Brno 06 Pavel Cejnar Ústav částicové a jaderné fyziky Matematicko-fyzikální fakulta UK Praha Od motýlích křídel ke kvantovému chaosu Lorenzo Lotto (480-557), Magnum Chaos (Basilica di Santa Maria Maggiore, Bergamo
Fyzika. druhu: kódování rot E roth B t D t j Maxwellovy rovnice div D divb 0
Fyzika. druhu: dekódování Henri Poincaré (854-9) d ri dt G problém 3 těles j( i) r j i, j {,,3} m j r i n ij
Fyzika. druhu: dekódování Redukce Emergence Komplexita A = 0???
Hamiltonovská mechanika Stav fyzikálního systému složeného z N částic je v každém okamžiku plně určen výčtem všech souřadnic a hybností 3N + 3N počet stupňů volnosti f Můžeme si ho představit jako jediný bod v 6N-rozměrném fázovém prostoru. Při zachování energie je pohyb omezen na (6N )-rozměrnou plochu Znalost stavu v daném čase t umožňuje odvodit stavy ve všech ostatních časech (t ± Δt ) Dim = 4 = + = f + f x z 7 5 6 Polohy (x, y, z) a hybnosti (p x,p y,p z ) pro 7 částic 3 William Hamilton (805 865) 4 N = 7 y
Hamiltonovská mechanika Stav fyzikálního systému složeného z N částic je v každém okamžiku plně určen výčtem všech souřadnic a hybností 3N + 3N počet stupňů volnosti f Můžeme si ho představit jako jediný bod v 6N-rozměrném fázovém prostoru. Při zachování energie je pohyb omezen na (6N )-rozměrnou plochu Znalost stavu v daném čase t umožňuje odvodit stavy ve všech ostatních časech (t ± Δt ) William Hamilton (805 865) Pierre-Simon Laplace Intelekt, jenž by v jistém (749 87) okamžiku znal všechny síly, které uvedly přírodu do pohybu, a polohy všech věcí, z nichž se příroda skládá, by v jediné formuli obsáhl pohyby největších těles vesmíru i pohyby těch nejmenších atomů; pro takový intelekt by nic nebylo nejisté a před jeho očima by se zpřítomňovala budoucnost stejně jako minulost
Řešitelné systémy Učebnice fyziky si všímají především těch systémů, pro něž se pohybové rovnice se dají analyticky vyřešit: např. matematické kyvadlo, harmonický oscilátor nebo Keplerův systém p / ml Klasické pohybové rovnice vyjadřují tok ve fázovém prostoru f= f= Renčín Znalost stavu v daném čase t umožňuje odvodit stavy ve všech ostatních časech (t ± Δt ) Každým bodem fázového prostoru prochází právě jedna trajektorie
Řešitelné systémy Učebnice fyziky si všímají především těch systémů, pro něž se pohybové rovnice se dají analyticky vyřešit: např. matematické kyvadlo, harmonický oscilátor nebo Keplerův systém p / ml f= Klasické pohybové rovnice vyjadřují tok ve fázovém prostoru f= Integrabilita: Systém s f stupni volnosti má f integrálů pohybu (zachovávajících se veličin) I, I I f. Trajektorie takového systému ve fáz. prostoru leží na plochách podobných torům. integrál pohybu = energie H( p, q) Pro f = integrabilita vyžaduje existenci dodatečného integrálu pohybu Pro f = jsou všechny systémy integrabilní tory = kružnice
Ostatní (neřešitelné) systémy Učebnice fyziky si všímají především těch systémů, pro něž se pohybové rovnice se dají analyticky vyřešit: např. matematické kyvadlo, harmonický oscilátor nebo Keplerův systém Ale naprostá většina skutečných systémů taková není! Klasické pohybové rovnice Pohybové rovnice zachovávají vyjadřují tok ve fázovém prostoru objem buňky fázového prostoru představují tok nestlačitelné kapaliny. Tvar buňky fázového prostoru se ale může stávat velmi komplikovaným existence chaotických řešení vykazujících exponenciální citlivost k počátečním podmínkám efekt motýlího křídla t t t = exponenciální vzdalování některých trajektorií
Nestabilita dynamiky Edward Lorenz (97-008) Edward Lorenz (přednáška 979) Predictability: Does the flap of a butterfly s wings in Brazil set off a tornado in Texas? efekt motýlího křídla t t t t = exponenciální vzdalování některých trajektorií
Problém 3 těles Existence chaotických řešení a jejich fatální důsledky pro Laplaceův determinismus byly demonstrovány teprve v roce 890 Henri Poincaré (854-9) Dnešní příklad: výpočet chaotického gravitačního rozptylu 3 těles P. Hut, J.N. Bahcall, Astrophys. J. 68, 39 (983)
Problém 3 těles z historie V roce 885 vyhlašuje švédský & norský král Oscar II. u příležitosti svých 60. narozenin vědeckou soutěž (ceny: zlatá medaile a 500 zlatých korun) s cílem nalezení obecného analytického řešení (ve formě konvergující řady) dynamiky systému mnoha těles v nebeské mechanice. V roce888 se do soutěže přihlašuje Henri Poincaré (34 let) prací nazvanou O problému tří těles a rovnicích dynamiky. Komise soutěže (Karl Weierstrass, Charles Hermite, Gösta Mittag-Leffler) jej vyhlašuje vítězem (i když plné řešení zadaného problému nepředložil). Když má být jeho 60 stránková práce publikována, editor upozorňuje na určité nejasnosti. Po dlouhém mlčení nachází Poincaré fatální chybu. Stahuje mezitím již vytištěné vydání práce a v roce 890 publikuje novou práci v rozsahu 70 stránek na vlastní náklady >500 korun (také zlatá medaile mu byla později ukradena). Její výsledky odhalují do té doby převážně skrytou bohatost a složitost řešení dynamických rovnic klasické mechaniky a ukazují jejich nestabilitu. Nová práce pokládá základy pozdějšího studia chaosu a komplexity ve fyzice i mimo ni Henri Poincaré (854-9)
Problém 3 těles zjednodušení Redukovaný problém 3 těles nekonečně malá 3.hmotnost m m, m 0 & ( x, y, z) ( x, y,0) 0 3 rovinný pohyb Vyřeším pohyb těles + (rotace kolem těžiště) a hledám pohyb tělesa 3 v rotující soustavě v gravitačním poli těles + => započtení odstředivé + Coriolisovy síly problém má stupně volnosti Pohyb těles + Wikipedia
Problém 3 těles zjednodušení Redukovaný problém 3 těles nekonečně malá 3.hmotnost m m, m 0 & ( x, y, z) ( x, y,0) 0 3 Vyřeším pohyb těles + (rotace kolem těžiště) a hledám pohyb tělesa 3 v rotující soustavě v gravitačním poli těles + => započtení odstředivé + Coriolisovy síly problém má stupně volnosti L 4 m m L 3 L R.Moeckel L 5 0.4 m m L 3 Země-Měsíc: μ=0.05 L, L, L 3, L 4, L 5 Lagrangeovy body nestabilní rovnováha tělesa 3 Vhodnou volbou jednotek lze dosáhnout: m x & m x a za předpokladu kruhového pohybu těles + nabývají dynamické rovnice tvaru: d dt x U( x, y) x y y dy dt dx dt U x U y ( x ), kde: y ( x ) y Existuje integrál pohybu (Jacobiho energie): E dx dy [( ) ( ) ] U( x, y ) dt rovinný pohyb dt
Problém 3 těles vizualizace Poincarého mapa: Poincaré vynalezl způsob vizualizace dynamiky obecného systému pomocí zobrazení opakovaných průchodů trajektorií řezem fázového prostoru ( stroboskopické zobrazení, návratová mapa ). Pro konzervativní (E=const) systém se stupni volnosti je mapa -rozměrná Všechny trajektorie leží na 3D ploše E=const ve 4D fázovém prostoru x x y 0 Každý bod řezu protíná právě trajektorie (díky zachování E) Pokud by existoval. integrál pohybu, body patřící stejným trajektoriím by v rovině řezu ležely na křivkách průsečících řezu s tory (integrabilní systém) Pokud. integrál pohybu neexistuje, může řez vypadat třeba i takto:
Problém 3 těles vizualizace Země - Měsíc μ=0.05 E.59 EL Pavel Stránský x rovina řezu: y=0 směr průchodu x
Vznik chaosu je úchvatný! Proces vzniku chaosu při narušení integrabilního systému je fascinující a na jeho pochopení pracují generace matematiků kanonická poruchová teorie, KAM teorie symbolická dynamika, diskrétní mapy ergodická teorie stabilita diferenciálních rovnic George Birkhoff (884-944) Andrej Kolmogorov (903-987) disipativní systémy, atraktory proudění, turbulence Vladimir Arnold (937-00) Jürgen Moser (98-999)
Vznik chaosu je úchvatný! Člověk je ohromen složitostí tohoto obrázku, který se zde ani neodvažuji nakreslit Proces vzniku chaosu při narušení integrabilního systému je fascinující a na jeho pochopení pracují generace matematiků ) ) 3) Simulace C.Simó (ilustrativní příklad) A. Chenciner: Seminaire Poincaré XVI(0)45 ) Kolmogorov-Arnold-Moserův (KAM) teorém (954,63,6): racionální tory umírají nejdřív, silně iracionální tory přežívají nejdéle D: m const m,,, m m m ) Poincaré-Birkhoffův teorém (9,35): zánikem toru vzniká n periodických orbit, n z nich je stabilních, n nestabilních 3) Heteroklinická změť (890): stabilní a nestabilní nadplochy kolem nestabilní orbity vytvářejí komplikovaný propletenec >0
Modelování chaosu Geometrický model atomového jádra (schematický popis jaderných vibrací) H px py 0 M 3 A( x y ) B( x 3y x) C( x y ) Hénon-Heilesův model 0 (schematický popis pohybu hvězd kolem centra galaxie) Potenciál pro A= 0.84, B,C,M= y Vysoká variabilita chování při změnách parametrů a energie: Poincarého mapy pro řez y=0 x E=4.4 A=.6, B,C,M= E=3 A= 0.84, B,C,M= E=.4 x x
y Modelování chaosu Geometrický model atomového jádra (schematický popis jaderných vibrací) H px py 0 M 3 A( x y ) B( x 3y x) C( x y Hénon-Heilesův model 0 (schematický popis pohybu hvězd kolem centra galaxie) Vysoká variabilita chování při změnách parametrů a energie: Potenciál pro A= 0.84, B,C,M= ) P h y s i c a Magia Maxima E=4.4 A=.6, B,C,M= E=3 A= 0.84, B,C,M= E=.4 x
x 0 x 0 Bernoulliova posloupnost Rekurentní vztah x n x 0, bb b3b 4b5 x n n (mod) V dvojkovém zápisu je tato posloupnost vyjádřena opakovaným ciferným posunem doleva o jedno místo: x n, 0 b b b b4 b 3 b b3 b4 mod 0 3 4 3 4 Př.: 0.000000 0.000000 0.0000000. cifra lokalizuje bod v levé/pravé ½ intervalu [0,]. cifra daného ½-intervalu 3. cifra daného ¼-intervalu... 0 levá ½ b k pravá ½ 0 ¼ ½ ¾ Bernoulliova transformace generuje chaotické trajektorie! Např. posloupnosti vycházející z těchto počátečních bodů jsou ve 4. kroku v opačných ½-intervalech: 0.00000000000 0.000000000000 0 bb3 b4b5 b6
Algoritmická složitost J. Ford, G.Mantica, Physics Today 983, p.40 & Am.J.Phys. 60 (99) 086 Složitost S(B n n ) sekvence B { b, b, b3, b4,, b }, b n i {0,}, je rovna minimální bitové délce počítačového programu schopného tuto sekvenci vygenerovat n n jednoduché sekvence: S( B ) log n např. for i= to n print n n složité sekvence: S(B ) n výčet elementů: print { b, b,, b n } Složitost nekonečné sekvence: n S( B ) n K( B ) n 0 jednoduché sekvence 0 složité Např. Ludolfovo číslo je algoritmicky jednoduchá sekvence.000000000000000000000000000... 3.4596535897933846643383795088497693993750... 3.43F6A8885A308D33 9... (A=0,B=,C=,D=3,E=4,F=5) dvojková soustava desítková soustava šestnáctková soustava Existuje algoritmus umožňující jednotlivé cifry čísla π v šestnáctkové soustavě počítat nezávisle, tj. bez znalosti předchozích cifer Ludolph van Ceulen (540 60) (hlasováním zvolená nejošklivější formulka všech dob) ):-O
Algoritmická složitost J. Ford, G.Mantica, Physics Today 983, p.40 & Am.J.Phys. 60 (99) 086 Složitost S(B n n ) sekvence B { b, b, b3, b4,, b }, b n i {0, }, je rovna minimální bitové délce počítačového programu schopného tuto sekvenci vygenerovat n n jednoduché sekvence: S( B ) log n např. for i= to n print n n složité sekvence: S(B ) n výčet elementů: print { b, b,, b n } Složitost nekonečné sekvence: n S( B ) n K( B ) n 0 jednoduché sekvence 0 složité Např. Bernoulliova posloupnost vytváří složité sekvence.cifra=0.cifra= Sekvence je tvořena např. první cifrou dvojkového rozvoje jednotlivých členů x n posloupnosti Složité sekvence jsou z praktického hlediska zcela náhodné!
Algoritmická složitost J. Ford, G.Mantica, Physics Today 983, p.40 & Am.J.Phys. 60 (99) 086 Složitost S(B n n ) sekvence B { b, b, b3, b4,, b }, b n i {0, }, je rovna minimální bitové délce počítačového programu schopného tuto sekvenci vygenerovat n n jednoduché sekvence: S( B ) log n např. for i= to n print n n složité sekvence: S(B ) n výčet elementů: print { b, b,, b n } Složitost nekonečné sekvence: n S( B ) n K( B ) n 0 jednoduché sekvence 0 složité Např. Bernoulliova posloupnost vytváří složité sekvence Klasická mechanika vytváří složité (tedy náhodné ) sekvence fázový prostor Dim = 6N #i 0 Rozdělení fázového prostoru na očíslované buňky. Sledujeme sekvenci buněk #i 0,#i,, #i k, kterými prochází trajektorie z definovaného počátečního bodu t #i k
Kvantová evoluce není chaotická! Vývoj stavu v kvantové fyzice nevykazuje motýlí efekt: malá změna počátečního stavu vede ke stejně malé změně koncového stavu, odchylka se nezesiluje. Existuje chaos na kvantové úrovni? Michael Berry (*94) Neexistuje kvantový chaos ve smyslu exponenciální citlivosti k počátečním podmínkám, ale existuje řada kvantových fenoménů, které odrážejí přítomnost klasického chaosu. Studium těchto fenoménů nazývám kvantovou chaologií. Schrödingerova rovnice je lineární! Kvantová mechanika je algoritmicky jednoduchá (sic )!!! prostor vlnových funkcí Dim ~ exp N Aproximace stavového vektoru v čase 0 na dané úrovni přesnosti umožňuje predikce pro libovolné časy t na stejné úrovni přesnosti! #i k #i 0 t
Kvantový chaos Energie Regularita/chaoticita klas. dynamiky má zásadní vliv na vzájemné korelace mezi hladinami kvantových spekter Např. rozdělení normalizovaných vzdáleností s mezi sousedními energetickými hladinami E n3 E n E n E n ΔE s E E střední vzdálenost hladin v dané oblasti spektra Fenomén odpuzování hladin v chaotických systémech regulární biliár Poissonovo rozdělení s P( s) e chaotický biliár Wignerovo rozdělení P( s) 4 se s absence korelací mezi hladinami silné korelace mezi hladinami A.Bäcker (007)
Kvantový chaos Korelace ve spektrech chaotických systémů mají univerzální charakter a jsou popsány teorií náhodných matic dá se aplikovat v různých fyzikálních systémech 56 Gd Spektrum atomového jádra Elastomechanické módy nepravidelného krystalu Si (experiment) Neutrální atomy Hf, Ta, W, Re, Os, Ir (exp.data) Rosenzweig, Porter (960) energie po absorpci neutronu Ellegaard et al. (996) Vzdálenost jaderných rezonancí (76 experimentálních hodnot) Niels Bohr (936) Eugene Wigner (955) Oriol Bohigas et al. (98) Wigner Atom H v silném mg.poli (num. výpočet) Wintgen, Friedrich (987)
Kvantový chaos bez kvant Korelace ve spektrech chaotických systémů mají univerzální charakter a jsou popsány teorií náhodných matic přesah do mnoha oblastí daleko mimo fyziku Vzdálenost vlastních hodnot autokorelačních matic EEG signálu Cuernavaca Vzdálenost autobusů MHD (v Mexiku) Puebla Šeba (003) Šeba et al. (000) Vzdál. vl.hodnot korel. matic pro různé meteorologické veličiny Santhanam et al. (00) Vzdál. vl.hodnot korel.matic pro fluktuace cen akcií Plerou et al. (00) Vzdál.vl.hod.korel.matic pro posunutí molekul v proteinech Potestio et al. (009)
Riemannova zeta funkce y ( z) z ( z z z 3 )( z 3 z 4 )( z 5 )( z 7 z=x+iy prvočísla ) Bernhard Riemann (86 866) x Riemannova hypotéza Nuly zeta funkce v komplexní rovině proměnné z se všechny (kromě tzv. triviálních nul z =, 4, 6, ) nacházejí na přímce z = ½ + i y Toto tvrzení má zásadní důsledky pro mnoho různých odvětví matematiky!!! ς Numerické výsledky pro N 0 0 komplexních nul perfektně souhlasí s předpovědí teorie náhodných matic Existuje kvantově chaotický systém, jehož energetické spektrum je určeno nulami zeta funkce?????? y B. Cipra: A prime case of chaos (AMS, 999)
Empedokles z Akragantu (cca 480-40 BC) Kosmos = Sfairos + Chaos výsledek Lásky výsledek Sváru A tato věčná změna nikdy neustává, hned Láska všechno spojí v jednotu, hned se zas všecko rozkotá řáděním Sváru. Tak tedy vzniká jednota z mnohosti a mnohost zase z trosek jednoty nezáří ti tu do očí údy hbitého slunce ani hrubá síla země ani moře. Tak spočívá v pevném skrytu Harmonie kulový Sfairos, jenž vládne s hrdostí v samotě vůkol brzy se zase rozpadnou zásahem zlého Sváru. Tak se vše trmácí i ryby, jež v hlubinách sídlí, zvěř z hor i chocholaté potápky O PODSTATĚ SVĚTA (z řečtiny přeložil Jaroslav Pokorný, 944)