3 Klasické funkční vary v eorii produkce 3. COBB- DOUGLASova produkční funkce Teno funkční var popisuje vzah mezi produkcí a výrobními fakory práce a kapiál mocninným vyjádřením j. (3.) K kde se pro paramery zpravidla předpokládá omezení hodno na inerval < <. Paramer musí bý přirozeně kladný. Souče obou mocninných paramerů je obvykle blízký hodnoě přičemž empirické ekonomerické analýzy naznačují spíše siuaci + <. Jak ukážeme přiblížení souču mocninných paramerů hodnoě (zvlášě je-li jich více než ) lze dobře zdůvodni pokud vývoj produkce v omo funkčním varu je popsán výrobními fakory vyčerpávajícím způsobem. Někdy se a priori předpokládá přesné splnění ideniy + což však má oprávnění jen v určiých siuacích. V akovémo případě lze chování produkce vysihnou závislosí (3.) přičemž po vydělení prací L získáme vzah (3.3) L K K L a ím i ekonomicky názorně inerpreovaelný vzah o závislosi veličiny L ( průměrná produkivia práce) na inenziním fakoru L K (vybavenos práce kapiálem).přiažlivos ohoo funkčního varu lze spařova i v několika dalších směrech :. Cobb-Douglasova funkce splňuje všechny Shephardem formulované axiomy (S) - (S6) až na poslední (S7*) požadující ohraničenos účinné podmnožiny E ( y) produkční množiny vsupů Lze se o om snadno přesvědči přímo navíc Cobb-Douglasův var je při přijaých omezeních na mocninné paramery < konkávní funkce. <. Ekonomické charakerisiky Cobb-Douglasovy funkce lze snadno spočís: a) mezní produkiviy (3.4) m K K L K K Podobně dosaneme m L ; mezní produkiviy jsou edy resp. násobky průměrných produkivi K resp. / L L. Cobbova-Douglasova funkce byla poprvé uvedena v článku Cobb-Douglas : A Theory of Producion uveřejněném v American Economic Review (98) kde byly pomocí ní ekonomericky zkoumány kvaniaivní vzahy mezi produkcí prací a kapiálem na agregované úrovni americké ekonomiky počáku.soleí.
b) koeficieny pružnosi produkce vzhledem ke kapiálu K K (3.5A) ek mk K a obdobně vzhledem k práci L L (3.5B) e ml L L. Jsou edy přímo rovny mocninným koeficienům funkčního varu. Paramer vyjadřuje procenuální/ míru vlivu kapiálu a podobně paramer procenuální/ míru vlivu práce na hodnoě produkce. Pokud bychom již neuvažovali působení žádných jiných výrobních fakorů na produkci lze přijmou ezi o (zhruba) jedničkovém souču obou paramerů (koeficienů pružnosi produkce vůči oběma fakorům). Povšimněme si že oba koeficieny elasiciy jsou konsanní v celém fakorovém prosoru. c) Účasi výrobních fakorů na produkci spočeme rovněž velmi snadno : (3.6) v K a podobně v L Také odud vyplývá logický požadavek aby souče koeficienů + byl (přibližně) jedničkový. d) Výnosy z rozsahu produkce lze u dvoufakorové Cobb-Douglasovy funkce vyvodi z vyjádření : (3.7) F(.K.L) (.K ) (.L) + λ λ λ λ F( KL) λ Odud je jednak parné že ao produkční funkce je homogenní supně + jednak z něho přímo vyvodíme povahu výnosů z rozsahu produkce kerá je určena součem mocninných paramerů. Jesliže + < jde o klesající pro + obdobně o konsanní resp. při + > vykazuje Cobb-Douglasův var rosoucí výnosy z rozsahu produkce. Poslední případ lze v ekonomerických aplikacích zaznamena jen zřídka. e) Mezní míra subsiuce r se opě snadno určí z definičního vzahu m r L mk jehož naplněním pro Cobb-Douglasův var obdržíme (3.8) r Mezní míra subsiuce mezi prací a kapiálem u Cobb-Douglasovy produkční funkce edy závisí na poloze bodu v němž ji ve fakorovém prosoru vyčíslujeme. Je přímo úměrná vybavenosi práce kapiálem ( j. podílu K / L ) a podílu elasici / ) L K K L
f) Pružnos subsiuce s určíme enokrá jiným posupem než pomocí někerého z dříve uvedených výpočeních vzorců a o pomocí následujícího obrau: Logarimujme vzah (3.8) přičemž podíl L K označme sručněji jako ω. Nejprve dosaneme (3.9) lnr ln + lnω a následným diferencováním lnr lnr (3.) dlnr dln dlnω + lnω ln neboť jiné změny než obou adiivních komponen pravé srany (3.9) neuvažujeme. Jak blíže parno výraz d ln jako změna konsany (nezávislé na měnících se K L) lnr je nulový a obdobně podíl je roven jedné což je zřejmé vyjádříme-li parciální derivaci (podle ln ω) vzahu (3.9). Diferenciál d lnr vyjádřený adiivním rozkla- lnω dem (3.) se ímo redukuje na vzah (3.) dlnr dlnω Vzhledem k omu že podíl pravé a levé srany (3.) není nic jiného než logarimická definice pružnosi subsiuce s - viz definiční vzah (.7A) - znamená o že s. Sejný výsledek bychom obdrželi pomocí výpočeního vzorce (.8) nebo za podmínky + přes vzah (.7). Získaný výsledek znamená mj. o že Cobb-Douglasův funkční var je příkladem produkční funkce u níž je elasicia subsiuce s nezávislá na poloze fakorové kombinace na příslušné izokvaně ( s je edy konsanní). 3. Ješě se sručně zmíníme o ekonomerické úloze odhadu paramerů Cobb- Douglasovy produkční funkce. Logarimováním výchozího varu (3.) získáme (3.) ln ln + lnk + lnl Připojením náhodné složky ε s přisuzovanými vlasnosmi ( cenrovanos homoskedasicia a nekorelovanos s oběma vysvělujícími proměnnými) přejdeme k regresnímu vzahu (v zápise pro vekory pozorovaných hodno K a L )... T v němž T je délka vzorku pozorování : (3.A) ln ln + lnk + lnl + lnε. Při éo specifikaci by náhodné odchylky ε ovšem musely bý připojeny muliplikaivně zn. sochasicky vyjádřená Cobb-Douglasova funkce by musela mí var ε (3.3) K e a náhodné odchylky by nemohly bý záporné (vylučovalo by o mj. jejich normální rozdělení). 3
Při odhadu paramerů Cobb-Douglasovy funkce lze na lineárně-adiivní var (3.A) uplani např. prosou meodu nejmenších čverců (MNČ OLS). Jako závisle proměnná bude v regresi vysupova logarimovaná hodnoa produkce ln jako nezávisle proměnné pak logarimované hodnoy práce ln L a kapiálu ln K. Uvedeným posupem získáme přímo (konzisenní) odhady paramerů a a éž odhad logarimované * hodnoy úrovňového parameru Cobb-Douglasova varu ln. Odhad původního parameru pak získáme snadno zpěnou exponenciální ransformací e *. Pro úplnos je řeba uvés že ímo způsobem získaný odhad paramerů nebude (ze saisického hlediska) nejlepší možný. Jak parno minimalizačním kriériem při výše uvedeném posupu je výraz T (3.4) ( ln ) Ŷ T (3.5) ( ) ln nikoliv původní souče čverců Ŷ kde * Ŷ označuje vyrovnané hodnoy závisle proměnné. Měření odchylek od zde probíhá v logarimované nikoliv v původní merice. Pokud bychom rvali na původním kriériu museli bychom k přesnému odhadu paramerů uplani nelineární meodu nejmenších čverců (NLMNČ NLLS). Dodejme současně že ve věšině prakických siuací nebudou rozdíly mezi jedním resp. druhým způsobem odhadnuými paramery příliš velké. Cobb-Douglasova produkční funkce je z ohoo hlediska jen slabě nelineární neboť po logarimické ransformaci jde o funkční var kerý již je lineární v paramerech. Podobu izokvan Cobb-Douglasovy funkce ovlivňují všechny ři paramery. Paramer má vliv na vzdálenosi izokvan o různých hladinách produkce míru zakřivení pak určují mocninné paramery. V případě rovnosi obou paramerů budou izokvany symerické vůči ose/paprsku vycházejícího z počáku pod úhlem 45. S ohledem na muliplikaivní var funkce nemohou izokvany (pro konečné hodnoy výrobních fakorů ) přilnou k souřadnicovým osám (blíží se k nim však asympoicky) zn. že jak práce L ak kapiál K jsou podsané ( essenial ) výrobní fakory. Nejsou-li příomny v kladných množsvích nelze dosáhnou ( ani při jakkoliv velkém nasazení osaních výrobních fakorů ) kladné hodnoy produkce. 4
3. LEONTIEFova produkční funkce Tao produkční funkce nese pojmenování po významném americkém ekonomu a ekonomeru ruského původu Vasiliji Leonjevovi (v anglické ranskripci psáno Wassilly Leonieff) a předsavuje vůči Cobb-Douglasově produkční funkci zcela proikladný případ (v ekonomické realiě však nijak řídký). Tímo způsobem vyjádřená výrobní echnologie nepřipouší žádnou subsiučnos mezi výrobními fakory. Mluvíme o zv. pevných echnických koeficienech jinými slovy o výrobním procesu kerý racionálně probíhá pouze při pevných proporcích nasazení výrobních fakorů. Tao produkční funkce má méně obvyklý var : Min.K;.L (3.4) [ ] kde > > jsou vhodné kladné konsany. Leonjevova produkční funkce je na první pohled charakerisická ím že její izokvany mají podobu dvou hran (levé a dolní) neomezených pravoúhelníků přičemž syčný rohový bod je právě jediným bodem účinné podmnožiny (produkční množiny vsupů) a jeho souřadnice udávají právě požadovaný poměr nasazení výrobních fakorů. Pro různé hodnoy produkce leží yo vrcholy na polopřímce vycházející z počáku jejíž směrnice je rovna podílu. Obdobný obraz obdržíme u vícefakorové Leonjevovy funkce s ím že geomerická podoba závisí na poču fakorů (v případě ří fakorů je účinný bod rohem neomezeného kvádru). Žádná možnos subsiuce mezi výrobními fakory se ani zde nepřipouší. Případ pevných výrobních koeficienů je především na mikroúrovni a v siuacích kdy jde o modelování echnických či chemických vzahů dosi běžný. V mealurgii je řada výrobních procesů charakerisická ím že se připouší nanejvýš neparná variabilia použiých kovů/prvků: výroba nerezových ocelí složení speciálních sliin (dělovina zvonovina). Podobně se chová celá řada chemických procesů u kerých dosažení žádoucí chemické sloučeniny (sliiny) (krakování ropy výroba barviv apod.) vyžaduje dodržení přesného poměru v nasazení výrobních fakorů. Podobně ve zlanicví máme sice možnos směšova cenné kovy (sříbro zlao paladium plaina) v širokém rozmezí vzájemných proporcí avšak zvyklosi rhu vyžadují dodržení radičních poměrů (např. 4 8 nebo -karáové zlao). Probereme posupně ekonomické charakerisiky Leonjevovy produkční funkce: a) Mezní produkiviy práce m L a kapiálu m K určíme liminím způsobem výpoču derivací. Plaí : L K Min[ ( K + K ); L] Min[ K; L] (3.5A) lim K K K pro případ že minima se nabývá v hodnoě L pro případ že minima se nabývá v hodnoě K 5
(3.5B) [ K; ( L + L) ] Min[ K; L] Min lim L L L pro případ že minima se nabývá v hodnoě K pro případ že minima se nabývá v hodnoě L Jediným bodem kde jsou obě mezní produkiviy kladné je edy zmíněný vrchol pravoúhelníka (zde plaí rovnos L K ). b) Koeficieny pružnosi produkce odvodíme snadno: vzhledem ke kapiálu mají var K K (3.6A) ek mk pro případ že minima se nabývá v hodnoě K jinak. a vzhledem k práci L L (3.6B) el ml pro případ že minima se nabývá v hodnoě L jinak. c) Účasi výrobních fakorů na produkci určíme sejně lehce : (3.7) vk mk K K a podobně vl ml se sejnými omezeními na minimalizující fakor v produkční funkci jako omu je u mezních produkivi (v opačných případech je příslušná fakorová účas nulová). d) Vyšeření povahy výnosů z rozsahu výroby u dvoufakorové Leonjevovy produkční funkce přináší eno výsledek : F λ K λl MinλK; λl λmink; L λ F KL (3.8) ( ) [ ] [ ] ( ) z čehož je parné že funkce je lineárně homogenní a udíž má konsanní výnosy z rozsahu. e) Mezní míru subsiuce r rovněž snadno určíme z definičního vzahu m L r mk kerý nabývá jedinou sandardní hodnou v bodě kde plaí K L. V jiných bo- dech izokvan je hodnoa r buď nulová (na horizonálním úseku izokvany kde i velmi malý přírůsek množsví kapiálu nelze subsiuova jakkoliv velkým množsvím práce) nebo naopak nekonečně velká (na svislém úseku izokvany sačí neparné množsví práce ke zvýšení produkce což není dosažielné samosaně žádným konečným množsvím kapiálu). Fakory mají vlasnos zv. limiovaelnosi o níž bude pojednáno v čási [4]. f) Konečně velikos pružnosi subsiuce s vyvodíme následovně : V rohu nekonečného pravoúhelníka je mezní míra subsiuce. Vyjdeme li z ohoo bodu pak jakýkoliv posun po izokvaně implikuje vždy skokoviou změnu r a o buď na hodnou + (směr nahoru) nebo na hodnou (směr doprava). Proo dr + a udíž dr / r +. Výraz d ln( K/ L) bude mí při pohybu po izokvaně vycházeje z éhož bodu naproi omu vždy konečnou velikos neboť poměr fakorů se mění spojiě. Proo bude s. Výpočení vzorce obsahující výpočy derivací (ač je Leoniefova funkce lineárně homogenní) nelze k určení s použí neboť parciální derivace na izokvaně neexisují (jsou různé zleva/zprava resp.shora/zdola). r 6
3.3 ACMS (ARROW - CHENER- MINHAS - SOLLOWova) produkční funkce ACMS-funkce byla vyvinua za účelem posihnou obecný var funkce vykazující vlasnos konsanní pružnosi subsiuce. Z ohoo důvodu bývá aké časo označována jako CES-funkce ( z anglického Consan Elasiciy of Subsiuion ). Too označení však není zcela přesné neboť - jak jsme viděli - i Cobb-Douglasova funkce má zmíněnou vlasnos. Zejména v 6. a 7.leech.soleí byl níže uvedený funkční var produkční funkce předměem zevrubného eoreického zkoumání a jako alernaiva ke Cobb- Douglasově funkci mnohokrá nasazen v empirickém ekonomerickém výzkumu. V původním zápise pro dva výrobní fakory práce L a kapiál K má var ( ) (3.) γ K + ( ) přičemž každý z jejích ří paramerů γ má svůj specifický význam omezení přípusných hodno i pojmenování. - paramer γ (vždy > ) udává vzah mezi měříky jednoek výrobních fakorů a produkce a nazývá se proo paramer úrovně - paramer ( siuovaný do inervalu ( ) ) separuje vliv každého výrobního fakoru samosaně a je pojmenován disribuční paramer a - paramer je nazýván subsiuční paramer neboť jím (a jen jím) je určena velikos pružnosi subsiuce s. Teno paramer může nabýva přípusných hodno ze sjedno- +. cení inervalů ) ( ) Přes poněkud komplikovanější definiční výraz lze na ACMS-funkci jednodušeji pohlíže jako na váženou sřední hodnou (dvou výrobních fakorů K L ) supně σ. Položíme-li oiž σ a zapíšeme-li jako Q lze pak výraz (3.) zapsa jako γ σ (. L ) σ σ (3.) Q.K + ( ) Přiažlivos ohoo funkčního varu vyplývá mj. ze skuečnosi že ACMS-funkce předsavuje (spolu se svými krajními případy ve vzahu k subsiučnímu parameru : - + či liminím případem ) úplnou řídu funkčních varů vykazujících konsanní pružnos subsiuce s během pohybu po kerékoliv izokvaně. Jedničková hodnoa éo charakerisiky u Cobb-Douglasovy funkce je oiž z hlediska převažující náročnosi subsiuce (a o nejen práce kapiálem) příliš příznivá. Ve skuečnosi probíhá proces nahrazování jednoho fakoru druhým (a vice versa) obížněji. Konkréně pro hodnou nabývá ACMS-funkce var prosé lineární produkční funkce (jak parno po přímém dosazení). ACMS funkční var produkční funkce byl poprvé publikován auory K.Arrow H.B.Chenery B.Minhas a R. Sollow v článku Capial-Labor Subsiuion and Economic Efficiency uveřejněném v Review of Economics and Saisics (96). 7
(3.3) F( KL).K +. L kde γ. > γ.( ) >. Dále lze ukáza obousranným liminím přechodem pro že při ACMS funkce přechází v Cobb-Douglasovu funkci konkréně varu (3.4) ( ) F KL γ K Konečně v liminím případě + nabývá ACMS-funkce var určený Leoniefovou produkční funkcí F KL Min.K;.L. (3.5) ( ) [ ( ) ] Je edy pozoruhodné že ACMS-funkce pokrývá jak subsiuční případy ak i ypicky nesubsiuční komplemenární siuaci. Nejprve se přesvědčíme že ACMS-var předsavuje skuečně produkční funkci. To opě provedeme posupným vyšeřením Shephardových axiomů což je neparně obížnější než u Cobb-Douglasovy funkce: plaí lim K (S) Pro ( ) Jesliže naopak ( + ) lim K K + lim γ KL + + K + i lim ( ) L + F( KL) lim KL + poom aké i ( ) lim L + / ( K + ( ) ) a proo + což však opě znamená že Spojiým dodefinováním hodnoou lze edy pro oba inervaly zajisi planos podmínky F ( ). Funkce (3.) je zřejmě konečná pro konečná K L a spojiá v celém definičním oboru z čehož vyplývá splnění axiomů (S) a (S5). K ověření (S3) sačí ukáza že ACMS-funkce je rosoucí v obou argumenech : pak K je rosoucí v K a shodně ( ) je rosoucí v Je-li oiž ( ) z kde K + ( ) L. Jesliže opačně ( + ) poom L. Následně složená funkce γ ( ) z L je rosoucí v K i K je klesající v K a obdobně ( ) je klesající v L v důsledku čehož funkce γ z kde z ( K + ( ) ) je opě rosoucí v K i L. Pro ověření (P4) použijeme vyšeření proporcionální úměrnosi (s nějakým kladným λ ): (3.6) 8
( ) [ ( ( ) )] γ λ K + L λf ( KL) ( λk λl) γ ( λk ) + ( ) ( λl) F Z oho jednak plyne že pro všechny kombinace vsupů poskyující kladný výnos (j. pro < < jde o x a pro > o x > ) plaí lim F( x) + jednak je ím x + prokázána lineární homogenia ACMS-funkce. Kvazikonkávnos (P6) kerá se přímo dokazuje (zejména pro více výrobních fakorů) nesnadno zde vyplývá z konkávnosi ACMS-funkce. Vyšeřujeme-li konečně planos podmínky (P7*) zjišťujeme že pro vybrané z inervalu ( + ) nejsou účinné podmnožiny E ( ) ohraničené. Pro < < se ao slabina neprojevuje avšak z empirických šeření (a následně odhadnuého ) vyplývá že ypičější je právě opačný případ. Navíc s ohledem na o že rozsah kladných hodno je nepoměrně bohaší než inerval záporných není v omo směru přednos ACMS produkční funkce před Cobb- Douglasovým varem nijak zřeelná. Nyní se budeme věnova vyčíslení podsaných ekonomických charakerisik u ohoo ypu dvoufakorové produkční funkce (za výrobní fakory ve shodě s (3.3) považujeme práci L a kapiál K ) : a) mezní produkiviy práce γ (3.7) m K [ K + ( ) ] [ K ] K resp. kapiálu L (3.7B) K + ( ) m L γ [ ] [( ) ] získáme snadno derivováním přičemž získané výrazy lze dále upravi s využiím definičního vzahu γ K + na [ ( ) ] (3.8AB) m K resp. m K ( ) L ω L + + ( ) ω b) účasi fakorů na produkci následně přijímají yo výrazy (3.9A) vl ml pro účas práce + ( ) ω ( 3.9B) vk mk K pro účas kapiálu. ( ) ω + 9
Jak je parné jak mezní produkiviy ak fakorové účasi závisí na poměru fakorů L K i na všech paramerech ACMS funkce. S ohledem na přípusné hodnoy paramerů ACMS-varu jsou kladné. c) koeficieny pružnosi produkce obdržíme sejně snadno.vzhledem ke kapiálu dosaneme K (3.3A) ek mk ( ) ω + elasiciu vzhledem k práci pak jako L (3.3B) el ml + ( ) ω Také koeficieny pružnosi jak je vidě závisí na poměru fakorů ω L K. d) Charakerizaci výnosů z rozsahu výroby jsme v podsaě již podali v průběhu vyšeřování axiomu (S4). Konsaovali jsme že ACMS-produkční funkce vykazuje konsanní výnosy z rozsahu výroby v důsledku homogeniy. supně (bez ohledu na velikosi úrovňového a subsiučního parameru). m e) mezní míra subsiuce je dána podílem L a jako aková má vyjádření mk + K ( ) ω (3.3B) r. L ( ) ω + keré může bý dále zjednodušena na výraz (3.3A) ω + r závisející opě na podílu ω L K proměnlivém ve fakorovém prosoru. f) pružnos subsiuce lze urči opě vhodným obraem snadněji než z definičního vzahu (3.): Vyjděme ze vzahu (3.3A) pro mezní míru subsiuce kerý zlogarimujeme. Dosaneme (3.3) lnr ( + ) lnω + ln Po uplanění rozkladu diferenciálu máme (3.33A) dlnr lnr d lnω ( + ) lnr ln ( + ) lnω + dln
Člen d ln předsavuje jak je zřejmé změnu konsany (při pohybu fakorů K lnr L ve fakorovém prosoru) a je edy roven nule. Člen na sejné sraně ( +) lnω (3.33 A) je roven neboť de o derivaci levé srany (3.3) podle prvního členu v oméž výrazu napravo. Po omo zjednodušení máme dlnr d( + ) lnω neboť ( +) je konsanní hodnoa a změna fakorů se odehrává oliko v ω. Odud dále plyne lnr (3.34) + lnω Elasicia subsiuce s je z definice rovna reciproké hodnoě levé srany (3.33A) akže plaí : (3.35) s + s edy u ACMS-produkční funkce závisí jen na velikosi subsiučního parameru. Poznámka Vzhledem k omu že CD-funkční var je speciálním případem ACMS-funkce v limiě pro lze pozorova plnou shodu i v hodnoách s kde rovněž pro dává výraz (3.35) velikos. Obdobně při + (případ Leonjevova funkčního varu) plaí lim s a + konečně lim s + odpovídá případu nekonečně dobré subsiuce fakorů u lineární produkční funkce.
3.4 Produkční funkce ypu ADDILOG ( 3.36) K + L může bý rovněž jako funkce vysihující výrobní proces z určiých hledisek akcepována. 3 Obvykle se přiom přijímá zúžení přípusných hodno paramerů na: > ( ) zejména s ím cílem aby ekonomické charakerisiky (co do znamének a směrů vlivu) nabývaly realisických hodno. U funkčního varu (3.36) snadno spočeme: a) mezní produkiviy výrobních fakorů : (3.37) m K K m L L odkud vyplývá pořeba omezení hodno paramerů do výše vymezených inervalů mají-li bý mezní produkiviy kladné a mí klesající přírůsky. b) Výrazy pro koeficieny pružnosi produkce nabývají varu K K L L (3.38AB) ek mk resp. el ml c) účasi výrobních fakorů na produkci (3.38AB) v K K v L L což rovněž musí bý kladné veličiny. m e) Mezní míru subsiuce r odvozenou jako podíl L neboli mk (3.39) L r K f) Elasiciu subsiuce spočeme enokrá podle obecného výpočového vzorce (3.8) Zřejmě F K mk L ml což dosazeno do (3.8) vede k výrazu s L + K K F ( ) K F KK ( ) L F LL Ten může bý poněkud zjednodušen např. na var ( 3.4) F ( ) ( K L ) ( ) L ( K + ) s K u + v u + v L 3 Uvedený var přímého ADDILOGu poprvé použil ( byť jako užikovou funkci ) Holanďan Hendrik S. Houhakker v r. 96 v článku Addiive preferences viz Economerica Vol.8/No (96).
v němž u K v L. g) Pokud jde o výnosy z rozsahu výroby je zřejmé že k dosažení homogeniy je u ADDILOGu nuná resrikce γ po níž dosaneme ( ) ( ) ( ) λk λl λk + λl λ K λ L F +. Dále vidíme že funkce může bý homogenní jen při splnění podmínky kde je příslušný supeň homogeniy. 3