Zobrazení prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy 2. přednáška BI-ZMA ZS 2009/2010 Evropský sociální fond. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/2010 1 / 18
Zobrazení Definice Zobrazení množiny A do množin B je relace f A B, splňující dodatečnou podmínku, že pro každý prvek x A existuje jediný prvek y B tak, že xfy. To, že f je zobrazení množiny A do množiny B, zapisujeme f : A B. (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/2010 2 / 18
Pro zobrazení zavádíme Místo xfy píšeme y = f (x). (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/2010 3 / 18
Pro zobrazení zavádíme Místo xfy píšeme y = f (x). y nazýváme též hodnota zobrazení f v bodě x nebo obraz prvku x při zobrazení f. (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/2010 3 / 18
Pro zobrazení zavádíme Místo xfy píšeme y = f (x). y nazýváme též hodnota zobrazení f v bodě x nebo obraz prvku x při zobrazení f. Prvku x říkáme vzor prvku y při zobrazení f. (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/2010 3 / 18
Pro zobrazení zavádíme Místo xfy píšeme y = f (x). y nazýváme též hodnota zobrazení f v bodě x nebo obraz prvku x při zobrazení f. Prvku x říkáme vzor prvku y při zobrazení f. Množina A se nazývá definiční obor zobrazení f a také značí D f. (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/2010 3 / 18
Pro zobrazení zavádíme Místo xfy píšeme y = f (x). y nazýváme též hodnota zobrazení f v bodě x nebo obraz prvku x při zobrazení f. Prvku x říkáme vzor prvku y při zobrazení f. Množina A se nazývá definiční obor zobrazení f a také značí D f. Množina obrazů při zobrazení f se nazývá obor hodnot zobrazení f a značí H f. Obor hodnot lze také formálně zapsat H f = { y B x A, y = f (x) }. (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/2010 3 / 18
Funkce z R do R Funkce budou nejčastěji zadávané předpisem, jak k číslu x určit jeho obraz, číslo y. Např. x 1 y = x 2 Nevymezíme-li hodnoty x, kterým předpis má přiřadit obraz, budeme automaticky za přirozený definiční obor považovat všechna x, pro která má použití předpisu smysl. V našem případě je D f = 1, 2) (2, + ). (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/2010 4 / 18
Příklad f 1 (x) = x, f 2 (x) = x. Přirozeným definičním oborem D f1 je interval 0, + ), kdežto D f2 = R. (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/2010 5 / 18
Zúžením zobrazení Definice Zobrazení h : M A B je zúžením zobrazení f : A B na množinu M, když f (x) = g(x) pro každé x M A. Symbolicky zapisujeme h = f / M Pro funkce z příkladu platí f 1 = f 2 / 0,+ ) (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/2010 6 / 18
Obraz množiny Obraz množiny M A při zobrazení f : A B je množina f (M) = { y B ( x M) (y = f (x)) }, což lze taky zapsat f (M) = { f (x) x M}. Obor hodnot tedy není nic jiného, než obraz definičního oboru při zobrazení f, tj. H f = f (D f ) Je-li množina M = ( 2, 1, pak f 1 (M) = a f 2 (M) = 1, 2). (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/2010 7 / 18
Vzor množiny Vzor množiny M B při zobrazení f : A B je f 1 (M) = { x A ( y M) (y = f (x)) }, což lze taky zapsat f 1 (M) = { x A f (x) M }. Pro M = (2, 3) je f 1 1 (M) = (4, 9) a f 1 2 (M) = ( 9, 4) (4, 9). (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/2010 8 / 18
Složené zobrazení Jsou-li f : A B, g : B C zobrazení, potom můžeme definovat nové zobrazení h : A C předpisem h(x) = g(f (x)). Toto zobrazení se nazývá složení zobrazení g a f a značí se g f. Platí tedy ( g f ) (x) = g(f (x)). (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/2010 9 / 18
. Uvažujme zobrazení f, g : R R daná předpisy f (x) = sin x a g(x) = x 2 (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/2010 10 / 18
. Uvažujme zobrazení f, g : R R daná předpisy f (x) = sin x a g(x) = x 2 Složení (f g)(x) = sin(x 2 ) a (g f )(x) = (sin x) 2 jsou dvě různá zobrazení, například proto, že obor hodnot f g je interval 1, 1, zatímco obor hodnot g f je pouze interval 0, 1. Tento příklad ukazuje, že obecně g f f g. (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/2010 10 / 18
. Uvažujme zobrazení f, g : R R daná předpisy f (x) = sin x a g(x) = x 2 Složení (f g)(x) = sin(x 2 ) a (g f )(x) = (sin x) 2 jsou dvě různá zobrazení, například proto, že obor hodnot f g je interval 1, 1, zatímco obor hodnot g f je pouze interval 0, 1. Tento příklad ukazuje, že obecně g f f g. Skládání zobrazení tedy není komutativní. (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/2010 10 / 18
. Uvažujme zobrazení f, g : R R daná předpisy f (x) = sin x a g(x) = x 2 Složení (f g)(x) = sin(x 2 ) a (g f )(x) = (sin x) 2 jsou dvě různá zobrazení, například proto, že obor hodnot f g je interval 1, 1, zatímco obor hodnot g f je pouze interval 0, 1. Tento příklad ukazuje, že obecně g f f g. Skládání zobrazení tedy není komutativní. Je asociativní, t.j. f (g h) = (f g) h pro každé tři zobrazení s definičními obory umožňujícími toto skládání. (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/2010 10 / 18
Důležité druhy zobrazení Definice Zobrazení f : A B nazýváme injektivní (neboli prosté) zobrazení, jestliže pro každou dvojici různých proměnných x, y A je f (x) f (y), (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/2010 11 / 18
Důležité druhy zobrazení Definice Zobrazení f : A B nazýváme injektivní (neboli prosté) zobrazení, jestliže pro každou dvojici různých proměnných x, y A je f (x) f (y), surjektivní zobrazení (neboli zobrazení na B), jestliže pro každé y B existuje x A splňující f (x) = y, (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/2010 11 / 18
Důležité druhy zobrazení Definice Zobrazení f : A B nazýváme injektivní (neboli prosté) zobrazení, jestliže pro každou dvojici různých proměnných x, y A je f (x) f (y), surjektivní zobrazení (neboli zobrazení na B), jestliže pro každé y B existuje x A splňující f (x) = y, bijektivní (neboli vzájemně jednoznačné) zobrazení, jestliže f je injektivní a surjektivní. (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/2010 11 / 18
Identické zobrazení Definice Zobrazení množiny A do stejné množiny A, které prvku x přiřazuje sama sebe, nazýváme identické zobrazení na množině A, nebo identita na A a značíme Id A. Identita je zřejmě zobrazení, které je bijektivní. Id A : A A, Id A (x) = x. (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/2010 12 / 18
Inverzní zobrazení Definice Je-li f : A B prosté zobrazení, pak každému prvku x z oboru hodnot H f lze přiřadit právě jedno y z množiny A tak, že x = f (y). Takto získané zobrazení nazýváme inverzní zobrazení k zobrazení f. Píšeme také y = f 1 (x), aniž by docházelo k omylům. Vlastnosti inverzního zobrazení: D f 1 = H f, H f 1 = D f. f 1 f = Id Df, f f 1 = Id Hf. (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/2010 13 / 18
Literatura: Edita Pelantová, Jana Vondráčková: Matematická analýza 1 - skriptum FJFI Jiří Kopáček Matematická analýza pro fyziky MATFYZPRESS Vydavatelství MFF UK Praha 1997 Vladimír Souček Mat. analýza pro fyziky, přednáška pro 1 semestr na www strance: http://www.karlin.mff.cuni.cz/ soucek/ (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/2010 14 / 18
Obrázek: Giuseppe Peano (27. srpna 1858, Spinetta, Piemont, Itálie 20. dubna 1932, Turín) http://cs.wikipedia.org/wiki/giuseppe..peano (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/2010 15 / 18
Obrázek: Richard Dedekind (* 6. října 1831 Braunschweig 12. února 1916 Braunschweig) http://cs.wikipedia.org/wiki/richard..dedekind (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/2010 16 / 18
Obrázek: Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (3. března 1845 Petrohrad, 6. ledna, 1918 Halle) http://en.wikipedia.org/wiki/georg..cantor (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/2010 17 / 18
Wolfram-Mathematica N[Sqrt[2], 100] 1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317 6679737990732478462107038850387534327641573 N[1/7, 100] 0.142857142857142857142857142857142857142857142857142857 1428571428571428571428571428571428571428571429 Rudin : Principles of Mathematical Analysis (FIT) Zobrazení BI-ZMA ZS 2009/2010 18 / 18