4 - Moderní frekvenční metody Michael Šebek Automatické řízení 28 4-4-8
Loop shaping: Chování pro nízké frekvence Tvar OL frekvenční charakteristiky L(s)=KD(s)G(s) určuje chování, ustálenou odchylku a dynamickou odezvu ZV dále redukuje vliv šumu měření, změny parametrů a dalších neurčitostí Pro odchylku platí e( jω) = S( jω) r( jω) S( jω) d( jω) + T( jω) n( jω) a z toho e( jω) S( jω) r( jω) + S( jω) d( jω) + T( jω) n( jω) Pro nízké frekvence je typicky r( jω), d( jω), n( jω) a proto musíme zajistit S( jω) >> Z toho plyne hranice pro velmi nízké frekvence Pro přijatelnou regulační odchylku musíme stanovit dolní mez pro zesílení při velmi nízkých frekvencích L( jω ) >> T( jω), S( jω) e( jω) r( jω) + d( jω) + n( jω) z trojúhelníkové nerovnosti Michael Šebek ARI-4-28 2 = Hranice ustálené odchylky ω c
Loop Shaping - Chování pro vysoké frekvence Pro vysoké frekvence r( jω), n( jω) šumy mívají vyšší frekvence Návrh pro potlačení vlivu šumu senzorů stanovení horní meze pro zesílení při vysokých frekvencích ω c Hranice šumu senzorů L( jω ) << T( jω), S( jω) e( jω) S( jω) r( jω) + S( jω) d( jω) + T( jω) n( jω) e( jω) r( jω) + d( jω) + n( jω) Když má i porucha vysoké frekvence, je to problém Michael Šebek ARI-4-28 3
Loop Shaping - Neurčitost Další hranice pro vysoké frekvence Potlačení vlivu neurčitosti v soustavě = stanovení horní meze vf zesílení f=/s; bode(tf(f),tf(f/(+s)),tf(f/(+.5*s)),... tf(f/(+.5*s)*(+.*s)),... tf(f/(+.5*s)*(+.*s)^2)); nyquist(tf(f),tf(f/(+s)),tf(f/(+.5*s)),... tf(f/(+.5*s)*(+.*s)), tf(f/(+.5*s)*(+.*s)^2)); ω c Hranice neurčitosti modelu Neurčitost je typicky větší na vf. typicky zanedbáním dynamiky vyšších řádů Kdybychom s dynamikou vyšších řádů počítali, bude návrh složitý Raději ji zahrneme do neurčitosti a detaily ignorujeme! Návrh musí zajistit, aby pak nezáleží na fázi pro vf. nepřekročila hranici = db Jinak bychom s ní museli počítat a návrh by byl složitý Michael Šebek ARI-4-28 4
A teď obojí současně Dolní mez pro vf Loop Shaping - shrnutí > W ω, ωnf ω c S( jω) <, T( jω) W Př.: Když požadujeme, aby výstup sledoval sinusový vstupní signál s frekvencí ω ω vf, ) a s odchylkou ne větší než %, volíme W = > ω vf, Horní mez zesílení pro vf W ω 2 Př.: pro přijatelné potlačení šumů a robustní stabilitu při rozumné chybě modelu S( jω), T( jω) > W2 Pro střední frekvence se snažíme dosáhnout ω c blízko požadované šířky pásma v okolí ω c směrnici - (-2dB/dek) pro dobré PM ( 9º) a tedy tlumení Hranice ustálené odchylky Hranice šumu senzorů a neurčitosti soustavy Michael Šebek ARI-4-28 5 W W 2 )
Citlivost v Nyquistově grafu pro pevnou frekvenci ω je vzdálenost bodu L(jω ) na Nyquistově grafu od kritického bodu - rovna převrácené hodnotě velikosti citlivosti v ω Ss () = d( ω ) = L( jω ) = + L( jω ) d( ω) + Ls () = = + L( jω ) S( jω ) L( jω ) Vzdálenost celého grafu L(jω) od bodu - je d ( ) = min d( ω ) = = max ( ω ) MS ω [, ) S j ω [, ) tedy rovna převrácené hodnotě špičky citlivosti M S dljω ( ( )) čím větší je špička citlivost, tím blíže je L(jω) bodu nestability Michael Šebek ARI-4-28 6
Špičky citlivostí Typicky požadujeme: M S < 2 (6 db) M T <.25 (2 db) větší hodnoty ( > 4 ) znamenají špatné chování i robustnost Liší se nejvýše o : M S M T Souvislost s GM a PM je vidět ze vzorečků MT = max T( jω) M S ω ω >> G=3*(-2*s)/((5*s+)*(*s+)) G =.6 -.2s /.2 +.3s + s^2 >> D=.36*(+/(2.7*s)) D =.89 +.s / s >> L=D*G,S=/(+L),T=L*S T jω L = ( ).54+.57s-.4s^2 /.2s+.3s^2+s^3 S =.2s+.3s^2+s^3 /.54+.77s+.6s^2+s^3 T =.54+.57s-.4s^2 /.54+.77s+.6s^2+s^3 S( jω) >> bode(tf(l),tf(s),tf(t)) ω MT ω M S = max S( jω) M S GM > GM, GM + M M S GM < GM, GM M + S S M M T T PM PM 2arcsin 2 M S M 2arcsin 2 M T M S T Michael Šebek ARI-4-25 7
Požadavky na chování frekvenčně Požadavek na chování: Velikost odchylky menší než hodnota e b pro všechny referenční sinusovky s frekvencí ω ω a amplitudou r(jω ) r( jω) ω vyjádříme jako e( jω) = S( jω) r( jω) eb, protože e( jω) = S( jω) r( jω) Abychom pokaždé nemuseli definovat zvlášť spektrum referenčního signálu a požadavek na odchylku, normalizujeme problém zavedením r( jω) váhové funkce chování (performance frequency function), W ( ω ) = eb která vyjadřuje, jak jsou naše požadavky na chování systému rozložené podle frekvencí - je to reálná funkce frekvence S její pomocí můžeme požadavek přepsat do elegantního tvaru Pro návrh často užíváme W ( ω) = W ( jω) ω: S( jω) W ( ω) Michael Šebek ARI-4-28 8
Grafická interpretace Protože [ ] ω, : S( jω) W ( ω) W ( ω) < + Můžeme požadavek na chování interpretovat graficky: Pro žádné ω nesmí bod OL frekvenční charakteristiky L(jω) ležet v kruhu o poloměru W (ω) se středem v kritickém bodu - Pozor: platí to zvlášť po jednotlivých frekvencích ω poloměr = W ( ω) d = + Michael Šebek ARI-4-23 9
Multiplikativní neurčitost [ ] G( jω) = G ( jω) + W ( ω) ( jω) 2 Δ(jω) komplexní funkce, jakákoli, jediné omezení ( jω) reprezentuje amplitudu a fázi neurčitosti W 2 (ω) pevná váhová funkce G nominální model předpokládáme jen, že všechny soustavy v G(jω) mají stejný počet nestabilních pólů neboli také G(s) a G (s) mají stejný počet nestabilních pólů pro všechny Δ(jω) abychom mohli použít Nyquistovo kritérium požadavek trochu umělý, ale kritický, bez něj většina nástrojů neplatí ( jω) W ( ω ) G( jω) 2 G ( jω) + W ( ω) ( jω) 2 G( jω) G ( jω) Michael Šebek ARI-4-23
Váhová funkce neurčitosti Váhová funkce neurčitosti W 2 popisuje rozložení neurčitosti podle frekvencí je vlastně normalizovaná perturbace přenosu [ ] G( jω) = G ( jω) + W ( ω) ( jω) 2 ( jω) G( jω) G( jω) G ( jω) = = W ω G ( jω) G ( jω) ( ) ( ) jω G( jω) G ( jω) G ( jω) W 2 ( ω) ω Typicky je malá pro nízké frekvence (tam známe model velmi přesně) a velká pro vyšší frekvence (parazitní a nemodelované jevy) typický průběh je 2 2. Michael Šebek ARI-4-23
Nyquistův graf neurčitého systému [ ] G( jω) = G ( jω) + W ( ω) ( jω), ( jω) 2 G ( jω ) G ( jω ) W ( ω ) 2 g=2.5/((s+)^3); k=rdf();w=rdf(.5); G ( jω ) omega=:.5:2;ball(g,k,w,,j*ome ga);hold on,nyquist(ss(g)) G( jω ) G( jω) celý kruh Michael Šebek ARI-4-23 2
Soustava s multiplikativní neurčitostí G( jω) = G( jω) [ + W2( ω) ( jω) ], ( jω) je nominálně stabilní G ( jω) je stabilní robustně stabilní Robustní stabilita G( jω) je stabilní pro každé ( jω) tj. když je stabilní každá z nekonečné množiny soustav Podobně pro otevřenou smyčku i pro uzavřenou smyčku L ( jω) = D( jω) G ( jω) [ ] = D( jω) G( jω) = L ( jω) + W ( ω) ( jω) = L ( jω) + L ( jω) W ( ω) ( jω) 2 2 S( jω) =, S( jω) = = + L ( jω) + + L ( jω) + W ( ω) ( jω) 2 2 ( ω) =, ( ω) = = 2 [ ] [ + ] [ ] L ( jω) L ( jω) W ( ω) ( jω) T j T j + L ( jω) + + L ( jω) + W ( ω) ( jω) Michael Šebek ARI-4-25 3
Nutná a postačující podmínka robustní stability L ( jω) T ( jω) = + L ( jω) T( jω) W2( ω) <, ω = D( jω) G( jω) protože typicky W 2 je velké pro velké ω, musí být T ( jω) malé pro vysoké frekvence Protože je S + T =, musí být pro vysoké frekvence S ( jω) Přibližné vyjádření pomocí OL přenosu pro vysoké frekvence je = D( jω) G( jω) malé, proto T( jω) a podmínka robustní stability se redukuje na Podmínka robustní stability T ( jω) W ( ω) < ω L ( jω) 2 < ω W ( ω) 2 Michael Šebek ARI-4-28 4
Grafická interpretace T ( jω) W ( ω) < ω W( ω) L ( jω)/( + L ( jω)) < ω 2 W( ω) L ( jω) < + L ( jω) ω d = + L ( jω ) r = L ( jω) W( ω) L( jω ) g=2.5/((s+)^3);k=rdf();w=rdf(.5);omega=:. :2; ball(g,k,w,,j*omega);hold on om=.2;gom=value(g,j*om);wom=value(w,j*om); a=:.:2*pi;r=abs(wom*gom); fill(r*sin(a)+real(gom),r*cos(a)+imag(gom),' b') ball(g,k,rdf(),,.8*j*omega);grid off L Grafická interpretace: obálka Nyquistových grafů nesmí obsahovat kritický bod - ( jω ) Michael Šebek ARI-4-23 5
Při návrhu může nastat efekt přelévání: abychom někdy zmenšili S(ω), musíme ji jinde zvětšit. Toto přelévání nastává vždy. Když je relativní řád L(s) 2, když tj. L(s) má aspoň o 2 póly více než nul, musí citlivost splňovat Bodeho integrální omezení ve tvaru n ln S( jω) dω = π p Re punstable, i neboli Omezení pro návrh: Efekt vodní postele I. Speciálně pro stabilní L(s) musí platit ln S( jω) dω = Graficky (pokud je logaritmické měřítko u amplitudy a lineární u frekvence), musí se obě plochy rovnat Má-li L(s) nestabilní póly, je plocha zesilování dokonce větší! n log S( jω) dω = π log e p Re p unstable, i Michael Šebek ARI-4-26 6
Další omezení: Efekt vodní postele II. Efekt vodní postele nastává také, když soustava má nestabilní nuly Věta Integrál vážené citlivosti Nechť L(s) má jednu reálnou nestabilní nulu z (nebo pár komplexně sdružených nul z = x ± jy ) Nechť má ještě n p nestabilních pólů p i Pak, má-li být uzavřená smyčka stabilní, musí citlivost S(s) splňovat ln S( jω) wz (, ω) dω = π ln kde, v případě reálné nuly, je váhová funkce 2z 2 wz (, ω) = = z + ω z + ( ω z) anebo v případě komplexních nul wz (, ω) 2 2 2 Michael Šebek ARI-4-25 7 n p i= p p i i + z z x x = + x + ( y ω) x + ( y+ ω) 2 2 2 2