Vytvořující funkce Zuzka Safernová Definice Nechť(a 0 a a 2 jeposloupnostreálnýchčíselpotomvytvořující funkcí posloupnosti rozumíme mocninnou řadu a(x= a i x i = a 0 + a x+a 2 x 2 + Operace s posloupnostmi a jejich vytvořujícími funkcemi Většina operací které můžeme provést s posloupnostmi se převádí i na jejich vytvořující funkce Např součet dvou posloupností člen po členu neznamená nic jiného než součet příslušných vytvořujících funkcí Základní operace shrňme pro stručnost do následující tabulky: operace s posloupnostmi příslušná vytv funkce {a n + b n } n=0 a(x+b(x {αa n } n=0 αa(x {α n a n } n=0 a(αx (0 0 a }{{} 0 a x n a(x n (a n a n+ a n+2 a(x (a 0+a x+a 2x 2 + x n (a 0 0 0 a }{{} 0 0 a }{{} 2 a(x n n n { n a ib n i } n=0 a(xb(x {(n+a n+ } n=0 a (x (0 a 0 2 a 3 a x 3 0 a(tdt Příklad(Základní Jakouvytvořujícífunkcimáposloupnost(? Řešení Zajímá nás součet geometrické řady a i x i =+x+x 2 + 28
Zuzka Safernová: Vytvořující funkce kterýjejakvíme xpro x <tudížvytvořujícífunkceposloupnostizesamých jedničekje x Zobecněná binomická věta Nejdříve si definujme kombinační číslo Nechť r je libovolné reálné číslo a k je nezáporné celé číslo Pak: ( { r pro k=0 = r(r (r k+ k k! pro k >0 Zobecněná binomická věta má tvar: (+x r = ( r x i i což v řeči vytvořujících funkcí neznamená nic jiného než že vytvořující funkcí posloupnosti( ( r 0 ( r ( r 2 je 0 funkce(+x r Fibonacciho čísla Předpokládám že jste se s Fibonacciho čísly už někdy setkali(např při množení králíků Jsou dána rekurentní formulkou F n = F n + F n 2 pron 2apočátečnímipodmínkami F 0 =0 F =Našímcílemjevyjádřit n-té Fibonacciho číslo explicitně Jak na to? (i Uvažmevytvořujícífunkci F(x= n=0 F nx n Vytvořmesischéma: F(x = F 0 + F x+f 2 x 2 + + F n x n + xf(x = F 0 x+f x 2 + + F n x n + x 2 F(x= F 0 x 2 + + F n 2 x n + 0 Pokudje rcelézáporné(r= n n Npaklzekombinačníčíslo ( r k upravitnatvar ( n k z čehož snadno plyne =( k(n+k (n+n k! =( k( n+k k =( k( n+k n ( n ( n ( n+k ( x n = + x+ + x k + n n n 29
Velké Vrbno 06 Díkyrekurenci F n F n Fn 2=0zbudepoodečtenídruhéhoa třetíhořádkuodprvního F(x( x x 2 =F 0 +(F F 0 xzčehož vzhledem k počátečním podmínkám dostáváme F(x= x x x 2 (ii Jmenovatel x x 2 vyjádřímevetvaru( αx( βxcožserovná (α+βx+αβx 2 kde αβ= aα+β=zviètovýchvztahůplyne že α βjsouřešenímcharakteristickérovnice y 2 y =0tedy α β= ± 5 2 (iii Z(iiplyneže F(x= x ( αx( βx cožrozložímenaparciálnízlomky Tzn hledáme konstanty AB tak aby x ( αx( βx = A ( αx + B ( βx Nenítěžkézjistitže A= α β = 5 B= β α = 5 (iv Porozkladunaparciálnízlomkymáme F(xvetvaru: F(x= α β ( αx βx Vytvořující funkce αx jerovna α n x n tedy F(x= ( (α n β n x n α β zčehožvzhledemk(idostávámepožadované n-téfibonaccihočíslo po dosazení konstant α β: F n = α β (αn β n F n = (( n + 5 5 2 ( 5 2 n Předchozí příklad nám dává obecný návod jak řešit diferenční rovnice tvaru Ag n = Bg n + Cg n 2 30 Poměr F n senazývázlatýřezamálimitu pro njdoucídonekonečna F n+ α
Zuzka Safernová: Vytvořující funkce Kuchařka Mámerekurentnírovnicitvaru Ag n = Bg n + Cg n 2 achcemeurčitjejí n-tý člen (i Určímekořenypříslušnécharakteristickérovnice tamátvar Ax 2 Bx C=0Nechťjsoutytokořeny pq (ii Hledanéřešenímátvar Kp n +Lq n přičemžkonstanty Ka Lurčímezpočátečníchpodmínek g 0 a g Počet korektních uzávorkování n párů závorek Korektním uzávorkováním rozumíme posloupnost délky 2n obsahující n levých a n pravých závorek kde každé levé závorce odpovídá právě jedna pravá závorka ležící napravo od ní Např(((( je korektní uzávorkování naproti tomu(( není Označmesi b n početkorektníchuzávorkovánís npáryzávorekuvažujmekorektníposloupnost npárůzávorekajednudvojicivnípevnězafixujmejeevidentní že (((( (( }{{}}{{} b i z čehož plyne rekurentní formulka: b n i n b n = b i b n i ( Určímesipočátečnípodmínky: b 0 = b = b 2 =2 Nechť b(x= n=0 b nx n Zpravidlapronásobenídvouvytvořujícíchfunkcí dostáváme ( n b(xb(x = b i b n i x n n=0 cožsevzhledemk( rovná b + b 2 x+b 3 x 2 + Takže xb 2 (x=b x+b 2 x 2 + b 3 x 3 + +b n+ x n+ =b(x b 0 zčehožplyne xb 2 (x b(x+=0řešenímdostáváme b(x= ± 4x 2x 3
Velké Vrbno 06 Tatorovnicemábýtsplněnaipro x=0vprvnímpřípadědostáváme b 0 = 2 0 = = cožrozhodněneníaaninikdynemůžebýtjedničkavdruhémpřípaděmáme b 0 = 0 0 cožjesiceneurčitývýrazalevzhledemktomužerovnicenějakéřešení mítmusí(vímeže b 0 =jetohlejedinámožnost Ze zobecněné binomické věty plyne: takže ( /2 ( 4x 2 = ( n 2 2n x n =+c x+c 2 x 2 + n n=0 }{{} c n b(x= (+c x+c 2 x 2 + 2x = 2 ( c + c 2 x+c 3 x 2 = 2 c i+ tudíž b n = 2 c n+ Podíváme-lisejakjsmesizadefinovali c n zjistímežeplatí(naprvnípohled složitárovnost b n = 2( 2 n+ ( n+ 2 2n+2 kterásevšakdávcelkupřímočaře upravitna b n = n+( 2n n TěmtočíslůmříkámeCatalanova Příklady Příklad Nalezněte vytvořující funkce následujících posloupností: (i 2 23 34 4 (ii 32343836 (iii 496 Příklad Určetekoeficientux 7 v(x 3 + x 4 + x 5 + 3 Příklad Určetekoeficientux 4 v(x 5 + x 7 + x 9 + 2 Příklad Určetekoeficientux 5 v(2+3x 5 x Příklad Určetekoeficientux 4 v( x+2x 2 8 Příklad Ověřte rovnost pro k přirozené: 32 (+x(+x 2 (+x 4 (+x 2k = x2k+ x
Zuzka Safernová: Vytvořující funkce Příklad Včelař chce aby sadař vysadil 25 nových stromků přičemž ten má kdispozicipouze4druhysadařovamanželkaodmítáořešáknebjevelkýazabírámocmísta(navíckaždýsprávnýborecvížemedzořešákusenedájíst:- Jabloně jsou jí taky proti gustu mají jich už příliš Naproti tomu bezmezně miluje třešňovo-švestkovou marmeládu a tak klade tvrdé podmínky nejvýše jeden ořešák nejvýše 0 jabloní alespoň 6 třešní a alespoň 8 slivoní(slivovice silná motivace nebo rozvod Kolika způsoby může sadař zabránit rozvodu?(tedy kolik existuje různých způsobů výběru druhů stromů? Příklad V krabici je 30 červených 40 modrých a 50 bílých míčků(míčky téže barvy jsou nerozpoznatelné Kolik je různých možností jak z takovéto krabice vybrat soubor 70 míčků? Příklad Jaká je pravděpodobnost že při hodu 2 kostkami padne dohromady součet 30? Příklad Vyjádřete obecný člen posloupností určených následujícími rekurencemi: (i a =3 a 2 =5 a n+2 =4a n+ 3a n pro n=23 (ii a 0 =0a = a n+2 =2a n+ 4a n pro n=023 (iii a 0 = a n+ =3a n 2pro n=023 Příklad Řešterekurencikdevposloupnosti(a 0 a a 2 jenásledujícíčlen aritmetickým průměrem předchozích dvou Příklad Řešterekurenci a n+2 = a n+ a n spočátečnímipodmínkami a 0 = 2a =8Nápověda: b n =log a n Příklad Kolika způsoby lze vyjít schodiště o n schodech jestliže každým krokem vyjdeme maximálně dva schody? Příklad Spočtěte počet triangulací konvexního n-úhelníku Literatura [] Jiří Matoušek Jaroslav Nešetřil: Kapitoly z diskrétní matematiky Karolinum 2000 33