PROSTOROVÁ AUTOKORELACE V ANALYTICKÉ CHEMII JIŘÍ MILITKÝ, Katedra textlních materálů, Techncká unversta v Lberc, 46 7 Lberec MILAN MELOUN, Katedra analytcké cheme, Unversta Pardubce, Pardubce. Úvod Autokorelace se běžně používá přanalýzečasových řad. Jde obecně o metodu zkoumání podobnost nebo různost sledované proměnné mez zvoleným ntervaly. Tyto ntervaly mohou být časové prostorové. Prostorová autokorelace umožňue testování zda sledovaná proměnná v edné lokaltě (oblast, místě resp. bodu O e závslá na hodnotách této proměnné v oblastech sousedících. Prostorová autokorelace tedy defnue míru a úroveň vzáemné závslost mez ednotlvým oblastm v ploše nebo prostoru. Poztvní autokorelace ukazue na podobnost sousedních oblastí a negatvní na výraznou nepodobnost. Praktcky všude, kde se studuí stochastcké procesy rozložené v ploše nebo prostoru se narazí na problém prostorové autokorelace. Prostorová autokorelace e typcká u bologckých problémů, kde sou různé organsmy rozmístěny v lokaltách na zem. Prostorová autokorelace e zde způsobena dvěma zdro příčn: n lokální působení různých vněších faktorů ovlvňuících růst a zánk žvých organsmů n lokální varace vntřních proměnných bologckých systémů. Standardně se prostorová autokorelace využívá v geograf, ekolog ekonomce, geograf a zemědělství. V analytcké chem se problémy souvseící s prostorovou autokorelací vyskytuí např. v těchto úlohách: n vyádření výsledků analýz s ohledem na nestenoměrnost materálových charakterstk resp. poruch v ploše nebo prostoru, n hodnocení vlvu nehomogenty obemných vzorků na výsledek analýz, Obecně vede na úlohy prostorové autokorelace aplkace analytckých metod v oblast bologe, medcíny, geologe, ale také hutnctví, výroby transstorů řízení akost atd. V této prác sou uvedeny základní myšlenky autokorelace vyádřené přes statstky založené na smíšených momentech. Účelem e ukázat ak ednoduše se dá postupovat př analýze tohoto typu dat. Detaly a některá zobecnění obsahue knha [].. Základní způsoby vyádření prostorové autokorelace Prostorová autokorelace se využívá pro hledání závslostí (resp. prostorové blízkost mez množnou N lokalt ( ale také bodů, míst, poloh O,O.. O N ahodnotamp,p..p N něaké proměnné p měřené na ednotlvých místech. Lokalty mohou být charakterzovány svoí polohou na mapě, těžštěm atd. Pokud de o body bývaí charakterzovány svým souřadncem, t. O =(x,y. Jednotlvé lokalty mohou tvořt pravdelnou nebo nepravdelnou sť. Podobně bodové množny mohou být pravdelné nebo nak uspořádané. Velčna p může být kardnální nebo nomnální (např. přítomnost nebo nepřítomnost stopového prvku. Omezme se nedříve na kardnální data (např. koncentrace, když se dá praktcky stený aparát použít také pro nomnální data..
Prostorová blízkost (proxmta mez hodnotam proměnné p se pro kardnální data defnue pomocí matce C sprvky C vyadřuícím různé typy vzdáleností mez p a p. Přrozenáevolba C = ( p p ( Standardně lze také s využtím průměru p N å = p defnovat C ve tvaru C = ( p p *( p p ( Mez další možnost patří Mahalanobsova vzdálenost analoge korelace, Manhatanská vzdálenost, Lp norma atd. Prostorová souvslost mez místy se vyadřue pomocí prostorové váhové matce W s prvky W. Obecně prvek W vyadřue souvslost mez lokaltou O a O. Prostorová souvslost se často chápe lokálně aváhovámatcemáprvekw =, pokud se O ao považuí za blízké sousedy resp. W =0. Pro regulární síť se lokální prostorová souvslost často defnue podle možností pohybu fgur na šachovnc. Př strateg věže (rook exstuí pro každou O čtyř soused (dva v ednom a dva v druhém směru sítě kolmo na sebe. Př strateg střelce (bshop exstuí pro každou O čtyř soused (dva v ednom a dva v druhém směru dagonálně vzhledem k orentac sítě. Př strateg krále (kng exstue pro každou O šest sousedů ako kombnace předchozích dvou strategí. Schematcky lze tyto typy prostorové souvslost vyádřt pomocí obr. Zde symbol O defnue lokaltu a symboly XXX neblžší sousedy pro které sou váhy W ednotkové. Rook Bshop Kng XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX O XXXX O XXXX O XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX Obr. Stratege výběru neblžšího souseda Pro obecně neregulární uspořádání se běžně volí globální prostorová souvslost úměrná např. recproké hodnotě vzdálenost mez O a O tedy např. W d mn = d( O, O = ( x x d mn + ( y y (3 Zde d mn e mnmální hodnota daného typu vzdálenost. Často se také provádí standardzace vah, tak aby součet všech prvků matce W byl roven edné. Je zřemé, že W =0 a proto se často defntorcky zavádí C =0. Všechny míry lokální autokorelace využívaí defnce smíšeného momentu G, pro který platí G = åå W * C (4
Tento moment se často označue ako lneární model prostorové autokorelace. Statstcké chování G se obyčeně sledue na základě znáhodnění t. smulací, kdy se počítá G pro všechny permutace sloupců a řádků matc W a C. Různé ndexy a míry autokorelace sou standardzované varanty statstky G. Známý Moranův ndex má tvar åå åå W * ( p p *( p p N I = * (5 W ( p p å Je zřemé, že ndeximůže být nulový en pro případ, kdy ( p p * ( p p =0. Negatvní prostorová autokorelace e pro I>-/(N- a postvní prostorová autokorelace e pro I<-/(N-. Významnost ndexu I se dá posuzovat na základě předpokladu přblžné normalty nebo znáhodnění. V obou případech platí, že střední hodnota e rovna E(I = -/(N-. Pro rozptyl za předpokladu normalty vyde 0 ù ( N * S N * S + 3* S E( é D( I = ê 0 ú I S * (N ë û Je použto označení åå S 0 =, W S = åå + a ( W W S = å +.Zde ( W * W* W * označue -tý řádek a W * označue -tý sloupecmatcew.prosymetrcké matce W e S = *S. Standardzovaná náhodná velčna z = I E( I D( I (6 má pak přblžně normované normální rozdělení takže lze snadno testovat významnost Moranova ndexu I. Druhým známým ndexem autokorelace e Gearyho c, pro které platí,že má tvar åå å W *( p p N c = * * ååw ( p p (7 Tento ndex se pohybue v rozmezí 0 až. Negatvní prostorová autokorelace e pro c> a postvní prostorová autokorelace e pro ci<. Střední hodnota e rovna a pro rozptyl za předpokladu přblžné normalty vychází é ê ë ù ( N *(* S + S 4 * 0 ú û D( c = S S * *( N + 0 (8 Další postup testování významnost e stený ako u Moranova ndexu.
3. Zobecněné vyádření prostorové autokorelace Exstue celá řada zobecnění prostorové autokorelace. Mez ednoduché patří např. tzv. čtyřbodové statstky q(,, k, l protože kedvěma lokaltám O O sou k dspozc prvky W W,C.W které nemusí být nutně stené. Jezřemé, ze statstka G = ååq(,,,. Praktcké možnost použtí čtyřbodové statstky demonstrue práce[]. Poměrně ednoduše lze také zavést charakterstky lokální autokorelace (vz [3], kdy se př výpočtu momentů sumue pouze přes eden ndex. Tedy např. lokální statstka G má tvar G = å W * C (9 Jednotlvá G mohou být použta pro ndkac lokálních prostorových shluků. Druhoumožností e dentfkace vybočuících a vlvných lokalt na základě porovnání G a G/N. Analogcky ako statstku G lze defnovat lokální Moranovy I a Gearyho c ndexy. Podrobnost obsahue práce [3]. 4. Příklad Techncká aplkace chemcky poené textle obchodního názvu Perlan, například v elektrotechnckém průmyslu pro výrobu hydrozolačních pásek, e podmíněna zaručenou spolehlvostí v podélné pevnost a tažnost. V upraveném stavu sou u této netkané textle požadovány zaručené hodnoty v elektrcké průrazné pevnost, nasákavost a pevnost v přetrhu. Všechny tyto vlastnost souvseí se stenoměrností uspořádání vlákenných složek a pova. Nestenoměrnost vzhledu e dobře patrná zobr.. Obr. Stenoměrnost vlákenné vrstvy v poené textl plošné hmotnost60gm - Účelem byl pops kolísání plošné hustoty této textle. Vzorky pro gravmetrcká měření byly odebrány ve tvaru čtverců rozměrů 00 x 00 mm. Tyto vorky byly rozděleny na rektangulární síť o velkost cely 0 x 0 mm. Pro textl o plošné hmotnost 60 g/m má cela plošného obsahu S = 00 mm hmotnost kolem 6 mg. Kontrola přesnost přípravy cel, byla
provedena na náhodném výběru 5 vzorků.. Relatvní chyba velkost cely se pohybovala od 0.88% do.%. Hmotnost každé cely m byla určena ako průměr zpět vážení. Maxmální relatvní chyba vážení uvzorku60g/m byla.606%. V tab. sou uvedeny hodnoty m pro vzorek poené textle plošné hmotnost 60 g m - Tabulka Průměrné hmotnost cel poené textle plošné hmotnost60gm - Průměrná hmotnost m [0 4 g] 60 60 55.7 56 57.8 53.8 67 6.7 69. 63. 58. 68.8 68. 66. 66. 54.9 5. 5.8 64. 65.3 6. 63 53.4 60. 60.4 56. 56 57 55.7 55 5. 5.9 53.8 55.4 56. 5 57. 54.8 55.4 6.4 55.5 57. 53. 56.8 59.7 57. 6 5.6 55.8 57. 54.8 5. 60 59. 53. 54.6 6 6.7 6.6 5. 5.4 58. 59. 53. 6. 63.4 63. 54.8 54.8 58 59 63.9 58. 58 67 56.3 6.8 65 58. 53.5 70 63.4 7 64.3 5.3 56 59.5 58 5 6. 69.3 73 65 57 57. 63 56 6 6 60 Vzhledem k tomu, že bylapoužta stená velkost cel o ploše S = 00 mm e plošná hustota z =m /S v [g m - ] číselně rovna hodnotám v tab.. Základní statstcké charakterstky tohoto pole plošné hustoty sou uvedeny v tab.. Tabulka. Základní statstcké charakterstky plošné hustoty Počet hodnot 00 rozměr Průměr 58.9 [ gm - ] Maxmální hodnota 73 [ gm - Mnmální hodnota 5 [ gm - ] Směrodatná odchylka 5, [ gm - ] Varační koefcent 8.68 [%] Grafcky e kolísání plošné hustoty znázorněno na obr. 3. S0 S9 S8 S7 S6 S5 S4 S3 S 3 4 5 6 7 8 9 0 S Obr. 3 Kolísání plošné hustoty poené textle 60 g m - 60-80 [ gm - ] 40-60 [ gm - ] Informace o náhodném pol lze získat na základě sekvence povrchových hustot z(, určených
na pravoúhlé sít, kde, ( =...m, =...ndefnue. -tou celu. Pro odhad korelační funkce pak platí m K n L R ( K, L = å å ( z ( + K, + L z( z (, z ( m K( n L = = kde m n z = åå z (, mn = = e průměrná hodnota plošné hustoty. Je zřemé, že korelační funkce R(0,0 = D(z(,. Zde symbol D(z(, označue výběrový rozptyl plošné hustoty. Na obr 4 e znázorněn odhad korelační funkce R(K,L pro K=0,...7 a L=0,...7. Obr 4 Odhad korelační funkce R(K,L Pro vyádření prostorové autokorelace bylo použto ak Moranova I tak Gearyho c ndexu. Vzhledem k regulartě sítě bylo použto lokální defnce neblžších sousedů podle obr. Výsledky získané s využtím doplňku (add-n pro EXCEL (vz [4] sou uvedeny v tab. 3. Tabulka 3. Indexy prostorové autokorelace Typ souseda I D(I Z(I c D(c Z(c Rook 0,55 0,0053 3,66 0,7 0,0057 3,677 Bshop 0,4 0,0059,95 0,89 0,0078,03 Queen 0,0 0,007 4,06 0,768 0,0037 3,79 V tab. 3 sou Z(I a c(i standardzované náhodné velčny s přblžně normálním rozdělením. Jech velkost (podstatně výše než svědčí ovýrazné poztvní autokorelac. Z uvedeného e patrné, že polepovrchové hustoty e mírně anzotropní a vykazue lokální neregularty. Exstue zde výrazná prostorová autokorelace. To bylo potvrzeno také analýzou založenou na vzuální nestenoměrnost [6].
5. Závěr V příspěvku bylo ukázáno použtí prostorové autokorelace na příkladu pole povrchové hustoty pro hodnocení nestenoměrnost netkaných textlí. Byl použt doplněk k EXCELU, který umožňue ednoduché komplkovaněší výpočty souvseící s prostorovou autokorelací. Tento doplněk lzezískat na adrese: http://www.uottawa.ca/academc/arts/geographe/lpcweb/sectons/software/frmsoft.htm Některé další programy pro vyádření prostorové autokorelace sou k dspozc u autorů této práce. Poděkování Tato práce vznkla s podporou grantu GAČR č. 06/99/84, grantu MŠMT č. VS 97084 a výzkumného záměru MŠMT J/98:4403 6. Lteratura [] Clff A. D., Ord J.K.: Spatal autocorrelaton, Pon, London 973 [] Hubert L. J. a kol. Geographcal Analyss 3, 4 (98. [3] Anseln L.: Geographcal Analyss 7,93 (995. [4] Sawada M.: Bull. Ecol. Soc. Amer. 80, 3 (999 [5] Klčka. V.,: Dsertační práce, 998, Lberec [6] Mltký J., Rubnerová J,.Klčka V.:Vzhledová nestenoměrnost netkaných textlí, Sborník z konference STRUTEX 98, Lberec 998
Název souboru: autoko~ Adresář: E:\Pom Šablona: D:\Program Fles\Mcrosoft Offce\Sablony\Normal.dot Název: autokorelace Předmět: Autor: katedra textlních materálů Klíčová slova: Komentáře: Datum vytvoření: 4.09.00 3:38 Číslo revze: Poslední uložení: 4.09.00 3:38 Uložl: Mlan Meloun Celková doba úprav: 0 mn. Poslední tsk: 4.09.00 3:43 Jako poslední úplný tsk Počet stránek: 7 Počet slov: 86 (přblžně Počet znaků: 0 355 (přblžně