Množiny. množinové operace jsou mírně odlišné od

Podobné dokumenty
NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5

0. ÚVOD - matematické symboly, značení,

Kapitola Základní množinové pojmy Princip rovnosti. Dvě množiny S a T jsou si rovny (píšeme S = T ) prvek T je také prvkem S.

Množiny, základní číselné množiny, množinové operace

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík. Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008.

Množiny, relace, zobrazení

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce

Pro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.

2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Teorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky.

Matematická analýza 1

2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY

prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010

3 Množiny, Relace a Funkce

Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Pravděpodobnost a statistika

Množinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ

Intuitivní pojem pravděpodobnosti

Lineární algebra : Lineární prostor

Co je to univerzální algebra?

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina

Patří-li do množiny A právě prvky a, b, c, d, budeme zapisovat A = {a, b, c, d}.

p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že

Množiny a operace s nimi

1 Vektorové prostory.

Kapitola 1. Relace. podle definice podmnožinou každé množiny. 1 Neříkáme už ale, co to je objekt. V tom právě spočívá intuitivnost našeho přístupu.

Matematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec

Teorie pravěpodobnosti 1

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

0.1 Úvod do lineární algebry

Střípky z LA Letem světem algebry

7.2.1 Vektory. Předpoklady: 7104

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

Matematická analýza pro informatiky I.

Matice. a m1 a m2... a mn

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Booleova algebra. 1. kapitola. Množiny a Vennovy diagramy

Množina je nejdůležitější matematický pojem, na kterém stojí veškeré další matematické pojmy.

1.3.3 Množinové operace

VEKTOR. Vymyslete alespoň tři příklady vektorových a skalárních fyzikálních veličin. vektorové: 1. skalární

Sada 1 Matematika. 01. Množiny - úvod

Základy logiky a teorie množin

1 Kardinální čísla. množin. Tvrzení: Necht X Cn. Pak: 1. X Cn a je to nejmenší prvek třídy X v uspořádání (Cn, ),

Že tuto definici znáte, ale stále přesně nevíte, jak funkci chápat? Ukážeme si konkrétní příklad Definiční obor (množina A)

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

Úlohy k procvičování textu o svazech

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno

2. Definice pravděpodobnosti

Unární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 3. PREDNÁŠKA - KOMPAKTNÍ PROSTORY.

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13.

Pravděpodobnost a její vlastnosti

Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:

Výroková a predikátová logika - II

Logika, výroky, množiny

Základy teorie množin

Matematická logika. Miroslav Kolařík

1 Lineární prostory a podprostory

Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel.

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2017/2018

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Úvod do lineární algebry

Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce

Funkce pro studijní obory

3.1.2 Polorovina, úhel

FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF

1. Základy logiky a teorie množin

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

5 Orientované grafy, Toky v sítích

Formální jazyky. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A

Pavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT

2. Test 07/08 zimní semestr

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík. Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008.

Matematická analýza III.

Pavel Horák LINEÁRNÍ ALGEBRA A GEOMETRIE 1 UČEBNÍ TEXT

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

doplněk, zřetězení, Kleeneho operaci a reverzi. Ukážeme ještě další operace s jazyky, na které je

9 Kolmost vektorových podprostorů

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

Transkript:

Množiny Množina se dá chápat jako soubor prvků. ( Např. lidé na planetě zemi tvoří jednu velkou množinu.) Každá množina tedy obsahuje určitý počet prvků, který může být konečný (lze spočítat) nebo nekonečný (nelze spočítat). Také nemusí obsahovat prvek žádný, poté mluvíme o prázdné množině (zapisujeme Ø). Množinu obvykle značíme velkým tiskacím písmenem (například M) a prvky množiny malým písmenem (m). Je-li prvek m obsažen v množině M, zapisujeme to takto: m M. Pokud je prvků v množině více, zaznamenávají se do svorkových závorek {}. M Stejně jako můžeme operovat se samotnými čísly, můžeme provádět všemožná kouzla i s množinami. Ovšem množinové operace jsou mírně odlišné od těch normálních. Jako první se zmíním o S J EDNOCENÍ MNOŽIN (značíme symbolem ). Sjednocením dvou množin A a B vznikne nová množina, např. C, která bude obsahovat všechny prvky z množiny A a také všechny prvky z množiny B. Sjednocením dvou množin tedy získáme množinu, která obsahuje všechny prvky z obou těchto množin. Zkrátka sesypeme obě množiny do jedné, nesmíme však zapomenout, že množina nemůže obsahovat více exemplářů stejného prvku (pokud je tedy nějaký prvek v obou množinách, v jejich sjednocení bude pouze jednou) )! Grafické znázornění sjednocení množin je následující:

Podívejme se na dva konkrétní příklady: 1) Mějme množiny A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} a B = {3, 6, 8, 9}. Výsledek sjednocení množin vypadá takto A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9}. 2) Mějme množiny A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} a B =. Pak je množina A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Platí to i obecně, pro jakoukoli množinu M je M = M. Další množinovou operací je P RŮNIK MNO ŽIN (značíme ). Průnikem dvou množin A a B vznikne nová množina C, která bude obsahovat prvky, které mají ty dvě množiny společné. Přesněji bychom řekli, že nová množina bude obsahovat prvky, které náleží do A a zároveň náleží do B. Průnikem dvou množin získáme množinu, která obsahuje jen ty prvky, které jsou pro dané dvě množiny společné. V grafickém znázornění zohledníme to, že společné prvky mají být naznačeny překrytím kruhů, jež symbolizují množiny: Jestliže dvě množiny nemají žádné společné prvky, neboli jejich průnikem je prázdná množina, pak o těchto množinách říkáme, že jsou disjunktní. Je to velmi důležitá vlastnost dvojice množin, protože je z ní možné odvodit mnoho dalších poznatků. Platí například, že mohutnost (mohutnost = počet prvků v množině) sjednocení dvou disjunktních konečných množin je součtem mohutností sjednocovaných množin. Chcemeprvky používáme li naznačit opačnou situaci tedy že množiny mají nějaké společné často spojení, že množiny mají neprázdný průnik. Disjunktní množiny

K dobrému pochopení operace průniku si opět ještě můžeme pomoci ukázkou několika příkladů: 1) Mějme množiny A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} a B = {3, 6, 8, 9}. Pak A B = {3, 6}. 2) Mějme množiny A = {1, 2, 3, 6} a B =. Pak A B =. Prázdná množina totiž neobsahuje vůbec žádné prvky, a tak nemůže mít s jinou množinou nějaký společný prvek. 3) Uvažujme nějakou kuchyňskou skříňku s nádobím. Řekněme, že množina A je množina všech hrnečků ve skříňce, množinou B je pak množina všeho skleněného nádobí ve skříňce. Množina A B je pak množina všech skleněných hrnečků ve skříňce. Pokud v ní žádné skleněné hrnečky nejsou, jsou množiny A a B disjunktní. Nyní se podíváme na pojem PODMNOŽINA. Je-li každý prvek nějaké množiny H zároveň prvkem nějaké množiny M (která však může obsahovat i další prvky), pak říkáme, že množina H je podmnožinou množiny M. Máme-li např. množinu M = {1, 2, 3, 4, 5, 6} a množinu H = {1, 3, 4, 5}, můžeme říci, že množina H je podmožinou množiny M. Tuto informaci můžemee zapsat pomocí symbolu takto: H M. Je dobré si uvědomit, že každá (i prázdná) množina je podmnožinou sebe sama a také že prázdná množina je podmnožinou každé množiny. Matematicky se vztah být podmnožinou nazývá INKLUZE. Další operací je DOPLNĚK MNOŽINY, značí se to všelijak, ale asi nejčastěji čárkou. Doplněk množiny B vzhledem k množině A budeme značit B A. Pokud je z předchozího kontextu jasné, k jaké množině je doplněk vztažen, můžeme psát zkráceně B'. Je velmi důležité si uvědomit, že operace doplňku není komutativní, neboli když zaměníme pozice množin A a B, nedostaneme stejný výsledek

Graficky si můžeme šrafováním): doplněk znázornit následovně (doplněk je vyznačen Je-li B A, pak doplňkem množiny B vzhledem k množině A je množina, která obsahuje všechny prvky z A, které zároveň nejsou v B. Pokud použijeme obrazné vyjadřování, můžeme říci, že doplněk množiny B vzhledem k množině A je právě ten zbytek množiny A, který zbude po odstřižení její podmnožiny B. Řekli jsme si, že doplněk je také množina, zavedli jsme si tedy operaci, která nám umožňuje definovat novou množinu ze dvou již známých množin. Nesmíme však zapomenout na podmínku, že množina, jejíž určujeme doplněk, musí být podmnožinou množiny, vzhledem ke které se doplněk tvoří! Podívejme se na dva konkrétní příklady: 1) Mějme množiny A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} a B = {1, 3, 6}. Pak je množina B A A= {2, 4, 5}. 2) Říkali jsme si, že množina je sama sobě podmnožinou. Máme-li množinu M, pak M' M =. Poslední operací na kterou se podíváme je ROZDÍL MNOŽIN. U doplňku množin jsme byli velmi omezeni podmínkou, kdy jedna množina musela být podmnožinou druhé. Nyní si ukážeme operaci, která je doplňku podobná, avšak toto omezení nemá. Rozdíl množin totiž ukousne z jedné množiny to, co má společné s množinou druhou. Rozdíl množin A a B budeme značit A B (někdy je značen též A\B ) a jeho definice je:

Rozdíl množin A a B, který značíme A B, je množina, která obsahuje všechny prvky množiny A s výjimkou těch, jež jsou zároveň prvky množiny B. Což můžeme říci také jinak: Chceme-li vytvořit množinu A B, pak stačí vzít množinu A a vyjmout z ní prvky, které má společné s množinou B. I zde je důležité si uvědomit, že ani rozdíl není komutativní. Grafické znázornění rozdílu může vypadat např. takto: I rozdíl množin si samozřejmě ukážeme na konkrétních příkladech: 1) Mějme množiny A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} a B = {1, 3, 6, 8}. Pak je množina A B = {2, 4, 5}. 2) Zkusíme-li provést rozdíl množiny se sebou, získáme prázdnou množinu: M M =. 3) Pro libovolnou množinu M také platí: M = M. Prázdná množina neobsahuje žádné prvky, proto nemůže mít žádné prvky společné s množinou M, a tak výsledkem takového rozdílu musí být opět množina M.