Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Andrea Voráčková Investiční strategie finančních derivátů Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Studijní program: Studijní obor: doc. RNDr. Jan Hurt, CSc. Matematika Finanční matematika Praha 2015

Velice ráda bych těmito řádky chtěla poděkovat svému školiteli doc. RNDr. Janu Hurtovi, CSc. za jeho věcné rady a připomínky, které mi byl ochoten udělovat i navíc v době své řádné dovolené na zotavenou. Vřelé díky také patří mým rodičům, jež mi byli v těžkých chvílích oporou.

Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracoval(a) samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů, literatury a dalších odborných zdrojů. Beru na vědomí, že se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona č. 121/2000 Sb., autorského zákona v platném znění, zejména skutečnost, že Univerzita Karlova v Praze má právo na uzavření licenční smlouvy o užití této práce jako školního díla podle 60 odst. 1 autorského zákona. V...................... dne............. Podpis autora

Název práce: Investiční strategie finančních derivátů Autor: Andrea Voráčková Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Jan Hurt, CSc., Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Abstrakt: Tato práce se zabývá různými metodami oceňování opcí. Nejdříve jsou zavedeny základní definice a vztahy pro opce. V druhé části jsou představeny modely vhodné k oceňování opcí: Black-Scholesův a binomický model a je dokázán jejich vzájemný vztah. Pro binomický model jsou představeny Cox-Ross-Rubinstein a Jarrow-Rudd metody oceňování opcí a jejich aproximativní verze. V numerické části pomocí softwaru Mathematica aplikujeme výše uvedené metody na data, popíšeme jejich silné a slabé stránky a naše výsledky porovnáme s tvrzeními v Shaw (2002) a Hull (2012). Klíčová slova: Binomický model, oceňování opcí, Black-Scholesův model, Cox- Ross-Rubinstein metoda, Jarrow-Rudd metoda Title: Investment Strategies for Financial Derivatives Author: Andrea Voráčková Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: doc. RNDr. Jan Hurt, CSc., Department of Probability and Mathematical Statistics Abstract: This bachelor thesis deals with various methods of valuing options. First, the basic definitions and relations concerning options are introduced. The second part is focused on Black-Scholes and binomial model and the relation between these models is proved. The Cox-Ross-Rubinstein and Jarrow-Rudd methods are introduced as well as the approximate versions of these methods. The numerical part consists of applying aforesaid methods on data using software Mathematica. The strengths and weaknesses of these methods are described and outcomings are compared with thesis of Hull (2012) and Shaw (2002). Keywords: Binomial options pricing model, Cox-Ross-Rubinstein method, Jarrow- Rudd method

Obsah 1 Charakteristika finančních derivátů 3 1.1 Klasifikace finančních derivátů.................... 3 1.2 Opce.................................. 4 1.3 Funkce finančních derivátů...................... 8 1.3.1 Zajištění............................ 8 1.3.2 Spekulace........................... 10 2 Oceňování opcí 12 2.1 Black-Scholesův model........................ 12 2.2 Binomický model........................... 14 2.3 Vztah binomického a Black-Scholesova modelu........... 18 2.4 Metody oceňování opcí v binomickém modelu........... 20 2.4.1 Cox-Ross-Rubinstein model................. 21 2.4.2 Jarrow-Rudd model...................... 22 3 Numerické výpočty 24 3.1 Příklady................................ 24 3.1.1 Příklad 1........................... 24 3.1.2 Příklad 2........................... 26 3.2 Příklady oceňování CRR a JR metodami.............. 28 Literatura 44 Seznam obrázků 45 1

Úvod Práce je rozdělena do tří částí, funkce finanční derivátů, oceňování opcí a numerická studie. V první části se seznámíme se základními pojmy užívanými v souvislosti s finančními deriváty, ukážeme si základní vlastnosti a vztahy pro opce a uvedeme jednoduché motivační příklady. V druhé části si představíme jednotlivé modely oceňování opcí. Vysvětlíme si základy Black-Scholesova modelu pro oceňování evropských opcí a budeme se podrobněji věnovat oceňování amerických opcí pomocí binomického modelu. Pro daný model uvedeme Cox-Ross-Rubinstein a Jarrow-Rudd metodu oceňování opcí a pomocí softwaru Mathematica 10.0 odvodíme hodnoty parametrů a omezení pro tyto metody. Dále uvedeme vlastní důkaz pro vztah Black-Scholesova a binomického modelu. Ve třetí části práce si nejdříve uvedeme názorný motivační příklad na oceňování opcí pomocí binomického modelu a následně s využítím softwaru Mathematica ukážeme aplikaci jednotlivých metod binomického modelu pro vyšší počet kroků. Budeme zkoumat vlastnosti jednotlivých metod a porovnáme naše výsledky s tvrzeními v Hull (2012) a Shaw (2002). Software Mathematica jsme zvolili proto, že má zabudovánu širokou škálu funkcí pro finanční deriváty a umí pracovat s numerickými hodnotami i symbolickými výrazy. V naší práci jsme pravděpodobně odhalili metodu, kterou Mathematica využívá pro oceňování opcí v binomickém modelu. 2

Kapitola 1 Charakteristika finančních derivátů Lidé se už od pradávna snažili zajistit vůči nepřízni náhodných jevů, chtěli mít jistotu, že v budoucnu se nepřihodí nic zlého. Především s nástupem obchodování na delší vzdálenosti vyvstalo mnoho otázek: Dorazí mé zboží v pořádku, bude daný kupec opravdu ochoten odkoupit/prodat mé zboží za sjednanou cenu?. Obchodníci se tedy předem domluvili, za jakých podmínek si zboží smění. To byly první formy forwardových kontraktů. Podle Kummer a Pauletto (2012) zmínka o první opci se datuje již k roku 625 před Kristem, kdy si farmář olivového háje a lisovny chtěl zajistit, že bude-li úroda hojná, stihne všechny své olivy prolisovat, než se zkazí. Za určitý poplatek si koupil právo, že v době sklizně může využívat lisovny ve svém regionu. Od té doby prošly finanční deriváty velkými změnami a během posledních třiceti let se dokonce staly velmi žádaným artiklem na poli finančního trhu. Především opce a futures se těší velké oblibě na burzách a tzv. OTC (over-the-counter) trzích po celém světě. Finanční deriváty jsou oblíbeným nástrojem investorů pro své široké využití. Tyto instrumenty jsou ceněny hlavně pro možnost přenesení rizika, především v oblasti poskytování půjček, hypoték či zajištění, kdy se investor může sjednáním kontraktu pojistit proti nepříznivým vývojům cen, úroků a dalších faktorů ovlivňujících jeho investici. Finanční deriváty s sebou na finanční trh přinášejí rovněž vyšší likviditu, a tudíž zastávají důležitou funkci při transferu rizika investic. 1.1 Klasifikace finančních derivátů Finanční deriváty budeme klasifikovat podle Cipra (2013) do několika skupin v závislosti na místě obchodu, typu podkladového aktiva a vzájemném postavení účastníků (pevné a podmíněné). Finanční deriváty se obchodují bud na burze nebo OTC trzích. V závislosti na typu podkladového aktiva se dělí na deriváty na akciový index, komoditní, úrokové, měnové a akciové deriváty. Pevné postavení účastníků znamená, že obě strany sjednají kontrakt k předem stanovenému datu za určitou cenu nebo sazbu. Za tuto smlouvu si obvykle žádná ze stran nic neúčtuje. Po uplynutí smluveného časového intervalu je každý z účastníků povinen splnit svoji část dohody, at už pro něj výhodná je či není. Účastník, který kupuje instrument, je v dlouhé pozici, účastník, který prodává instrument, 3

je v krátké pozici. Mezi pevné deriváty patří: Forwardy, které se sjednávají individuálně na OTC trzích, mají pevně stanovený čas vypořádání a cenu, za kterou se bude podkladové aktivum prodávat resp. kupovat. Futures jsou speciálním standardizovaným případem forwardů a uskutečňují se na burze. Swapy představují kontrakt o výměně peněžních toků k určitému datu. Při podmíněném postavení si jedna strana kupuje právo na nákup či prodej bazického instrumentu za předem stanovenou cenu. Tato strana je v tzv. dlouhé pozici. Druhá strana, která derivát vypsala, je v tzv. krátké pozici a má naopak povinnost prodat resp. koupit podkladový instrument, bude-li si to držitel derivátu přát. Podmíněné deriváty se dělí na mnoho typů, my si představíme ty základní: Opce, kterým bude z velké části věnována tato práce, a tedy jejich charakteristika je uvedena podrobněji níže jako samostatná sekce. Warranty se nejčastěji vypisují jako bonus pro investory, kteří si nakoupili akcie či dluhopisy dané společnosti. Warranty jsou vlastně opce na nákup pevně zvoleného počtu akcií či dluhopisů emitované nejčastěji bankami. Životnost warrantů bývá obvykle i několik let. Stropy (caps) resp. dna (floors) poskytují držiteli plnění rozdílu referenčních sazeb od upisovatele v případě, že tyto sazby stoupnou nad resp. klesnou pod určitou mez. Obojky jsou kombinací long cap a short floor. 1.2 Opce Opce je finanční derivát, který dává svému držiteli - vlastníkovi právo na nákup či prodej určitého objemu bazického instrumentu za předem sjednanou cenu tzv. realizační cenu. Za toto právo platí držitel opční prémii jejímu prodejci tzv. upisovateli. Upisovatel je v tzv. krátké pozici a má povinnost prodat nebo koupit daný bazický instrument v případě, že držitel (v dlouhé pozici) své právo uplatní. Při sjednávání kontraktu jsou předem určeny následující faktory: objem a typ bazického instrumentu realizační cena datum splatnosti opce neboli maturita. Evropské opce se dají uplatnit pouze k datu splatnosti opce, americké opce se mohou uplatnit kdykoli do tohoto data. Typy opcí: 4

CALL opce: Držitel call opce má právo koupit, a upisovatel povinnost prodat, bazický instrument za realizační cenu. PUT opce: Držitel put opce má právo prodat, a upisovatel povinnost koupit, bazický instrument za realizační cenu. Použité značení: K... realizační cena S t... spotová (okamžitá) cena bazického instrumentu v čase t T... datum splatnosti(maturity) opce c t... cena evropské call opce v čase t p t... cena evropské put opce v čase t C t... cena americké call opce v čase t P t... cena americké put opce v čase t D... dividendy r... bezriziková úroková míra σ... volatilita bazického instrumentu Poznámka. Pokud budeme mluvit o opcích, pak budeme myslet evropské opce na akcie nevyplácející dividendy, neuvedeme-li jinak. Předpokládejme dále, že prodeje nakrátko jsou povoleny a arbitráž není možná. Účastník v dlouhé call pozici realizuje v čase T zisk c 0 + (S T K) +, kde (S T K) + = max(0,s T K). Tedy pro S T < K nechá opci propadnout, pro S T > K opci uplatní. Obrázek 1.1: Graf závislosti zisku držitele call opce na změně ceny bazického instrumentu. Účastník v krátké call pozici realizuje v čase T zisk c 0 (S T K) +. 5

Obrázek 1.2: Graf závislosti zisku upisovatele call opce na změně ceny bazického instrumentu. Účastník v dlouhé put pozici realizuje v čase T zisk p 0 + (K S T ) +. Tedy pro S T > K nechá opci propadnout, pro S T < K opci uplatní. Obrázek 1.3: Graf závislosti zisku držitele put opce na změně ceny bazického instrumentu. Účastník v krátké put pozici realizuje v čase T zisk p 0 (K S T ) +. 6

Obrázek 1.4: Graf závislosti zisku upisovatele put opce na změně ceny bazického instrumentu. Poznámka. Podle Cipra (2013) říkáme, že opce je v penězích, když S t > K pro call opci nebo S t < K pro put opci na penězích, když S t = K mimo peníze, když S t < K pro call opci nebo S t > K pro put opci Následující tvrzení je možné najít v Cipra (2013). Zde ho uvedeme s obměněným důkazem. Tvrzení 1. Pro evropskou call opci na akcii nevyplácející dividendy a čas t T platí nerovnost S t c t + Ke r(t t) (1.1) c t S t Ke r(t t). r(t t) Důkaz. Důkaz provedeme sporem. Předpokládejme tedy S t > c t + Ke Mějme portfolio složené z prodeje akcie S t nakrátko, nákupu evropské call opce na akcii nevyplácející dividendy, a investování částek Ke r(t t) a Be r(t t) := S t c t Ke r(t t) > 0 do bezrizikového aktiva. V čase t má portfolio hodnotu c t +Ke r(t t) +Be r(t t), přičemž v čase T budeme muset akcii v hodnotě S T nakoupit a vrátit. Všimněme si, že počáteční investice je c t +Ke r(t t) +Be r(t t) S t = 0. V čase T (počítáme i s povinností vrátit akcii) má portfolio hodnotu max (0,S T K) + K + B S T = max (S T,K) + B S T > 0 Při nulové počáteční investici portfolio generuje v čase T jistý zisk, což je spor s předpokladem nemožnosti arbitráže. k Tvrzení 2. Uvažujme americkou a evropskou call opci na akcii nevyplácející dividendy se stejnými parametry. Pak platí C t = c t S t Ke r(t t) > S t K. (1.2) 7

Důkaz. Důkaz vychází z Cipra (2013). Dokážeme nejdříve C t c t. Cena americké opce C t je větší nebo rovna ceně evropské opce, jelikož má tytéž parametry s možností navíc - uplatnit opci před maturitou. Cena tedy nemůže být nižší. Z 1.1 víme, že pro čas t < T platí c t S t Ke r(t t). Zřejmě e r(t t) < 1, tedy S t Ke r(t t) > S t K. Jinými slovy, kdybychom americkou call opci uplatnili předčasně (pro S t K > 0 ), přišli bychom o časovou hodnotu opce. Hodnota opce se skládá z vnitřní hodnoty max (S t K,0) pro call opci a časové hodnoty - Cipra (2013) ji popisuje jako částku, kterou jsou kupující ochotni zaplatit za to, že se cena akcie změní v jejich prospěch (že cena akcie stoupne v případě call opce). Je tedy výhodnější opci prodat, než ji uplatnit. Možnost uplatnit opci před datem splatnosti je tudíž zbytečná a jako taková nemá na uplatnění a tedy i cenu opce vliv. Cena americké call opce je tedy shodná s cenou evropské call opce. k Pro opce na akcie vyplácející dividendy D t v čase t nerovnost neplatí, jelikož cena opce závisí také na velikosti dividend, tedy c t S t Ke r(t t) D t už nemusí být nutně větší než S t K. Tvrzení 3 (Put-call parita). Platí r(t t) p t + S t = c t + Ke S t K C t P t S t Ke r(t t). Důkaz je možné najít v Cipra (2013). 1.3 Funkce finančních derivátů Jednou z nejdůležitějších funkcí finančních derivátů je oddělení tržního rizika od daných aktiv. Od toho se odvíjí i druhy investorů vstupujících na trh s těmito instrumenty. 1.3.1 Zajištění Investoři, kteří chtějí snížit riziko, které plyne z pohybu cen podkladových aktiv na trhu, volí finanční deriváty jako formu zajištění. Za relativně malé náklady zaujmou opačné pozice na trhu s podkladovými aktivy a finančními deriváty. Ztráta na jednom z trhů je pak vyrovnána ziskem na trhu druhém. Příklad. Mějme investora, který 1.1.2015 přijal fakturu od zahraničního klienta na 1 mil. euro splatnou za 13 dní od data vystavení. Investor se obává nepříznivého vývoje kurzu české koruny vůči euru (tedy, že koruna vůči euru oslabí). Ukážeme si tři příklady chování investora: 1. Investor se nezajistí a spoléhá na příznivý vývoj situace. 2. Investor si zajistí pořízením opce dolní hranici, pro kterou již bude jeho investice imunní vůči oslabení koruny. 3. Investor zafixuje cenu sjednáním futures kontraktu k datu splatnosti. 8

Obrázek 1.5: Graf vývoje kurzu CZK/EUR od 1. ledna 2015 do 14. ledna 2015. 1. Předpokládejme nulové náklady na směnu měny. Na obrázku 1.5 pak názorně vidíme denní hodnoty kurzu koruny vůči euru za první polovinu měsíce ledna. V době splatnosti faktury je kurz 28.1082 CZK/EUR. V případě, že se investor nezajistí proti oslabení koruny vůči euru, jeho výdaje se zvýší o 0.40653 CZK/EUR. Celkem tedy investor ztratí 0.40653 1 000 000 = 406 530 Kč. Graf 1.6 znázorňuje závislost výše zisku investora na vývoji kurzu. Bod v grafu ukazuje ztrátu investora ke dni splatnosti faktury vzhledem k počátečnímu kurzu. Obrázek 1.6: Graf závislosti zisku/ztráty na kurzu CZK/EUR při nezajištěné investici. Vyznačený bod ukazuje ztrátu investora při zvolené strategii. 2. Investor nakoupí opci na penězích, tedy realizační cena je v daném čase shodná se spotovou cenou, s maturitou k datu splatnosti faktury. S užitím softwaru Mathematica spočteme cenu opce při σ = 0.1 a r = 0.02 umožňující nákup 100 eur za 27.7017 Kč. Opce stojí 23.7213 Kč. Chce-li se investor zajistit, musí koupit 10 000 opcí. Tedy: 23.7213 1 0 000 = 237 213 Kč Graf 1.7 ukazuje vývoj zisku/ztráty investora v případě, že zvolí zajištění 9

formou koupě call opcí. Bod v grafu ukazuje ztrátu investora ke dni splatnosti faktury vzhledem k počátečnímu kurzu. Obrázek 1.7: Graf závislosti zisku/ztráty na kurzu CZK/EUR při investici jištěné opcí. Vyznačený bod ukazuje ztrátu investora při zvolené strategii. 3. Investor dohodne forwardový kontrakt s protistranou a zafixují momentální kurz k datu splatnosti. Toto řešení není vždy možné, avšak investor má další alternativu - může sjednat futures kontrakt, který splňuje všechny náležitosti forwardového kontraktu s tím rozdílem, že investor má jistotu, že najde protistranu,která s ním bude chtít zafixovat kurz k datu splatnosti faktury. Není ovšem zaručeno, že nabízený kurz bude shodný s aktuálním kurzem. Z grafů 1.7 a 1.6 je patrné, že zajištění nemusí být nutně nejlepším řešením. Pokud by koruna vůči euru posílila, opce by nebyla uplatněna a dohodnutý futures kontrakt by musel být vykonán. Zajištění tedy zastává funkci omezení rizika na úkor snížení možného zisku. 1.3.2 Spekulace Spekulant vstupuje do kontraktu s cílem vydělat na změně cen podkladových aktiv. Nejde mu proto o získání aktiva, a proto před uplynutím doby derivát prodá. Tímto na sebe přejímá tržní riziko spojené s podkladovým aktivem. Tento druh investování je oblíbený, jelikož i s malou počáteční investicí může obchodník dosáhnout velkého zisku. Tento systém však funguje i opačným způsobem, tedy platí heslo: Cipra (2013) Co jeden vydělá, druhý prodělá. Příklad. Spekulant předpokládá, že cena akcie GE bude v příštím období stagnovat. Spotová cena akcie je 30 Kč. Rozhodne se pro strategii motýlí rozpětí (butterfly spread). Koupí call opci s realizační cenou 25 Kč za 3 Kč, call opci s realizační cenou 35 Kč za 1 Kč a prodá dvě call opce na penězích za 1.5 Kč za jednu opci. 10

Obrázek 1.8: Graf závislosti zisku/ztráty (při užití strategie butterfly spread) na změně ceny akcie GE. V případě, že cena akcie bude v intervalu (26,34) Kč, spekulant realizuje zisk, bude-li cena v intervalu (25,26)Kč nebo (34,35)Kč, realizuje omezenou ztrátu. Pokud cena klesne pod 25Kč nebo stoupne nad 35Kč, spekulant realizuje ztrátu 1Kč. Poznámka. Arbitráž je situace, kdy při nulové počáteční investici existuje nulová pravděpodobnost ztráty a kladná pravděpodobnost zisku. V našich modelech oceňování budeme předpokládat nemožnost arbitráže. 11

Kapitola 2 Oceňování opcí V této kapitole si představíme různé modely oceňování opcí - Black-Scholesův model pro oceňování evropských opcí a binomický model, který slouží především k oceňování amerických opcí. Dále svépomocí odvodíme důkaz vztahu mezi těmito dvěma modely. Na konci kapitoly se zaměříme na různé metody pro oceňování v binomickém modelu. Podle Dupačová a kol. (2002) investoři, kteří nemají žádné rizikové preference, jsou tzv. rizikově neutrální. Prostředí, kde jsou všichni investoři rizikově neutrální, se nazývá rizikově neutrální prostředí. Z principu rizikově neutrálního prostředí vyplývá, že podmíněná střední hodnota akcie v čase t + t podmíněná cenou akcie v čase t musí být rovna budoucí hodnotě ceny akcie v čase t: E (S t+ t S t ) = S t e r t, (2.1) kde symbolem označujeme charakteristiku, kde se místo µ, očekávaného výnosu z držení akcie, uvažuje r. Poznámka. Racionální investoři požadují vyšší očekávaný výnos jako kompenzaci za vyšší riziko. Přesto rizikově neutrální model funguje i pro reálný svět. Podle Hull (2012), pokud oceňujeme opci z hlediska ceny akcie, rizikové preference jednotlivých investorů jsou nedůležité. Když budou mít investoři averzi k riziku, cena akcie klesne, avšak vztahy pro oceňování opcí (vzhledem k cenám akcií) se nezmění (víme, že preference jednoho investora neovlivní cenu akcie). To znamená, že pravděpodobnost růstu resp. poklesu ceny akcie je již započítána v ceně dané akcie a není proto třeba brát ji v potaz znovu, když oceňujeme opce vzhledem k ceně akcie. Víme, že když má náhodná veličina Y normální rozdělení N(µ,σ 2 ), µ R, σ 2 > 0, pak náhodná veličina X = e Y má logaritmicko-normální rozdělení. Značíme X LN(µ,σ 2 ). 2.1 Black-Scholesův model Black-Scholesův model byl poprvé představen v roce 1973 a od té doby je hojně využíván při oceňování evropských opcí. V této sekci uvedeme základní předpoklady a vztahy pro daný model, nebudeme však zabíhat příliš do detailů. 12

Předpoklady 1. Podle Dupačová a kol. (2002) v Black-Scholesově modelu oceňování opcí předpokládáme: 1. rizikově neutrální prostředí, 2. nemožnost arbitráže, 3. racionálně se chovající investory, 4. rozdělení S T při daném S t je ( L (S T ) = LN log S t + (r 1 ) 2 σ2 )(T t),σ 2 (T t). (2.2) Mějme evropskou call opci na akcii se spotovou cenou S t v čase t, realizační cenou K a datem splatnosti opce T > 0. V čase vypršení T má opce hodnotu (S T K) +. K času t je tedy současná hodnota PV t = e r(t t) (S T K) +. (2.3) Z podmínky 1 v předpokladech 1 plyne, že střední hodnota výnosu akcie je rovna výnosu z investice do bezrizikového aktiva (aktiva úročeném bezrizikovou úrokovou mírou r). Při oceňování se v modelech zpravidla vychází ze střední hodnoty a Black-Scholesův model pro oceňování opce v čase t využívá střední hodnoty ze současné hodnot opce 2.3 (nebo-li střední hodnoty zisku v čase T diskontovaného k času t) při známé spotové ceně akcie S t v čase t. c t = e r(t t) E ( (S T K) +). Střední hodnota pro náhodnou veličinu X LN(m,s 2 ) z Dupačová a kol. (2002) E X = e (s2 /2+m). (2.4) ( ) ( (s E (X K) + = e (s2/2+m) 2 + m) log K m log K Φ KΦ s s kde E X známe z 2.4 a Φ(x) je distribuční funkce N(0,1) rozdělení. Dosadíme z 2.2: ), m = log S t + (r 1 2 σ2 )(T t), s 2 = σ 2 (T t). Abychom získali cenu call opce v čase t, musíme ještě výslednou střední hodnotu diskontovat k času t: c t = e r(t t) E ((S T K) + ) = e r(t t) ( S t e r(t t) Φ(d 1 ) KΦ(d 2 ) ) = S t Φ(d 1 ) Ke r(t t) Φ(d 2 ), 13

kde d 1 = log(s t/k) + (r + 1 2 σ2 )(T t) σ, T t d 2 = log(s t/k) + (r 1 2 σ2 )(T t) σ. T t Z put-call parity (tvrzení 3) pak vypočteme cenu put opce v čase t: p t = Ke r(t t) + c t S t = Ke r(t t) (1 Φ(d 2 )) S t (1 Φ(d 1 )) = Ke r(t t) Φ( d 2 ) S t Φ( d 1 ). Poznámka. Black-Scholesův vzorec se v dané podobě využívá pouze k výpočtu cen evropských opcí. Pro výpočet cen amerických opcí je třeba užít numerických metod nebo binomického modelu oceňování opcí. 2.2 Binomický model Binomický model byl poprvé představen v roce 1979 a slouží především k oceňování amerických opcí. Tento model je na rozdíl od Black-Scholesova modelu aproximativní a výpočetně náročnější. V dané sekci si ukážeme základní předpoklady a vztahy, na které se pak budeme odkazovat v následujících sekcích. Podle Shaw (2002) definujme rovnici pro obecný strom: V (S,t) = e r t m i=1 w i V (Su i, t + t), m w i = 1, i = 1,... m, w i > 0, i=1 kde V (S,t) značí hodnotu opce v čase t pro cenu akcie S v čase t, váhy w i jsou interpretovány jako rizikově neutrální pravděpodobnosti změny ceny akcie a jsou nezávislé na čase, hodnoty u i značí koeficienty změny ceny akcie a m N je počet větví. Rovnice pro binomický model oceňování je V (S,t) = e r t (w 1 V (Su 1,t + t) + w 2 V (Su 2,t + t)), (2.5) w 1 + w 2 = 1, w 1,w 2 > 0. Označme si: w 1 := p, w 2 := 1 p, u 1 := u, u 2 := d. (2.6) Předpoklady 2. Podle Dupačová a kol. (2002) v binomickém modelu oceňování opcí předpokládáme: 1. cena akcie S t se může měnit pouze v pevně daných ekvidistantních časových okamžicích 14

2. cena akcie S t může v každém okamžiku nabývat pouze dvou hodnot, 3. pohyby ceny akcie jsou navzájem nezávislé, 4. 0 < d < u, 5. nemožnost arbitráže, 6. racionálně se chovající investory, 7. rizikově neutrální prostředí. Předpokládejme časové kroky rovny 1. Tedy v okamžiku t + 1 akcie nabývá hodnoty { us t, s pravděpodobností p, S t+1 = (2.7) ds t, s pravděpodobností 1 p. Tvrzení 4. Za podmínek z 2.7 a nemožnosti arbitráže (viz poznámka v sekci 1.3.2) platí: d < e r < u. Důkaz. Uvedenou nerovnost dokážeme sporem. Část důkazu je uvedena v Dupačová a kol. (2002). Předpokládejme e r < d < u. V čase t si vypůjčíme částku S t za úrok e r a nakoupíme jednu akcii. V čase t + 1 bude mít portfolio hodnotu: us t e r S t > 0 s pravděpodobností p, ds t e r S t > 0 s pravděpodobností 1 p. Portfolio generuje v čase t + 1 jistý zisk větší, než je při investici do bezrizikového aktiva, což je spor s předpokladem nemožnosti arbitráže. Předpokládejme d < u < e r. V čase t si vypůjčíme jednu akcii, kterou ihned prodáme a získanou částku S t půjčíme (investujeme) za úrok e r. V čase t + 1 bude mít portfolio hodnotu: e r S t us t > 0 s pravděpodobností p, e r S t ds t > 0 s pravděpodobností 1 p. Portfolio při nulové počáteční investici generuje v čase t + 1 zisk, což je spor s předpokladem o nemožnosti arbitráže. k V rizikově neutrálním prostředí je očekávaný výnos z držení akcie shodný s výnosem z investice do bezrizikového aktiva a diskontuje se bezrizikovou úrokovou mírou. Cena akcie v čase t + 1 při známém S t je dána rozdělením 2.7. 15

V rizikově neutrálním prostředí při známém S t platí: E (S t+1 ) = e r S t pus t + (1 p)ds t = e r S t p = er d u d. (2.8) Pravděpodobnosti p říkáme rizikově neutrální pravděpodobnost. Nyní si ukážeme, že konstrukcí bezrizikového portfolia též obdržíme rizikově neutrální pravděpodobnost. Mějme portfolio složené z dlouhé pozice v akciích a krátké pozice v evropské call opci podle Hull (2012). Budeme hledat počet akcií A na jednu opci tak, aby se investor zajistil proti pohybu ceny akcie. Portfolio bude mít výnos rovný investici do bezrizikového aktiva. Předpokládejme podmínky pro jednokrokový binomický strom 2.7. Portfolio Q t má v čase t hodnotu AS t c t, v čase t + 1 má portfolio hodnotu { uas t c u Q t+1 = t+1, s pravděpodobností q, das t c d t+1, s pravděpodobností 1 q, kde c u t+1 resp. c d t+1 označuje hodnotu opce v čase t + 1 při změně ceny akcie. V případě, že chceme portfolio zajistit proti riziku musejí se obě hodnoty rovnat: Z rovnice vyjádříme hodnotu A : uas t c u t+1 = das t c d t+1. A = cu t+1 c d t+1 (u d)s t. (2.9) Z předpokladu nemožnosti arbitráže vyplývá, že bezrizikové portfolio má stejný výnos jako bezrizikové aktivum, a tudíž se diskontuje bezrizikovou úrokovou mírou. Dostaneme rovnici pro hodnotu portfolia v čase t: AS t c t = e r (uas t c u t+1). (2.10) Poznámka. Stejného výsledku dosáhneme, když za pravou stranu dosadíme e r (das t c d t+1). Z (2.9) dosadíme A do (2.10) a vyjádříme hodnotu opce c t v čase t: c t = cu t+1 u d (1 de r ) cd t+1 u d (1 ue r ). (2.11) Provedeme substituci q := er d u d, 16

Dosazením q do (2.11) získáme c t = e r (qc u t+1 + (1 q)c d t+1), (2.12) kde q = p je rizikově neutrální pravděpodobnost z 2.8. Nyní přejdeme od jednokrokového binomického modelu k vícekrokovému. Předpokládejme n kroků velikosti jedna, změna ceny akcie o koeficient u nastane j-krát, změna o koeficient d tedy nastane n j krát a p je rizikově neutrální pravděpodobnost. Rozdělení ceny akcie S t+n v čase t + n při známém S t je ( ) n P(S t+n = S t u j d n j ) = p j (1 p) n j, (2.13) j pro j, n N 0, j n, Předpokládáme-li ekvidistantní časové kroky délky T/n, pak si obecnou rovnici pro binomický strom (2.5) můžeme přespat do jednodušší podoby podle Hurt (2012). BÚNO předpokládejme t = 0, budeme tedy určovat cenu opce v čase 0. Definujme dvojici (i,j) značící úroveň i (tedy čas it/n ) a uzel j (tedy kolikrát se akcie změnila o koeficient u). Označme si V i,j hodnotu opce v čase it/n v uzlu j. Hodnota akcie pro (i,j) je S 0 u j d i j. Hodnota call opce v čase T v uzlu j je V n,j = max (0, S 0 u j d n j K) pro j = 0,...,n. V i,j = e rt/n (pv i+1,j+1 + (1 p)v i+1,j ) pro i = 0,...,n 1, pro evropské opce na akcie nevyplácející dividendy. j = 0,..., i V případě oceňování americké opce musíme vzít v potaz možnost uplatnění opce před datem splatnosti. Musíme tedy vzít v úvahu i vnitřní hodnotu opce V i,j = max (e rt/n (pv i+1,j+1 + (1 p)v i+1,j ), S 0 u j d i j K) (2.14) pro i = 0,...,n 1, j = 0,..., i. Hodnota V 0,0 se počítá rekurzivně od času T (úrovně n) do času 0. 17

Strom má následující podobu: Obrázek 2.1: Obecné hodnoty opce pro tříkrokový binomický model. 2.3 Vztah binomického a Black-Scholesova modelu Budeme zkoumat vztah mezi binomickým modelem s Black-Scholesovým modelem. Mějme čas T maturity opce a ekvidistantní kroky délky T/n v binomickém modelu ceny akcie (St n,t [0,T ]). BÚNO předpokládejme t = 0. Ukážeme, že při n konverguje rozdělení ceny akcie ST n v distribuci k rozdělení ceny akcie S T ve vhodném Black-Scholesově modelu. Tedy, že při daném S 0 pro vhodně zvolenou σ platí: ) ST n D LN (log S 0 + T (r σ2 2 ),σ2 T pro n. Poznámka. Důkaz je možné najít v Hull (2012), kde však není zdůrazněna závislost p na n a s tím i nutnost užití Feller-Lindenbergovy věty a ověření jejích předpokladů. Zde uvedeme náš vlastní a podrobnější důkaz. Pro přehlednost budeme nyní značit ST n = S n. Necht S 0 je cena akcie v čase 0, pak rozdělení ceny akcie S n je ( ) n P(S n = S 0 u j nd n j n ) = p j j n(1 p n ) n j pro j, n N 0, j n. Upravíme do následujícího tvaru ( log (Sn /S 0 ) n log d n P log (u n /d n ) ) = j = 18 ( ) n p j j n(1 p n ) n j.

Označme X n := log (S n/s 0 ) n log d n. (2.15) log (u n /d n ) Pak náhodná veličina X n Bi(n,p n ). Náhodná veličina s binomickým rozdělením je součtem nezávislých stejně rozdělených náhodných veličin s alternativním rozdělením. Této vlastnosti využijeme a podle Hunter (2011) označíme X n = np n + n Y n,i, i=1 kde Y n,i jsou iid. i = 1, 2,... n, P(Y n,i = 1 p n ) = 1 P(Y n,i = p n ) = p n. Náhodná veličina Y n,i má tedy posunuté alternativní rozdělení (o hodnotu p n ) s parametrem p n. K ověření konvergence použijeme Feller-Lindenbergovu centrální limitní větu pro trojúhelníková schémata v Hunter (2011). Z příkladu 4.14 v Hunter (2011) máme splněnu Lyapunovovu podmínku, tedy existenci δ > 0 tak, aby 1 s 2+δ n n E ( Y n,i 2+δ ) 0 pro n, i=1 právě tehdy, když s 2 n pro n. V našem případě E Y n,i = 0, n s 2 n = p n (1 p n ) = iid. np n (1 p n ), i=1 E ( Y n,i 2+δ ) = (1 p n )p 2+δ n + p n (1 p n ) 2+δ. Předpokládejme, že p n je rizikově neutrální pravděpodobnost odpovídající úroku e rt/n za jeden časový krok délky T/n, růstu akcie u n a poklesu akcie d n, kde u n a d n si vyjádříme ve tvaru p n := ert/n d n u n d n, (2.16) u n := e µt/n+σ T/n, d n := e µt/n σ T/n. Parametr µ 0 je drift z Shaw (2002). Lze snadno ověřit, že zvolené u n, d n vyhovují podmínkám nemožnosti arbitráže. Po dosazení do (2.16) dostaneme p n = ert/n e µt/n σ T/n e µt/n (e σ T/n e σ. T/n ) 19

Snadno ověříme, že s 2 n = np n (1 p n ) pro n. Z Feller-Lindenbergovy CLV tedy vyplývá, že X n np n npn (1 p n ) D N(0,1). Za X n dosadíme z (2.15): log (S n/s 0 ) n log d n log (u n/d n) npn (1 p n ) np n D N(0,1), z čehož log (S n /S 0 ) n(p n log (u n /d n ) log d n ) npn (1 p n ) log (u n /d n ) D N(0,1) (2.17) Spočteme následující limity: lim n(p n log u n log d n ) = T (r σ2 ), (2.18) n d n 2 lim npn (1 p n ) log u n = σ T. (2.19) n d n Použitím (2.18), (2.19), (2.17) a Cramér-Sluckého věty z Kulich (2013) upravíme na log S ) n D N (T (r σ2 S 0 2 ),σ2 T. Z definice 2 a CLV vyplývá, že S n D LN ) (log S 0 + T (r σ2 2 ),σ2 T. Rozdělení S n tedy konverguje v distribuci k rozdělení v Black-Scholesově modelu, viz 2.2. 2.4 Metody oceňování opcí v binomickém modelu Objasnili jsme si vztah binomického modelu a Black-Scholesova modelu. Nyní se zaměříme na jednotlivé parametry daných modelů podle Shaw (2002). Cena opce vyjádřená pomocí Black-Scholesovy formule závisí na pěti parametrech t, r, σ 2,T, S t zatímco binomický model závisí na šesti parametrech t, r, u, d, T, S t. Binomický model má tedy o jeden stupeň volnosti víc, proto je třeba zvolit vztah parametrů u a d tak, aby vyhovovaly rizikově neutrální pravděpodobnosti 2.8 a zároveň vhodně popisovaly volatilitu akcie. Metody, které si uvedeme, budou založeny na rovnosti prvních dvou momentů rozdělení ceny akcie binomického a Black-Scholesova modelu. Označme E B = E (S t+t/n ) při znalosti S 0, resp. V B = E (St+T/n 2 ) při znalosti S 0 střední hodnotu, resp. druhý moment ceny akcie 20

v binomickém modelu. E B S, resp. V B S označuje podmíněnou střední hodnotu, resp. podmíněný druhý moment ceny akcie v Black-Scholesově modelu. Opět uvažujeme ekvidistantní kroky velikosti T/n, čas maturity opce T a opce na akcie nevyplácející dividendy. V B S a E B S známe z Dupačová a kol. (2002). S 0 můžeme pokrátit. E B = E B S S 0 (pu + (1 p)d) = S 0 e rt/n (2.20) V B = V B S S 2 0(pu 2 + (1 p)d 2 ) = S 2 0e (2r+σ2 )T/n, (2.21) 2.4.1 Cox-Ross-Rubinstein model Cox-Ross-Rubinstein model(metoda) předpokládá, že u = 1/d. Tento předpoklad je velice zajímavý z hlediska vývoje ceny akcie, jelikož S 0 ud = S 0. Tedy chování ceny akcie je symetrické. Dosadíme d = 1/u a máme soustavu kvadratických rovnic pro neznámé u, p. Z daných rovnic vyjádříme p pu + (1 p)1/u = e rt/n, pu 2 + (1 p)(1/u) 2 = e (2r+σ2 )T/n. p = ert/n 1/u u 1/u = e(2r+σ2 )T/n 1/u 2 u 2 1/u 2, (2.22) a dostaneme jednu kvadratickou rovnici pro neznámou u: u 2 u(e (σ2 +r)t/n + e rt/n ) + 1 = 0. Pomocí softwaru Mathematica vyřešíme tuto kvadratickou rovnici. Vyjdou dva kořeny u 1 = 1 ( ) e rt/n + e (r+σ2)t/n 4 + e 2 2rT/n (1 + e (2r+σ2 )T/n ) 2 u 2 = 1 ( ) e rt/n + e (r+σ2)t/n + 4 + e 2 2rT/n (1 + e (2r+σ2 )T/n ) 2 u 1 < u 2 Smysl má pouze kořen u = u 2 (jinak by nebyla splněna podmínka d < u), jak si ukážeme v následující rovnosti. Pomocí softwaru Mathematica určíme parametr d z počáteční podmínky: d = 1/u = 1 2 ( e rt/n + e (r+σ2 )T/n (2.23) ) 4 + e 2rT/n (1 + e (2r+σ2 )T/n ) 2. (2.24) Vidíme, že u 1 = d. Výše uvedenému modelu budeme říkat přesný Cox-Ross-Rubinstein model. 21

Při malých krocích, tedy pro velká n, můžeme použít následující aproximativní Cox-Ross-Rubinstein model. Taylorovým rozvojem parametrů u, d do prvního řádu pro n T u = 1 + n σ + T ( ) 3 σ2 1 2n + o 2, (2.25) n T d = 1 n σ + T ( ) 3 σ2 1 2n + o 2. (2.26) n Rozvoje (2.25) resp. (2.26) jsou shodné s rozvoji e σ T/n resp. e σ T/n do prvního řádu. Podívejme se nyní, jestli aproximace u a = e σ T/n splňuje podmínky pro rovnost prvních a druhých momentů rozdělení akcie binomického a Black-Scholesova modelu přesně nebo v limitě. Dosadíme u a do (2.22) a spočteme p, pak E B = pu a + (1 p)1/u a = e rt/n = E B S, ( ) V B = p(u a ) 2 1 T + (1 p) (u a ) = 1 + 2 2erT/n cosh σ n V B S. Aproximace nesplňuje rovnost druhých momentů rozdělení akcie binomického a Black-Scholesova modelu, tedy V B se při užití aproximace blíží V B S pouze v limitě. Všimněme si, že přesný i aproximativní model má nevýhodu v tom, že při nízké volatilitě a vysoké bezrizikové úrokové míře je třeba užít dostatečně velký počet kroků, jinak hrozí, že p > 1 a tedy 1 p < 0, což je v rozporu s definicí pravděpodobnosti. Pomocí softwaru Mathematica jsme pro aproximativní model našli hranici n = r2 T σ 2, kdy je p = 1, pro nižší počet kroků by bylo p > 1. V dané situaci by mohla vyvstat otázka, proč se aproximativní Cox-Ross-Rubinstein model vlastně zavádí a používá, když neřeší problém se zápornou pravděpodobností. Tuto otázku zodpovíme v následující kapitole. 2.4.2 Jarrow-Rudd model V Jarrow-Rudd modelu předpokládáme, že p = 1. Tato metoda znamená 2 symetrii v pravděpodobnosti změny ceny akcie. Toto vede na soustavu rovnic 1 2 (u + d) = ert/n, 1 2 (u2 + d 2 ) = e (2r+σ2)T/n. Ze dvou kořenů u 1 = e rt/n (1 + e σ2 T/n 1), u 2 = e rt/n (1 e σ2 T/n 1), 22

má smysl pouze kořen u = u 1 (jinak by nebyla splněna podmínka d < u). Určíme parametr d z počáteční podmínky: p = 1/2, d = e rt/n (1 e σ2 T/n 1). Vidíme, že u 2 = d. Výše uvedenému modelu budeme říkat přesný Jarrow-Rudd model. Všimněme si, že parametr d nabývá pro σ 2 T/n > log(2) záporných hodnot, což je ve sporu s podmínkou 4 z předpokladů 2, proto je třeba volit dostatečně velké n nebo užít následující aproximativní Jarrow-Rudd model, který tento problém eliminuje. Uděláme Taylorův rozvoj prvního řádu pro n pro parametry u, d. ( T 1 u = 1 + σ n + o n ( T 1 d = 1 σ n + o n Vidíme,že rozvoje (2.27) resp. (2.28) jsou shodné s rozvoji ) 3 2, (2.27) ) 3 2. (2.28) u a := e σ T n σ2 T 2n resp. da := e σ T n σ2 T 2n do prvního řádu. Podívejme se nyní, jestli daná aproximace splňuje splňuje podmínky pro rovnost prvních a druhých momentů rozdělení akcie binomického a Black-Scholesova modelu přesně nebo v limitě. E B = 1 2 u a + 1 2 d a = e T (2r σ2 ) 2n cosh T σ n E B S, V B = 1 2 (u a) 2 + 1 2 (d a) 2 = e T (2r σ2 ) 2n ( 1 + e T σ2 T σ 2n cosh ) V B S. n Aproximace nesplňuje rovnost prvního ani druhého momentu rozdělení akcie pro binomický a Black-Scholesův model. Tedy E B se pro aproximaci blíží E B S resp. V B pro aproximaci se blíží V B S pouze limitně. Všimněme si, že v Jarrow-Rudd aproximativním modelu již parametr d a nemůže nabývat záporných hodnot. 23

Kapitola 3 Numerické výpočty V této kapitole si ukážeme princip oceňování opcí v binomickém modelu na jednoduchých příkladech a poté prověříme jednotlivé metody oceňování opcí. Porovnáme jejich výhody i nevýhody. 3.1 Příklady Pro oceňování opcí v daných příkladech budeme užívat přesné Cox-Ross- Rubinstein metody. Cena akcie pro jednotlivé uzly ve tříkrokovém obecném binomickém modelu je znázorněna na obrázku 3.1 Obrázek 3.1: Obecný graf vývoje cen akcie pro tříkrokový binomický model. 3.1.1 Příklad 1 Mějme americkou call opci s parametry S 0 = 55, K = 52, r = 0.1, σ = 0.3, T = 1. Cena této opce je shodná s cenou evropské opce, viz tvrzení (1.1). Nejdříve 24

doplněním do vzorců v (2.23) a (2.8) vypočteme parametry u, d, p. u = 1.25246 d = 0.798429 p = 0.556884 Dále spočteme ceny opce pro všechny uzly stromu dosazením za S 0, u, d do 3.1, čímž získáme Obrázek 3.2: Graf vývoje cen akcie pro droukrokovou přesnou Cox-Ross- Rubinstein metodu. Vypočteme ceny opcí pro jednotlivé scénáře v čase T, tedy pro krok n = 2. Cena call opce v čase T je max (S T K,0). Máme tedy: C 2 uu = max (86.27608 52,0) = 34,2759 C 2 ud = C 2 du = 3 C 2 dd = 0 Podle (2.12) vypočteme ceny opcí pro jednotlivé scénáře v čase T/2 pro krok n = 1. C 1 u = e 0.1/2 (0.556884 34.2759 + (1 0.556884) 3) = 19.4213 C 1 d = e 0.1/2 (0.556884 3 + (1 0.556884) 0) = 1.58917 Analogicky vypočteme cenu opce v čase 0: C 0 = e 0.1/2 (0.556884 19.4213 + (1 0.556884) 1.58917) = 10.9578 Strom vývoje ceny opce pak vypadá následovně: 25

Obrázek 3.3: Graf vývoje cen americké call opce pro droukrokovou přesnou Cox- Ross-Rubinstein metodu. 3.1.2 Příklad 2 Jako druhý příklad si uvedeme oceňování americké put opce s následujícími parametry S 0 = 48, K = 59, r = 0.02, σ = 0.2, T = 1 pro n = 3 kroků. Nejdříve doplníme do vzorců (2.23), (2.8) a vypočteme parametry u, d, p. u = 1.12341 d = 0.890147 p = 0.499616 Spočteme ceny akcie pro všechny uzly stromu. 26

Obrázek 3.4: Graf vývoje cen akcie pro tříkrokovou přesnou Cox-Ross-Rubinstein metodu. Stejně jako v prvním příkladě vypočteme ceny opcí pro jednotlivé scénáře v čase T tedy pro krok n = 3. Cena put opce v čase T je max (K S T,0). Máme tedy: P 3 uuu = max (59 68.0543, 0) = 0, P 3 uud = P 3 udu = P 3 duu = 5.07635, P 3 udd = P 3 dud = P 3 ddu = 16.2729, P 3 ddd = 25.1447. Nyní vypočteme ceny opcí pro jednotlivé scénáře v čase 2T/3 tedy pro krok n = 2. V tomto příkladě musíme brát v potaz, že můžeme danou opci uplatnit před datem splatnosti viz 2.14. P 2 uu = max (e 0.02 1/3 (0.499616 0 + (1 0.499616) 5.07635), 59 60.5783) = 2.52324, P 2 ud = P 2 du = max (e 0.02 1/3 (0.499616 5.07635 + (1 0.499616) 16.2729), 59 48) = max (10.607968, 11) = 11. Ve výše uvedeném případě by bylo výhodnější uplatnit opci předčasně. P 2 dd = max (e 0.02/3 (0.499616 16.2729 + (1 0.499616) 25.1447), 59 38.0334) = max (20.574584, 20.9666) = 20.9666, 27

Ve výše uvedeném případě by bylo výhodnější uplatnit opci předčasně. Analogicky dopočítáme pro n = 1 a n = 0 a vyjde P 0 = 11.4237 Strom vývoje ceny opce pak vypadá následovně: Obrázek 3.5: Graf vývoje cen americké put opce pro tříkrokovou přesnou Cox- Ross-Rubinstein metodu. 3.2 Příklady oceňování CRR a JR metodami Nyní si na příkladech ukážeme silné i slabé stránky jednotlivých metod oceňování opcí v binomickém modelu. Za směrodatnou cenu opce budeme považovat hodnotu vypočtenou softwarem Mathematica pomocí funkce FinancialDerivatives. Pro určení ceny evropské opce budeme používat oceňování pomocí Black- Scholesova modelu zabudovaného též v Mathematice. Za směrodatnou cenu americké opce budeme považovat ocenění pomocí binomického modelu pro 15 000 kroků zabudovaného v Mathematice - software velmi pravděpodobně používá aproximativní Cox-Ross-Rubinstein metodu, o čemž se můžeme přesvědčit v přiloženém programu. Z předchozích kapitol víme, že binomický model je přibližný, a tudíž ani 15 000 kroků nemusí zaručit požadovanou přesnost. K našim účelům však bude stačit. Pro srovnání je v přiloženém programu ještě navíc spočtena cena opce pomocí numerických metod pro Black-Scholesův vzorec. Veškeré příklady budou pro americké opce nevyplácející dividendy. Z tvrzení (1.1) víme, že za daných podmínek má americká call opce stejnou hodnotu jako evropská call opce. 28

Poznámka. Funkce FinancialDerivative při zadání volby Binomial na ocenění evropské opce nebo americké call opce na akcie nevyplácející dividendy danou volbu pravděpodobně ignoruje a okamžitě přepne na ocenění pomocí Black-Scholesova modelu. Výstup dané funkce je totožný pro libovolnou volbu počtu kroků. Cena, kterou daná metoda vypočítá, se shoduje s cenou pro evropskou call opci se stejnými parametry vypočtenou pomocí Black-Scholesova vzorce. Předpokládáme tedy, že i při volbě Binomial použije Mathematica k vypočtení ceny opce Black- Scholesovu metodu. Ukázka je uvedena v přiloženém programu. Nyní si na několika příkladech ukážeme rychlost a přesnost konvergence pro různé volby parametrů, vodorovná linka v grafech znázorňuje směrodatnou cenu opce, na vodorovné ose je počet kroků n. Mějme americkou call opci s parametry S 0 = 50, K = 60, r = 0.2, σ = 0.15, T = 1. Následující graf ukazuje závislost ceny americké call opce s výše uvedenými parametry na počtu kroků pro přesnou Cox-Ross-Rubinstein metodu (dále jen přesnou CRR metodu). Pro porovnání je v grafu vynesena i směrodatná cena opce : Obrázek 3.6: Graf závislosti ceny americké call opce s parametry S 0 = 50, K = 60, r = 0.2, σ = 0.15, T = 1 na počtu kroků pro přesnou CRR metodu a porovnání se směrodatnou cenou opce. 29

Následující graf ukazuje závislost ceny americké call opce s výše uvedenými parametry na počtu kroků pro aproximativní CRR metodu. Pro porovnání je v grafu vynesena i směrodatná cena opce : Obrázek 3.7: Graf závislosti ceny americké call opce s parametry S 0 = 50, K = 60, r = 0.2, σ = 0.15, T = 1 na počtu kroků pro aproximativní CRR metodu a porovnání se směrodatnou cenou opce. 30

Následující graf ukazuje závislost ceny americké call opce s výše uvedenými parametry na počtu kroků pro přesnou Jarrow-Rudd metodu (dále jen přesnou JR metodu). Pro porovnání je v grafu vynesena i směrodatná cena opce: Obrázek 3.8: Graf závislosti ceny americké call opce s parametry S 0 = 50, K = 60, r = 0.2, σ = 0.15, T = 1 na počtu kroků pro přesnou JR metodu a porovnání se směrodatnou cenou opce. 31

Následující graf ukazuje závislost ceny americké call opce s výše uvedenými parametry na počtu kroků pro aproximativní JR metodu. Pro porovnání je v grafu vynesena i směrodatná cena opce : Obrázek 3.9: Graf závislosti ceny americké call opce s parametry S 0 = 50, K = 60, r = 0.2, σ = 0.15, T = 1 na počtu kroků pro aproximativní JR metodu a porovnání se směrodatnou cenou opce. V tomto případě vidíme, že není vhodné použít aproximativní CRR metodu k ocenění opce, jelikož cena opce vypočtená touto metodou konverguje k směrodatné ceně opce velmi pomalu. V následujícím příkladu si zodpovíme otázku z konce sekce 2.4.1. - proč používat aproximativní CRR metodu. Mějme americkou put opci s parametry S 0 = 60, K = 60, r = 0.01, σ = 0.8, T = 5. 32

Následující graf ukazuje závislost ceny americké put opce s výše uvedenými parametry na počtu kroků pro přesnou CRR metodu. Pro porovnání je v grafu vynesena i směrodatná cena opce: Obrázek 3.10: Graf závislosti ceny americké put opce s parametry S 0 = 60, K = 60, r = 0.01, σ = 0.8, T = 5 na počtu kroků pro přesnou CRR metodu a porovnání se směrodatnou cenou opce. 33

Následující graf ukazuje závislost ceny americké put opce s výše uvedenými parametry na počtu kroků pro aproximativní CRR metodu. Pro porovnání je v grafu vynesena i směrodatná cena opce: Obrázek 3.11: Graf závislosti ceny americké put opce s parametry S 0 = 60, K = 60, r = 0.01, σ = 0.8, T = 5 na počtu kroků pro aproximativní CRR metodu a porovnání se směrodatnou cenou opce. 34

Následující graf ukazuje závislost ceny americké put opce s výše uvedenými parametry na počtu kroků pro přesnou JR metodu. Pro porovnání je v grafu vynesena i směrodatná cena opce: Obrázek 3.12: Graf závislosti ceny americké put opce s parametry S 0 = 60, K = 60, r = 0.01, σ = 0.8, T = 5 na počtu kroků pro přesnou JR metodu a porovnání se směrodatnou cenou opce. 35

Následující graf ukazuje závislost ceny americké put opce s výše uvedenými parametry na počtu kroků pro aproximativní JR metodu. Pro porovnání je v grafu vynesena i směrodatná cena opce: Obrázek 3.13: Graf závislosti ceny americké put opce s parametry S 0 = 60, K = 60, r = 0.01, σ = 0.8, T = 5 na počtu kroků pro aproximativní JR metodu a porovnání se směrodatnou cenou opce. V tomto případě přesné metody konvergují velice pomalu, je tedy vhodné použít aproximativní CRR nebo aproximativní JR metodu. Nyní si ukážeme případ, kdy všechny metody konvergují k směrodatné ceně opce velice pomalu. Mějme americkou put opci s parametry S 0 = 60, K = 50, r = 0.2, σ = 0.8, T = 5. 36

Následující graf ukazuje závislost ceny americké put opce s výše uvedenými parametry na počtu kroků pro přesnou CRR metodu. Pro porovnání je v grafu vynesena i směrodatná cena opce: Obrázek 3.14: Graf závislosti ceny americké put opce s parametry S 0 = 60, K = 50, r = 0.2, σ = 0.8, T = 5 na počtu kroků pro přesnou CRR metodu a porovnání se směrodatnou cenou opce. 37

Následující graf ukazuje závislost ceny americké put opce s výše uvedenými parametry na počtu kroků pro aproximativní CRR metodu. Pro porovnání je v grafu vynesena i směrodatná cena opce: Obrázek 3.15: Graf závislosti ceny americké put opce s parametry S 0 = 60, K = 50, r = 0.2, σ = 0.8, T = 5 na počtu kroků pro aproximativní CRR metodu a porovnání se směrodatnou cenou opce. 38

Následující graf ukazuje závislost ceny americké put opce s výše uvedenými parametry na počtu kroků pro přesnou JR metodu. Pro porovnání je v grafu vynesena i směrodatná cena opce: Obrázek 3.16: Graf závislosti ceny americké put opce s parametry S 0 = 60, K = 50, r = 0.2, σ = 0.8, T = 5 na počtu kroků pro přesnou JR metodu a porovnání se směrodatnou cenou opce. 39

Následující graf ukazuje závislost ceny americké put opce s výše uvedenými parametry na počtu kroků pro aproximativní JR metodu. Pro porovnání je v grafu vynesena i směrodatná cena opce: Obrázek 3.17: Graf závislosti ceny americké put opce s parametry S 0 = 60, K = 50, r = 0.2, σ = 0.8, T = 5 na počtu kroků pro aproximativní JR metodu a porovnání se směrodatnou cenou opce. V tomto případě by bylo nejvhodnější zvolit aproximativní JR metodu. Poznatky: V Hull (2012) se uvádí volba 30 kroků pro aproximativní Cox-Ross-Rubinstein model jako dostačující. Z našich pozorování však plyne, že v některých případech je třeba mnohem vyššího počtu kroků, aby se vypočtená cena opce příliš nelišila od směrodatné ceny opce. Všimněme si, že podmínky p 0, d 0 u přesné JR metody a CRR metod jsou zpravidla splněny už pro relativně malý počet kroků (cca. 30), pokud neuvažujeme extrémní případy. Z předchozího bodu víme, že je třeba mnohem vyšší počet kroků pro přesnější určení ceny opce, takže nehrozí, že by byly porušeny podmínky. Vypočteme-li hodnotu opce pro n kroků, n > n 0, není zaručeno, že daná hodnota bude blíže směrodatné hodnotě opce než hodnota vypočtená pro n 0 kroků, viz 3.13. V Shaw (2002) se uvádí, že u aproximativní CRR metody pro americké call opce mimo peníze na akcie nevyplácející dividendy (v knize je příklad evropské call opce mimo peníze na akcii nevyplácející dividendy) existují 40

uzly (tzv. sedlové body) n s = (m + 1/2)2 σ 2 T log 2 K/S kde m N, které určují cenu přesněji než ostatní uzly. Pokud n s / N, pak volíme nejbližší celé číslo. Dané tvrzení však nemusí být v některých případech pravdivé, viz 3.7. Podobně jako u aproximativní CRR metody Shaw (2002) definuje sedlové uzly (m + 1/2) 2 σ 2 T n s = (log(k/s 0 ) (r D σ 2 /2)), 2 kde m N, pro aproximativní JR metodu. Pokud n s / N, pak volíme nejbližší celé číslo. V našem případě jsou dividendy D = 0. Tato metoda prý může selhat v případě, že je očekávaná hodnota akcie v době vypršení opce blízko realizační hodnotě. Zaměřme se nyní na situaci pro graf 3.17. Podle našich výpočtů provedených v programu Mathematica je prvním sedlovým uzlem n s = 1853.77 =. 1854. Pomocí softwaru Mathematica jsme porovnali hodnotu opce pro počet kroků 1754,,1853, 1854, 1855 a 1954, abychom se přesvědčili, jestli je cena pro 1854 kroků nejpřesnější. Označme si P směrodatnou cenu opce a P (n) hodnotu opce (při užití aproximativní JR metody) pro n kroků: P (1754) = 14.0975, P (1853) = 14.0983, P (1854) = 14.0974, P (1855) = 14.0983, P (1954) = 14.0979, P = 14.0988. Všimněme si, že i volba o jeden krok více nebo méně může znamenat nezanedbatelnou změnu ve výsledku. Bylo by tedy vhodnější tvrdit, že se přesnější cena nachází pro kroky v blízkém okolí n s. Z našich pozorování pro aproximativní JR metodu vyplývá, že blíží-li se očekávaná cena akcie v datu splatnosti k realizační ceně, pak hrozí, že daná metoda bude konvergovat pomaleji, což mluví ve prospěch tvrzení Shaw (2002) ve výše uvedeném poznatku. Přesná CRR metoda se velmi často blíží k směrodatné ceně opce shora, CRR aproximativní se blíží zdola nebo okolo ceny kmitá. Pokud metoda kmitá, bude čtvercová odchylka od směrodatné ceny nižší než u přesné CRR, tedy že při volbě náhodného kroku máme vyšší šanci trefit se do ceny, která je blízko směrodatné ceně. Jak však ukazuje graf 3.7, aproximativní CRR nemusí být vždy lepší volba. Přesná JR metoda se při oceňování opcí příliš neosvědčila. Při vyšší volatilitě a delší době do splatnosti se lépe osvědčují aproximativní metody, nejčastěji aproximativní CRR metoda, viz 3.11. Zdrojový kód metod je převzat z Beninga a kol. (1993). Další grafy je možné zhlédnout v příloze, do této práce jsme vložili jen ty nejzajímavější. V přiloženém, 41