Petra Širůčková, prof. RNDr. Gejza Wimmer, DrSc. Finanční matematika v praxi III. a Matematické modely a aplikace 4. 9. 2013
Osnova Kalibrace 1 Kalibrace Pojem kalibrace Cíle kalibrace Předpoklady 2 3 4 5
Pojem kalibrace Kalibrace Pojem kalibrace Cíle kalibrace Předpoklady Kalibrací rozumíme soubor úkonů, které dávají za určitých podmínek závislost mezi hodnotami indukovanými měřidlem A a mezi příslušnými hodnotami indukovanými jiným měřidlem B. Fáze kalibrace Sestavení kalibračního modelu (kalibrace přístroje) Použití kalibračního modelu (měření kalibrovaným přístrojem)
Cíle kalibrace Kalibrace Pojem kalibrace Cíle kalibrace Předpoklady Stanovení hodnot vybraných parametrů, které charakterizují vybraný objekt Určení oblastí spolehlivosti Testování hypotéz o hodnotách vybraných parametrů
Předpoklady Kalibrace Pojem kalibrace Cíle kalibrace Předpoklady Měříme m různých objektů pomocí dvou různých přístrojů (přístroje A a přístroje B), měření provedeme n - krát, všechna měření jsou nezávislá. Předpokládáme,že: přístroj A je méně přesný a přístroj B přesnější naměřené hodnoty na obou přístrojích mají normální rozdělení pro každý z m objektů platí, že při měření přístrojem A jsou bezchybně měřené hodnoty µ = (µ 1,..., µ m ) při měření přístrojem B jsou bezchybně měřené hodnoty cµ 2 i + bµ i + a, kde a, b, c R, i = 1, 2,..., m
Náhodné veličiny X ij N ( µ i, σx) 2 resp. Y ij N ( cµ 2 i + bµ i + a, σy) 2 realizujeme pomocí přístroje A resp. B Cíl: najít vektor parametrů Θ = ( a, b, c, µ 1,..., µ m, σx, 2 σy 2 ) Známe rozdělení pravděpodobnosti náhodných veličin X ij a Y ij a víme, že jsou nezávislé, můžeme určit jejich hustotu a k určení Θ použít odhadu pomocí metody maximální věrohodnosti
Určíme věrohodnostní funkci, jejím zlogaritmováním pak logaritmickou věrohodnostní funkci: 1 2σ 2 x l (x 11,, y mn ; Θ) = ln L (x 11,, y mn ; Θ) = = mn ln(2π) mn 2 ln σ2 x mn 2 ln σ2 y m n ( ) 2 1 m n ( ) 2. xij µ i y ij a bµ i cµ 2 i i=1 j=1 2σ 2 y i=1 j=1 Minimalizací funkce l (x 11,, y mn ; Θ) získáme realizace maximálně věrohodných odhadů parametru Θ.
Maximálně věrohodný odhad je asymptoticky normální a nestranný odhad Θ. Pro dostatečně velké n platí: a Θ abc N b, 1 ( n J Θ abc) 1 c kde J (Θ) je Fisherova informační matice
Asymptotická (1 α).100% - ní konfidenční oblast pro vektor parametrů (a, b, c) je a â a ( C(1 α) 1 = b : b b ) â a Σ abc 1 b b χ 2 3 (1 α) c ĉ c ĉ c, Pro vektor L = ( 1, x, x 2) a L Θ dostaneme P { L Θ x abc L Σ x abc L x χ 2 1 (1 α) < L xθ abc < } < L Θ x abc + L x Σ abc L x χ 21 (1 α) = 1 α.
31.5 31 30.5 30 29.5 29 a+bx+cx 2 â+ˆbx+ĉx 2 2.88 2.9 2.92 2.94 2.96 2.98 3 Červeně označený - konfidenční pás okolo kalibrační křivky, modře označená - kalibrační křivka, čárkovaně označená - skutečná kalibrační křivka. Obrázek je vykreslen pro hodnoty µ = (1, 2,..., 5), σ x = 0, 2, σ y = 0, 1, n = 10.
hodnoty namerene pristrojem B 30 25 20 15 10 a+bx+cx 2 â+ˆbx+ĉx 2 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 hodnoty namerene pristrojem A Červeně označený - konfidenční pás okolo kalibrační křivky, modře označená - kalibrační křivka, čárkovaně označená - skutečná kalibrační křivka. Pro µ = (1, 2,..., 5), σ x = 0.2, σ y = 0.1, n = 10 a naměřenou hodnotu x = 2.5 je interval (13.585, 31.737) nejméně 90% konfidenční interval pro hodnotu ν x = a + bµ x + cµ 2 x.
Předpokládáme nejdříve, že provedeme pouze jedno měření, tak získáme model ( ) [( ) ( )] X µ σ 2 N, x I m 0 m Y ν 0 m σyi 2, m kde ν i = cµ 2 i + bµ i + a. Máme tedy regresní model, ten linearizujeme pomocí Taylorova polynomu ( ) δµ (diag (b 0 1 m + 2c 0 µ 0 ), I m ) + (1 ) a 2 ν m, µ 0, µ 0 b = 0. c
Za předpokladu, že měření zopakujeme n krát získáme replikovaný model X 1 µ 0 Y 1. X n µ 0 Y n N [ 1 n (kde je Kronekerova δ) ( ) ( )] δµ σ 2, I ν n x I m 0 m 0 m σyi 2 m Takto získáme model neúplného nepřímého měření s podmínkami II. typu na parametry 1. řádu.
Odhadneme parametry a, b, c, µ 1,..., µ m, podle knihy Statistika a metrologie, parametry σ 2 x, σ 2 y odhadneme pomocí MINQUE metody. Dostáváme â a ( ( ) ) b N b 1 1 1, A n W A. ĉ c
Pro výpočet konfidenční oblasti, použijeme metodu Kenwarda Rogera C(1 α) 2 = a â a â a 1 b : b b Σ A b b 3 F 3,u (1 α) c λ ĉ c ĉ c Pro vektor L = (1, x, x 2 ) a L Θ dostaneme { P â + bx + ĉx 2 F 1,u (1 α) (L x Σ ) A L x a + bx + cx 2 λ â + bx + ĉx 2 F 1,u (1 α) (L x Σ ) A L x } = 1 α. λ
33 32.5 32 31.5 31 30.5 30 a+bx+cx 2 â+ˆbx+ĉx 2 2.94 2.96 2.98 3 3.02 3.04 Červeně označený - konfidenční pás okolo kalibrační křivky, modře označená - kalibrační křivka, čárkovaně označená - skutečná kalibrační křivka. Obrázek je vytvořen pro hodnoty µ = (1, 2,..., 5), σ x = 0, 2, σ y = 0, 1, n = 10.
30 hodnoty namerene pristrojem B 25 20 15 10 a+bx+cx 2 â+ˆbx+ĉx 2 2 2.2 2.4 2.6 2.8 hodnoty namerene pristrojem A Červeně označený - konfidenční pás okolo kalibrační křivky, modře označená - kalibrační křivka, čárkovaně označená - skutečná kalibrační křivka. Pro µ = (1, 2,..., 5), σ x = 0.2, σ y = 0.1, n = 10 a naměřenou hodnotu x = 2.5 je interval (14.954, 29.819) nejméně 90% konfidenční interval pro hodnotu ν x = a + bµ x + cµ 2 x.
µ, n C1 α 2 C1 α 1 µ = (1, 2, 3, 4), n = 2 70, 76% 65, 90% µ = (1, 2, 3, 4), n = 5 85, 07% 83, 60% µ = (1, 2, 3, 4), n = 10 90, 09% 89, 50% µ = (1, 2, 3, 4), n = 20 92, 76% 93, 80% µ = (1, 2, 3, 4), n = 50 94, 14% 93, 00% µ (1, 2, 3, 4, 5), n = 2 72, 27% 72, 20% µ (1, 2, 3, 4, 5), n = 5 87, 24% 87, 20% µ (1, 2, 3, 4, 5), n = 10 91, 47% 90, 70% µ (1, 2, 3, 4, 5), n = 20 93, 51% 92, 60% µ (1, 2, 3, 4, 5), n = 50 94, 03% 94, 20% µ (1,... 6), n = 2 71, 59% 77, 10% µ (1,... 6), n = 5 87, 20% 88, 60% µ (1,... 6), n = 10 91, 38% 89, 90% µ (1,... 6), n = 20 93, 29% 92, 80% µ (1,... 6), n = 50 94, 31% 92, 90% C1 α 2, C1 1 α... empirické pokrytí
Srovnání konfidenčních intervalů (1.2) a (2.2). 35 Metoda maximalni verohodnosti Replikovany model hodnoty namerene pristrojem B 30 25 20 15 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 hodnoty namerene pristrojem A Obrázky jsou generovány pro hodnoty µ = (1, 2,..., 5), σ x = 0.2, σ y = 0.1, n = 10.
Kalibrace WIMMER, G. Niektoré matematicko - štatistické metody kalibrácie, In ROBUST 2006, Zborník prací 14. zimní školy, 23-27 ledna 2006, Lhota nad Rohanovem.Praha, 2006. s. 375-386, 12 s. ISBN 80-7015-073-4. MYŠKOVA, Kateřina. One-dimensional calibration with quadratic calibration function. Forum Statisticum Slovacum 2 (2011), 120 123. KENWARD, Michael, G., ROGER, James H. Small Sample Inference for Fixed Effects from Restricted Maximum Likelihood, Biometric, Volume 53, Issue 3 (Sep.,1997), 983-997. ANDĚL, Jiří. Základy matematické statistiky. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2005, 358 s. ISBN 8086732401. KUBÁČEK, Lubomír a Ludmila KUBÁČKOVA, Statistika a metrologie, 1. vyd. Olomouc: Univerzita Palacke ho, 2000, 307 s. ISBN 8024400936. ANDĚL, Jiří. Matematická statistika. 2. vyd. Praha: SNTL - nakladatelství technické literatury, Alfa, vydavatelstvo technickej a ekonomickej literatury, 1985, 346 s