Základní typy pravděpodobnostních rozdělení

Základní typy pravděpodobnostních rozdělení Petra Schreiberová, Jiří Krček Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava Ostrava 208

OBSAH Diskrétní rozdělení náhodných veličin 3. Rovnoměrné rozdělení............................... 3.2 Alternativní rozdělení............................... 4.3 Binomické rozdělení................................ 5.4 Hypergeometrické rozdělení............................ 7.5 Poissonovo rozdělení................................ 9.6 Další důležitá diskrétní rozdělení..........................6. Geometrické rozdělení............................6.2 Negativně binomické rozdělení...................... 2 2 Spojitá rozdělení náhodných veličin 3 2. Rovnoměrné rozdělení............................... 3 2.2 Eponenciální rozdělení.............................. 5 2.3 Normální rozdělení................................ 8 2.3. Normované normální rozdělení..................... 2

2.4 Další důležitá spojitá rozdělení.......................... 23 2.4. Logaritmicko normální rozdělení..................... 23 2.4.2 Weibullovo rozdělení............................ 24 2.4.3 Chí-kvadrát rozdělení........................... 25 2.4.4 Studentovo rozdělení........................... 25 2.4.5 Fischerovo-Snedecorovo rozdělení.................... 25 2.4.6 Gamma rozdělení.............................. 26 2

KAPITOLA DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN. Rovnoměrné rozdělení popisuje náhodnou veličinu, která může nabývat n stejně pravděpodobných hodnot Definice. Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení R(n), právě když je její pravděpodobnostní funkce dána rovnicí kde n je počet možných výsledků. p() = n, Příklad. Lze hod kostkou popsat rovnoměrným rozdělením? Řešení: Nadefinujeme náhodnou veličinu: X = hod kostkou Množina všech možných výsledků má 6 prvků M = {, 2, 3, 4, 5, 6}, kde pravděpodobnost každé realizace je stejná - pravděpodobnost, že padne je stejná jako pravděpodobnost, že padne 2, atd. jedná se o rovnoměrnou náhodnou veličinu X R(6). 3

.2. ALTERNATIVNÍ ROZDĚLENÍ Pravděpodobnostní funkce - tabulka: Grafy p() a F(): i 2 3 4 5 6 p( i ) 6 6 6 6 6 6 p() 6 2 3 4 5 6 F() 5 4 6 6 3 2 6 6 6 2 3 4 5 6.2 Alternativní rozdělení popisuje náhodnou veličinu, která může nabývat pouze dvou výsledků, pravděpodobnost jednoho z nich je p a druhého p Definice.2 Náhodná veličina X má alternativní rozdělení A(p), právě když je její pravděpodobnostní funkce dána rovnicí { p = p() = p = 0. Vlastnosti E(X) = p D(X) = p( p) Příklad.2 Náhodná veličina je výsledkem teoretické části zkoušky z matematiky, u které by měl student odpovědět na jednu otázku, přičemž prostudoval 70 % učiva. Jaké jsou pravděpodobnosti úspěšného, příp. neúspěšného zvládnutí zkoušky? Řešení: Nadefinujeme náhodnou veličinu: X = výsledek zkoušky Množina všech možných výsledků má 2 prvky: úspěšné vykonání zkoušky a neúspěšné vykonání zkoušky. Definiční obor náhodné veličiny X je dvouprvková množina M = {0, }. 4

.3. BINOMICKÉ ROZDĚLENÍ Známe pravděpodobnost úspěchu (student odpoví správně) p = 0, 7 jedná se o alternativní náhodnou veličinu X A(0, 7). Pravděpodobnost úspěšného vykonání zkoušky je P(X = ) = p() = 0, 7 a pravděpodobnost neúspěšného vykonání zkoušky je P(X = 0) = p(0) = p() = 0, 7 = 0, 3 p() F() 0, 7 0, 3 0 0, 3 0.3 Binomické rozdělení popisuje četnost výskytu náhodného jevu v n nezávislých pokusech, v nichž má jev stále stejnou pravděpodobnost p Definice.3 Náhodná veličina X má binomické rozdělení Bi(n, p), právě když je její pravděpodobnostní funkce dána rovnicí ( ) n p() = p ( p) n, = 0,,..., n, kde n je počet nezávislých pokusů a p je pravděpodobnost výskytu sledovaného jevu v každém pokusu. Vlastnosti E(X) = np D(X) = np( p) Poznámka Pro n = jde o alternativní rozdělení, tj. A(p) Bi(, p). Funkce v Ecelu: p() = P(X = ) = BINOM.DIST(; n; p; 0) 5

.3. BINOMICKÉ ROZDĚLENÍ F() = P(X ) = BINOM.DIST(; n; p; ) Příklad.3 Průměrná zmetkovitost výroby sledovaného výrobku je 2 %. Jaká je pravděpodobnost, že se mezi 300 výrobky vyskytne a) právě pět zmetků b) více než tři zmetky? Dále určete střední hodnotu a rozptyl počtu zmetků mezi těmito 300 výrobky. Řešení: Pravděpodobnost zmetkovitosti jednoho výrobku je p = 0, 02. Uvedených 300 výrobků pak představuje 300 nezávislých pokusů, přičemž v každém je pravděpodobnost úspěchu (výrobek je zmetek) rovna p. Náhodná veličina X popisující počet zmetků mezi sledovanými výrobky má tedy binomické rozdělení s parametry n = 300 a p = 0, 02, tj. X Bi(300; 0, 02). ad a) Máme určit pravděpodobnost toho, že náhodná veličina X nabude hodnoty právě 5: ( ) 300 P(X = 5) = p(5) = 0, 02 5 0, 98 295. 5 Ecel: P(X = 5) = BINOM.DIST(5; 300; 0, 02; 0). = 0, 62 ad b) Určíme, s jakou pravděpodobností bude hodnota náhodné veličiny X větší než 3: Ecel: P(X > 3) = P(X 3) = 3 p() = =0 3 =0 ( ) 300 0, 02 0, 98 300. P(X > 3) = P(X 3) = BINOM.DIST(3; 300; 0, 02; ). = 0, 85 Dále E(X) = np = 300 0, 02 = 6 D(X) = np( p) = 300 0, 02 0, 98 = 5, 88. 6

.4. HYPERGEOMETRICKÉ ROZDĚLENÍ Úlohy k samostatnému řešení. Pravděpodobnost toho, že žárovka praskne při jednom přepnutí vypínače je 0, 5 %. Jaká je pravděpodobnost, že za jeden rok (nepřestupný) při jednom rozsvícení a zhasnutí denně prasknou nejvýše tři žárovky. 2. Ve skladu je připraveno k epedici 3000 elektronických součástek stejného typu. Pravděpodobnost, že se součástka spálí při testovacím zapojení je 0, 2 %. Jaká je pravděpodobnost, že ze součástek na skladě budou více než tři spáleny při testování? 3. Dlouhodobým pozorováním byla určena pravděpodobnost jarní povodně na řece na 0, 3. Určete pravděpodobnost, že v příštích 30 letech nedojde k více než dvěma povodním. Dále určete střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny, popisující počet povodní v těchto 30 letech..4 Hypergeometrické rozdělení popisuje četnost výskytu sledovaného jevu v n opakovaných závislých pokusech - výběr bez vracení Definice.4 Náhodná veličina X má hypergeometrické rozdělení H(N, M, n), právě když je její pravděpodobnostní funkce dána rovnicí ( )( ) M N M p() = n ( ) N, = 0,,..., n, n kde N je celkový počet prvků základního souboru, M je počet prvků v základním souboru, které mají sledovanou vlastnost, n je počet prvků ve výběru, je počet prvků ve výběru, které mají sledovanou vlastnost. Vlastnosti E(X) = nm N 7

D(X) = nm N ( M N ) ( ) N n N.4. HYPERGEOMETRICKÉ ROZDĚLENÍ Poznámka Funkce v Ecelu: P(X = ) = HYPGEOM.DIST(; n; M; N; 0) P(X ) = HYPGEOM.DIST(; n; M; N; ) Příklad.4 Do krabice, která obsahuje 50 žárovek se závitem E27, přidáme 50 žárovek se závitem E4. Z krabice pak náhodně vybereme 30 žárovek. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi bude alespoň 25 se závitem E27? A jaký je průměrný počet žárovek E27 v takovém výběru? Řešení: Celkem máme v krabici 50 + 50 = 200 žárovek, ze kterých náhodně a bez vracení vybíráme 30. Tento výběr tedy představuje 30 závislých pokusů - pravděpodobnost, že vyberete žárovku E27 v každém pokusu závisí na tom, jaké žárovky jste vybrali v předchozích pokusech. Náhodná veličina X popisující počet žárovek E27 ve 30ti prvkovém výběru má tedy hypergeometrické rozdělení s parametry N = 200 (počet všech žárovek), M = 50 (počet žárovek E27) a n = 30 (počet žárovek ve výběru), tj. X H(200, 50, 30). Máme určit pravděpodobnost toho, že náhodná veličina X nabude hodnoty alespoň 25 (tj. 25 X 30): ( )( ) 50 50 Ecel: P(X 25) = 30 P(X = ) = =25 30 p() = =25 30 =25 30 ( ). 200 30 P(X 25) = P(X 24) = HYPGEOM.DIST(24; 30; 50; 200; ). = 0, 8 Průměrný počet žárovek E27 ve výběru určíme jako střední hodnotu náhodné veličiny X: E(X) = nm N = 30 50 200 = 22, 5. Úlohy k samostatnému řešení. V každé dodávce je 000 kusů výrobků. Při kontrole jich náhodně bez vracení vybereme 20. Dodávka bude přijata, pokud kontrolní výběr obsahuje nejvýše dva zmetky. S jakou pravděpodobností bude odmítnuta dodávka, která obsahuje právě 8

.5. POISSONOVO ROZDĚLENÍ 80 zmetků? 2. V dodávce 20 polotovarů je 5 vadných. Náhodně vybereme (najednou, tj. bez vracení ) 6 kusů polotovarů k další kompletaci. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku náhodné veličiny popisující počet vadných polotovarů v tomto výběru. A jaká je pravděpodobnost, že mezi vybranými prvky bude maimálně jeden vadný? 3. Ve skladu do krabice, ve které je 500 šroubů s metrickým závitem, omylem přisypali 80 šroubů s palcovým závitem. Nezaškoleného pomocníka pošlete do této krabice pro 20 šroubů. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi bude alespoň 8 s metrickým závitem?.5 Poissonovo rozdělení popisuje četnost výskytu náhodného (Poissonovského) jevu v daném intervalu (časovém, délkovém, prostorovém). Nabývá kladných celých čísel včetně 0. Většinou vyjadřuje počet výskytů málo pravděpodobných jevů v nějakém časovém či objemovém intervalu. Definice.5 Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení Po(λ), právě když je její pravděpodobnostní funkce dána rovnicí p() = λ! e λ, = 0,,..., kde λ je střední hodnota počtu výskytů sledovaného jevu v daném intervalu. Vlastnosti E(X) = λ D(X) = λ A = λ ē = λ Poznámka Poissonovo rozdělení vznikne jako limitní případ binomického rozdělení pro velká n. Binomické rozdělení Bi(n, p) lze tedy pro velká n a p blížící se k nule aproimovat Poissonovým rozdělením s parametrem λ = np, tj. Bi(n, p) Po(np) pro n a p 0. 9

.5. POISSONOVO ROZDĚLENÍ Dále pro velké λ se hodnoty Poissonova rozdělení blíží k hodnotám rozdělení normálního. Funkce v Ecelu: P(X = ) = POISSON.DIST(; λ; 0) P(X ) = POISSON.DIST(; λ; ) Příklad.5 Během dvanáctihodinové pracovní směny přijede na myčku s jednou mycí linkou průměrně 44 automobilů. a) Jaká je pravděpodobnost, že jich během 40 min. nepřijede více než 6? b) Jaká je pravděpodobnost, že během 0 min. přijede alespoň jeden automobil? Řešení: a) Průměrný počet automobilů, které přijedou na myčku během min. je 2 60 44, v časovém úseku délky 40 min. jich pak bude průměrně 2 60 44 40 = 8. Náhodná veličina X popisující počet automobilů, které přijedou na myčku během 40 min., má tedy Poissonovo rozdělení s parametrem λ = 8, tj. X Po(8). Určíme pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnot nejvýše 6 (tj. 0 X 6): Ecel: P(X 6) = 6 P(X = ) = =0 6 p() = e 8 =0 6 8 =0!. P(X 6) = POISSON.DIST(6; 8; ). = 0, 33 b) Analogicky, náhodná veličina Y popisující počet automobilů, které přijedou na myčku během 0 min., bude mít Poissonovo rozdělení s parametrem λ = 2 60 44 0 = 2, tj. Y Po(2). Určíme pravděpodobnost, že tato náhodná veličina nabude hodnot alespoň : Ecel: P(Y ) = P(Y = 0) = p(0) = 20 0! e 2 = e 2. = 0, 865. P(Y ) = P(Y = 0) = POISSON.DIST(0; 2; 0). = 0, 865 Úlohy k samostatnému řešení. Při psaní 00 stránkové bakalářské práce jste se dopustili celkem 260 gramatických chyb. Jaká je pravděpodobnost, že na náhodně vybrané stránce nebudou více než dvě chyby? 0

.6. DALŠÍ DŮLEŽITÁ DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ 2. Během 8 hod. pracovní směny přijede na čerpací stanici s jedním stojanem průměrně 320 automobilů. Jaká je pravděpodobnost, že jich během 45 min. přijede alespoň 25? 3. Revizor v ostravské MHD dopadne během jednoho pracovního dne průměrně 4 černých pasažérů. Jaká je pravděpodobnost, že jich za jeden pracovní týden (od pondělí do pátku) dopadne alespoň 65? Úlohy k samostatnému řešení Poznejte o jaké rozdělení se jedná a vyřešte:. Kapsář pracující na hlavním nádraží okrade průměrně 42 cestujících za týden. Jaká je pravděpodobnost, že se mu dnes podaří okrást alespoň 5 cestujících? 2. Nově sestavený elektronický přístroj obsahuje 562 součástek stejného typu, u nich výrobce deklaruje pravděpodobnost poruchy při prvním zapojení na 0, 8 %. Jaká je pravděpodobnost, že přístroj bude při prvním zapojení fungovat, jestliže porucha tří a více součástek ho vyřadí z provozu? 3. Do. ročníku je zapsáno 22 dívek a 36 chlapců, které zcela náhodně rozdělíme do studijních skupin po 24. Jaká je pravděpodobnost, že ve skupině bude více dívek než chlapců? 4. Sálový superpočítač má na 500 dní nepřetržitého provozu průměrně 24 poruch. Určete pravděpodobnost poruchy za 00 hodin provozu. 5. Při výstupní kontrole se z každých 000 výrobků vybírá 50. Určete střední hodnotu počtu nekvalitních výrobků ve výběru, je-li zmetkovitost výroby 3 %. 6. V kulometném pásu je 250 nábojů, pravděpodobnost selhání při výstřelu každého z nich je, 5 %. Jaká je pravděpodobnost, že vystřílíme celý pás bez selhání?.6 Další důležitá diskrétní rozdělení.6. Geometrické rozdělení je definováno jako počet neúspěchů před prvním úspěchem. Všechny pokusy musí být nezávislé a mít konstantní pravděpodobnost úspěchu p. Definice.6 Náhodná veličina X má Geometrické rozdělení Ge(p), právě když je její pravděpodobnostní funkce dána rovnicí p() = p ( p).

.6.2 Negativně binomické rozdělení.6. DALŠÍ DŮLEŽITÁ DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ je zobecněním geometrického rozdělení, představuje počet neúspěchů před r-tým úspěchem. Bývá označováno i jako Pascalovo rozdělení. Definice.7 Náhodná veličina X má Negativně binomické rozdělení Nbi(r, p), právě když je její pravděpodobnostní funkce dána rovnicí ( ) r + p() = p r ( p). 2

KAPITOLA 2 SPOJITÁ ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 2. Rovnoměrné rozdělení popisuje náhodnou veličinu, jejíž realizace vyplňují interval (a, b) se stejnou možností výskytu v každém bodě. Definice 2.8 Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení R(a, b), právě když je její hustota pravděpodobnosti dána funkcí (a, b) f () = b a. 0 / a, b Distribuční funkce 0 (, a a F() = (a, b) b a b, + ) Vlastnosti E(X) = a + b 2 D(X) = (b a)2 2 3

2.. ROVNOMĚRNÉ ROZDĚLENÍ Graf hustoty pravděpodobnosti: f () b a a b Graf distribuční funkce: F() a b Příklad 2.6 Z konečné zastávky Studentské koleje odjíždí během dne autobusy pravidelně každých 20 min. Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném příchodu na zastávku nebudete čekat déle než 2 min.? Dále určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku náhodné veličiny popisující dobu čekání na odjezd autobusu při náhodném příchodu na uvedenou zastávku. Řešení: Hodnoty náhodné veličiny X popisující dobu čekání při náhodném příchodu leží v intervalu 0, 20 a všechny mají stejnou možnost výskytu, tato náhodná veličina má tedy rovnoměrné rozdělení s parametry a = 0 a b = 20, tj. X R(0, 20). 4

2.2. EXPONENCIÁLNÍ ROZDĚLENÍ Její hustota pravděpodobnosti a distribuční funkce jsou pak ve tvaru: 0 (, 0 (0, 20) f () = 20, F() = (0, 20). 0 / (0, 20) 20 20, + ) Pravděpodobnost, že doba čekání nepřesáhne 2 min.: P(X 2) = P(X < 2) = F(2) = 2 20 = 0, 6. U spojité náhodné veličiny je P(X = ) = 0, tj. P(X ) = P(X < ) = F(). Střední hodnota: Rozptyl: Směrodatná odchylka: D(X) = σ 2 = σ = E(X) = a + b 2 (b a)2 2 = = 0 + 20 2 (20 0)2 2 00 D(X) = 3 = 0 3 3 = 0. = 00 3. = 5, 77.. = 33, 33. Úlohy k samostatnému řešení. Tramvaje linky č.7 odjíždí během dne ze zastávky Rektorát VŠB pravidelně každých min. Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném příchodu na zastávku nebudete čekat déle než 7, 5 min? Dále určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku náhodné veličiny popisující dobu čekání na tramvaj č.7 při náhodném příchodu na uvedenou zastávku. 2. Z výrobní linky v automobilce vyjíždí každých 42 min. jeden nový automobil. Jaká je pravděpodobnost, že při čtvrhodinové ekurzi uvidíte, jak nový automobil opouští výrobní linku? 3. Počítač dodává výsledky numerických výpočtů zaokrouhlené na celá čísla. Jaká je pravděpodobnost, že hodnota reprezentovaná číslem byla ve skutečnosti větší než, 25? 2.2 Eponenciální rozdělení popisuje dobu čekání na (Poissonovský) náhodný jev, resp. délku intervalu (časového nebo délkového) mezi dvěma takovými jevy. 5

2.2. EXPONENCIÁLNÍ ROZDĚLENÍ Definice 2.9 Náhodná veličina X má eponenciální rozdělení E(λ), právě když je její hustota pravděpodobnosti dána funkcí { 0 (, 0) f () = λe λ 0, + ), kde λ je převrácená hodnota střední hodnoty doby čekání na sledovaný jev. Distribuční funkce F() = { 0 (, 0) e λ 0, + ) Vlastnosti E(X) = λ D(X) = λ 2 Poznámka Funkce v Ecelu: f () = EXPON.DIST(; λ; 0) F() = EXPON.DIST(; λ; ) Důležitá role v teorii spolehlivosti a teorii hromadné obsluhy, bývá nazýváno jako rozdělení bez paměti, spojitý ekvivalent dikrétního geometrického rozdělení pravděpodobnosti. Graf hustoty pravděpodobnosti: f () λ 6

2.2. EXPONENCIÁLNÍ ROZDĚLENÍ Graf distribuční funkce: F() Příklad 2.7 a) Průměrná doba mezi příjezdy automobilů na hraniční přechod je 7 min. Jaká je pravděpodobnost, že mezi příjezdy nebude větší prodleva než 0 min.? b) Průměrná životnost sledovaného výrobku byla eperimentálně stanovena na 50 hodin. Jakou životnost má uvádět výrobce ve svých materiálech, jestliže chce, aby deklarované životnosti dosáhlo minimálně 80 % výrobků? Řešení: a) Náhodná veličina X popisující dobu mezi příjezdy automobilů na hraniční přechod má eponenciální rozdělení s parametrem λ = 7. Máme určit pravděpodobnost, že hodnota této náhodné veličiny bude nejvýše 0 (tj. 0 X 0). Ecel: P(X 0) = P(X < 0) = F(0) = e 0 7. = 0, 76 P(X 0) = P(X < 0) = F(0) = EXPON.DIST(0; /7; ). = 0, 76 b) Náhodná veličina X popisující životnost sledovaného výrobku má eponenciální rozdělení s parametrem λ = 50. Hledáme takovou hodnotu životnosti, aby platilo P(X ) = 0, 8 P(X < ) = 0, 8 F() = 0, 8 F() = 0, 2 e 50 = 0, 2 = 50 ln(0, 8). = 257 7

2.3. NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ Úlohy k samostatnému řešení. Průměrná doba mezi příjezdy automobilů na stanici STK je 2 min. Jaká je pravděpodobnost, že mezi dvěma po sobě jdoucími příjezdy bude prodleva větší než 5 min.? 2. Na dvoukilometrovém úseku dálnice D je 23 velmi nebezpečných děr. S jakou pravděpodobností narazíte na takovou díru na úseku o délce 20 m? 3. Průměrná životnost sledovaného typu žárovky je eperimentálně stanovena na 500 hodin. Jakou životnost má uvádět výrobce ve svých materiálech, jestliže chce, aby deklarované životnosti dosáhlo alespoň 75 % vyrobených žárovek? 2.3 Normální rozdělení jedno z nejdůležitějších rozdělení spojiné náhodné veličiny, někdy označováno jako Gaussovo rozdělení dobře aproimuje mnoho jiných rozdělení spojité i diskrétní náhodné veličiny, symetrické kolem střední hodnoty. Definice 2.0 Náhodná veličina X má normální rozdělení N(µ, σ 2 ), právě když je její hustota pravděpodobnosti dána funkcí f () = σ 2π e 2 ( µ σ ) 2, (, + ), kde µ je střední hodnota a σ 2 je rozptyl náhodné veličiny X. Distribuční funkce F() = ( ) σ t µ 2 2π e 2 σ dt, (, + ) Vlastnosti E(X) = µ D(X) = σ 2 A = 0 8

2.3. NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ ē = 0 Poznámka f () = NORM.DIST(; µ; σ; 0) F() = NORM.DIST(; µ; σ; ) p = NORM.INV(p; µ; σ) Graf hustoty pravděpodobnosti (Gaussova křivka): f () σ 2π µ σ µ µ + σ Graf distribuční funkce: F() 2 µ Příklad 2.8 Náhodná veličina popisující skutečnou hmotnost epedovaných 25 kg pytlů cementu má při dodržení standardních výrobních podmínek normální rozdělení se středn hodnotou 24, 8 kg a směrodatnou odchylkou 0, 6 kg. a) S jakou pravděpodobností vyhoví náhodně vybraný pytel normě, která předepisuje hmotnost v rozmezí 24 až 25, 5 kg? b) Jaká je pravděpodobnost, že námi zakoupený pytel cementu bude vážit více než 25 kg? 9

c) Určete, jakou hmotnost překročí 85 % všech epedovaných pytlů. 2.3. NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ d) V jakém rozsahu (symetrickém kolem střední hodnoty) můžeme předpokládat hmotnost 90 % všech epedovaných pytlů? Řešení: Náhodná veličina X popisující hmotnost epedovaných pytlů cementu má dle zadání normální rozdělení s parametry µ = 24, 8 (střední hodnota) a σ 2 = (0, 6) 2 = 0, 36 (rozptyl), tj. X N(24, 8; 0, 36). a) Hledáme pravděpodobnost toho, že hodnoty náhodné veličiny X leží mezi 24 a 25, 5: P(X > 25) = P(X 25) = F(25) = NORM.DIST(25; 24, 8; 0, 6; ). = 0, 369 b) Potřebujeme určit pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabývá hodnot větších než 25: P(X > 25) = P(X 25) = F(25) = NORM.DIST(25; 24, 8; 0, 6; ). = 0, 369 c) Hledáme hodnotu náhodné veličiny X takovou, aby pravděpodobnost, že X byla 85 %: P(X ) = 0, 85 P(X < ) = 0, 85 P(X < ) = 0, 5 F() = 0, 5 Potřebujeme určit 0, 5-kvantil ( 0,5 ) náhodné veličiny X, tj. hodnotu, která rozdělí plochu pod grafem hustoty pravděpodobnosti v poměru 5 : 85. 0,5 = NORM.INV(0, 5; 24, 8; 0, 6). = 24, 8 d) Jak je patrno z obrázku, hledáme takové hodnoty náhodné veličiny X, které rozdělí plochu pod grafem hustoty pravděpodobnosti v poměru 5 : 90 : 5, tj. kvantily 0,05 a 0,95. f () 5 % 90 % 5 % 0,05 0,95 20

2.3. NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ 0,05 = NORM.INV(0, 05; 24, 8; 0, 6). = 23, 8 0,95 = NORM.INV(0, 95; 24, 8; 0, 6). = 25, 79 Dá se tedy předpokládat, že hmotnost 90 % všech epedovaných pytlů cementu bude v rozmezí od 23, 8 do 25, 79 kg. Úlohy k samostatnému řešení. Hmotnost pytle cementu je hodnocena jako vyhovující, pohybuje-li se v rozmezí 23, 20 kg až 25, 60 kg. Při dodržení standardních výrobních podmínek podléhá jeho hmotnost normálnímu rozdělení se střední hodnotou 25, 00 kg a směrodatnou odchylkou, 2 kg. Jaká je pravděpodobnost, že hmotnost náhodně kontrolovaného pytle bude v předepsaných mezích? 2. Hmotnost chlapců v. třídě ZŠ je popsána náhodnou veličinou s normálním rozdělením N(23; 3, 6). Určete, v jakém intervalu (symetrickém kolem střední hodnoty) se dá předpokládat hmotnost 98 % z nich. 3. Náhodná veličina popisující hodnotu IQ má pro celou populaci normální rozdělení N(00, 225). Určete, u kolika procent populace můžeme předpokládat hodnotu IQ vyšší než 90. 2.3. Normované normální rozdělení speciální případ normálního rozdělení s parametry µ = 0, σ 2 =, hodnoty distribuční funkce tohoto rozdělení lze nalézt v tabulkách. Hustota pravděpodobnosti ϕ() = 2π e 2 2, (, + ) Distribuční funkce Φ() = 2π e t2 2 dt, (, + ) Věta 2. Má-li spojitá náhodná veličina X normální rozdělení N(µ, σ 2 ), pak veličina má normované normální rozdělení N(0, ). T = X µ σ 2

2.3. NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ Poznámka Hodnoty distribuční funkce Φ() jsou tabelovány pouze pro nezáporná. K určení hodnot pro záporná využijeme vztah Φ() = Φ( ). Binomické rozdělení Bi(n, p) lze pro velká n a hodnotu p blížící se k 0, 5 (obvykle se uvádí pro p 0, 3; 0, 7 ) aproimovat normálním rozdělením s parametry µ = np a σ 2 = np( p), tj. Bi(n, p) N(np, np( p)) pro n a p 0, 5. Graf hustoty pravděpodobnosti (Gaussova křivka): ϕ() 2π Graf distribuční funkce: Φ() 2 22

Úlohy k samostatnému řešení Poznejte o jaké rozdělení se jedná a vyřešte: 2.4. DALŠÍ DŮLEŽITÁ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ. Náhodná veličina popisující skutečnou hmotnost 250 g balení dětských piškotů má normální rozdělení se střední hodnotou 247, 5 g a směrodatnou odchylkou 7, 62 g. Jaká je pravděpodobnost, že námi zakoupený balíček piškotů bude vážit více než 255 g? A v jakém rozsahu můžeme předpokládat hmotnost 95 % všech epedovaných balíčků? 2. Autobusy z konečné zastávky Studentské koleje odjíždějí pravidelně každých 8 minut. Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném příchodu na zastávku budete čekat déle než 5 min? 3. Průměrná doba, kterou host v nejmenované restauraci čeká na pivo od okamžiku objednávky, je 8 minut. Jaká je pravděpodobnost, že budete čekat na pivo déle než 0 minut? Dále určete dobu čekání, během které budete obslouženi s 95% pravděpodobností. 2.4 Další důležitá spojitá rozdělení 2.4. Logaritmicko normální rozdělení Definice 2. Náhodná veličina X má logaritmicko normální rozdělení LN(µ, σ 2 ), právě když náhodná veličina ln X má normální rozdělení N(µ, σ 2 ) a její funkce hustoty je tvaru 0 (, 0 f () = σ (ln µ) 2 2π e 2 σ 2 (0, + ) Distribuční funkce Vlastnosti 0 ( ) (, 0 F() = ln µ Φ (0, + ) σ σ2 µ+ E(X) = e 2 D(X) = e 2µ+σ2 (e σ2 ) 23

2.4. DALŠÍ DŮLEŽITÁ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ Poznámka je asymetrické, zešikmené doleva používá se k modelování ekonomických veličin a v teorii spolehlivosti. 2.4.2 Weibullovo rozdělení Definice 2.2 Náhodná veličina X má Weibullovo rozdělení Wb(δ, ɛ), právě když je funkce hustoty tvaru 0 (, 0 f () = ɛ ( ) ɛ e ( δ ) ɛ (0, + ), δ δ kde δ > 0 je parametr měřítka a ɛ > 0 je parametr tvaru. Distribuční funkce Vlastnosti F() = { 0 (, 0 ɛ ( δ ) ɛ (0, + ) ( ) E(X) = δγ ɛ + ( ) ( )] 2 ɛ D(X) = δ [Γ 2 ɛ + Γ 2 +, kde Γ() je gamma funkce definovaná pro každé > 0: Γ() = e t t dt. 0 Poznámka představuje dobu čekání na událost, která se může dostavit se šancí úměrnou mocninné funkci pročekané doby řídí se jím doby životnosti zařízení, pro které nevyhovuje eponenciální rozdělení 24

2.4. DALŠÍ DŮLEŽITÁ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ modeluje se jím intenzita poruch λ() : 0 (, 0 λ() = ɛ ( ) ɛ (0, + ) δ δ 2.4.3 Chí-kvadrát rozdělení Chí-kvadrát rozdělení χ 2 (n) je rozdělení, které vznikne jako n i= U2 i, kde U i jsou nezávislé náhodné veličiny s normovaným normálním rozdělením. Bývá označováno jako Pearsonovo rozdělení. Poznámka je asymetrické kvantily jsou tabelované důležité v testech dobré shody a při testování statistických hypotéz 2.4.4 Studentovo rozdělení Studentovo rozdělení t(n) o n stupních volnosti je rozdělení náhodné veličiny U Yn kde U má N(0, ) rozdělení a Y má χ 2 (n) rozdělení, U, X jsou nezávislé náhodné veličiny. Poznámka je symetrické pro hodnoty n > 30 lze aproimovat normovaným normálním rozdělením důležité v oblastech matematické statistiky (regrese, testy shody) 2.4.5 Fischerovo-Snedecorovo rozdělení F-rozdělení F(m, n) vzniká jako rozdělení podílu dvou nezávislých náhodných veličin X m a X 2 n s chí-kvadrát rozdělením. 25

2.4. DALŠÍ DŮLEŽITÁ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ Vlastnosti E(X) = n n 2 pro n 3 D(X) = 2n2 (m + n 2) m(n 2) 2 (n 4) pro n 5 Poznámka je asymetrické pro m > 00 (n > 00) aproimujeme normálním rozdělením N(E(X), D(X)) důležité v oblastech matematické statistiky (analýza rozptylu) 2.4.6 Gamma rozdělení Definice 2.3 Náhodná veličina X má Gamma rozdělení X Gamma(µ, a), pokud její funkce hustoty má tvar f () = { µ a Γ(a) a e µ a > 0, 0, 0 < 0. Funkce Γ je pro a > 0 definována předpisem Γ(a) = Poznámka 0 a e d. Gamma rozdělení se používá především v teorii spolehlivosti, kdy například eponenciální rozdělení modeluje dobu do poruchy u komponent, které nejsou trvale namáhány, speciálním případem pro a = n N je Erlangovo rozdělení, které se využívá pro popis doby života do n-té poruchy pro a = se jedná o eponenciální rozdělení 26