Nekonečné číselné řady. January 21, 2015

Transkript

1 Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205

2 Příklad 0 = =? n= IMA 205

3 Příklad n= n 2 + n = n =? + n s = 2 s 2 = s 3 = 3 4 IMA 205

4 Příklad (pokr.) = s n = n i= n i= n i n i 2 + i = ( i ) = i + i= i= i + = n + = n n + IMA 205

5 Definice (Součet řady) Součet nekonečné řady je definován prostřednictvím limity posloupnosti částečných součtů jako Příklad (dokončení) n= lim s n. n 2 + n = lim s n = lim n n + =. IMA 205

6 Definice ( Konvergence řady) Má-li posloupnost částečných součtů konečnou limitu, tzn. lim s n = s, pak říkáme, že řada je konvergentní. Pokud uvedená limita neexistuje nebo je nevlastní, pak říkáme, že řada je divergentní. IMA 205

7 (Geometrická řada) a + a.q + a.q a.q n + geometrická řada konverguje ak a = 0, q R a 0, q <. součet je 0 a q IMA 205

8 Příklad s =, s 2 = 2...s n = n lim s n = ( ) n s =, s 2 = 0...s 2n+ =, s 2n = 0 lim s n neexistuje n +... geom. řada, q = 2 (, ) řada konverguje ( 4 3) n +... geom. řada, q = 4 3 (, ) řada diverguje IMA 205

9 Definice (Absolutní konvergence) Pokud konverguje řada n= n= a n, přičemž říkáme, že řada Pokud konverguje řada říkáme, že řada n= n= a n, potom konverguje také řada n= a n konverguje absolutně. a n, avšak řada n= a n diverguje, pak a n konverguje neabsolutně (relativně). IMA 205

10 Definice (Podmínky konvergence) U konvergentních řad lze zavést tzv. zbytek řady po n-tém součtu jako R n = s s n, podmínku konvergence řady lze vyjádřit také tak, že nekonečná řada konverguje právě tehdy, pokud k libovolnému kladnému číslu ε existuje takové N (ε), že pro libovolné n > N (ε) platí nerovnost R n = s s n < ε. IMA 205

11 Věta (Nutná podmínka konvergence řady) Jestliže řada a n konverguje, potom lim a n = 0. IMA 205

12 Příklad (Nutná podmínka konvergence řady) řada n 2 + diverguje řada n= ale řada n 2 +n konverguje n= lim lim n DIVERGUJE!! n 2 =. n 2 + n = 0. lim n = 0, IMA 205

13 Věta (Nutná a postačující podmínka konvergence řady) Pokud součet řady a n vyjádříme ve tvaru s = s n + R n, kde s n je n-tý částečný součet a R n je zbytek řady po n-tém částečném součtu, pak nutnou a postačující podmínku konvergence této řady lze vyjádřit vztahem lim R n = lim (s s n) = 0 Nutná a postačující podmínka konvergence bývá také vyjadřována ve formě tzv. Bolzanova-Cauchyova kritéria. Podle něj je nekonečná řada konvergentní právě tehdy, existuje-li k libovolnému ε > 0 takové číslo N (ε), že pro libovolná m > N (ε), n > N (ε) platí s m s n < ε IMA 205

14 ( Kritéria konvergence) IMA 205

15 Věta ( Srovnávací kritérium) Při srovnávacím (porovnávacím) kritériu uvažujeme dvě řady s kladnými členy a n, b n, přičemž pro všechna n platí a n < b n. Řadu a n označujeme jako minorantní řadu (minorantu) k řadě bn a řadu b n jako majorantní řadu (majorantu) k řadě a n. Potom platí, že pokud konverguje majoranta, tzn. b n, konverguje také minoranta, tedy a n. Diverguje-li minoranta an, diverguje také majoranta, tedy b n. Příklad ( Srovnávací kritérium) porovnejte s n= n= (n+) 2 n porovnejte s n= n= n n 2 +n IMA 205

16 Věta ( Podílové kritérium) Při podílovém (d Alembertově) kritériu konverguje řada s kladnými členy a n tehdy, existuje-li reálné číslo q < a přirozené číslo n 0, takové, že pro každé n > n 0, platí a n+ a n < q. Pokud je a n+ a n, pak řada diverguje. Věta ( Limitní podílové kritérium) Zavedeme-li pro řadu s kladnými členy a n veličinu L = lim, pak dostáváme tzv. limitní podílové kritérium a n+ a n konvergence, podle kterého je řada a n konvergentní pro L <, divergentní pro L >, a pro L =, může být konvergentní nebo divergentní. IMA 205

17 Příklad (Podílové kritérium) n= n= (n!) 2 (2n)! a n+ lim a n n n+ = lim ((n+)!) 2 (2n+2)! (n!) 2 (2n)! = 4 < řada konverguje a n+ lim a n = lim n+ n+2 n n+ = neumíme rozhodnout, ale lim a n = 0 z nutní podm. konvergence: řada diverguje IMA 205

18 Příklad (Podílové kritérium, pokr.) n= n! n n n= a n+ lim a n n = lim (n+)! (n+) n+ n! n n = e < řada konverguje a n+ lim a n = lim n+ n Z předch. příkladu víme, že řada diverguje. = neumíme rozhodnout. IMA 205

19 Příklad (Podílové kritérium, pokr.) n= n 2 +n a n+ lim a n = lim (n+) 2 +n+ n 2 +n Z předch. příkladu víme, že řada konverguje = neumíme rozhodnout. IMA 205

20 Věta ( Odmocninové kritérium) Při odmocninovém (Cauchyově) kritériu uvažujeme, že řada s kladnými členy a n konverguje, pokud existuje reálné číslo q < a přirozené číslo n 0, že pro každé n > n 0, platí n a n < q. Pro n an řada diverguje. Věta ( Limitní odmocninové kritérium) Pokud pro řadu s kladnými členy a n zavedeme K = lim n an, pak můžeme použít limitní odmocninové kritérium, podle kterého je řada konvergentní pro K <, divergentní pro K > a pro K = může konvergovat nebo divergovat. IMA 205

21 Příklad ( Odmocninové kritérium) řada lim n an+ = lim ( ) 3 ( ) n 5 n n n 5n n n +... je konvergentní n n = lim 5 n = 0 IMA 205

22 Věta ( Raabeovo kritérium) Podle Raabeova kritéria je řada s kladnými členy a n konvergentní tehdy, pokud existuje takové přirozené číslo n 0, že pro všechna n > n 0, platí n( a n+ a n ) >. Jestliže n( a n+ a n ), pak řada a n diverguje. Věta ( Limitní Raabeovo kritérium) Jestliže pro řadu s kladnými členy a n zavedeme M = lim n( a n+ a n ), pak na základě limitního Raabeova kritéria určíme, že řada konverguje pro M >, diverguje pro M < a pro M = může konvergovat i divergovat. IMA 205

23 Věta ( Integrální kritérium) Nechť a n je řada s kladnými členy, jejíž členy lze vyjádřit jako a n = f (n). Pokud ve funkci f (n), nahradíme diskrétní proměnnou n, spojitou proměnnou x, přičemž f (x), bude spojitou a nerostoucí funkcí na intervalu a, ), kde a > 0, pak podle tzv. integrálního kritéria je řada a n konvergentní tehdy, pokud konverguje integrál f (x)dx. Pokud integrál a f (x)dx diverguje, pak a diverguje také řada a n. IMA 205

24 Příklad ( Integrální kritérium) n= n= n n 2 lim x x lim x n = lim (ln x ln ) = x x řada diverguje ( n 2 = lim ) = x x řada konverguje IMA 205

25 Příklad ( Integrální kritérium, pokr.) n, p > p n= lim x x ( ) n p = lim x p (p )x p = p řada konverguje IMA 205

26 Věta ( Leibnitzovo kritérium) Pro alternující řady, které zapíšeme jako n= ( ) n+ a n, kde a n > 0, lze použít Leibnitzovo kritérium. Podle tohoto kritéria konverguje uvedená alternující řada tehdy, pokud a > a 2 > a 3 >... a zároveň lim a n = 0. Příklad ( Leibnitzovo kritérium) ( )n+ n +... n > n + a lim a n = lim n = 0 řada konverguje, ale relativně. IMA 205

27 (Operace s nekonečnými řadami) součet a n = a + a a n + n=0 b n = b + b b n + n=0 (a n + b n) = (a + b ) + (a 2 + b 2 ) + + (a n + b n) + n=0 rozdíl (a n b n) = (a b ) + (a 2 b 2 ) + + (a n b n) + n=0 IMA 205

28 (Operace s nekonečnými řadami) součin (a.b ) + (a.b 2 + a 2.b ) + (a.b 3 + a 2.b 2 + a 3.b ) + + přerovnání +(a.b n + a 2.b n + a 3.b n a n.b ) + IMA 205

29 (Výpočet součtu a odhad součtu, příklady) IMA 205

30 (Alternující řady) Nechť posloupnost {a n } n= je nerostoucí s limitou 0. Potom pro součet a n tý částečný součet s n řady a a 2 + a 3 a ( ) n a n + platí s s n a n+. Uvažujme o řadě ( ) n n Pro limitu n tého člena platí lim a n = 0 a posloupnost je nerostoucí, co zjistíme porovnáním n tého a n + ního členu v abs. hodnotě (proč abs. hodnota?): a n a n+ n 2 n+ n 2 2 n n n 2 n.(n + ) 2n n + n. Poslední nerovnost ukazuje, že posloupnost je nerostoucí pro všechny přirozené čísla. Proto součet prvních n členů se liší od nekonečného součtu maximálně o n+ 2. Součet prvních 0 n členů se liší od součtu max. o 2. 0 n IMA 205

31 (Odhad pomocí geom. řady) Nechť řada n= a n je absolutně konvergentní a nechť existují a > 0, q < také, že a n+k a.q k pro k =, 2,. Potom pro součet a n tý částečný součet s n řady platí s s n a q. Uvažujme o řadě +! + 2! Udělejte odhad chyby, které se n! dopustíme, když sečteme prvních 5 členů. Z předchozích příkladů víme, že se jedná o abs. konvergentní řadu. Pro (4 + k)! platí: (4 + k)! = (4 + k) = 5!.6 k. Potom pro k =, 2, (4 + k)! 5! ( ) k. 6 Aplikujeme předošlé tvrzení o odhadu a dostáváme: 5! s s 5 6 s ! 6 IMA 205 = 6 5.5! = 00.

32 (Odhad pomocí integrálu) Nechť řada n= a n je absolutně konvergentní a nechť existuje nerostoucí funkce f (x) taká, že f (n) = a n pro n N, přičemž N je přirozené číslo. Potom pro součet a N tý částečný součet s N řady platí s s N lim x x N f (t)dt. Nechť α >. Víme, že α + 2 α + + n α +. Udělejte odhad chyby, které se dopustíme, když sečteme prvních N členů. Aplikujeme předošlé tvrzení o odhadu a dostáváme: s s N lim x x [ ] x dt = lim tα x ( α)t α N N [ ] lim x ( α)x α ( α)n α = = (α )N α. IMA 205