VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JAN JANDORA VODOHOSPODÁŘSKÉ STAVBY MODUL 01 ZÁKLADY HYDRAULIKY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
Vodoospodářské stavby Modul 01 Základy ydrauliky Jan Jandora, 004 - (64) -
Obsa OBSAH 1 Úvod...5 1.1 Cíle...5 1. Požadované znalosti...5 1.3 Doba potřebná ke studiu...5 1.4 Klíčová slova...5 Fyzikální vlastnosti kapalin...6.1 Hustota a měrná tía kapaliny...6. Viskozita kapalin...6.3 Stlačitelnost kapalin...7.4 Ideální kapalina...7 3 Hydrostatika...9 3.1 Tlak v kapalině za klidu...9 3. Rovňové a ladinové plocy, spojité nádoby a Pascalův teorém...10 3.3 Tlaková síla kapaliny na vodorovné plocy...11 3.4 Tlaková síla kapaliny na rovinné plocy...1 3.5 Plování těles...15 4 Hydrodynamika...18 4.1 Rovnice kontinuity v 1D...0 4. Bernoullio rovnice...1 5 Ustálený výtok kapaliny otvorem z nádob...4 5.1 Volný výtok malým otvorem ve dně...5 5. Součinitelé výtoku, zúžení, výtokové ryclosti a ztrát...6 5.3 Volný výtok otvorem ve svislé stěně...6 5.4 Volný výtok ydraulicky malým otvorem ve svislé stěně...7 5.5 Výtok ponořeným otvorem ve svislé stěně...7 6 Přepady...8 6.1 Ostroranné přelivy...9 6. Jezové přelivy...3 6.3 Přepad přes širokou korunu bez bočnío zúžení...35 7 Ustálené tlakové proudění vody v potrubí...38 7.1 Hydraulické odpory...38 7. Laminární a turbulentní proudění...39 7.3 Ztráty třením...40 7.4 Místní ztráty...44 7.5 Hydraulicky krátká potrubí...46 7.6 Hydraulicky dloué potrubí a potrubí s odběrem po délce...47 8 Rovnoměrné proudění vody v otevřenýc korytec...49 8.1 Výpočet průřezové ryclosti...50 8. Hydraulický výpočet rovnoměrnéo proudění v otevřenýc korytec...51 8.3 Profily o různýc drsnostec jednotlivýc částí...5 8.4 Složené profily...53 8.5 Uzavřené profily s volnou ladinou...53 8.6 Proudění kritické, říční a bystřinné...54-3 (64) -
Vodoospodářské stavby Modul 01 Základy ydrauliky 9 Proudění podzemní vody... 57 9.1 Darcyo vzta... 58 9. Jímání podzemní vody... 59 9.3 Úplná studna s volnou ladinou... 60 9.4 Úplná tlaková studna... 61 9.5 Sběrná štola... 61 9.6 Soustava studní... 6 10 Závěr... 64 10.1 Srnutí... 64 11 Studijní prameny... 64 11.1 Seznam použité literatury... 64 11. Seznam doplňkové studijní literatury... 64 1 Autotest... 64 13 Klíč... 64-4 (64) -
Úvod 1 1.1 Úvod Cíle Studijní text Základy ydrauliky pro Vodoospodářské stavby, který máte před sebou, je studijní oporou předmětu Vodoospodářské stavby v kombinovaném studiu bakalářskéo studijnío programu Inženýrské stavitelství na Fakultě stavební Vysokéo učení tecnickéo v Brně. Snaou autora bylo, aby obsa textu byl srozumitelný a zároveň stručný. Teoretické odvození nalezne čtenář v studijníc pramenec (Kap. 11). Hromadný výskyt vody na Zemi a její nezastupitelnost pro veškerý život a činnost člověka, byl příčinnou too, že se postupně vyvinula řada vědníc oborů zabývajícíc se výskytem vody, jejím oběem, mecanickými vlastnostmi, vodní biologií, cemií, atd. V dalším se budeme zabývat jednou z nic, a to ydraulikou, která tvoří společně s ydrologií teoretické základy vodnío stavitelství. Hydraulika by se podle svéo názvu (ydor = voda, aulos = potrubí, žlab) měla zabývat pouze poybem vody v potrubí nebo ve žlabu. Ve skutečnosti je její náplň mnoem širší. Hydraulika je věda o zákonitostec rovnováy a poybu tekutin a vzájemném působení tekutin a tuýc těles. Její fyzikálně matematický základ tvoří ydromecanika, která je částí klasické teoretické mecaniky. Pro úloy tecnické praxe, pro které nemá ydromecanika teoretickéo řešení, používá ydraulika vztaů empirickýc, odvozenýc z pozorování a měření v přírodě in situ nebo na modelec. 1. Požadované znalosti Mezi požadované znalosti patří zejména základy fyziky a matematiky. 1.3 Doba potřebná ke studiu Doba potřebná ke studiu této základní části ydrauliky je cca 8 odin a dalšíc cca 6 odin na propočítání příkladů. 1.4 Klíčová slova ydraulika, ydrostatika, Bernoulliova rovnice, proudění vody v potrubí, ztráty v potrubí, proudění vody v kanálec s volnou ladinou, přelivy, proudění podzemní vody. - 5 (64) -
Vodoospodářské stavby Modul 01 Základy ydrauliky.1 Fyzikální vlastnosti kapalin Hustota a měrná tía kapaliny Hustota kapaliny ρ (měrná motnost) je motnost kapaliny vztažená na jednotku objemu. Kapaliny jsou málo stlačitelné a jejic ustota se mění nepatrně s tlakem. Teplem se kapaliny roztaují, přičemž se jejic ustota zmenšuje se stoupající teplotou. Výjimku tvoří pouze voda, která se od 0 C do 4 C smršťuje a dalším vzrůstem teploty se roztauje (anomálie vody). Tyto změny platí při konstantním tlaku. Změna ustoty vlivem změny vnějšío tlaku se projevuje stlačitelností (Kap..3). Vliv teploty na ustotu vody při tlaku 10 5 Pa ukazuje Tab..1. Pro praktické výpočty ve stavební praxi obyčejně uvažujeme ρ = 1 000 kg/m 3. Tab..1 Hustota a kinematická viskozita vody v závislosti na teplotě při tlaku 1,01 10 5 Pa T [ C] ρ [kg/m 3 ] υ [m /s] T [ C] ρ [kg/m 3 ] υ [m /s] 0 999,84 1,7938 10-6 50 988,4 0,515 10-6 4 999,97 1,5671 10-6 60 983,38 0,478 10-6 10 999,70 1,3101 10-6 70 977,99 0,415 10-6 0 998,0 1,0105 10-6 80 97,01 0,367 10-6 30 995,65 0,804 10-6 90 965,30 0,37 10-6 40 99,36 0,661 10-6 100 959,69 0,94 10-6 Měrná tía kapaliny γ je tía kapaliny vztažená na jednotku objemu: γ = ρ g, (.1) kde g je tíové zryclení (g = 9,806 65 m/s =& 9,81 m/s ).. Viskozita kapalin V reálnýc kapalinác vznikají při vzájemném poybu částic důsledkem vnitřnío tření (viskozity) smyková (tangenciální) napětí τ. Newton zjistil, že vnitřní tření v kapalinác: - nezávisí na tlaku v kapalině, - závisí na druu kapaliny, - závisí na gradientu ryclosti čili na ryclostním spádu mezi dvěma vrstvami kapaliny (je-li ryclost dvou sousedníc částic kapaliny stejná, nepůsobí mezi nimi tření). Jsou-li dvě sousední vrstvičky vzdálené od sebe o dy a poybuje-li se jedna vrstvička ryclostí u a druá ryclostí u + du, lze podle Newtona smykové napětí vyjádřit vztaem: du τ = µ, (.) d y - 6 (64) -
Fyzikální vlastnosti kapalin kde µ je součinitel dynamické viskozity (carakterizuje viskozitu kapaliny) a d d u y gradient ryclosti. Kapaliny, u kterýc můžeme smykové napětí τ vyjádřit podle (.), nazýváme newtonovské kapaliny (kapaliny, pro něž platí přímá úměrnost mezi smykovým napětím a gradientem ryclosti). V ydraulice často používáme pro carakteristiku viskozity kapaliny součinitel kinematické viskozity υ, který je definován jako podíl dynamické viskozity a ustoty kapaliny: µ υ =. (.3) ρ Kinematická viskozita ν závisí na druu kapaliny a na její teplotě. Vliv tlaku se projeví jen při jeo velkýc odnotác. V Tab..1 jsou uvedeny odnoty kinematické viskozity vody v závislosti na její teplotě..3 Stlačitelnost kapalin Stlačitelností rozumíme vlastnost kapaliny změnit svůj objem při změně tlaku. Stlačitelnost je carakterizována objemovou stlačitelností χ, která vyjadřuje o kolik se zmenší jednotka objemu kapaliny při zvětšení tlaku o p = 1 Pa při T = konst. 1 dv χ =, V d p 1 K =. (.4) χ Převrácená odnota stlačitelnosti definuje modul objemové pružnosti (stlačitelnosti) K. Hodnota K pro vodu je ovlivněna množstvím polcenýc plynů a rozpuštěnýc solí ve vodě. Uvážíme-li, že modul pružnosti v tlaku je u oceli přibližně 10 GPa, tedy oproti vodě při běžnýc podmínkác (K =,03 GPa) přibližně stonásobný, je zřejmé, že pojem nestlačitelnosti vody je opodstatněný ve srovnání s plyny a nikoliv s pevnými látkami. Přesto ve většině ydraulickýc úlo předpokládáme, že voda je prakticky nestlačitelná. Objem kapaliny V po stlačení přírůstkem tlaku p je: p V = V 0 1 +. (.5) K kde V 0 je původní objem..4 Ideální kapalina Při odvození některýc ydraulickýc jevů vycázíme ze zjednodušení, kdy zanedbáváme některé fyzikální vlastnosti kapalin. Proto často při matematické analýze poybu kapalin vycázíme z pojmu ideální kapalina. Ideální kapalina je: nestlačitelná; objemově stálá při změnác teploty; neviskozní, takže v ní nepůsobí smyková napětí. - 7 (64) -
Vodoospodářské stavby Modul 01 Základy ydrauliky Př..1 Barel o objemu V = 500 l, naplněný vodou, byl uzavřen při teplotě t 1 = 0 o C. Jaký tlak nastane v barelu, pokud se voda v něm ořeje na teplotu t = 90 o C za předpokladu, že nedojde k odčerpávání vody (barel je neprodyšně uzavřen). V 0 C = 0,5 m 3 m ; ρ 0 = V ρ 0 C = 998,0 kg/m 3 (Tab..1); ρ 80 C = 97,01 kg/m 3 (Tab..1); K 0 C =,03 GPa (Odst..3); C 0 C = 0 C V0 C m ρ = (998,0 * 0,5) kg; m = 499,10 kg. m 499,10 V ; 3 80 C = = m ρ80 C 97,01 3 p =? Pa. V = 0,5135 ; Řešení: Podle rovnice (.5) platí: V 1 o = V o + 100 C 0 C p K o 0 C V 0,0135 9 p = K 0 C =,0310 Pa ; V 0,5 0 C p = 54,81 MPa. 80 C m V = V 80 C - V 0 C = 0,0135 m 3. p V = 1 + ; K 0 o C V barelu po ořátí vody bude tlak o 54,81 MPa větší. Př.. Při zkoušce tlakovéo potrubí o délce L = 500 m a průměru D = 1,0 m klesl po 1 odinác tlak v potrubí z 5,5 MPa na 5,0 MPa. Zjistěte kolik vody uniklo z potrubí. π D π 3 L = 500 m; V 0 = L = 500 m ; 4 4 D = 1,0 m; V 0 = 39,699 m 3. p = -0,5 MPa; K 0 C =,03 GPa (Odst..3). Řešení: Podle rovnice (.5) platí: 6 = p 0,5 10 m 3 1 + = 39,699 1 0 9 0 C,03 10 V V + ; K V = 39,60 m 3 ; V = V 0 - V = 39,699-39,60 m 3 = 0,097 m 3. Z potrubí vyteklo 97 l vody. Kontrolní otázka Jmenujte základní fyzikální vlastnosti kapalin. - 8 (64) -
Hydrostatika 3 Hydrostatika Hydraulika je oddíl tecnické mecaniky, která studuje zákony klidu a poybu kapalin. Dělí se na dvě základní části: ydrostatiku, která se zabývá kapalinami, které se nepoybují (jsou v klidu) a jejic účinkem na tuá tělesa; ydrodynamiku, která se zabývá poybem kapalin a jejic působením na tuá tělesa při jejic vzájemném relativním poybu. 3.1 Tlak v kapalině za klidu V kapalině v klidu uvažujme libovolnou plocu A. Kapalina působí na každý element této plocy da silou df. Tyto elementární tlaky jsou kolmé na příslušné plošné elementy, a to protože v kapalině v klidu nepůsobí smykové napětí (viz Odst.., při u = 0 m/s). Tlak v daném bodě kapaliny za klidu je dán poměrem normálové síly F a elementární plocy A: d F p =. (3.1) d A Průměrný tlak je definován: F p =. (3.) A Z rovnováy sil působícíc na vymezený čtyřstěn lze odvodit, že v určitém bodě kapaliny, která je v klidu, je tlak ve všec směrec stejný. z p B = p v B zb p A A za x Obr. 3.1 Tlak v kapalině na níž působí jen tíže Z Eulerovy diferenciální rovnice rovnováy v kapalině g. Tlak v bodě A (Obr. 3.1) je dán rovnicí: p = ρ g + (3.3) A p B kde = z B z A a p v = p B je vnější tlak působící na povrc kapaliny. Pro celkový statický tlak p s v kapalině, která je v klidu platí: p = p + p, kde p = ρ g. (3.4) s v y - 9 (64) -
Vodoospodářské stavby Modul 01 Základy ydrauliky Rovnice (3.4) vyjadřuje ydrostatické rozložení tlaku v kapalině. Statický tlak p s v libovolném bodě kapaliny, který působí vlastní tía, se rovná ydrostatickému tlaku p zvětšenému o vnější tlak na povrc kapaliny p v. Vnější tlak se přenáší do všec bodů kapaliny nezměněnou odnotou. Naproti tomu ydrostatický tlak p roste úměrně s loubkou. Je-li ρ = konst., pak ydrostatický tlak roste s loubku podle lineární závislosti. Vnější tlak je ve většině případů tlak atmosférický p a. Je to tlak plynnéo obalu Země, který nemá stálou odnotu a uvádí se průměrnou odnotou p a = 101,35 kpa. 3. Rovňové a ladinové plocy, spojité nádoby a Pascalův teorém Rovňové plocy jsou plocy, na kterýc je statický tlak konstantní. Rovňová ploca musí být kolmá ke směru výslednéo zryclení. Hladinová ploca je rovňová ploca tvořící povrc kapaliny. Na Zemi mají ladinové plocy přibližně kulový tvar (např. ladiny moří). Ve většině úva však můžeme malou část takové plocy v okolí určitéo bodu naradit vodorovnou rovinou. Ve dvou otevřenýc a navzájem spojenýc nádobác jsou dvě různé nemísící se kapaliny, které jsou v rovnováze (Obr. 3.). Rovina, která rozděluje obě nemísící se kapaliny, je plocou rovňovou. Proto tlaky na této ploše musí být všude stejné, jinak by byla porušena rovnováa. Platí: p v 1 ρ1 g 1 = pv + ρ + g. (3.5) p v 1 pv G A F 1 A 1 1 A ρ 1 B p p ρ F p Obr. 3. Spojité nádoby Obr. 3.3 Hydraulický lis Pascalův teorém: Tlak kapaliny uzavřené v malé nádobě a vystavené velkému vnějšímu tlaku je stálý v celém rozsau kapaliny. Síla F 1 působí na píst F1 o plošném obsau A 1 tlakem p = (Obr. 3.). Tento tlak se šíří rovnoměrně A1 v celé kapalině všemi směry a druý píst bude tedy vytlačován silou F = p A. Abycom udrželi píst v rovnováze, musíme na druý píst působit stejně velkou silou opačnéo směru G = F : F 1 = p A 1, G = F = p A, F 1 A = 1. Síly, které působí na písty, jsou úměrné příslušným plocám. Pascalův teorém se uplatní v tecnické praxi, např. při výpočtu ydraulickéo lisu. F A - 10 (64) -
Hydrostatika 3.3 Tlaková síla kapaliny na vodorovné plocy Na kapalinu, která je v klidu a na kterou působí jen tíže, působí ve všec bodec libovolné vodorovné roviny stejný tlak. A to proto, že každý bod takové roviny je ve stejné loubce pod volnou ladinou. Vodorovné roviny jsou tedy plocy rovňové. Obecně je výslednice tlaku dána integrálem: F = p d A, p = ρ g + p v. (3.6) A kde A je velikost zatěžované plocy. Jelikož se uvažuje vodorovná ploca, na které je stejný tlak (p = konst.), můžeme rovnici (3.6) upravit na tvar: F = p d A = p d A = p A. A A p v F s A p v F v Obr. 3.4 Tlaková síla na vodorovné dno nádoby Výsledná síla F s, která působí na celou uvažovanou vodorovnou plocu A, se rovná součinu této plocy a statickéo tlaku v libovolném bodě plocy A (Obr. 3.4): F = ( p + p ) A = ( p + ρ g A, s v v ) F s = F v + F. Jestliže ze vzdušní (drué) strany plocy A působí vnější tlak p v a tlaková síla od tooto tlaku má velikost: F v = p v A, pak síla od ydrostatickéo tlaku - ydrostatická síla F: F = ρ g A (3.7) je způsobena pouze tíou kapaliny. Tato ydrostatická síla F se rovná tíze sloupce kapaliny, jejíž základnou je ploca dna a výškou je jeo loubka pod ladinou. Tato věta platí pro nádobu jakéokoliv tvaru. Na dno nádob podle Obr. 3.5 působí stejná ydrostatická síla podle vztau (3.7). Nezáleží tedy na tíze kapaliny obsažené v nádobě, která může být i menší než ydrostatická síla kapaliny na dno. Tento poznatek nazýváme ydrostatické paradoxon. A A A A A Obr. 3.5 Hydrostatické paradoxon - 11 (64) -
Vodoospodářské stavby Modul 01 Základy ydrauliky 3.4 Tlaková síla kapaliny na rovinné plocy Libovolně nakloněnou rovinnou plocu v kapalině si představujeme jako plocu složenou z nekonečnéo počtu malýc plošek da. Obecně můžeme říci, že na každou plošku působí tlak p, který se mění spojitě s loubkou plošky da pod ladinou. Přičemž tlak p = f(x, y, z) je kolmý na danou plošku da. Analytické řešení V rovině, která je odkloněna od volné ladiny o úel α, je ploca A a v ní elementární ploška da, která leží v loubce pod ladinou. Tlak v této loubce je: p = p v + ρ g a tlaková síla df na nekonečně malou plošku da má velikost: df = (p v + ρ g ) da. α 0,0 C T F df C T A α C T xt xc x y yt e x y yc da Obr. 3.6 Tlaková síla na rovinné plocy Celková tlaková síla se určí integrováním v rozsau plocy A podle (3.6) a po úpravác se obdrží: F = ( pv + ρ g T ) A. Vnější tlak p v je nejčastěji tlak vzducu, který působí i z drué strany plocy A. Síly p v A působící z obou stran nádoby jsou stejně velké ale opačnéo smyslu a navzájem se tedy ruší. Zůstává jen silový účinek tíy kapaliny - ydrostatická tlaková síla: F = ρ g A. (3.8) T Hydrostatická tlaková síla, která působí na rovinnou plocu, se rovná součinu této plocy a ydrostatickéo tlaku v jejím těžišti. Protože všecny elementární síly df jsou kolmé k ploše A, bude i výsledná síla kolmá k ploše A. Její působiště nalezneme z rovnosti momentů od výsledné ydrostatické tlakové síly F a dílčíc sil df k osám x a y. Bod C je působištěm výsledné ydrostatické síly F: J y J T x C = = + xt, kde J y = J T + A x T. (3.9) A x A x T T - 1 (64) -
Hydrostatika Vzdálenost působiště C výsledné ydrostatické tlakové síly F na danou plocu A od osy y se rovná podílu momentu setrvačnosti J y plocy A k ose y a statickému momentu plocy A k téže ose. Moment setrvačnosti J y byl narazen momentem setrvačnosti J T k těžišťové ose. Působiště ydrostatické tlakové síly je tedy pod těžištěm zatěžované plocy, a to o odnotu: J T e =, (3.10) A xt kterou nazýváme excentricita. Tato excenticita vymizí pro vodorovné dno (x T = ) nebo pro oboustranně úplně ponořené šikmé plocy a obecně, je-li tlačená ploca totožná s plocou rovňovou. Jde-li o poměrně malé plocy, které leží dosti luboko pod ladinou, bývá tento rozdíl zanedbatelný. Je-li ploca symetrická podle osy x, leží samozřejmě působiště C na této ose x. U nesouměrné plocy musíme ještě určit druou souřadnici působiště y C. Pomocí momentové věty k ose x bude: Dx, y yc =, (3.11) A xt kde D x,y je deviační moment plocy A k osám x, y. Horizontální a vertikální složka ydrostatické tlakové síly na rovinné plocy Při některýc úloác je výodné, známe-li vodorovnou (orizontální) a svislou (vertikální) složku ydrostatické tlakové síly. Určíme je rozkladem síly F do dvou směrů - vodorovnéo a svisléo (Obr. 3.7): vodorovná složka: svislá složka: F = F sin α = ρ g T A sin α, F = ρ g, (3.1) T A v F v = F cos α = ρ g T A cos α, Fv = ρ g T A, (3.13) kde A v je průmět plocy A do svislé roviny a A průmět plocy A do vodorovné roviny. Vodorovná složka ydrostatické tlakové síly se rovná ydrostatické tlakové síle na průmět tlačené plocy do svislé roviny kolmé k uvažovanému směru. Svislá složka ydrostatické tlakové síly se rovná tíze svisléo sloupce kapaliny nad tlačenou plocou až ke ladině. Pravidlo o svislé složce platí i v případě, kdy sloupec vody nad tlačenou plocou není, svislá složka směřuje vzůru, vzniká zde vztlak (Obr. 3.7 b). a) A b) A A v F v F v A v F F Obr. 3.7 Grafické znázornění vodorovné a svislé složky - 13 (64) -
Vodoospodářské stavby Modul 01 Základy ydrauliky Výsledná ydrostatická síla F jde průsečíkem obou složek a její velikost je: F F + F v =. (3.14) Grafické znázornění ydrostatickéo tlaku na rovinné plocy s konstantní šířkou pomocí zatěžovacíc obrazců Průbě ydrostatickéo tlaku můžeme znázornit graficky. Velikost, působiště a směr ydrostatické tlakové síly na rovinnou plocu s konstantní šířkou, která má orní a dolní ranu rovnoběžnou s ladinou, můžeme obdržet pomocí tzv. zatěžovacío obrazce (Obr. 3.8). Zatěžovací obrazec obdržíme graficky tak, že v každém bodě uvažované zatěžované plocy vyneseme jeo loubku pod ladinou, a to ve směru ve kterém působí tlak, tj. na kolmici k uvažované ploše. Velikost dílčí ydrostatické tlakové síly je: Fi = ρ g b A zi, (3.15) kde A zi je plošný obsa i-téo zatěžovacío obrazce. To znamená, že ploca zatěžovacío obrazce představuje ydrostatickou tlakovou sílu při ρ g b = 1. Hydrostatická tlaková síla na i-tou obdélníkovou plocu se dvěma stranami rovnoběžnými s ladinou se rovná součinu měrné tíy kapaliny γ, šířky tlačené plocy b a plocy zatěžovacío obrazce A zi. Dílčí výslednice procází těžištěm M i zatěžovacío obrazce A zi. Velikost výsledné ydrostatické tlakové síly F určíme vektorovým součtem dílčíc sil F i. Uvedený postup si osvětlíme na příkladu obdélníkové stěny o šířce b (Obr. 3.9). Vodorovná složka je dána tlakem na obdélník o výšce 15 a šířce b a zatěžovací obrazec A* bude licoběžník 1567 (Obr. 3.9 a). Svislá složka je dána tíou kapaliny o objemu V mezi zatěžovanou plocou a ladinou, jeož příčným řezem, tedy i zatěžovacím obrazcem A** je licoběžník 134. Velikosti složek obdržíme, násobíme-li zatěžovací obrazce měrnou tíou γ a šířkou b: F = ρ g b A*, F v = ρ g b A **. (3.16) Jednotlivé složky procázejí těžištěm příslušnéo zatěžovacío obrazce. V případě, že složka směřuje vzůru, ladina se uvažuje myšlená, vzniklá prodloužením skutečné ladiny (Obr. 3.9 b). Je nutné ještě jednou zdůraznit, že uvedený postup určování tlakovýc sil pomocí zatěžovacío obrazce je možné použít pouze pro rovinnou plocu s konstantní šířkou (např. obdélník nebo koso obdélník) a s vodorovnými stranami. U jinýc rovinnýc obrazců, jejicž šířka po výšce není konstantní, uvezené odvození neplatí. F F 1 A z M A z T C A z T F C F 3 C T Az 3 b b Obr. 3.8 Zatěžovací obrazce - 14 (64) -
Hydrostatika a) b) 4 3 myšlená ladina A** F v 7 6 F A* 5 1 A** b b F v A* α F F Obr. 3.9 Zatěžovací obrazce orizontální a vertikální složky ydrostatické tlakové síly 3.5 Plování těles da 1 da F d tl 1 F do df v O F da df vz Obr. 3.10 Vztlak Uvažujme pevné těleso úplně ponořené do kapaliny, která se nepoybuje. Těleso udržujeme v rovnováze např. zavěšením. Hledejme výslednici tlakovýc sil kapaliny na toto těleso. Vodorovná složka tlakové síly v libovolném směru se rovná ydrostatické tlakové síle na průmět příslušné tlačené plocy do svislé roviny kolmé k tomuto směru. Jelikož průměty jsou totožné, působí na ně vodorovné tlakové síly stejně veliké, ale opačnéo směru, které se navzájem ruší. To platí pro libovolný vodorovný směr. Zbývá určit svislou složku. Zvolíme-li na povrcu tělesa dvě elementární plošky da 1 a da svisle nad sebou položené tak, aby jejic průměty da do vodorovné roviny byly stejné. Svislé složky tlakovýc sil na tyto plošky jsou dány tíami sloupců kapaliny svisle nad nimi až k ladině: směrem dolů: df tl = ρ g da 1, směrem vzůru: df vz = ρ g da, tedy výslednice: df v = ρ g da' ( - 1 ) = ρ g do, kde do je objem vyšrafovanéo elementárnío ranolu. Integrací po celém povrcu tělesa dostáváme svislou výslednici všec tlakovýc sil kapaliny na těleso: F v = ρ g O, kde O je objem ponořenéo tělesa. Tím dospíváme ke známé a velmi důležité Arcimédově větě. Těleso ponořené do kapaliny je nadlečováno vztlakovou silou, která se rovná tíze kapaliny tělesem vytlačené. - 15 (64) -
Vodoospodářské stavby Modul 01 Základy ydrauliky Na těleso ponořené do kapaliny působí vlastní tía tělesa G ve směru gravitace (tedy směrem dolů) v těžišti tělesa T a vztlaková síla F vz směrem vzůru v těžišti ponořené části tělesa C: G = ρt g V t, Fvz = ρ g W, (3.17) kde W je výtlak - objem ponořené části tělesa, V t objem tělesa, ρ t ustota tělesa, ρ ustota kapaliny a g tíové zryclení. V závislosti na vzájemném poměru velikostí těcto dvou sil nastávají tyto případy: těleso klesá ke dnu (G > F vz ); těleso se vznáší (G = F vz ); těleso plove (G < F vz ). Hloubka nejnižšío bodu tělesa pod ladinou se nazývá ponor t n. Hladina protíná těleso v ploše, kterou nazýváme plavební plocou a plavební osa je myšlená přímka, která jde těžištěm tělesa T a působištěm vztlaku C. Ponor plovoucío tělesa se vypočte z podmínky: Př. 3.1 G = F vz. Vypočítejte velikost a působiště tlakové síly, která působí na obdélníkový uzávěr (Obr. 3.1) o rozměrec a = 1,0 m a b = 1,5 m umístěnéo v šikmé stěně, která je odkloněna od vodorovné o úel α = 65 o. Uzávěr má dolní ranu v úrovni dna a loubka vody v nádrži je m. a = 1,0 m; b = 1,5 m; tlačená ploca: A = a b; =,0 m; A = 1,0 * 1,5 = 1,5 m. α = 65 o ; ρ = 1000 kg/m 3 ; g = 9,81 m/s ; F =? N; x C =? m. a) b) 0,0 C T F α A T b yc x T x C y C F A Fv α A C a Av x c) d) C = 1 C A z F α Obr. 3.1 Tlaková síla na obdélníkový uzávěr F α Fv - 16 (64) -
Hydrostatika Řešení: poloa těžiště: a a x T = ; T = - sin α; sin α x T =,0 1,0 sin 65 0 = 1,707 m; T =,0-1,0 sin 65 o = 1,547 m. a) Výpočet ydrostatické tlakové síly podle rovnice (3.8) - Obr. 3.1 a): F = ρ g T A ; F = 1000*9,81*1,547*1,5 = 764,11 N. Poloa působiště tlakové síly je ve svislé ose zatěžované plocy (osa x) a vzdálenost x C (3.9): J T x C = A x T 1 3 b a 1 a + xt = + xt = + xt ; C = x C sin α; a b x 1 x T T x C = 1,0 1, 707 1 *1,707 + = 1,756 m; C = 1,756 sin 65 o = 1,591 m. b) Výpočet pomocí vertikální a orizontální složky tlakové síly (Obr. 3.1 b) - rovnice (3.1) a (3.13): vodorovná složka F = ρ g T A v ; A v = a b sin α = A sin α; F = ρ g T A sin α; F = 1000*9,81*1,547*1,50*sin 65 o = 0 631,9 N; svislá složka F v = ρ g T A ; A = a b cos α = A cos α; F v = ρ g T A cos α; F v = 1000*9,81*1,547*1,50*cos 65 o = 9 60,53 N; výsledná tlaková síla F + ; = F Fv F = 0 631,9 + 9 60,53 = 764,11 N. c) Výpočet tlakové síly pomocí zatěžovacío obrazce (Obr. 3.1c) - rovnice (3.15): plošný obsa zatěžovacío obrazce: A z = 1 + a ; 1 = - a sin α; = ; a sin α A z = a ; o *,0 1,0 sin 65 A z = 1,0 = 1,547 m ; velikost tlakové síly: F = ρ g b A z ; F = 1000*9,81*1,50*1,547 = 764,11 N. Působiště tlakové síly procází těžištěm zatěžovacío obrazce. d) Výpočet tlakové síly pomocí zatěžovacío obrazce (Obr. 3.1d) - rovnice (3.16): A * 1 1 = ( a sin α) ; - 17 (64) -
Vodoospodářské stavby Modul 01 Základy ydrauliky A * = 0,5*,0-0.5*(,0-1,0*sin 65 o ) = 1,40 m ; A ** 1 = a cos α a sin α cos α ; A ** = 1,0*,0*cos 65 o - 0,5*1,0 *sin 65 o *cos 65 o = 0,654 m ; F = ρ g b A * ; F v = ρ g b A ** ; F = 9810*1,5*1,40 = 0 630,43 N; F v = 9810*1,5*0,654 = 9 63,61 N; F = F = F + ; F v 0 630,43 + 9 63,61 = 764,63 N. Př. 3. Působiště složek sil procází těžišti jednotlivýc zatěžovacíc obrazců. Zjistěte ponor tn dřevěnéo kvádru. Šířka kvádru je 0,8 m, délka,0 m a výška 0,3 m. Dřevo má měrnou motnost ρ d = 800 kg/m 3. ρ = 1 000 kg/m 3 ; ρ d = 800 kg/m 3 ; g = 9,81 m/s ; a =,0 m; b = 0,8 m; c = 0,3 m; t n =? m. T C směr poybu Obr. 3.13 Plování dřevěnéo kvádru Řešení: Hloubka nejnižšío bodu plovoucío tělesa t n (ponor) se vypočte z porovnání vztlakové síly a tíy kvádru: F vz = G; ρ g W = ρ d g V t ; V t = a b c; W = a b t n ; ρ g t n = ρ d g c; ρ d 800 t n = c = 0, 3 m = 0,4 m. ρ 1000 Ponor dřevěnéo kvádru je 0,4 m. Kontrolní otázky - Jaký směr mají síly, které působí na libovolnou rovinnou plocu v kapalině za klidu? - Jak je definován celkový statický tlak? 4 Hydrodynamika Na rozdíl od ydrostatiky jsou poměry při poybu tekutin složitější a jejic matematická formulace obtížnější. Často proto používáme k výpočtům zjednodušená scémata doplněná opravnými součiniteli. Vycázíme z rozboru poybu ideální kapaliny, přičemž zavádíme pojem proudovéo vlákna. Hydrodynamika se zabývá poybem kapalin a jejic působením na tuá tělesa při vzájemném relativním poybu. Definujme některé základní termíny: - 18 (64) -
Hydrodynamika průtočný profil - rovinný řez vedením proudu, kolmý k jeo podélné ose a carakterizující jeo tvar, který kapalina zaujímá nebo může zaujmout, je průtočný profil. Průtočný profil může být: - otevřený - řeka; - uzavřený - potrubí, stoka, propustek, atd.; bodová ryclost u = u(x,y,z,t) - okamžitou ryclost tekutiny v daném bodě nazýváme bodová ryclost. Bodovou ryclostí určité částice rozumíme dráu l, kterou tato částice urazí za jednotku času t: dl u = ; dt průtočný průřez (průtočná ploca) A - plošný obsa řezu proudu plocou kolmou v každém bodě k vektoru bodové ryclosti u; průtok (objemový průtok) - objem kapaliny, který proteče průtočným průřezem za jednotku času: Q = u d A; (4.1) motnostní průtok - motnost kapaliny, která proteče průtočným průřezem za jednotku času: Q = u ρ d A ; průřezová ryclost v - střední odnota ryclosti v průtočném průřezu. Je definována tak, že vynásobíme-li její odnotou průtočný průřez A, dostaneme průtok Q: proudění ustálené - m A A u d A A Q = v A ; v = ; (4.) A při ustáleném (stacionárním, permanentním) proudění jsou ydraulické veličiny (průtok, průřezová ryclost, průtočná ploca) v čase neměnné, a závisí pouze na poloze. Můžeme tedy psát: ryclost: u = f(x, y, z); tlak: p = f(x, y, z); neustálené - neustálené (nestacionární, nepermanentní) proudění je takové, kde ydraulické veličiny jsou funkcí času a poloy: ryclost: u = f(x, y, z, t); tlak: p = f(x, y, z, t); proudění rovnoměrné - rovnoměrné proudění je zvláštním případem poybu ustálenéo, při kterém jsou průtočné průřezy na celém úseku konstantní (A 1 = A =... = konst.). Protože je při poybu ustáleném i průtok Q konstantní, průřezové ryclosti jsou také konstantní (v 1 = v =... = konst.), to nastává např. při konstantním sklonu dna koryta, neměnnýc příčnýc profilec a drsnostec vedení; - 19 (64) -
Vodoospodářské stavby Modul 01 Základy ydrauliky nerovnoměrné - při nerovnoměrném ustáleném prudění jsou ydraulické veličiny konstantní v čase, ale průřezová ryclost a průtočná ploca se mění po délce proudu, což je dáno např. proměnným sklonem dna koryta, proměnnýc příčnýc profilec a drsnostec, atd. Ustálené a neustálené proudění si můžeme představit na příkladu výtoku kapaliny z nádrže: - je-li výtok z nádrže stejný jako přítok do ní, nemění se poloa ladiny v nádrži, na které je závislé odtokové množství a proudění je ustálené; - naopak, není-li přítok do nádrže stejný jako odtok, docází ke změně poloy ladiny, což vyvolá změnu odtokovéo množství. Jedná se o plnění nebo prázdnění nádrže a proudění je neustálené. Jiným příkladem může neustálenéo proudění může být průcod povodně, kdy se průtok Q(x,t) v čase mění. Proudění ustálené rovnoměrné můžeme pozorovat na upravenýc tocíc nebo umělýc náonec stáléo průřezu (příčnéo profilu) a konstantnío sklonu dna koryta. Hladina je při tomto proudění rovnoběžná se dnem. Nerovnoměrné ustálené proudění je například v přirozenýc tocíc, kde vzniká vzdutí (např. jezem) nebo snížení - sklon dna není rovnoběžný se klonem ladiny a sklony dna i ladiny nejsou konstantní. Dále je zapotřebí upozornit na rozčlenění proudění z lediska tlakovýc poměrů: - proudění s volnou ladinou, kde povrc ladiny je v bezprostředním kontaktu s ovzduším, na ladinu působí atmosférický tlak. Je to proudění v otevřenýc průtočnýc profilec, to je v korytec řek, kanálů a žlabec. Ale i v uzavřenýc profilec (v potrubí, ve stokovýc průřezec, v propustcíc) pokud nejsou celé zaplněny kapalinou; - proudění tlakové, které je v uzavřenýc profilec, především v potrubíc, když kapalina protéká plným průřezem a v každém místě je tlak různý od atmosférickéo. Příkladem je potrubí, kterým se vede voda z vodojemu ke spotřebiteli. Tlakové poměry ukazuje tlaková čára, která udává ve všec profilec potrubí odnotu tlakové (piezometrické) výšky; - proudové paprsky, které jsou oraničeny kapalným nebo plynným prostředím a poybují se v něm buď vlastní tíou nebo setrvačností vlivem počáteční ryclosti. Příkladem může být paprsek vytékající z požární adice. 4.1 Rovnice kontinuity v 1D Rovnice (spojitosti) kontinuity je diskrétním vyjádřením zákona zacování motnosti. Rovnice spojitosti nestlačitelné kapaliny v jednodimenzionálním ustáleném proudění má tvar (objemový tvar rovnice kontinuity): A Q = v 1 A 1 = v A = v 3 A 3 = konst. v1 = v, (4.3) A1 kde indexy (1,, 3,... ) se vztaují k jednotlivým profilům. V případě ustálenéo proudění stlačitelné kapaliny (ρ konst.) nabude rovnice kontinuity tvaru (motnostní tvar rovnice kontinuity): Q m = ρ 1 v 1 A 1 = ρ v A = ρ 3 v 3 A 3 = konst. - 0 (64) -
Hydrodynamika 4. Bernoullio rovnice Bernoullio rovnice má tvar: p u + + = konst. ρ g g Protože je poloová (geodetická) výška uvažované částice nebo těžiště průtočnéo průřezu nad libovolnou srovnávací rovinou, musí i ostatní p u dva členy mít rozměr výšky. Výraz ρ g nazýváme tlakovou výškou a g ryclostní výškou. Bernoullio rovnice pro ustálené proudění ideální kapaliny říká, že pro všecny průřezy určitéo proudovéo vlákna je součet poloové, tlakové a ryclostní výšky stálý: p1 u1 p u 1 + + = + +. (4.4) ρ g g ρ g g Jinak lze také říci, že součet poloové, tlakové a poybové energie příslušející jednotce tíy průtoku ideální kapaliny je stálý pro všecny průřezy. Bernoullio rovnice vyjadřuje zákon zacování mecanické energie proudu ideální kapaliny. Pro skutečný proud kapaliny a příslušný průřez bodovou ryclost u naradíme průřezovou ryclostí v a nerovnoměrné rozdělení ryclosti v profilu se zolední Coriolisovým číslem α. Coriolisovo číslo vyjadřuje podíl skutečné kinetické energie E k v průřezu stanovené z bodovýc ryclostí ku kinetické energii vyjádřené z průřezové ryclosti: u 3 d A A α =. 3 v A Číselná odnota Coriolisova čísla se podle pokusů poybuje u potrubí a pravidelnýc koryt v mezíc 1,0 až 1,0, nejčastěji se blíží odnotě α = 1,10, i když může být podstatně vyšší (u laminárnío poybu v potrubí je α =,0). Obecně se Coriolisovo číslo liší průřez od průřezu, nejčastěji však pro daný proud uvažujeme stálou odnotou. V některýc výpočtec se spokojujeme s odnotou α 1,0 (což odpovídá ideální kapalině). Při poybu vazké kapaliny docází v kapalině k vnitřnímu tření a tření o stěny vedení. Část mecanické energie se mění v jiné formy energie (převážně tepelnou). Tato přeměna energie je z ydraulickéo lediska ztráta a značíme ji z. Bernoullio rovnice pro skutečnou kapalinu, která se považuje za nestlačitelnou, ale uvažuje se vnitřní tření, má tvar (Obr. 4.1): p α v 1 1 1 + + = + + + ρ g g p ρ g α v g z, (4.5) kde indexy (1, ) se vztaují k jednotlivým profilům (Obr. 4.1) a z je ztrátová výška, která vyjadřuje úbytek energetické výšky mezi dvěma průřezy proudu. Kdybycom potrubí navrtali a připojili k němu svislé trubky naoře otevřené (piezometrické trubky), ustavila by se v nic ladina ve výši ρp g, která udává tlakovou výšku v příslušném průřezu. Spojnice všec koncovýc bodů těcto tlakovýc výšek se nazývá tlakovou čárou. Vyneseme-li nad tlakovou čáru v každém průřezu příslušnou ryclostní výšku a takto získané body spojíme, dostaneme čáru energie. - 1 (64) -
Vodoospodářské stavby Modul 01 Základy ydrauliky Obr. 4.1 Grafické znázornění Bernoullio věty pro vlákno skutečné kapaliny Příklady použití Bernoullio rovnice: K měření ryclostí v proudu můžeme použít Pitotovy trubice (Obr. 4.), která je v původním tvaru trubice onutá do pravéo úlu a na obou koncíc otevřená. Nastavuje se otvorem směrem proti proudu v příslušném místě kapaliny, kde cceme měřit bodovou (skutečnou) ryclost u. Ve svislém rameni pak vystoupí voda do úrovně "3". Toto převýšení určíme použitím Bernoullio rovnice pro body "1" a "" proudovéo vlákna proti vodorovné trubici. V bodě "1" proudí kapalina téměř nerušenou původní ryclostí u, kdežto v čelním otvoru "" je ryclost nulová, voda trubici obtéká a v trubici se voda nepoybuje. Za předpokladu, že nebudeme uvažovat ztráty, má Bernoullio rovnice pro body "1" a "" tvar: p1 u1 p 1 + + = + + ρ g g ρ g u, g protože u = 0 a 1 =, zůstane u = u 1, tedy: u = g p p ρ g 1 = H, kde H je převýšení ladiny v Pitotově trubici nad ladinou proudu. Ukazuje tedy ryclostní výšku místní ryclosti. Hledaná ryclost má velikost: u = g H, nebo přesněji u = ϕ g H, (4.6) kde ϕ je opravný součinitel, který je závislý na konstrukci trubky a určí se tárováním. K měření průtoku v potrubí se používá venturimetr (vodoměr). Proud se v něm zužuje z původnío průměru D 1 na průměr D v rdle a poté se opět pozvolně rozšiřuje na původní velikost. Zúžením se zvětšuje ryclost na újmu tlaku, to ukazuje Bernoullio rovnice, zapíšeme-li ji pro průřez "1" před zúžením a pro průřez "" v rdle. Při zanedbání ztrát na krátké vzdálenosti, Bernoullio rovnice má tvar: p1 α v1 p α v 1 + + = + +, ρ g g ρ g g a pro α = 1, 1 = a p ρ g ρ g 1 p = H nabude Bernoullio rovnice tvaru: 1 H = ( v v1 ), (4.7) g kde H je rozdíl tlakovýc výšek, který odečteme na piezometrickýc trubicíc. Tato rovnice má dvě neznámé (v 1 a v ), a proto musíme nalézt druou - (64) -
Hydrodynamika nezávislou rovnici, tak abycom systém uzavřeli. Touto druou rovnicí bude rovnice spojitosti, která má pro profily "1" a "" tvar: A D v 1 A 1 = v A, v 1 = v = v. (4.8) A1 D1 Nyní máme dvě nezávislé rovnice o dvou neznámýc, které mají právě jedno řešení. Substitucí (4.8) do (4.7) a po úpravě obdržíme: v = g H 1 D4 D4 1 a g H Q = A v = A. 1 Protože jsme při odvození tooto vztau zanedbali ztráty, bude přesněji: g H Q = ϕ A, (4.9) 1 D4 D4 1 kde ϕ je součinitel podmíněný ztrátami ve venturimetru. U normalizovanýc tvarů jej můžeme nalézt v tabulkác, jinak se určí tárováním. Při velkýc tlakovýc výškác, jaké jsou na vodovodec, by nebylo prakticky možné použít piezometrickýc trubic naoře otevřenýc, které by musely být i několik desítek metrů vysoké. Protože však nepotřebujeme znát absolutní odnoty tlaků, ale pouze jejic rozdíl, používají se v praxi diferenciální manometry naplněné rtutí. D4 D4 1 Př. 4.1 Obr. 4. Pitotova trubice Vypočtěte průtočné množství vody v potrubí o průměru D 1 = 10 cm. Do potrubí je zabudován veturimetr (Obr. 4.4) o průměru D = 7 cm. Rozdíl ladin v rtuťovém diferenciálním manometru je Hg = 15 mm. Ztráty ve venturimetru zanedbejte. Obr. 4.3 Venturimetr Obr. 4.4 Venturimetr - 3 (64) -
Vodoospodářské stavby Modul 01 Základy ydrauliky D 1 = 0,100 m; D = 0,070 m; Hg = 0,015 m; g = 9,81 m/s ; z = 0,000 m; α = 1,00; ρ Hg = 13 550 kg/m 3 ; ρ = 1000 kg/m 3. Řešení: Z podmínky rovnováy k rovňové ploše A-B (Obr. 4.4) platí: p 1 + ρ g 1 = p + ρ g + ρ Hg g ; p = p 1 - p ; Hg = 1 - ; p = (ρ Hg - ρ) g Hg ; p = (13550-1000)*9,81*0,015 = 1,847 kpa. Bernoullio rovnice (4.5) zapsaná pro profily "1" a "" má tvar (srovnávací rovina je v ose potrubí): p1 α v1 p α v + = + + z ; z = 0; p 1 - p = p; α = 1,0; ρ g g ρ g g p v v = 1 ; ρ g g rovnice spojitosti pro profily "1" a "": v 1 A 1 = v A ; A1 D1 v = v1 = v1 ; A D v 1 = p = D4 ρ 1 1 4 D 1000 *1847 0,10 0,07 4 4 1 = 0,94 m/s; π D1 π * 0,10 Q = v 1 A 1 = v 1 = 0,94 = 0,0074 m 3 /s. 4 4 Potrubím protéká průtok 0,0074 m 3 /s vody. Kontrolní otázka - Co vyjadřuje Coriolisovo číslo? 5 Ustálený výtok kapaliny otvorem z nádob Můžeme rozlišit výtok z nádoby: ustálený, kdy vytékající množství kapaliny neustále doplňujeme (výtok Q je roven přítoku Q p ), ladina zůstává ve stejné poloze, tlaky a ryclosti jsou nezávislé na čase; neustálený, při kterém se ydraulické carakteristiky mění s časem. Přítok Q p není roven výtoku Q a ladina v nádrži stoupá nebo klesá. Jinými slovy docází k plnění nebo prázdnění nádrže. Z ydraulickéo lediska rozlišujeme výtok: volný (nezatopený) - kapalina vytéká do vzducu a výtokové carakteristiky nejsou ovlivňovány kapalinou za otvorem; zatopený - kapalina vytéká pod ladinu kapaliny za otvorem; částečně zatopený - kapalina vytéká současně pod ladinu a do vzducu tak, že část výtokovéo otvoru je pod ladinou - výtokové carakteristiky částečně ovlivňuje kapalina za otvorem. - 4 (64) -
Ustálený výtok kapaliny otvorem z nádob 5.1 Volný výtok malým otvorem ve dně Nádoba o vodorovné průřezové ploše A 0 má ve vodorovném dně výtokový otvor plocy A, kterým vytéká kapalina průřezovou ryclostí v. Na ladinu necť působí tlak p 0 a na výtokový paprsek tlak p c. K výtokovému otvoru se dostávají jednotlivé částice ze všec stran, takže postupují v křivočarýc trajektoriíc. Za otvorem se vytvoří výtokový paprsek, a protože zakřivené dráy částic zacovávají i za otvorem plynulý tvar, bude průřez výtokovéo paprsku menší než průřez otvoru. Nastává zúžení neboli kontrakce paprsku, který carakterizujeme součinitelem zúžení ε (ε < 1) - poměr zúženéo průtočnéo průřezu A c k ploše výtokovéo otvoru A. Použitím Bernoullio rovnice pro ladinu a pro zúžený průřez a dále rovnice kontinuity (4.3) obdržíme po úpravě vzta pro průtok: p0 pc ( c + ) g ρ g Q = µ A, (5.1) A 1- α ε ϕ kde ϕ je součinitel výtokové ryclosti 0 0 A ϕ = α + ξ c 1,který udává poměr skutečné a teoretické průřezové výtokové ryclosti a kde α je Coriolisovo číslo (Odst. 4.) a ξ součinitel ztrát, který zarnuje všecny ztráty energie při proudění od ladiny 0-0 k zúženému profilu C-C. ε je součinitel zúžení - A C ε = a µ je součinitel výtoku (podíl skutečnéo průtoku k průtoku A teoretickému) - µ = ε ϕ. Obr. 5.1 Výtok kapaliny otvorem ve dně Obr. 5. Zúžení úplné a neúplné U malýc otvorů bývá také přítoková ryclost nepatrná (je-li A 0»A): Q p pc ( + ) 0 = µ A g ρ g. Velmi často působí na ladinu i na výtokový otvor stejný tlak, a proto p 0 - p c = 0, takže dostaneme výrazy: v c = ϕ g, Q = µ A g. (5.) Tyto výrazy v podstatě odvodil Toricelli (1608-1647). - 5 (64) -
Vodoospodářské stavby Modul 01 Základy ydrauliky 5. Součinitelé výtoku, zúžení, výtokové ryclosti a ztrát Na velikost zúžení má vliv vzdálenost otvoru od stěn nádoby a tvarování rany otvoru. Je-li otvor ostroranný je zúžení veliké, jsou-li rany zaobleny, pak se zúžení podstatně zmenší. Stěny ovlivňují zúžení jen v případě, jsou-li blízko otvoru. Při vzdálenosti větší než je trojnásobek příslušné délky rany otvoru (jedná-li se o kru jde o průměr D), stěny na zúžení nepůsobí. Nepůsobí-li stěny na zúžení, ovoříme o dokonalém zúžení, v opačném případě se jedná o zúžení nedokonalé. Při nedokonalém zúžení je průměr paprsku větší než při dokonalém. Při nedokonalém zúžení (l < 3 a - Obr. 5.1) je součinitel výtoku definován vztaem: = + A µ n µ 1 0,641 A, s kde A je plošný obsa výtokovéo otvoru a A s plošný obsa stěny, ve které je otvor. Nastává-li zúžení ze všec stran, říkáme, že zúžení je úplné. Splývají-li rany otvoru na jedné nebo více stranác se stěnami, pak na těcto ranác otvoru odpadá zúžení. Tento případ nazýváme zúžení částečné. Při částečném zúžení (Obr. 5. - otvory I, III a IV) se udává součinitel výtoku µ č : č s ( 1 χ ) µ = µ +, O kde s je délka ran, podle kterýc není kontrakce, O celkový obvod výtokovéo otvoru a χ = 0,13 pro kruové otvory a χ = 0,15 pro obdélníky. Součinitel výtoku se poybuje v dosti širokýc mezíc. Pouze u malýc ostrorannýc otvorů a při úplném dokonalém zúžení můžeme brát jako střední odnotu: µ 0,60 až 0,6. Hodnoty pro větší otvory jsou uvedeny v Tab. 5.1. Hodnota součinitele výtoku se změní, připojí-li se k otvoru nátrubek. Krátký vnější nátrubek průtočnost zvýší a vnitřní (Bordův) nátrubek naopak průtočnost sníží. Tab. 5.1 Součinitel výtoku otvorem tvar otvoru µ 1. malé otvory s dokonalým zúžením (ϕ = 0,97, ε = 0,64) 0,6. 3. malé otvory s nedokonalým všestranným zúžením (ploca otvoru je menší než 1/10 plocy stěny v níž je otvor umístěn): - malé kruové otvory těsně u stěn - malé čtvercové otvory se zúžením ze 3 stran malé obdélníkové otvory s poměrem stran 1: s částečným zúžením: - zúžení z jedné, a to delší strany - zúžení z jedné, a to kratší strany 0,63 0,64 0,64 0,65 4. otvory středníc rozměrů s všestranným zúžením 0,65 5. velké otvory s všestranným zúžením 0,70 6. otvory u dna (výtok pod stavidlem) s podstatným bočním zúžením 0,70 7. otvory u dna s průměrným bočním zúžením 0,75 8. otvory u dna s plynulým usměrněním proudu 0,80 5.3 Volný výtok otvorem ve svislé stěně Pro volný výtok otvorem šířky b = konst., tedy pro otvor obdélníkový (Obr. 5.3 a), platí: 3 / 3 / α v 0 α v0 Q = µ b g 1 + - + 3. (5.3) g g - 6 (64) -
Ustálený výtok kapaliny otvorem z nádob Pro volný výtok kruovým otvorem o poloměru r (Obr. 5.3 b) platí (při odvození byla použita binomická věta): 4 1 r 5 r Q = µ 1 - - π r g T 3 T 104, (5.4) T kde T je loubka těžiště kruovéo otvoru pod ladinou. Je-li = 0, 3 r T dává výrazy v ranaté závorce odnotu 0,998 neboli je přibližně roven jedné, a proto: Q µ π r g. (5.5) T Obr. 5.3 Výtok čtvercovým a kruovým otvorem ve svislé stěně 5.4 Volný výtok ydraulicky malým otvorem ve svislé stěně Pokud je největší svislá vzdálenost obrysu otvoru od těžiště otvoru e max : e max 0,5, T kde T je loubka těžiště výtokovéo otvoru pod ladinou, pak se jedná o výtok ydraulicky malým otvorem a můžeme zanedbat změny ryclosti ve výtokovém otvoru. Vzorec pro výtokové množství se zjednoduší (s cybou pod 1 %): v = ϕ g T, Q = µ A g T, (5.6) za předpokladu, že na ladinu a na výtokový paprsek působí stejný tlak. 5.5 Výtok ponořeným otvorem ve svislé stěně Je-li výtokový otvor libovolnéo tvaru ve svislé stěně ponořen pod ladinou dolní vody (Obr. 5.4), pak ryclost je ve všec bodec zatopenéo otvoru stejná a závisí na rozdílu ladin: p 0 pc α v0 v = ϕ g H + +. (5.7) ρ g g Výtokové množství obdržíme, násobíme-li zúžený průřez εa ryclostí v: p 0 pc α v0 Q = ε A v, Q = µ p A g H + +, (5.8) ρ g g kde µ p je součinitel výtoku pro ponořený výtok (je poněkud menší než pro výtok do vzducu, ale rozdíly jsou nepatrné). Bude-li vliv přítokové ryclosti zanedbatelný a tlak na obě ladiny stejný, bude platit: v = ϕ g H, Q = µ p A g H. (5.9) - 7 (64) -
Vodoospodářské stavby Modul 01 Základy ydrauliky Obr. 5.4 Výtok ponořeným otvorem 6 Přepady Přepad můžeme definovat jako výtok kapaliny otvorem naoře otevřeným nebo otvorem, v němž ladina nedosauje k jeo ornímu obrysu. Vznikne zpravidla vložením stěny napříč proudu s volnou ladinou. Tato stěna vzdouvá vodu a voda přes ni přepadá. Konstrukci, přes kterou voda přepadá, se nazýváme přeliv; nejvyšší část přelivu je přelivná rana (nebo koruna přelivu). Přepadající proud vody se nazývá přepadový paprsek. Tvar a tloušťka přelivné stěny má podstatný vliv na proudění přes přeliv. Proto podle ní dělíme přelivy na tyto základní typy: a) ostroranné přelivy; b) jezové nebo přeradní přelivy (obdélníkovéo a licoběžníkovéo příčnéo průřezu, proudnicové přelivy); c) přelivy se širokou korunu; d) zvláštní typy přelivů (šactový přeliv, boční přeliv,...). Obr. 6.1 Typy přelivů a přepadů: a) ostroranný přeliv, dokonalý přepad; b) přeliv přes jezové těleso s obdélníkovým příčným profilem; c) přeliv přes širokou korunu, dokonalý přepad; d) ostroranný přeliv, nedokonalý přepad; e) přeliv bez bočnío zúžení; f) přeliv s bočním zúžením Podle ovlivnění přepadovéo množství přes přeliv ladinou dolní vody (ladinou za přelivem) můžeme rozeznat: a) přepad dokonalý - přepadové množství není ovlivněno ladinou dolní vody; b) přepad nedokonalý (zatopený) - je-li ladina dolní vody nad úrovní přelivné rany, je nutné ověřit, zda-li je přepadové množství ovlivněno ladinou dolní vody. - 8 (64) -
Přepady Přepad vody přes přeliv může být: bez bočnío zúžení, jestliže se šířka přelivu b rovná šířce B obdélníkovéo žlabu; s bočním zúžením, je-li přepad pouze v části přelivné stěny nebo jestliže se k přelivné stěně žlab zužuje, tedy b < B. 6.1 Ostroranné přelivy Přepad přes ostrou ranu nastává, je-li tloušťka přelivné stěny t: t < 0,66, kde je přepadová výška (výška přepadovéo paprsku), což je převýšení ladiny nad nejnižším místem přelivné rany. Ostrorannýc přelivů se používá zejména pro měření průtoku, protože jsou experimentálně nejlépe ověřeny. Pro dosažení přesnýc výsledků při měření průtoků se požaduje dokonalý přepad, volný přepadový paprsek a dobré uklidnění přítoku, např. dostatečně dlouým přímým přítokovým žlabem. Dále má být přelivná stěna svislá a ladká, jednostranně upravená do břitu. Je nutné splnit rozmezí platnosti používanýc rovnic a předepsané podmínky pro umístění měrnéo přelivu, jinak se musí měrná křivka přelivu určit tárováním přímo na místě. Výpočet přepadu přes ostrou ranu, Bazinův přeliv Při výpočtu přepadu přes ostrou ranu (obdélníkový přeliv se šířkou stěny t < 0,66 ) je přepadové množství Q dáno Weisbacovou rovnicí: 3 / 3 / α v 0 α v 0 Q = µ b g = b g [ ] 3 / 3/ 3 3 0 k + g g µ, (6.1) kde µ je součinitel přepadu danéo přelivu, přepadová výška, α v0 k = g přítoková ryclostní výška a veličinu 0 = + k nazýváme energetická přepadová výška. Výpočet průtoku při neznámé přítokové ryclosti v 0 provedeme postupným přibližováním Q a v 0. Neuvažujeme-li s přítokovou ryclostí, obdržíme rovnici Poleniovu nebo Dubuatovu: 3 / Q = µ b g. 3 Součinitel přepadu závisí na typu přelivu, přepadové výšce, výšce stěny s 1 a na tlaku v prostoru pod paprskem. Je-li tento prostor uzavřen, vysává z něo proudící paprsek vzduc, takže zde klesá tlak a součinitel přepadu µ se zvětšuje. Zavzdušní-li se tento prostor (např. rozšířením koryta pod přelivem nebo zvláštním zavzdušňovacím potrubím) celý jev se stabilizuje a vytvoří se volný přepadový paprsek, který má stálý tvar. Obr. 6. Bazinův přeliv - 9 (64) -
Vodoospodářské stavby Modul 01 Základy ydrauliky Obdélníkový ostroranný přeliv bez bočnío zúžení a zavzdušněným prostorem pod přepadovým paprskem se nazývá Bazinův. Bazinův přeliv (Obr. 6.) je základním typem ostrorannýc přelivů a protože byl podrobně prozkoumán, stal se základním měrným přelivem. Bazin odvodil pro stanovení přepadovéo množství přes přeliv rovnici, která se používá se i pro výpočet dalšíc typů přelivů. Pro její odvození můžeme vyjít z (6.1), kde zanedbáme člen -k 3/, který je malý vůči předcozímu členu 0 3/, vytkneme 3/ a označíme 3 µ = m 0 : Q pak platí: α v + = 3 / 0 m0 b g 1 g 3 /, kde m α v 1 + = 0 m0 g 3 / Q = mb g, (6.) kde m je Bazinův součinitel přepadu, který zarnuje ztráty a kontrakci na přepadu a vliv přítokové ryclosti. Bazin podle pokusů stanovil součinitel přepadu m: 0,003 m = 0,405 + 1 + 0,55, (6.3) + s1 s platností pro (cyba < 1%): 0,1 m < < 1,4 m; 0, m < b <,0 m; 0, m < s 1 <,0 m. Přepadové paprsky jsou u Bazinova přelivu vzájemně podobné a Bazin udal jejic carakteristické rozměry v poměru k přepadové výšce (Obr. 6.). Ve vzdálenosti 3 nad přelivem je snížení ladiny 0,003, kdežto nad přelivnou ranou 0,15. Z too plyne, že se přepadová výška musí měřit ve vzdálenosti 3 až 4 před přelivem. Přeliv obdélníkový s tloušťkou stěny t < 0,66 nemá vliv na tvar přepadovéo paprsku, a může se proto počítat jako přepad ostroranný. Nedokonalý (zatopený) přepad vznikne, je-li ladina dolní vody výše než přelivná rana a ladina dolní vody snižuje přepadové množství. Za přepadovým paprskem vzniká vodní skok, který může být vzdutý, vlnovitý nebo oddálený. Zatopení nastává pouze při vzdutém nebo vlnovitém vodním skoku, při oddáleném vodním skoku dopadá paprsek na dno a přepad je dokonalý (Obr. 6.3 b). Přibližně bylo zjištěno, že vzdutý vodní skok (a tím i nedokonalý přepad) vzniká při poměru sh < 0,70. Podrobněji Pavlovskij zjistil, že přepad bude nedokonalý, bude-li poměr H menší než mezní poměr ( s ) *. Podmínky nedokonaléo přepadu jsou: s 1) d > s a současně ) 3 /, který je udaný v Tab. 6.1 v závislosti na poměru *, H s H < H. (6.4) s s Tab. 6.1 Mezní odnoty pro nedokonalý přepad přes ostrou ranu s H s * 0,00 0,10 0,0 0,30 0,40 0,50 0,75 1,00 1,50,00 3,00 1,00 0,90 0,83 0,78 0,75 0,73 0,68 0,67 0,67 0,71 0,85-30 (64) -
Přepady Obr. 6.3 Přepad přes ostrou ranu a) se vzdutým nebo vlnovitým vodním skokem (nedokonalý přepad); b) s oddáleným vodním skokem (dokonalý přepad) K výpočtu nedokonaléo přepadu přes ostroranný přeliv používáme nejčastěji postup podle Bazina, který vzorec pro dokonalý přepad (6.) redukuje součinitelem zatopení σ z : Q 3 / = σ z mb g, (6.5) H kde = 1,05 1 + 0, z σ 3 z. (6.6) s Nedokonalý přepad je méně prozkoumán než přepad dokonalý a vyžaduje složitější zařízení pro změření ladiny obou ladin, proto se k měření průtoků nedoporučuje. Ostroranné přelivy s bočním zúžením Přelivy s bočním zúžením vznikají výřezy různéo tvaru ve stěně přelivů. Mezi základní typy patří obdélníkový (Ponceletův), trojúelníkový, licoběžníkový, kruový, parabolický, lineární, atd. a) obdélníkový (Ponceletův) přeliv (Obr. 6.4 a) Ostroranný obdélníkový přeliv s bočním zúžením (b < B) se nazývá Ponceletův přeliv (Obr. 6.4a). Je vodný k měření průtoku v malýc vodníc tocíc a ve vodníc kanálec s obdélníkovým průřezem. Pro přepadové množství platí: A [ ][ 1 0,55 ( ) ] 3 / 0,007 b Q = mb b g, b = 0,405 + -0,03( 1- ) B m +, (6.7) kde m b je součinitel přepadu pro Ponceletův přeliv, kde A je průtočný průřez ve výřezu a A 0 průtočný průřez přívodnío žlabu. A0 Obr. 6.4 Přelivy: a) obdélníkový; b) trojúelníkový; c) Tomsonův b) Trojúelníkový (rovnoramenný) přeliv (Obr. 6.4 b) Pro měření malýc průtoků je trojúelníkový přeliv přesnější než Ponceletův. Rovnice pro výpočet přepadovéo množství přes trojúelníkový přeliv má tvar: 8 α Q = tg 15 5 / µ g, (6.8) - 31 (64) -