,6,8 1 L [m] Obr. 16: Rozložení měrné deformační energe po délce nosníku (odpovídající průběhu M př F = 228 kn) 6

Správnost výpočtu potvrzuje alternatvní postup, který je možno u tohoto jednoduchého příkladu bez obtíží uplatnt: vyjádří se křvka závslost průhybu pod slou F na její velkost a určí se velkost plochy pod touto křvkou (obr. 17), neboť energe vynaložená na deformac nosníku je rovna prác, kterou vykoná břemeno F na dráze posunutí v místě působště. Pro velkost energe vynaložené na deformac nosníku pak vychází Π = 6841,3 kj. Z obr. 17 je patrný nelneární nárůst deformace prutu poté, co v nejvíce namáhaných řezech začalo docházet k plastckému přetváření. Pro srovnání je v obr. 17 uvedena také závslost průhyb ~ zatížení pro pružné působení nosníku. Obr. 17: Závslost průhybu uprostřed rozpětí nosníku na velkost břemene F Poděkování Příspěvek byl vypracován v rámc řešení projektu 15/4/458 realzovaného za fnanční podpory za státních prostředků prostřednctvím GA ČR. Lteratura [1] Benda, J. ENERGETICKÉ PRINCIPY A VARIAČNÍ METODY VE STAVEBNÍ MECHANICE. VŠB TU OSTRAVA, 25 [2] Janas, P., Krejsa, M., Janas, K., Kološ, I. STATICKÉ ŘEŠENÍ OCELOVÝCH OBLOUKOVÝCH VÝZTUŽÍ PODZEMNÍCH DĚL, SBORNÍK PŘÍSPĚVKŮ KONFERENCE OCELOVÉ KONSTRUKCE A MOSTY 23, PRAHA, 23 [3] Kološ, I. STATICKY NEURČITÉ PRUTOVÉ KONSTRUKCE V PRUŽNOPLASTICKÉM STAVU, DISERTAČNÍ PRÁCE. VŠB TU OSTRAVA, 25 [4] Mrázk, A., Škaloud, M., Tocháček, M. NAVRHOVÁNÍ OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ PODLE TEORIE PLASTICITY, SNTL PRAHA, 198 [5] Servít, R., Crha, M., Doležalová, E. TEORIE PRUŽNOSTI A PLASTICITY, I. DÍL, ČVUT PRAHA, 1977 [6] Šmřák, S. ENERGETICKÉ PRINCIPY A VARIAČNÍ METODY V TEORII PRUŽNOSTI. VUT BRNO, 1998 7