FAKULTA STAVEBÍ KATEDRA FYZIKY 10FY1G Fzka G 1. Určení vlnové délka světla pomocí dfrakční mřížk Petr Pokorný Pavel Klmon Flp Šmejkal LS 016/17 skpna 1 datm měření: 19.. 017 Zadání Pomocí dfrakční mřížk rčete vlnovo délk zdroje záření (laserové kazovátko. Pro výpočet požjte metod nejmenších čtverců. Odhadněte nejstot výsledné vlnové délk pro 95%ní nterval spolehlvost. Teoretcký úvod Dfrakce na mřížce mřížková konstanta a dfrakční mřížka α 3 stínítko m = 3 3 λ m = m = 1 1 O z +z α α 1 Obr. 1 Dfrakce na mřížce Měřením pomocí dfrakční mřížk můžeme snadno rčt vlnovo délk koherentního zdroje světla. Prncp je kázán na obr. 1. Laserový svazek dopadá na dfrakční mřížk o mřížkové konstantě a (vzdálenost mez dvěma vrp a dojde k přerozdělení energe takovým způsobe že světlo pokračje za mřížko ve směr tzv. dfrakčních řádů [1-3] jejchž stop v příčné vzdálenost m můžeme regstrovat na stínítk. Z teore dfrakce na mřížce je známo že pro úhel αm m-tého dfrakčního řád (měřeno od optcké os vz obr. 1 platí vztah [1-3] m sn m (1 a
kde λ je vlnová délka požtého záření a je mřížková konstanta (vzdálenost mez dvěma střed štěrbn mřížk m označje dfrakční řád. Pomocí příčné vzdálenost m a vzdálenost stínítka od dfrakční mřížk z můžeme vztah (1 pravt na am m. ( z Ze vztah ( je zřejmé že vlnovo délk můžeme snadno rčt pomocí měření tří velčn. m Výpočet vlnové délk světla pomocí metod nejmenších čtverců a odhad nejstot výsledné vlnové délk Jak je patrné ze vztah ( vlnová délka představje směrnc lneárního trend jehož hodnot můžeme včíslt pomocí měření tří velčn: a mřížková konstanta m příčná vzdálenost m-tého dfrakčního řád měřená na stínítk z vzdálenost stínítka od dfrakční mřížk. Pro aplkac metod nejmenších čtverců na výpočet vlnové délk formljeme pomocí rovnce ( následjící lneární model pro měření: kde A l (3 m1 m A m l 1 1 z a z a a z. Odhad sktečné hodnot vlnové délk poté vpočteme metodo nejmenších čtverců pomocí vztah [45] ˆ T 1 T ( A PA A Pl (4 kde P je váhová matce jejíž -tý prvek p na dagonále bde dán vztahem (aplkjeme-l zákon přenášení varancí [45] a ( a p 1 z z a z z z ( z (5 kde označje levo stran rovnce ( pro -té měření a nejstot (a a (z rčíme m odhadem kombnovaných nejstot přímých měření [45]. Předpokládejme že každá z přímo měřených hodnot bde dán vztahem [4] je měřena M-krát. Poté odhad nejstot m
M ~ ( j A( B j1 M M ( M 1 B M (6 kde ~ m značí průměr z M měření m a B je odhad nejstot měření m metodo tp B [4]. Dále předpokládejme že parametr a a z jso měřen poze jedno poté platí zjednodšjící rovnost ( a B ( a a ( z B ( z. Vztah (4 můžeme v tomto jednodchém případě přepsat jako p m 1 ˆ. (7 p m Odhad nejstot ( vpočtené hodnot vlnové délk poté získáme ze vztah [45] 1 ˆ T ˆ T 1 ( A l P( A l ( sˆ 0 ( A PA ( A 1 ( ˆ p m 1 ( 1 p m 1 T PA 1 (8 kde ŝ 0 značí aposterorní odhad jednotkové směrodatné odchlk [45]. Výsledný odhad rozšířené nejstot (pro 95%ní nterval spolehlvost hodnot vlnové délk rčíme jako kde k 1 96. 95% U k ( (9 95% ( 95% Zpracování měřených dat Dfrakce na mřížce bla měřena pro 5 dfrakčních řádů. Pro každý dfrakční řád m (m = 1 5 bla třkrát změřena příčná vzdálenost měřítkem s nejstoto ( 05 mm dále bla metrem jedno změřena m vzdálenost z stínítka od dfrakční mřížk s nejstoto B m B ( z 1 mm. Z kalbračního lst bla odečtena mřížková konstanta a s nejstoto B ( a 0005 mm. V tab. 1 jso veden přímo měřené hodnot odhad jejch sktečných hodnot a kombnovaných nejstot. Tab. poté kazje hodnot lneárního model ( vpočteného pomocí měřených velčn společně s jeho nejstotam daným vztahem (5 a dále dokmentje výpočet metod nejmenších čtverců a odhad nejstot výsledného parametr vlnové délk. Tab. 3 kazje výsledno vpočteno vlnovo délk společně s odhadem její nejstot s 95%ním ntervalem spolehlvost. a obr. je poté zobrazen lneární model vpočtený z měření pomocí vztah ( společně s lneární aproxmací vpočteno metodo nejmenších čtverců vz předchozí kaptola. Požtý výpočetní kód pro prostředí Matlab je veden v Příloze 1. V Příloze je poté doložen orgnál záznam z měření. 3
Tablka 1 Měřené hodnot m m ~ m a [B(a] 1 317 315 318 3167 030 633 631 634 637 030 00 3 949 949 947 9483 030 [0005] 4 174 176 174 1747 030 5 1603 160 1605 16033 030 z [B(z] 1000 [1] Tablka Vpočtené hodnot lneárního model m 1e 4 [ ] m 1e 4 [ ] 1 633 158 163 316 3 1888 47 4 59 63 5 3166 79 ˆ [nm] 63185 ( [nm] 070 U ( [nm] k = 196 136 Tablka 3 Výsledné hodnot výpočt Vlnová délka [nm] ejstota [nm] (k = 196 nterval spolehlvost 95% 6319 14 Obr. Zobrazení hodnot vpočteného lneárního model a výpočet vrovnání metodo nejmenších čtverců 4
Dskze V rámc měření nedošlo k žádným výrazným komplkacím. Měřcí aparatra bla sestavena dle poknů blo provedeno požadované měření a hodnot zpracován metodo nejmenších čtverců společně s odhadem nejstot pro 95%ní nterval spolehlvost. Závěr V úloze bla rčována vlnová délka zdroje světla (laserové kazovátko pomocí dfrakční mřížk. V prác je nejdříve prezentován teoretcký úvod a potřebné vztah požté př výpočt. Bla měřena sada dat příčných vzdáleností na stínítk pro vbrané dfrakční řád vzdálenost stínítka od dfrakční mřížk a z kalbračních lstů bla dodána hodnota mřížkové konstant. Metodo nejmenších čtverců bl poté vpočten odhad sktečné hodnot vlnové délk požtého zdroje světla společně s odhadem rozšířené nejstot pro 95%ní nterval spolehlvost. Výsledné hodnot jso: λ = (6319 ± 14 nm. Hodnota se v rámc rčené nejstot shodje s katalogovým údaj výrobce zdroje požtého záření. V Praze dne 0.. 017 Petr Pokorný Pavel Klmon Flp Šmejkal Požtá lteratra [1] Horák Z. Krpka F. Šndelář V. Techncká fzka STL 1960. [] Horák Z. Praktcká fzka STL 1958. [3] Brož J. a kol. Základ fzkálních měření I-III Státní pedagogcké nakladatelství 1967. [4] Pokorný P. Metodka zpracování fzkálních měření ČVUT v Praze 017 http://departments.fsv.cvt.cz/k10. [5] Mervart L. Lkeš Z. Adjstment alcls ČVUT v Praze 007. Seznam příloh Příloha 1 Požtý kód pro zpracování úloh v prostředí Matlab Příloha Orgnál záps z měření 5
Příloha 1 Požtý kód pro zpracování úloh v prostředí Matlab %% Merene hodnot (pro M ntne zadat jako slopcove vektor % dfrakcn rad m = [1:5]'; % merene poloh dfrakcnch rad kazd meren 3x m_merene = [ 31.7 31.5 31.8 63.3 63.1 63.4 94.9 94.9 94.7 17.4 17.6 17.4 160.3 160. 160.5]; % vzdalenost stntka a mrzkova konstanta z = 1000; a = 0.0; %% ejstot merench hodnot odhadnte metodo B Bm = 0.5; Ba = 0.005; Bz = 1; %% Zpracovan prmo merench hodnot % odhad stredn hodnot m = mean(m_merene; % prmer ve smer radk (vz help mean % odhad kombnovane nejstot merench parametr = sze(m_merene; % pocet meren kazde velcn em = m_merene - repmat(1; % odchlk meren od prmer m = sqrt((sm(em.^/(-1 + Bm^/; %% Vpocet hodnot pro lnearn zavslost (tvorba lnearnho model = a*m./sqrt(m.^ + z^; x = m; %% Vpocet nejstot velcn pro lnearn zavslost (zakon prenos varanc % dervace podle merench velcn d_m = *z^./(m.*(m.^ + z^; d_z = *z./(m.^ + z^; d_a = /a; % nejstota = sqrt(d_m.^.*m.^ + d_z.^*bz^ + d_a.^*ba^; %% Vah pro M p = (1^./.^; P = dag(p; % jako sg0 volena prvn z %% Vpocet M A = x; l = ; lam = (A'*P*A\(A'*P*l; %% ejstota z M E = A*lam - l; s0 = sqrt(e'*p*e/(sze(a1-1; S = s0^*nv(a'*p*a; lam = sqrt(dag(s; %% Vsledna rozsrena nejstota lambda s 95%nm ntervalem spolehlvost kp = 1.96; Ulam = kp*lam; %% Zobrazen vslednch hodnot fprntf('vpoctene hodnot [nm]: lam = %.1f U95 = %.1f k = %.f\n'lam*1e+6ulam*1e+6kp %% Graf fgre(1 plot(x'x'... xa*la'-''lnewdth'1.5'markersze'10 grd on xlm([0 max(x+1] lm([0 max(+0.*max(] xlabel('m [-]' label('(a \cdot _{}/(^_{} + z^^{1/} [-]' ttle({'vpočtené hodnot'['\lambda = 'nmstr(lam*1e+6'%.1f'... ' n U_{95%}(\lambda = 'nmstr(ulam*1e+6'%.1f'' n k = 'nmstr(kp'%.f']} legend('měřená data''vrovnání MČ''Locaton''SothEast'
Příloha Orgnál záps z měření