Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III Diferenciální rovnice a numerické metody Olga Majlingová Učební text pro prezenční studium Předběžná verze
Obsah Struktura předmětu 3 1 Obyčejné diferenciální rovnice 4 1.1 Základní pojmy............................................ 5 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 6 1.3 Exaktní rovnice............................................ 7 1.4 Separovatelné diferenciální rovnice.................................. 9-2-
Struktura předmětu Předmět Matematika III je určen především pro studenty bakalářského studia. Předmět má dvě části: nejprve se seznámíme s řešením obyčejných diferenciálních rovnic prvního a druhého řádu, ve druhé části si ukážeme numerické řešení jednoduchých úloh. Výuka probíhá formou přednášek a cvičení. Na přednášce jsou formulovány postupy řešení úloh a uvedeny podmínky existence řešení. Na cvičeních jsou procvičovány příklady. Předpokládá se, že na cvičení má student podklady z přednášky. Harmonogram přednášek a cvičení. 1. Diferenciální rovnice základní pojmy (obyčejné diferenciální rovnice, řád diferenciální rovnice, řešení diferenciální rovnice, integrální křivka, počáteční (Cauchyova) úloha) existence řešení klasifikace obyčejných diferenciálních rovnic 2. Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu separovatelné (řešení separací proměnných) exaktní lineární Bernoulliova 3. Možnosti řešení Přibližné řešení ve tvaru polynomu Řešení v Matlabu Řešení numerickou metodou 4. Obyčejné diferenciální rovnice 2. řádu homogenní nehomogenní (se speciální pravou stranou) převod na soustavu rovnic 1. řádu 5. Možnosti řešení Přibližné řešení ve tvaru polynomu Řešení v Matlabu Řešení numerickou metodou 6. Soustavy diferenciálních rovnic 7. Převod rovnice vyššího řádu na soustavu rovnic 1. řádu 8. Opakování: zápočtový test 9. Numerické metody 10. Řešení nelineární rovnice 11. Výpočet určitého integrálu: pomocí mocninné řady; numerickou metodou 12. Interpolace a aproximace dat 13. Řešení soustav lineárních rovnic 14. Shrnutí: zápočtový test -3-
Kapitola 1 Obyčejné diferenciální rovnice Základní studijní text: https://homel.vsb.cz/~kre40/esfmat2/difrov.html Příklad: Chladnutí kávy Předpokládáme, že rychlost ochlazování (tj. změna teploty v čase) kávy v hrnečku v místnosti je přímo úměrná rozdílu teploty kávy a vzduchu v místnosti. V místnosti je teplota 23 C. Za jak dlouho se právě zalitá káva ochladí na 40 C, když po po 10 minutách má káva teplotu 65 C? Označíme t čas, y(t) teplotu kávy, T teplotu v místnosti, k konstantu úměrnosti. Sestavíme rovnici pro ochlazování: y (t) = k (y(t) T ) Zapíšeme známé údaje o teplotě: y(0) = 100, y(10) = 65 Nahradíme derivaci y (t) = dy dt a upravíme rovnici dy y T = k dt Rovnici integrujeme: dy y T = k dt kt+c ln y T + C 1 = kt + C 2 ln(y T ) = kt + C 3 y T = e 3 y>t,c 3=C 2 C 1 y(t) popisuje ochlazování kávy: y(t) = Ce kt + T (C = e C3 ) Konstanty C, k určíme ze známých údajů o teplotě. -4-
1.1 Základní pojmy Diferenciální rovnice jsou rovnice, které obsahují neznámou funkci a její derivace. Obyčejné diferenciální rovnice obsahují neznámou funkci jedné proměnné a její derivace. Příklady: y + xy = 0, y + y = xy hledáme funkci y(x) Parciální diferenciální rovnice obsahují neznámou funkci více proměnných a její derivace. u Příklady: x = 3xy, 2 u x 2 + 2 u = x + y hledáme funkci u(x, y) y2 Řád diferenciální rovnice určuje nejvyšší derivace neznámé funkce. Řešení diferenciální rovnice je funkce, která vyhovuje diferenciální rovnici (na zadané množině). Příklad: Ověříme, zda funkce x 2 xy + y 2 = 0 je řešením diferenciální rovnice (x 2y)y = 2x y. funkce x 2 xy + y 2 = 0 je zadaná implicitně, zderivujeme ji: 2x y xy + 2yy = 0 upravíme: 2x y y (x 2y) = 0 a porovnáme se zadanou rovnicí y (x 2y) = 2x y nebo vyjádříme y = y 2x 2y x = 2x y x 2y a dosadíme y do diferenciální rovnice: (x 2y) 2x y = 2x y 2x y = 2x y x 2y Obecné řešení je množina funkcí (závislých na konstantě resp. konstantách). Partikulární řešení je jedna konkrétní funkce, kterou určíme z obecného řešení výpočtem nebo volbou konstanty. Výjimečné řešení nelze získat z obecného řešení pro žádnou hodnotu konstanty. Graf konkrétního řešení se nazývá integrální křivka. Rovnice v normálním tvaru: y n = f(y n 1, y n 2,..., y, y, x) Řešení existuje v oblasti, ve které je f spojitá. Cauchyova (počáteční) úloha Diferenciální rovnice + počáteční podmínka. Hledáme partikulární řešení, procházející zadaným bodem. Příklady (procvičení) Určete, zda se jedná o obyčejnou nebo parciální diferenciální rovnici. Uveďte řád diferenciální rovnice. Ověřte, zda uvedená funkce je řešením zadané diferenciální rovnice. y(x) = 2 x + 2 ln(x) + 7 1 y = x + 1 1 x y + 1 y 1 = 4, y 2 = x + 3 y = y + 1 x + 1 y(1) = 2 y(0) = 3-5-
1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu separovatelné exaktní lineární při P y = Q x y = p(x) q(y) P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 y = a(x)y + b(x) Bernoulliova Rovnice v normálním tvaru: Rovnice v diferenciálech y = f(x, y), [x, y] G P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, Funkce f, P, Q musí být (alespoň) spojité v oblasti G R 2 Oblast je otevřená souvislá (neprázdná) množina. [x, y] G y = a(x)y + b(x)y p Příklady (procvičení) Určete typ(y) ODR 1. řádu 1. y = xy 2. y = x 2 y 2 3. y x + 1 x y = x2 4. y x + 1 x y = y2, y 2 ( 5. x 2 dx + y 2 2 ) dy = 0 x 6. (3 + 2xy)dx + (x 2 3y 2 )dy = 0 7. 3x 2 ydx + (x 3 + y)dy = 0 8. 2x cos ydx x 2 sin ydy = 0-6-
1.3 Exaktní rovnice Nechť P (x, y), Q(x, y) jsou spojité v G R 2 a mají spojité derivace v každém bodě [x, y] G. P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 je exaktní v G P y = Q x tj. pokud P (x, y)dx + Q(x, y)dy je totálním diferenciálem funkce F (x, y). Funkci F budeme nazývat kmenovou funkcí. Postup řešení exaktní rovnice Kmenovou funkci F můžeme určit stejným ( způsobem) jako potenciál vektorového pole (P, Q). F Vyjdeme z definice gradientu: gradf = x, F = (P, Q) y 1. F = P (x, y) F (x, y) = x P (x, y) dx = U 1 (x, y) + K 1 (y) 2. F = Q(x, y) F (x, y) = y Q(x, y) dy = U 2 (x, y) + K 2 (x) 3. Kmenovou funkci F (x, y) vytvoříme sloučením U 1 (x, y) a U 2 (x, y), přičemž členy, které se vyskytují v obou výrazech, zapisujeme do výsledného výrazu pouze jedenkrát. Řešení exaktní rovnice zpravidla určíme v implicitním tvaru. Příklad: exaktní rovnice (2y 3x 3 )dx + 2(x y)dy = 0 1. Ověření exaktnosti 2. 2y 3x 2 dx = 2xy x 3 + K 1 (y) 3. 2x 2y dy = 2xy y 2 + K 2 (x) 4. F (x, y) = 2xy x 3 y 2 + C resp. y 2 2xy + x 3 + C = 0 5. Zkouška Vyjádříme df resp. gradf Uvažujeme - li řešení jako funkci jedné proměnné y(x), zadané rovnicí F (x, y) = 0, potom pro její derivaci musí platit dy (x, y) = P pro Q(x, y) 0. dx Q(x, y) -7-
Příklady Pro danou diferenciální rovnici 1. ověřte, zda je exaktní 2. určete obecné řešení Varianty zadání 1. y 2 x 2 dx + ( y 2 2 x ) dy = 0 2. (3 + 2xy)dx + (x 2 3y 2 )dy = 0 3. 3x 2 ydx + (x 3 + y)dy = 0 4. 2x cos ydx x 2 sin ydy = 0 ( 1 5. y y ) ( 1 x 2 + 2y 5 dx + x x ) + 2x + 11 dy = 0 y2 6. y 2 x dx + 4y xdy = 0 7. xe 2y dx + (x 2 + 1)e 2y dy = 0 8. (3x 2 y 2xy 2 )dx + (x 3 2x 2 y)dy = 0 9. (cos(2y) + y + x)dx + (x 3 2x 2 y)dy = 0 10. y 2 dx + 2xydy = 0 y 11. x 2 dx 1 x dy = 0 ) ( 12. (ln y ey e y x 2 dx + x + x ) dy = 0 y 13. (x + 3y)dx + 3xdy = 0 14. y 2 dx + 2xydy = 0 15. y sin xdx cos xdy = 0 16. (2x y 2 )dx + (3 2xy)dy = 0-8-
1.4 Separovatelné diferenciální rovnice y = P (x) Q(y) Existence řešení : P (x) Q(y) musí být spojitá v oblasti G R 2 Řešení : funkce y(x) definovaná na intervalu J, pokud platí: Interval není tvořen jediným bodem, y má spojitou derivaci na J, tj y C 1 (J) x J : [x, y(x)] G x J : y (x) = f(x, y(x)) Prodloužení řešení, maximální řešení. Postup řešení: y = dy dx 1. y = dy dx, dy = P (x) Q(y dx 2. Separujeme proměnné: R(y)dy = P (x)dx 3. Integrujeme levou a pravou stranu rovnice Levá = R(y)dy P ravá = P (x)dx 4. Vyjádříme y(x) = + C, případně zapíšeme řešení jako množinu funkcí, zadaných rovnicemi F (x, y) = C 5. Řešení Cauchyovy (počáteční) úlohy: z počáteční podmínky určíme konstantu C a tím získáme partikulární řešení vyhovující zadané podmínce. Příklad: separovatelná rovnice Předpokládejme, že voda v nádobě zamrzá tak, že obsah nezamrzlé plochy A (v cm 2 ) se mění přibližně podle rovnice (čas t měřený v dnech): da dt = 4t 3. a) Určete obsah plochy nezamrzlé plochy v závislosti na čase A(t), když víte, že po prvním dnu byl nezamrzlý obsah roven 2 cm 2. b) Vypočtěte, po kolika dnech bude nezamrzlý obsah roven 0,5 cm 2. c) Vypočtěte, jak velká bude nezamrzlý obsah po deseti dnech. Řešení a) Známe-li derivaci A(t), která závisí pouze na t, určíme A(t) integrováním: A(t) = 4t 3 dt = 2t 2 + C. Integrační konstantu C určíme z informace o obsahu po prvním dnu: A(1) = 2cm 2 2 = 2 (1) 2 + C C = 0 a obsah nezamrzlé plochy v závislosti na čase je A(t) = 2t 2. b) Určíme t tak, aby A = 0, 5 cm 2 : 0, 5 = 2t 2 t = 2, tj. nezamrzlá plocha bude mít velikost 0,5 cm 2 po dvou dnech. c) Určíme A pro t = 10 : A(10) = 2 10 2 (cm 2 ), tj. nezamrzlá plocha bude mít po deseti dnech obsah 0,02 cm 2 = 2 mm 2. -9-
Příklady k procvičení 1. y = 1 x 1 y, y(1) = 0 2. y = y 2 sin(2x), y( π 4 ) = 4 3. y = 3 2 3 y + 1, y(0) = 2 4. y = e y cos(2x), y(0) = ln 2 5. y = xy2 + x y x 2 y, y(0) = 1 6. (2x + e y )dx + xe y dy = 0, y(1) = 0 ( x 2 7. xydx + 2 + 1 ) dy = 0, y y(0) = 1 8. x 4 y + 3x 3 y = 1, y( 1) = 2 9. xy y = x 2 sin x, ( y π ) = π 2 2-10-