Funkce základní pojmy a vlastnosti
|
|
- Antonín Čech
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného základu (reg. č. CZ.1.7/2.2./28.21) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republik. Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 1 / 36
2 Množina reálných čísel a její podmnožin Reálná čísla se zobrazují jako bod na číselné ose. Každému bodu číselné os odpovídá právě jedno reálné číslo. Množinu reálných čísel značíme R. Další číselné množin: N = {1, 2, 3,... } množina přirozených čísel Z = {..., 3, 2, 1,, 1, 2, 3,... } množina celých čísel Q = { p q : p Z, q Z {}} množina racionálních čísel I = R Q množina iracionálních čísel C = {a + ib : a, b R} množina kompleních čísel Množin N, Z, Q, I jsou podmnožin množin R. Smbolem R 2 budeme značit množinu všech uspořádaných dvojich (, ), kde R, R... rovina Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 2 / 36
3 Pojem funkce Definice (Funkce) Necht M je neprázdná podmnožina množin reálných čísel, tj. M R. Pravidlo f, které každému prvku M přiřazuje právě jeden prvek R, se nazývá reálná funkce jedné reálné proměnné. Píšeme = f() nebo f :. Množina M se nazývá definiční obor funkce f a značí se D(f). Množina všech R, pro něž eistuje M takové, že = f(), se nazývá obor hodnot funkce f a značí se H(f). Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 3 / 36
4 Funkce je zadaná definičním oborem D(f) a pravidlem (funkčním předpisem), pomocí něhož je každému D(f) přiřazen právě jeden prvek H(f). Například: = 2, = 2, = sin, [ π 2, π 2 ] Pokud není v zadání funkce definiční obor uveden, pak jím rozumíme množinu všech R, pro která má daný předpis smsl. Například definiční obor funkce = +1 určíme následovně: ted + 1 = 1 a zároveň, D(f) = 1, ) (, ). Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 4 / 36
5 Eplicitně zadaná funkce: = vzorec s proměnnou, například = sin, = ln, = 3, = 4 + 2, = +1. V zápisu = f() nazýváme f... funkční předpis (např. sin, ln,... )... argument (nezávislá proměnná)... funkční hodnota (závislá proměnná) Implicitně zadaná funkce: vzorec s proměnnými, =, například sin( + 2) + =. Budeme se zabývat pouze funkcemi zadanými eplicitně. Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 5 / 36
6 Definice (Graf funkce) Grafem funkce f rozumíme množinu všech uspořádaných dvojic (, f()) R 2, kde D(f). Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 6 / 36
7 Příklad (Absolutní hodnota a signatura) Absolutní hodnota { pro, f() := = pro. D(f) = R, H(f) = [, ) Signatura 1 pro <, f() := sgn = pro =, 1 pro >. D(f) = R, H(f) = { 1,, 1} 1 1 Platí: = sgn a také = sgn. Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 7 / 36
8 Není funkce, není graf Zobrazení, které není funkce jednomu bodu nemohou být přiřazen dvě různé hodnot: Bod v rovině nebo křivka, které nejsou grafem funkce: Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 8 / 36
9 Vlastnosti funkcí ohraničenost parita (sudost, lichost) periodičnost monotonie prostost Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 9 / 36
10 Definice (Ohraničenost) Necht f je funkce a M D(f) je neprázdná množina. Řekneme, že funkce f je na množině M zdola ohraničená, jestliže eistuje d R takové, že f() d pro každé M. shora ohraničená, jestliže eistuje h R takové, že f() h pro každé M. ohraničená, jestliže je na množině M ohraničená zdola i shora. Je-li funkce ohraničená zdola, pak eistuje vodorovná přímka (při označení z definice = d) taková, že graf funkce leží nad touto přímkou. Je-li funkce ohraničená shora, pak eistuje vodorovná přímka (při označení z definice = h) taková, že graf funkce leží pod touto přímkou. Je-li funkce ohraničená, leží celý graf mezi dvěma vodorovnými přímkami. Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 1 / 36
11 Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 11 / 36
12 Definice (Parita) Funkce f se nazývá sudá, jestliže pro každé D(f) platí lichá, jestliže pro každé D(f) platí D(f) a f( ) = f(). D(f) a f( ) = f(). Graf sudé funkce je souměrný podle os. Graf liché funkce je souměrný podle počátku. Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 12 / 36
13 Definice (Periodičnost) Necht p R, p >. Funkce f se nazývá periodická s periodou p, jestliže pro každé D(f) platí ± p D(f) a f( + p) = f() = f( p). Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 13 / 36
14 Definice (Monotonie) Necht f je funkce a M D(f) neprázdná množina. Řekneme, že funkce f je na množině M rostoucí, jestliže pro každá dvě 1, 2 M splňující 1 < 2 je f( 1 ) < f( 2 ). klesající, jestliže pro každá dvě 1, 2 M splňující 1 < 2 je f( 1 ) > f( 2 ). neklesající, jestliže pro každá dvě 1, 2 M splňující 1 < 2 je f( 1 ) f( 2 ). nerostoucí, jestliže pro každá dvě 1, 2 M splňující 1 < 2 je f( 1 ) f( 2 ). Funkce f se nazývá monotonní na množině M, jestliže je neklesající nebo nerostoucí. Funkce f se nazývá rze monotonní na množině M, jestliže je rostoucí nebo klesající. Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 14 / 36
15 Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 15 / 36
16 Definice (Prostá funkce) Necht f je funkce a M D(f) neprázdná množina. Řekneme, že funkce f je na množině M prostá, jestliže pro každá dvě 1, 2 M splňující 1 2 je f( 1 ) f( 2 ). Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 16 / 36
17 Věta Je-li funkce rze monotonní na množině M, pak je na této množině prostá. Je-li funkce prostá, pak každá vodorovná přímka protíná její graf v nejvýše jednom bodě. Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 17 / 36
18 Operace s funkcemi Součet, rozdíl, součin a podíl funkcí f a g definujeme následovně: (f + g)() = f() + g() pro D(f) D(g) (f g)() = f() g() pro D(f) D(g) (f g)() = f() g() pro D(f) D(g) ( ) f () = f() pro D(f) D(g) {z R : g(z) = } g g() Příklad f : = 3, g : =, D(f) = D(g) = R f + g : = 3 +, f g : = 3, D(f + g) = R D(f g) = R f g : = 4, D(f g) = R ( ) f g : = 2, D f g = R {} Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 18 / 36
19 Skládání funkcí Dosazením libovolné funkce za argument jiné funkce vzniká funkce složená. Definice (Složená funkce) Necht f, g jsou dvě funkce. Složenou funkcí g f rozumíme funkci definovanou předpisem (g f)() = g(f()), kde D(f) a f() D(g). Funkce f se nazývá vnitřní složka a g vnější složka složené funkce g f. Zápis g f čteme g po f. Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 19 / 36
20 Příklad f : = 2, g : = sin g f : = g(f()) = sin 2 f g : = f(g()) = sin 2 Složená funkce může mít více složek, např. (h g f)() = h(g(f())). Příklad f : = 2, g : = sin, h : = ln h g f : = h(g(f())) = ln sin 2 f g h : = f(g(h())) = sin 2 ln f h g : = f(h(g())) = ln 2 sin g f h : = g(f(h())) = sin ln 2 Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 2 / 36
21 Inverzní funkce Definice (Inverzní funkce) Necht f je prostá funkce. Funkce f 1, která každému H(f) přiřazuje právě to D(f), pro které platí = f(), se nazývá inverzní funkce k funkci f. f je inverzní funkce k funkci f 1. Graf funkcí f a f 1 jsou smetrické podle přímk =. D(f) = H(f 1 ) a H(f) = D(f 1 ) f 1 (f()) = pro každé D(f) f(f 1 ()) = pro každé H(f) Funkce f je rostoucí (klesající), pak f 1 je také rostoucí (klesající). Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 21 / 36
22 Inverzní funkci k funkci f určíme tak, že v zadání funkce = f() zaměníme proměnné a. Dostaneme ted rovnici = f(). Z této rovnice vjádříme proměnnou (pokud to lze). Je-li funkce f prostá, je toto vjádření jednoznačné. Příklad Inverzní funkce k funkci = 3 1 je funkce = f : = 3 1 f 1 : = 3 1 = D(f) = R D(f 1 ) = R H(f) = R H(f 1 ) = R Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 22 / 36
23 Některé vzájemně inverzní funkce: = = 2, = 3 = 3 = e = ln = a, a 1, a > = log a = sin, π/2, π/2 = arcsin = cos,, π = arccos = tg, ( π/2, π/2) = arctg = cotg, (, π) = arccotg Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 23 / 36
24 Základní elementární funkce Mocninné funkce Eponenciální funkce Logaritmické funkce (inverzní k eponenciálním) Goniometrické funkce Cklometrické funkce (inverzní ke goniometrickým na daném intervalu) Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 24 / 36
25 Mocninné funkce přímka = parabola = 2 kubická parabola = 3 hperbola = 1 = 1 2 odmocnina = Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 25 / 36
26 Eponenciální a logaritmické funkce = a (a > 1) Speciální případ: = a ( < a < 1) a = e, e. = 2, e je tzv. Eulerovo číslo 1 a 1 1 = log a (a > 1) Speciální případ: = log a ( < a < 1) 1 = ln = log e 1 1 a tzv. přirozený logaritmus a 1 Funkce = a a = log a jsou vzájemně inverzní, ted = log a = a. Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 26 / 36
27 Goniometrické funkce = sin 1 = cos 1 π π 2 π 2 π 2π π π 2 π 2 π 2π -1-1 = tg = cotg π π tg = sin cos π 2 π 2 π π 2 π 2 π cotg = cos sin Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 27 / 36
28 Cklometrické funkce = arcsin inverzní k = sin, π 2, π 2 π 2 = arccos inverzní k = cos,, π π 1 1 π 2 π = arctg inverzní k = tg, ( π 2, π 2 ) π 2 = arccotg inverzní k = cotg, (, π) π π 2 π 2 Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 28 / 36
29 Transformace grafu funkce = 2 = 2 1 = = (+1) 2 = ( 1) 2 = Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 29 / 36
30 Polnom Definice (Polnom) Polnomem stupně n rozumíme funkci tvaru P n () = a n + a 1 n a n 1 + a n, kde a, a 1,..., a n R, a. Čísla a, a 1,..., a n nazýváme koeficient polnomu. Člen a n se nazývá absolutní člen polnomu. Příklad polnom stupně : P () = a (konstantní funkce) polnom stupně 1: P 1 () = a + b (lineární funkce) polnom stupně 2: P 2 () = a 2 + b + c (kvadratická funkce) konkrétní příklad polnomu 5. stupně: Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 3 / 36
31 Definice (Kořen polnomu) Číslo c se nazývá kořen polnomu P n (), jestliže P n (c) =. Kořen c polnomu P n () se nazývá k-násobný, jesliže eistuje polnom Q n k takový, že P n () = ( c) k Q n k () a c není kořenem polnomu Q n k (), tj. Q n k (c). Kořen s násobností 1 se nazývá jednoduchý kořen. Násobnost kořene c udává, kolikrát je možné vdělit daný polnom beze zbtku tzv. kořenovým činitelem ( c). Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 31 / 36
32 Věta (Základní věta algebr) Každý polnom stupně n má právě n kořenů (včetně kompleních), přitom každý kořen počítáme tolikrát, kolik je jeho násobnost. Příklad Lineární polnom P 1 () = a + b má právě jeden kořen = b a (řešení rovnice a + b = ). Kvadratický polnom P 2 () = a 2 + b + c má právě dva kořen 1,2 = b± b 2 4ac 2a (řešení rovnice a 2 + b + c = ): dva různé reálné kořen, pokud b 2 4ac > jeden dvojnásobný reálný kořen, pokud b 2 4ac = dvojici kompleně sdružených kořenů, pokud b 2 4ac < Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 32 / 36
33 Geometrický význam reálných kořenů Reálné kořen polnomu jsou průsečík grafu tohoto polnomu s osou. Kořen sudé násobnosti: Polnom nemění znaménko v tomto bodě. Kořen liché násobnosti: Polnom mění znaménko v tomto bodě. Příklad P () = 2 ( 2)( + 3) 3 3 je trojnásobný kořen 3 2 je dvojnásobný kořen 2 je jednoduchý kořen Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 33 / 36
34 Racionální lomená funkce Definice (Racionální lomená funkce) Necht P n () je polnom stupně n a Q m () je polnom stupně m. Funkce tvaru se nazývá racionální lomená funkce. R() = P n() Q m () Je-li n < m, pak se R() nazývá rze lomená. Je-li n m, pak se R() nazývá nerze lomená. Každou nerze lomenou racionální funkci lze vjádřit jako součet polnomu a rze lomené racionální funkce. (Provedeme dělení P n () : Q m ()). Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 34 / 36
35 Vužití sstémů počítačové algebr Vužití sstémů Sage, Maima, Wolfram Alpha: Základ práce: Grafika: Matematické výpočt online (MAW): Graf funkcí: Definiční obor: Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 35 / 36
36 Příklad Určete definiční obor funkcí: ( ) + 2 = ln, = Řešení pomocí Wolfram Alpha ( domain of f()=ln((+2)/(-3)) domain of f()=sqrt(^2-3+2) Příklad Nakreselte graf funkcí: = 2 + 2, = sin. Řešení pomocí Wolfram Alpha ( plot ^2+2 plot sin() Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 36 / 36
Funkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické
VíceFUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
VíceFUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
VícePolynomy a racionální lomené funkce
Polnom a racionální lomené funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Polnom Definice a základní pojm Násobnost kořene Počet kořenů Kvadratický polnom Rozklad na součin kořenových
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
Více1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.
1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle
VíceElementární funkce. Polynomy
Elementární funkce 1 Elementární funkce Elementární funkce jsou níže uvedené funkce a jejich složenin : 1. Polnom.. Racionální funkce. 3. Mocninné funkce. 4. Eponenciální funkce. 5. Logaritmické funkce.
Více(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí
1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální
VíceMatematika (KMI/PMATE)
Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její
Více0.1 Funkce a její vlastnosti
0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/20
Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli
VíceMatematika I (KMI/PMATE)
Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce
VíceFunkce. Vlastnosti funkcí
FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční
Víceh = 0, obr. 7. Definice Funkce f je ohraničená shora, jestliže x Df Funkce f je ohraničená zdola, jestliže x Df d R
.4. Cíle V této kapitole jsou deinován nejdůležitější pojm týkající se vlastností unkcí. Při dalším studiu budou tto vlastnosti často používán. Je proto nutné si jejich deinice dobře zapamatovat. Deinice.4..
VíceFUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
Více0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost
VíceLimita a spojitost LDF MENDELU
Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceFunkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceÚvod, základní pojmy, funkce
Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 69 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,
VíceText může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.
VíceČíselné množiny. Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, }
ÚVOD DO MATEMATIKY Číselné množin Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Racionální čísla (Q) Čísla která lze vjádřit
Více2 Reálné funkce jedné reálné proměnné
2 Reálné funkce jedné reálné proměnné S funkcemi se setkáváme na každém kroku, ve všech přírodních vědách, ale i v každodenním životě. Každá situace, kd jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určen
Vícey = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +
Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou
Více2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Funkce 2.. Definice Říkáme, že na množině D reálných čísel je definována funkce f jedné reálné proměnné, je-li dán předpis, podle kterého je ke každému číslu x D přiřazeno právě
VíceP ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,
VíceEuklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a
VíceV této chvíli je obtížné exponenciální funkci přesně definovat. Můžeme však říci, že
.5. Cíle Uvedeme nní několik unkcí, z nichž většinu studenti znají již ze střední škol. Nazveme je základní elementární unkce. Konečným počtem sčítání, odčítání, násobení, dělení, skládání a případně invertování
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Průběh funkce ZVMT lesnictví 1 / 21
Průběh funkce Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceDERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VícePřednáška 1: Reálná funkce jedné reálné proměnné
Přednáška : Reálná unkce jedné reálné proměnné Pojem unkce Deinice Reálnou unkcí jedné reálné proměnné rozumíme předpis y ( ) na jehož základě je každému prvku množiny D (zvané deiniční obor) přiřazen
VíceLimita a spojitost funkce
Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá
VíceProseminář z matematiky pro fyziky
Proseminář z matematiky pro fyziky Mgr. Jan Říha, Ph.D. e-mail: riha@prfnw.upol.cz http://www.ictphysics.upol.cz/proseminar/inde.html Katedra eperimentální fyziky Přírodovědecká fakulta UP Olomouc Podmínky
Více7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
, základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VícePřehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí.
Přehled funkcí Martina Hetmerová Gymnázium Přípotoční 1337 Praha 10 Vlastnosti funkcí Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo Zapisujeme: f:y=f(x)
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 2. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 17. února 2010 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
VíceREÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny
VíceÚvod, základní pojmy, funkce
Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 80 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,
VícePetr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce MA I (M1101) 1 / 125
Množiny, číselné obory, funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce MA I (M1101) 1 / 125 Obsah 1 Množiny a číselné obory Množinové operace Reálná
VíceFUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY - CVIČENÍ
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
VíceInovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Téma: Název: Autor: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Funkce Funkce a její vlastnosti Ing. Vacková Věra
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VícePoznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.
2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny
Více4. Funkce Funkce. S pojmem funkce jsme se setkali již v Kapitole 1F Zobrazení. Připomeňme základní pojmy.
. Funkce.. Funkce Verze. prosince 6 S pojmem funkce jsme se setkali již v Kapitole F Zobrazení. Připomeňme základní pojm. Zobrazení z množin X do množin Y je formálně podmnožina F kartézského součinu X
Vícex (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f.
1. Funkce Deinice 1.1. Zobrazení nazýváme reálná unkce, jestliže H() R. Další speciikaci můžeme provést podle deiničního oboru zobrazení. Deinice 1.2. Reálná unkce se nazývá (1) unkce jedné reálné proměnné,
VíceFunkce, elementární funkce.
Kapitola 2 Funkce, elementární funkce. V této kapitole si se budeme věnovat studiu základních vlastností funkcí jako je definiční obor, obor hodnot. Připomeneme si pojmy sudá, lichá, rostoucí, klesající.
Více2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je
Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)
VíceMatematika 1 pro PEF PaE
Reálné funkce 1 / 21 Matematika 1 pro PEF PaE 1. Reálné funkce Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU funkce Reálné funkce Základní pojmy 2 / 21 Zobrazení z množiny A do množiny B je množina f uspořádaných
Vícesoubor FUNKCÍ příručka pro studenty
soubor FUNKCÍ příručka pro studenty 1 Obsah Poznámky 6 lineární funkce mocninné funkce s přirozeným exponentem o sudým o lichým s celým záporným exponentem o sudým o lichým s racionálním exponentem o druhá
VíceFunkce - pro třídu 1EB
Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
VíceFUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF
FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF Zavedení pojmu funkce funkce Funkce f na množině D R je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y z množiny R. Množina D se nazývá definiční
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceLIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceOmezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina
Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená
VíceOrganizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část
Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova
VíceDerivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace
Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceFunkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
Více(Zavedení pojmu funkce, vlastnosti. Repetitorium z matematiky
Funkce Zavedení pojmu unkce, vlastnosti unkcí,lineární, kvadratické a mocninné unkce Repetitorium z matematik Podzim 01 Ivana Medková A Zavedení pojmu unkce V odorných a přírodovědných předmětech se často
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 4. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 27 Množiny Zavedení pojmu množina je velice
Více(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení
.. Výklad Nní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení M R, kde M R nazývat stručně funkce. Zopakujeme, že funkce je každé zobrazení f : M R, M R, které každému
Více4. Funkce Funkce. S pojmem funkce jsme se setkali již v Kapitole 1F Zobrazení. Připomeňme základní pojmy.
4. Funkce 4. 4. Funkce Verze. prosince 06 S pojmem funkce jsme se setkali již v Kapitole F Zobrazení. Připomeňme základní pojm. Zobrazení z množin X do množin Y je formálně podmnožina F kartézského součinu
VíceZákladní elementární funkce
Základní elementární funkce Základní elementární funkce Za základní elementární funkce považujeme funkce: a) eponenciální a logaritmické; b) obecné mocninné; c) goniometrické a cklometrické; d) hperbolické
VíceIV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/21 Matematická analýza ve Vesmíru. proměnné - p. 2/21 Definice. Funkcí (přesněji:
VícePlanimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje
VíceMATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik
MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,
VíceMATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel
MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní
VíceFunkce a základní pojmy popisující jejich chování
a základní pojmy ující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. 511 f bude v této části znamenat zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. /8 3. Elementární funkce. 3. Elementární funkce. Matematická analýza ve Vesmíru.
VíceDiferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 1. Elementární funkce 1.2. Přehled elementárních funkcí 2 Lineární funkce - je každá funkce na množině R, která je dána ve tvaru y = a.x + b, kde a,b R. Pokud
VíceVypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,
VíceMATEMATICKÁ ANALÝZA STUDIJNÍ OPORA PRO KOMBINOVANÉ
MATEMATICKÁ ANALÝZA STUDIJNÍ OPORA PRO KOMBINOVANÉ STUDIUM MATEMATICKÁ ANALÝZA RNDr. Vladimíra MÁDROVÁ, CSc., RNDr. Vratislava MOŠOVÁ, CSc., Moravská vysoká škola Olomouc, o.p.s., 8 Moravská vysoká škola
VíceMENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA NEURČITÝ INTEGRÁL
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA NEURČITÝ INTEGRÁL Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
Více1. Písemka skupina A...
. Písemka skupina A.... jméno a příjmení Načrtněte grafy funkcí (v grafu označte všechny průsečíky funkce s osami a asymptoty). y y sin 4 y y arccos ) Určete, jestli je funkce y ln prostá? ) Je funkce
Více1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu
22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte
VíceFunkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li
VíceMonotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak
VíceMatematická funkce. Kartézský součin. Zobrazení. Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí:
Matematická funkce Kartézský součin Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí: [x, y] = [u, v] x = u y = v Pokud K, L jsou libovolné množiny, pak množinu
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
Více6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina
Instrukce: Příklady řešte výhradně elementárně, bez použití nástrojů z diferenciálního a integrálního počtu. Je-li součástí řešení úlohy podmnožina reálných čísel, vyjádřete ji jako disjunktní sjednocení
Více8. Elementární funkce. I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k k!.
8. Elementární funkce I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k = k!. Vlastnosti exponenciální funkce: a) řada ( ) konverguje absolutně
VíceAplikace derivace a průběh funkce
Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
Více2. FUNKCE Funkce 31
Základ matematik FUNKCE 0 Základní vlastnosti Ohraničená a neohraničená funkce Monotónnost funkce, funkce rostoucí a klesající Prostá funkce Sudá a lichá funkce 7 Periodická funkce 9 Inverzní funkce 0
VíceMATEMATIKA 1B ÚSTAV MATEMATIKY
MATEMATIKA B Sbírka úloh Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA B Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika B - Sbírka úloh. Tato sbírka je doplněním tetu Fuchs,
VíceMatematika 1. Matematika 1
5. přednáška Elementární funkce 24. října 2012 Logaritmus a exponenciální funkce Věta 5.1 Existuje právě jedna funkce (značíme ji ln a nazýváme ji přirozeným logaritmem), s následujícími vlastnostmi: D(ln)
Více7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/..00/07.0018 7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy V této chvíli jsme již ve výkladu přikročili ke kapitole, kterou můžeme považovat za
VícePro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)
Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor
VíceFunkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel,
Funkce ) Napište funkční předpisy a najděte definiční obory funkcí f pro které platí: f ( ) je povrch krychle o straně b) f ( ) je objem kvádru s čtvercovou podstavou o straně a povrchem rovným c) f (
VícePříklady k přednášce 3
Příklad k přednášce 3 1. Určete, zda závislost a daná uvedeným vztahem je funkce = f(). V případě záporné odpovědi stanovte, kterými funkcemi je možné příslušnou závislost popsat. 1. =3 2, (, + ) je funkcí,
VíceMatematika I. Funkce jedné proměnné. Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212
Matematika I Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212 1. Množiny a zobrazení Funkce jedné proměnné Matematika I 2 / 212 Množiny Definice 1.1.1: Množinou rozumíme soubor prvků se
VíceAlgebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu.
Algebraické rovnice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Základní pojm 2 Metod řešení algebraických rovnic Algebraické řešení Grafické řešení Numerické řešení 3 Numerické řešení Ohraničenost
VícePetr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Více