I. ročník celostátní konference POLEHLIVOT KONTRUKCÍ Téma: Rozvoj koncepcí posuku spolehlivosti stavebních konstrukcí 15.3.2000 Dům techniky Ostrava IBN 80-02-01344-1 73 PRAVDĚPODOBNOTNÍ POUDEK OCELOVÉHO RÁMU METODOU IMPORTANCE AMPLING Abstrakt Zeněk Kala Příspěvek emonstruje metoiku posouzení ocelového rámu pravěpoobnostní metoou Importance ampling využívající simulační techniku. Na konkrétním příklau ocelového rámu je tato metoa popsána a jsou ukázány její přenosti oproti klasické metoě Monte Carlo. cílem co nejpřesněji zohlenit vliv všech imperfekcí na únosnost bylo ve výpočtovém moelu použito geometricky a fyzikálně nelineární řešení MKP. V článku jsou ále zůrazněny zjenoušující přepoklay, které jsou obsaženy v pomínkách spolehlivosti normy EC1 [8]. Porobněji je též iskutována problematika zohlenění vlivu imperfekcí na únosnost ocelového rámu. 1. Úvo Pro řešení problémů spolehlivostní analýzy existuje celá řaa simulačních meto. Klasickou a také nejstarší simulační metoou je jenouchá metoa Monte Carlo. Úpravou stanarní metoy Monte Carlo ostáváme metou LH [2]. Metoa LH ává přesnější a spolehlivější ohay stření honoty, obecných momentů a průběhu istribuční funkce při stejném počtu simulací za přepoklau, že příslušný výpočtový moel je monotónní funkcí kažé náhoné vstupní veličiny. peciální skupinu simulačních meto tvoří tzv. pokročilé numerické simulační metoy, jako např. Importance ampling nebo Aaptive ampling. V přípaě velmi jenouchého výpočtového moelu, výkonného počítače a ostatku prostřeků je možno využít jenouchou metou Monte Carlo (označovanou něky jako imple Ranom ampling ) [3]. V obecných přípaech je však ve statistické analýze vhonější použít metou LH, přípaně pro určování pravěpoobnosti poruchy metou Importance ampling. Metoy těchto výpočtů jsou známy a existuje i příslušný software (komerčně ostupný), avšak to, co je stále problematické, je otázka obecně platných, a tey také koifikovatelných statistických úajů pro všechny potřebné vstupní veličiny a návrhové situace [7]. To je jeen z ůvoů, proč je plně pravěpoobnostní postup využíván jen pro navrhování konstrukcí mimořáných (významem, náklay a ůsleky přípané havárie). Častější a velmi účelné je využití pravěpoobnostních meto pro kalibraci ílčích součinitelů, příp. pro jiné zlepšování stávajících postupů. Zájem inženýra je v souvislosti s normovými přepisy obvykle soustřeěn na mezní stavy, tj. mezní únosnost nebo mezní eformace. Dosažení mezního stavu je ve skutečnosti náhoným jevem a je ovlivněno náhoností ve stanovení účinků zatížení, oolnosti konstrukce, vlivů prostřeí a jiných vlivů. V souvislosti s mezním stavem únosnosti bueme iskutovat náhoný účinek imperfekcí na spolehlivost ocelového rovinného rámu Zeněk Kala, Ing., Dr., Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavební mechaniky, Veveří 95, 662 37 Brno, tel.: 05/41147382, E-mail: smkaz@fce.vutbr.cz
74 2. Metoa Importance ampling Konstrukce, prvek či průřez je spolehlivý, je-li splněna záklaní pomínka spolehlivosti ve tvaru : Q(X)= Q ( X,,..., 1 X 2 X M ) 0, (1) ke X 1,X 2,,X M jsou výchozí veličiny pro její výpočet, které u mezních stavů únosnosti popisují obvykle opory konstrukce a účinky zatížení, a to po obu životnosti konstrukce. Pomínka (1) se často uváí ve tvaru funkce vou náhoných veličin a R, ke vyjařuje účinek zatížení na konstrukci (akci) a únosnost R je schopnost konstrukce oolat těmto účinkům (bariéra) [2], [4]: G = R 0. (2) Rezerva spolehlivosti je náhoná veličina se stření honotou m G a směroatnou ochylkou G. U metoy Monte Carlo je možno oha stření honoty teoretické pravěpoobnosti P f, se kterou pomínka (2) není splněna, vyjářit le vztahu (3). n 1 Pf = P( G < 0 ) 1( G < 0), (3) n i= 1 V (3) vyjařuje n celkový počet kroků simulační metoy. Funkce 1(G<0) nabývá honoty 1 v přípaě, že G<0, v opačném přípaě nabývá honoty 0. U metoy Monte Carlo se oporučuje počet kroků pro osažení spolehlivých výsleků n=100/p f, ke P f označuje určovanou pravěpoobnost poruchy [3]. Např. pro P f =7,2E-5 je n=1390000. Tyto a i jiné ůvoy omezují použitelnost metoy Monte Carlo. U moelů založených na nelineární MKP, ky jeen výpočet (krok metoy) může trvat až esítky minut, může např. být použití metoy Monte Carlo již značně problematické. U složitějších výpočtových moelů je proto něky vhonější použít metou Importance ampling, která může výrazně snížit počet nutných simulací. Honotu P f je pak le [3] možno vyčíslit: n 1 f ( ) ( ) ( X ) Pf = P G < 0 1 G < 0, (4) n i= 1 h( X ) ke f(x) je skutečná spojitá funkce rozělení pravěpoobnosti vstupních náhoných veličin specifické úlohy a h(x) je tzv. váhová funkce. Pro vě vstupní náhoné proměnné jsou funkce f(x), h(x) znázorněny na obr.1. Obr.1: chematický obrázek postaty postupu Importance ampling myslem zaveení váhové funkce (obr.1) je koncentrovat realizaci vstupních náhoných veličin o strategicky nejůležitější oblasti možného vzniku poruchy, např. kolem návrhového bou. Na obr. 1 byl návrhový bo zvolen přibližně u hranice G=R-=0.
75 3. Metoa Importance ampling kolem střeních honot Koncept metoy Importance ampling lze aplikovat rovněž pro jiný než návrhový bo, např. pro bo opovíající střením honotám náhoných veličin [3]. Je vhoný pro přípay, ky je pře výpočtem naprostý neostatek informací o oblasti poruchy, nebo kyž je možno přepokláat více přibližně stejně ůležitých oblastí výskytu poruchy, což by vyžaovalo uvažovat více návrhových boů. Tyto přípay vyžaují poměrně širokou oblast pro simulaci. chéma postupu je pro vourozměrný přípa znázorněno na obr. 2. Postup výpočtu lze poměrně názorně popsat v přípaě, že se vstupní náhoné veličiny říí Gaussovým normálním rozělením a jsou statisticky nezávislé. Uvažujme vourozměrný přípa na obr. 2, ke vstupní veličiny X 1, X 2 mohou přestavovat např. náhoné veličiny a R ze vztahu (2). Přepokláejme, že tyto náhoné veličiny jsou statisticky nezávislé, a tuíž že pro ně platí f(x)=f 1 (X 1 )*f 2 (X 2 ). Zvolíme váhovou funkci h(x)=h 1 (X 1 )*h 2 (X 2 ) tak, aby simulované realizace náhoné veličiny X 1 z funkce h 1 (X 1 ) měly stření honotu m X1 a směroatnou ochylku rovnu k-násobku půvoní směroatné ochylky X1. Obobně i u ruhé veličiny X 2 buou simulované realizace z funkce h 2 (X 2 ) mít stření honotu m X2 a směroatnou ochylku rovnu m-násobku půvoní honoty X2. Obr.2: chéma postupu Importance ampling s použitím střeních honot V alším kroku vygenerujeme n simulovaných realizací boů z funkce h(x) některou simulační metoou (např. Monte Carlo, nebo LH). Pro k>1 a m>1 buou mít konkrétní realizace vstupních náhoných veličin z funkce h(x) větší variabilitu, než by měly půvoní náhoné veličiny. Ve výpočtu tak automaticky zohleníme všechny ominantní oblasti funkce poruchy. To je velká výhoa tohoto postupu, který je obvykle aleko lepší než obyčejná metoa Monte Carlo. Oha stření honoty pravěpoobnosti poruchy P f je pak možno vyhonotit le vztahu (4). chematicky je tento postup výpočtu metoou Importance ampling pro vourozměrný přípa pro jeen bo naznačen na obr.2. V praktických úlohách je možno volit honoty k,m>>1, přičemž omezení se týkají nejen efiničního oboru výpočtového moelu, ale také i potékání proměnných s pohyblivou esetinnou čárkou zobrazených na konečném počtu bytů na počítači. Oha malé honoty pravěpoobnosti P f může být zcela znehonocen vlivem malých honot funkce f(x), které jsou při počítačovém zpracování zaokrouhleny na nulu (v oblasti G<0).
76 4. Vstupní náhoné veličiny Byl řešen jenopatrový rovinný rám o jenom poli, viz obr.3. Všechny imperfekce mající vliv na únosnost rámu byly uvažovány jako náhoné veličiny. Prvním typem imperfekcí jsou geometrické imperfekce samostatných prutů. Bylo přepoklááno počáteční zakřivení ve tvaru sinusovky. Jako stření honota Gaussova rozělení pravěpoobnosti Obr.3: Geometrie rámu maximální amplituy e 0 (obr. 4a) byl uvažován přímý prut (m e0 =0). měroatná ochylka byla u stojek stanovena le toleranční normy [10] honotou e0 =1,5 mm pole pravila 2 X [4]. Za přepoklau, že 95 % skutečných ochylek se nachází v tolerančních mezích, které uváí norma [10], je možno natočení kažého sloupu brát jako náhonou veličinu s normálním rozělením pravěpoobnosti se stření honotou m e1 =m e2 = 0 a směroatnou ochylkou e1 = e2 =h/200 v přípaě, že náhoné stočení první i ruhé stojky bue mít opačné znaménko (tvarově pole obr. 4c). V opačném přípaě (obr. 4b) byly pole pravila 2 X přepokláány směroatné ochylky e1 = e2 =h/707. Obr.4: Mezní ovolené úchylky samostatného prutu a prutové soustavy U imperfekcí, které se týkají rozměrů průřezů, je možno přepokláat, že nominální honoty rozměrů převzaté z normy [9] jsou stření honoty m X. měroatné ochylky X je možno le tolerančních mezí stanovit na záklaě pravila 2 X [4]. U vlastního pnutí se u kažého prutu přepokláalo normální rozělení se stření honotou 60 MPa a směroatnou ochylkou 30 MPa [1]. Mez kluzu byla pro ocel 235 zaveena jako veličina s normálním rozělením pravěpoobnosti se stření honotou 295,69 MPa a směroatnou ochylkou 26,76 MPa [5]. Vliv ochylek fyzikálně mechanických vlastností byl zohleněn proměnlivostí honoty moulu pružnosti E. U kažého prutu jsme uvažovali stření honotu m E =210 GPa s variačním koeficientem 0,06. Porobněji viz [4], [6]. 5. Výpočtový moel Ocelový rám byl moelován prutovými prvky (ělení viz obr. 5), umožňujícími zohlenění všech zmíněných imperfekcí (geometrické imperfekce, vlastní pnutí at.). Únosnost byla stanovena s přesností 0,1 % geometricky a fyzikálně nelineárním výpočtem jako taková velikost zatížení, při jehož překročení by ošlo k počátku zplastizování stojiny válcovaného Obr.5: Moel MKP profilu, přičemž vlastní pnutí bylo uvažováno pouze na pásnicích. Tento postup se ukázal jako ostatečně přesný, neboť při začátku plastizování stojiny je rezerva únosnosti již velmi malá, což se projevuje velmi rychlým poklesem eterminantu soustavy prutů k nule.
77 6. Ověření návrhových pomínek spolehlivosti Z pravěpoobnostního hleiska jsou le normy [8] návrhové honoty účinků zatížení a únosnosti R efinované pomocí návrhového inexu spolehlivosti β. Např. pro tzv. normální úroveň spolehlivosti uváí [8] β =3,8. Pro normální rozělení zatížení a únosnosti [6] je možno návrhovou pomínku spolehlivosti (2) zapsat ve tvaru R jako: m + 0,7β mr 0, 8β R, (5) ke m jsou stření honoty a směroatné ochylky účinků zatížení a únosnosti. V [8] v tabulce A.3 na s. 65 je kromě možnosti stanovit návrhové honoty pro normální rozělení uveena také možnost použít Gumbelovo rozělení, nebo vouparametrické log-normální rozělení. V přípaě log-normálního rozělení únosnosti je možno zapsat: m + 0,7β mr exp( 0, 8β vr ). (6) Dle normy [8] vyhovuje návrhové honotě R pro normální úroveň spolehlivosti prakticky 0,1%ní kvantil. Aproximace výstupního statistického souboru únosnosti normálním (5) nebo log-normálním rozělením (6) přestavuje vžy pouze jistou iealizaci skutečnosti. Honotu 0,1%ního kvantilu je však možno nezávisle na typu rozělení pravěpoobnosti určit pro 100 000 kroků metoy LH jako 100. nejmenší honotu únosnosti z výstupního statistického souboru [4]. Takto stanovené honotě v našem přípaě opovíá návrhová únosnost R =697,6 kn. Protože v návrhových pomínkách spolehlivosti (2), (5), (6) znaky nerovnosti nezaručují jenoznačnost, byl přepokláán ekonomický návrh, byla totiž uvažována rovnost mezi návrhovým účinkem zatížení a návrhovou oolností ( =R ). Prakticky se při výpočtu pravěpoobnosti poruchy P f postupovalo tak, že směroatné ochylky účinků zatížení se určily jako násobky směroatných ochylek únosnosti. Porobněji viz [4]. = k R ; k = 0,25; 0,5; 0,75; 1,0 (7) Za těchto přepoklaů a za přepoklau normálního rozělení účinků zatížení je možno vyjářit stření honotu m ve tvaru (8). m = R 0,7β (8) 7. Pravěpoobnost poruchy Pro stanovení ohau stření honoty pravěpoobnosti poruchy P f byla použita metoa Importance ampling. Realizaci náhoné únosnosti R jsme stanovili pro vstupní veličiny lekap.4stím rozílem, že směroatné ochylky některých vstupních náhoných veličin byly zaveeny jako násobky půvoních honot. Oha těchto násobků byl zvolen heuristicky s cílem co nejpřesnějšího ohau P f. Náhoná únosnost na obr. 6b stanovená s užitím těchto vstupů zahrnuje simulacemi postatně širší oblast v porovnání s únosností z obr. 6a, ke byla užita metoa LH pro půvoní vstupní veličiny popsané vkap.4.u směroatných ochylek účinku zatížení jsme v souvislosti s metoou Importance ampling uvažovali esetinásobek honot stanovených le kapitoly 6. Obr. 6: a) Únosnost metoou LH z funkce f(x) b) Únosnost metoou LH z funkce h(x)
78 Tab. 1: Vyhonocení únosnosti Tab. 2: Pravěpoobnost poruchy P f tatistické momenty Honoty stat. momentů m Pravěpoobnost poruchy P f M R 1016,1 kn = 0,25* R = 28,05 kn 622,99 kn 9,75 E-5!! R 112,25 kn = 0,50* R = 56,10 kn 548,37 kn 3,36 E-5 Šikmost 0,1825 = 0,75* R = 84,15 kn 473,76 kn 1,81 E-5 Špičatost 2,9875 = 1,00* R = 112,2 kn 399,15 kn 3,31 E-5 8. Závěr Návrhovou únosnost le normy [11] je možno určit jenak stabilitním, jenak geometricky nelineárním řešením. tabilitním řešením le normy [11] je nejprve nutno stanovit vzpěrné élky L cr tlačených prutů. U obou stojek jsme určili L cr1 =L cr2 =3,346 m, čemuž opovíá vzpěrnostní součinitel χ a =0,973. Návrhová únosnost je pak rovna honotě 914,9 kn, což je o 31 % vyšší (nebezpečnější) honota v porovnání s únosností 697,6 kn ze statistického řešení! Geometricky nelineární řešení zohleňuje vliv všech imperfekcí počátečním zakřivením prutů a soustavy, což v řaě přípaů může lépe vystihovat skutečné chování ocelové konstrukce. Tímto řešením jsme určili návrhovou únosnost honotou 739,1 kn. V tabulce 2 je tučně kurzívou zvýrazněn přípa, ky oha pravěpoobnosti poruchy P f =9,75E-5 metoou Importance ampling byl v porovnání s honotou 7,2E-5 le [8] vyšší. Návrhová honota únosnosti ze statistického výpočtu je menší v porovnání s normovými honotami a zároveň je i vyšší celková pravěpoobnost poruchy! Normový přepis [11] tey nemusí vžy zaručovat ostatečnou celkovou spolehlivost návrhu. V této souvislosti je třeba u statistického a pravěpoobnostního řešení vyzvihnout přeevším schopnost postihnout celé spektrum možných řešení problému, tj. postihnout vliv určitých nejistot spojených s konkrétními honotami vstupních veličin a moelovat skutečné chování konstrukce mnohem reálněji. Příspěvek vznikl při řešení projektu č.103/99/p023 Grantové agentury České republiky a výzkumného záměru CEZ:J22/98:261100007. Literatura 1. Dai, I., Mazzolani, F. M. : Détermination expérimentale es imperfections structurales es profilés en acier, Construction métallique, n. 1, 1974. 2. Novák, D., Teplý, B., Materna, A., Keršner, Z.: Metoa LH a její srovnání s metoou Monte Carlo při statistické analýze železobetonových nosníků, borník konference Matematické věy v technice, prosinec 1986, Karlovy Vary, s.399-404. 3. Novák, D. Pravěpoobnostní optimalizace a pravěpoobnostní analýza konstrukcí, habilitační práce, Brno, 1996 4. Páleš, D. - Oolnosť a overenie spoľahlivosti centricky tlačeného prúta s uvážením vzperu, kaniátska izertačná práca, 1996. 5. Rozlívka, L. - Dvořáček, P. - Fajkus, M.: Rozměrové úchylky ocelových svařovaných nosníků a jejich vliv na návrhovou pevnost konstrukčních ocelí, tavební obzor, 8, 2/99. 6. aovský, Z.: Influence of skewness on reliability verification an safety factors, IABE Colloquium Basis of Design an Actions on tructures, Backgroun an Application of Eurocoe 1, Delft, March 27-29, 1996. 7. Teplý, B., Kala. Z.: Nástroje spolehlivostní analýzy v aplikaci na navrhování ocelových konstrukcí, Inženýrská mechanika, roč.7, 2000, č.1, s.1-11. 8. ČN P ENV 1991-1, leen 1996: Zásay navrhování a zatížení konstrukcí. 9. ČN 425553, 1985 - Tyče průřezů IPE z konstrukčních ocelí válcované za tepla rozměry. 10. ČN P ENV 1090-1:1996 Prováění ocelových konstrukcí, část 1. 11. ČN P ENV 1993-1-1, listopa 1994 Navrhování ocelových konstrukcí, část 1.1.