ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE

ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE Přednáška č. 9 MODELOVÁNÍ PROUDĚNÍ TEKUTIN s aplikacemi v biomechanice a ve vnitřní aerodynamice Ing. Jan Vimmr, Ph.D.

Obsah přednášky:. Základní pojmy. Prodění tektin a jeho rozdělení 3. Laminární izotermické prodění nestlačitelné Newtonovy kapaliny 4. Aplikace v biomechanice - prodění krve D a 3D modely femorálního a koronárního bypass - kázky vybraných nmerických výsledků 5. Prodění stlačitelné nevazké a tepelně nevodivé tektiny 6. Nmerické řešení modelové skalární lineární hyperbolické PDR v D 7. Aplikace transsonické a spersonické prodění nevazké tektiny v kanále 8. Laminární prodění stlačitelné Newtonovy tektiny 9. Ukázky vybraných aplikací laminárního prodění ve vnitřní aerodynamice

Základní pojmy Všechny látky se skládají z atomů, které se sdržjí v molekly. Thé látky veliké mezimoleklární síly pravidelné spořádání atomů do krystalické mřížky (krystalická strktra látky) mezi moleklami, popř. atomy v krystalické mřížce působí síly přitažlivé (kohézní) a odpdivé (adhézní) částice kmitají kolem rovnovážné polohy Tektiny látky, které nemají vlastní tvar a přijímají tvar nádoby, v níž se nacházejí kapaliny vytvářejí kapky (voda, olej, ), nemění samovolně svůj objem (molekly netvoří stálo mřížk, ale působí mezi nimi ještě přitažlivé síly, které způsobjí sodržnost kapaliny), jso obecně málo stlačitelné, při pohyb (prodění) klado odpor proti pohyb, tj. jso vazké plyny ( i páry) sodržnost mezi moleklami téměř nlová molekly plyn se snaží vyplnit prostor, v němž se nacházejí jso rozpínavé vzdálenosti mezi moleklami plynů jso velké oproti kapalinám jso stlačitelné, málo vazké.

Vedle reálné (sktečné) tektiny, která je stlačitelná a vazká, zavádíme pojem ideální (dokonalá) tektina, která je nestlačitelná a nevazká, tj. bez vnitřního tření. Ideální tektin chápeme jako aproximaci reálné tektiny. Tektin považjeme za spojité prostředí kontinm Síly působící na tektin vnitřní (dány vzájemným působením atomů a molekl) vnější (vyvolány vnějším silovým polem) objemové (setrvačné síly, např. odstředivá síla, gravitační síly) plošné (tlakové síly, tečné (smykové) síly, kapilární síly) Viskozita tektin projevje se při prodění reálných tektin odporem proti pohyb první formlace viskozity: Newton (687) potvrzena experimentálně

Představme si prodění ve vodorovném směr x podél desky jako pohyb tenkých vrstev tektiny o tlošťce dy, rovnoběžných s desko. Takové prodění ve vrstvách se nazývá laminární. Na desce je rychlost tektiny nlová (lpívá na ní). Rychlost ostatních vrstev se zvětšje se vzdáleností od desky (brzdící účinek desky se zmenšje). Jednotlivé vrstvy tektiny vzájemně po sobě klozají dochází k jejich vzájemném posv. Mezi vrstvami působí smykové (třecí) síly vyvolané viskozito tektiny. tgα dx dy d dy Tečné (smykové) napětí τ [ Pa] od viskozity je podle Newtona rčeno vztahem d τ η dy

d dy gradient rychlosti Úvod do modelování v mechanice (UMM) [ s ] Zavádí se pojem: kinematická viskozita v kolmém směr na pohyb tektiny η dynamická viskozita tektiny [ Pa s kg m s ] η ν [ m s ] Viskozita tektin je definována Newtonovým vztahem za předpoklad laminárního prodění. Dynamická a kinematická viskozita závisí na teplotě tektiny. U plynů roste viskozita s teploto. U kapalin s rostocí teploto viskozita klesá. ρ. Newtonské kapaliny vyhovjí Newtonov zákon viskozity Nenewtonské kapaliny závislost smykového napětí τ na gradient rychlosti d / dy nelze vyjádřit Newtonovým vztahem (např. krev při prodění nízkými rychlostmi v menších arteriích se chová jako psedoplastická kapalina)

Prodění tektin a jeho rozdělení Prodění pohyb tektiny Hydrodynamika naka o prodění kapalin Aerodynamika (vnitřní, vnější) naka o prodění plynů Rozdělení prodění podle fyzikální vlastnosti tektin:. prodění ideální kapaliny a) potenciální prodění (nevířivé) částice tektiny se pohybjí po křivočarých trajektoriích tak, že se vůči pozorovateli neotáčejí kolem vlastní osy b) vířivé prodění částice tektiny se vůči pozorovateli natáčejí kolem vlastních os

. prodění reálných (vazkých) tektin a) laminární částice tektiny se pohybjí ve vrstvách (lamina vrstva) b) trblentní částice tektiny mají kromě postpné rychlosti trblentní (flktační) rychlost, jíž se přemisťjí po průřez promíchávají se. podle kinematických hledisek:. spořádání prodění v prostor a) prodění třírozměrné (prostorové) rychlost (x, y, z) b) prodění dvorozměrné (rovinné) rychlost (x, y) c) prodění jednorozměrné (x). rozložení rychlosti v prostor a) rovnoměrné prodění vyvinté prodění v trbici b) nerovnoměrné prodění rychlost prodění v prostor se mění, např. obtékání profil v jeho blízkosti

3. Závislost prodění na čase a) stálené (stacionární) prodění veličiny prodového pole (rychlost, tlak, hstota, teplota) se nemění s časem b) nestálené (nestacionární) prodění veličiny prodového pole se mění s časem Částice tektiny elementární objem tektiny vymezený zavřeno kontrolní plocho Při popis pohyb tektiny můžeme žít dva přístpy: Lagrangeův popis sledjeme pohyb rčité částice tektiny (analogie k vyšetřování pohyb hmotného bod v mechanice thých těles) Elerův popis sledjeme prodění tektiny v rčitém místě (např. změn rychlosti a tlak). Tímto místem protékají různé částice tektiny, což vede ke složitějším vyjádření zrychlení částice tektiny ve sledovaném místě. Tento přístp se v mechanice tektin žívá častěji. Výchozí systém rovnic popisjících prodění reálných tektin ve 3D je vyvozen ze základních fyzikálních zákonů zachování:

a) zákon zachování hmotnosti rovnice kontinity ( rce) b) zákon zachování hybnosti pohybové Navierovy Stokesovy rovnice (3 rce) c) zákon zachování celkové energie energetická rovnice ( rce) Systém pěti nelineárních PDR Rozdíl v kinematice laminárního a trblentního prodění plyne z časových průběhů rychlostí Laminární prodění nedochází k promíchávání sosedních vrstev tektiny Trblentní prodění časově střední hodnota rychlosti s trblentní (flktační) složka rychlosti (je malá, časově proměnná velikostí i směrem) trblence je nahodilý jev, který se vyhodnocje statickými metodami

Řešení laminárního prodění jednodšší ve srovnání s trblentním platňje se Newtonův vztah pro smykové napětí obecně pomocí nmerických metod (metoda konečných objemů nebo metoda konečných diferencí) speciální případy lze řešit exaktně (analyticky) viz dále Výskyt laminárního prodění prodění v úzkých plochých kanálech (malé průtokové rychlosti), např. zařízení hydralických mechanismů a strojů těsnící mezery, ložiska s hydrodynamickým mazacím filmem, prodění krve v arteriích

Laminární izotermické prodění nestlačitelné Newtonovy kapaliny Nestlačitelná kapalina hstota kapaliny Izotermické prodění Newtonovy kapaliny dynamická viskozita kapaliny Matematický model prodění ve 3D je tvořen sostavo rovnic () (4): - rovnice kontinity () - pohybové () Navierovy Stokesovy (3) rovnice (4) kde t je čas, p je tlak, je vektor rychlosti kapaliny a je vektor prostorových sořadnic. Nelineární systém PDR () (4) obecně nazýváme systém Navierových-Stokesových (NS) rovnic pro izotermické prodění nestlačitelné Newtonovy kapaliny. konst ρ konst η 0 z w y v x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z w y w x w z p z w y vw x w t w z v y v x v z vw y p y v x v t v z y x z w y v x p x t ρ η ρ ρ η ρ ρ η ρ ( ) T w v,, v ( ) T z y x,, y

Omezíme se dále na stálené (plně vyvinté) prodění mezi dvěma rovnoběžnými nekonečně širokými a nekonečně dlohými deskami ve vodorovném směr. Vertikální vzdálenost desek je H. Prodění ve vodorovném směr 0, v w 0. Dosadíme do rovnice kontinity () 0 ( y, z), neboť ve směr x je složka rychlosti x konstantní. Prodění je stálené (stacionární) 0 t Dosazením vedených předpokladů do NS rovnic () (4) dostáváme: p p p η konst x y z 0 x x p 0 p není fnkcí y y p p( x) p 0 p není fnkcí z z

Jedná se o rovinné prodění (v rovinách rovnoběžných s rovino xy jso stejné rychlostní poměry) y rychlost není fnkcí z Konečně dostáváme ( ) dp dx d η konst, p p( x) dy (5) Rovnice (5) představje matematický model nejjednodššího laminárního prodění nestlačitelné Newtonovy kapaliny.

Příklad: Coetteovo prodění prodění způsobené poze pohybem horní desky dp rychlostí U konst 0 dx Rovnice (5) přejde na tvar: d 0, okrajové podmínky: dy Řešení: U y H ( y) ± ( H ) 0 ( H ) ± U (6) Coetteovo prodění je způsobené pohybem jedné stěny a rychlostní profil je lineární. Dále rčíme hodnot smykového napětí na stěně (WSS wall shear stress): d U τ w η y ± H ± η dy H

Příklad: Prodění způsobené poze tlakovým gradientem dp 0, kdy obě desky jso fixovány. dx Řešíme rovnici (5): dp d η konst, okrajové podmínky: dx dy dp Protože konst, msí být rozložení dx tlak ve směr osy x přímkové. ( H ) ( H ) 0 0 Kapalina prodí ve směr tlakového spád p > Tedy: p p p p l dp dx ( x) x p p l p < 0

Řešení: Úvod do modelování v mechanice (UMM) dp ( y) ( H y ) ( H y ) p η dx η l p (7) Rychlostní profil je v tomto případě, kdy prodění je způsobeno poze tlakovým gradientem, parabola. Rychlost je nezávislá na poloze x ve všech průřezech je stejné parabolické rozložení rychlosti plně vyvinté prodění. d dp H dp H p p 0 y y 0, ( y 0) max dy η dx η dx η l 3 Průtočné množství (průtočný objem) Q m s kapaliny v mezeře definjeme vztahem: Q y da (8) ( A) Pro střední rychlost ( ) [ ] Q avg kapaliny v mezeře platí: avg ( y) da A A ( A) avg H Hb H η dp H dp ( H y ) b dy avg max dx 3 dx η max 3 (9)

Smykové napětí na stěně mezery: τ w d dy dp y dx η y± H y ± H ± H dp dx H l η H ( p p ) τ w max (0)

Příklad: Zobecněné Coetteovo prodění - prodění v mezeře je způsobeno kromě tlakového gradient dp / dx 0 také pohybem horní desky rychlostí U konst. dp d Řešíme rovnici (5): η konst, okrajové podmínky: dx dx ( ) ( H ) 0 ( H ) ± U Řešení: dp U y η dx H ( ) y ( H y ) ± () Rychlostní profil je v případě zobecněného Coetteova prodění sečtením rychlostních profilů (6) a (7) z předchozích příkladů

Pro střední rychlost avg platí: avg ( A) dp U y ( H y ) ± bdy H ( y) da A Hb η dx H H U max 3 avg ± () Smykové napětí na stěně mezery: d y dp U dp τ w η y± H η ± y ± H τ w ± H ± dy η dx H dx η H U (3)

Příklad: Ustálené laminární prodění Newtonovy kapaliny ve vodorovné válcové trbce s vnitřním poloměrem R a s nedeformovatelnými stěnami V tomto případě platí: p η konst y z x Řešení tohoto problém provedeme ve válcových sořadnicích x, r, ϕ, kde r y z r ( y, z), v 0 0, w ( ) Rovnováha sil působících na vytkntý objemový element prodící tektiny: dp r dp τ π r p π r p π r 0 τ π r π r τ dx dx dp Tečné napětí τ je podle (4) přímo úměrné poloměr r pro konst dx d Dosadíme do (4) Newtonův vztah τ η a dostaneme: dr d r dp, okrajové podmínky: ( R) 0 dr dx η p > p dp dx p p < 0 (4)

Řešení: Úvod do modelování v mechanice (UMM) dp ( r) ( R r ) ( R r ) p 4η dx 4η l p (5) Rychlostní profil je v tomto případě rotační paraboloid. Maximální rychlost max v trbce je: ( r 0) max R dp 4η dx R p 4η l p Průtočný objem (průtok kapaliny trbicí): Q ( A) ( r) da R 0 ( r) π r dr Q 4 π R 8η dp dx (6) Vztah (6) odvodil francozský lékař Poiseille (840), který stdoval prodění krve v žilách. Nezávisle na něm odvodil tento vztah německý fyzik Hagen (839) vztah (6) pro průtočný objem označjeme jako Hagenova-Poiseilleova formle. Z této formle plyne, že největší vliv na změn prodění kapaliny má poloměr trbice. Má-li být průtočný objem kapaliny trbicí konstantní, tak %-ní zmenšení poloměr trbice vyžadje 4 %-ní přírůstek tlakového spád. Př.: Hypertenze (vysoký krevní tlak) je vyvolán zúžením krevních cév.

avg Pro střední rychlost kapaliny v trbici platí: Q R dp avg avg max π R 8η dx (7) d R dp Smykové napětí na stěně trbice: τ w η r R (8) dr dx Smyková rychlost Newtonovy kapaliny na stěně trbice: d R dp 4avg γɺ r R s dr η dx R [ ] Rozběhová dráha laminárního prod kapaliny v trbici Vstp do trbice kapalina má rychlostní profil odpovídající dokonalé kapalině. Vzdálenost x r, na níž se vyvine rychlostní profil ve tvar paraboloid, se nazývá rozběhová dráha laminárního prod a platí pro ní Bossinesqův vztah x Rρ r avg 0, 065 Re, Re, R η (9) Re kde je Reynoldsovočíslo. Ze vztah (9) je zřejmé, že k stálení rychlostního profil dojde daleko od vstpního průřez v krátkých trbkách se laminární rychlostní profil nevyvine, a proto nich Hagenův Poiseilleův vztah neplatí.

Aplikace v biomechanice Úvod do modelování v mechanice (UMM) prodění krve v cévách přemostěných bypassovým štěpem Kardiovasklární choroby (infarkt, mrtvice) jso příčino 50% předčasných úmrtí v ČR Ateroskleróza kornatění tepen vlivem sazování cholesterol ve vnitřní vrstvě cévy zúžení průsvit cévy snížení průtok krve nedostatečné prokrvení tkáně (ischemie). V případě srdce (ischemická choroba srdeční) může tento stav vést k infarkt myokard (lokálním odmření srdečního sval). její výskyt ovlivněn lokálním charakterem prodění, nejčastěji v místech větvení cévy (bifrkace)

při 50 70% zúžení průsvit cévy (stenóza) léčba medikamenty a úpravo životosprávy při větší stenóze balónková angioplastika (nechirrgický zákrok) aplikace bypassových štěpů (chirrgický zákrok) syntetické (polymery) atologní (žilní, arteriální) stehenní (femorální) bypass kyčelní bypass sekvenční aortokoronární bypass dvojitý aorto-koronární bypass Sekvenční bypass vícenásobné přemostění nativní artérie

Základní typy anastomóz (spojení mezi bypassovým štěpem a arterií) end-to-end end-to-side side-to-side Životnost bypassových štěpů je omezena. Příčiny selhání: ztráta průchodnosti implantovaného bypassového štěp v oblasti anostomózy při hojení naršené cévní stěny chirrgickým zákrokem Ztrát průchodnosti bypassového štěp, resp. proces naršení cévní stěny ovlivňje lokální charakter prodění (výskyt recirklačních zón, nízké hodnoty smykového napětí na stěně WSS, )

Snaha o lepší pochopení sovislostí mezi ztráto průchodnosti bypassových štěpů a lokálním charakterem prodění vede k dlohodobém výzkm této problematiky. Proto je žádocí zabývat se matematickým modelováním a nmerickými simlacemi prodění krve v modelech bypass a ověřovat nmerické výsledky experimentálně s cílem optimalizace tvar bypassových štěpů vedocí k prodložení jejich životnosti.

Ukázka vybraných nmerických výsledků prodění krve idealizovanými modely bypass Výpočetní sítě D modelů bypass (se stenózo, s oklzí, dvocestný): Výpočetní sítě 3D modelů bypass (s oklzí, se stenózo):

D koronární bypass s oklzí (Re30, D6,8mm, α45 ) profily rychlostí D koronární bypass se stenózo (Re30, D6,8mm, α45 ) profily rychlostí

D koronární bypass s oklzí (Re30, D6,8mm, α45 ) izo čáry rychlosti D koronární bypass se stenózo (Re30, D6,8mm, α45 ) izo čáry rychlosti

D koronární bypass se stenózo (Re30, D6,8mm, α0 ) profily rychlostí D koronární bypass se stenózo (Re30, D6,8mm, α45 ) profily rychlostí D koronární bypass se stenózo (Re30, D6,8mm, α 70 ) profily rychlostí

D koronární bypass se stenózo (Re30, D6,8mm, α0 ) izo čáry rychlosti D koronární bypass se stenózo (Re30, D6,8mm, α45 ) izo čáry rychlosti D koronární bypass se stenózo (Re30, D6,8mm, α 70 ) izočáry rychlosti

D koronární bypass se stenózo (Re30, D6,8mm, α0, d(št ěp)0,5d) profily rychlostí D koronární bypass se stenózo (Re30, D6,8mm, α0, d(št ěp)d) profily rychlostí D koronární bypass se stenózo (Re30, D6,8mm, α 0, d(št ěp),5d) profily rychlostí

D koronární bypass se stenózo (Re30, D6,8mm, α0, d(št ěp)0,5d) izočáry rychlosti D koronární bypass se stenózo (Re30, D6,8mm, α0, d(št ěp)d) izočáry rychlosti D koronární bypass se stenózo (Re30, D6,8mm, α 0, d(št ěp),5d) izočáry rychlosti

Časové průběhy průtočného množství odpovídají pravé koronární artérii a jso získány z in-vivo měření provedených průměrného pacienta za klidových podmínek. Patrné střídání fází srdečního tep - systoly a diastoly. D koronární bypass se stenózo (Re30, D6,8mm, α0, d(št ěp)0,5d) izočáry rychlosti D koronární bypass se stenózo (Re30, D6,8mm, α0, d(št ěp)d) izočáry rychlosti D koronární bypass se stenózo (Re30, D6,8mm, α 0, d(št ěp),5d) izočáry rychlosti

D koronární bypass s dvocestným štěpem (Re30, D6,8mm, α45 ) profily rychlostí

D koronární bypass s dvocestným štěpem (Re30, D6,8mm, α45 ) izo čáry rychlosti

3D koronární bypass s oklzí (Re30, D6,8mm, α45 ), newtonská kapalina 3D koronární bypass s oklzí (Re30, D6,8mm, α 45 ), nenewtonská kapalina 3D femorální bypass s oklzí (Re5, D3,3mm, α 45 ), newtonská kapalina 3D femorální bypass s oklzí (Re5, D3,3mm, α 45 ), nenewtonská kapalina

3D model reálného sekvenčního aorto-koronárního bypass získaného ze snímků počítačové tomografie (CT) ve spolpráci s Kardiochirrgickým oddělením FN v Plzni

Prodění stlačitelné nevazké a tepelně nevodivé tektiny Matematický model prodění je ve 3D tvořen sostavo rovnic () (5): - rovnice kontinity - pohybové Elerovy rovnice - energetická rovnice ρ t x E t ( ρ) ( ρv) ( ρw) [( E p) ] [ ( E p) v] [ ( E p) w] x y ( ) T kde t je čas, ρ je hstota tektiny, p je tlak, v, v, w je vektor rychlosti tektiny, y ( x, y, z) T je vektor prostorových sořadnic a E je celková energie vztažená na jednotk objem prodící tektiny. Nelineární systém PDR () (5) obecně nazýváme konzervativní systém Elerových rovnic pro prodění stlačitelné nevazké a tepelně nevodivé tektiny. z y 0 ( ρ) ( ρ ) p ( ρv) ( ρw) t ( ρv) ( ρv) ( ρv ) p ( ρvw) t ( ρw) ( ρw) ( ρvw) ( ρw ) t x x x x y y y y z z z p z 0 0 0 z 0 () () (3) (4) (5)

Konzervativní systém Elerových rovnic () (5) ve 3D můžeme vyjádřit v kompaktním tvar nelineární vektorovo PDR kde w f g h ( ρ, ρ, ρv, ρw, E) T w t f x ( w) ρ, ρ p, ρv, ρw, ( E p) ( w) ρv, ρv, ρv p, ρvw, ( E p) v ( w) ρ, ρw, ρvw, ρw p, ( E p) ( w) g( w) h( w) y je vektor konzervativních proměnných T ( ) T ( ) T ( w) z 0 (6) kartézské složky nevazkého tok Celková energie E vztažená na jednotk objem prodící tektiny: ( ) [ ] E ρe ρ ε v w kg m s kde ε je měrná vnitřní energie systém. (7) Konzervativní systém Elerových rovnic () (5) obsahje více neznámých než rovnic 6 neznámých: ρ,, v, w, p, E a 5 rovnic.

Termodynamické úvahy tektina jako ideální plyn Prodění stlačitelné tektiny je provázeno termodynamickými změnami prodícího média systém Elerových rovnic doplníme o termicko stavovo rovnici p p ( ρ,t ) definjící termodynamické vlastnosti važované tektiny. vyjadřjící měr- Bdeme potřebovat ještě kaloricko stavovo rovnici no vnitřní energii systém. ( p ρ ) ε ε, V řadě aplikací lze stlačitelno tektin považovat za ideální plyn. R p ρ r T, r M (8) r je měrná plynová konstanta, pro vzdch: r 87 J kg K R 8, 34 J mol K je niverzální plynová konstanta M je relativní moleklová hmotnost, pro vzdch: M 8, 96 kg mol c p > cv > 0, c p konst, cv konst... měrné tepelné kapacity při konstantním tlak a při konstantním objem Mayerův vztah: r c p c v (9)

c p Úvod do modelování v mechanice (UMM) Poissonova adiabatická konstanta: Pro vzdch (dvoatomový plyn) platí: κ r r, cv κ κ c p κ > (0) c κ,4 Měrná vnitřní energie ε a měrná enthalpie h: v ε c p T v κ ρ () () h c p T κ p κ ρ (3)

Rychlost zvk v ideálním plyn a Machovo číslo Rychlost zvk a další veličina charakterizjící rozdíl mezi dynamiko stlačitelných a nestlačitelných tektin. Z akstiky je známo, že šíření zvk je provázeno podélným vlněním vzdšniny. Je to postpné zhšťování a zřeďování prostředí, které se šíří z místa zdroje v klových vlnoplochách. Šíření zvk v ideálním plyn považjeme za děj izoentropický (adiabatický), tj. bez výměny tepla s okolím. Zvk je způsoben malo tlakovo porcho vycházející z místa zdroje příčina změny hstoty změna stav plyn rychlost zvk je fnkcí stavových veličin. Rychlost zvk v prodícím plyn rychlost šíření malé tlakové porchy relativně k rychlosti prodícího plyn. a κ r T Okamžitý místní stav prod stlačitelné tektiny charakterizje Machovo číslo Ma (bezrozměrová veličina) Ma v a κ p ρ v a w (4) (5)

Prodění stlačitelné nevazké tektiny v D je tedy popsáno rovnicemi: w t w ( w) f x 0 ( ) T T ( ρ, ρ, E), f ( w) ρ, ρ p, ( E p) E ρ c v T p κ E ρ ( ) Vztah pro tlak (9) získáme dosazením rovnice ( ) do vztah pro energii (8). (6) (7) (8) (9) Konzervativní systém Elerových rovnic v D (6) můžeme vyjádřit ve tvar: ( ) w f w w w w A( w) 0 t w x t x f kde ( ) ( w) A w je Jacobiova matice nevazkého tok f ( w ). w (0)

Nmerické řešení zjednodšeného skalárního model v D Uvažjme počáteční úloh pro skalární lineární hyperbolicko PDR v D t a x ( x, 0 ) ( x) 0 0, a R, x R, t > 0 ( ) ( 0 ) R ( ) ( ) kde x,t : R ; je řešení rovnice () a 0 x C R R je počáteční podmínka. x at konst Úvod do modelování v mechanice (UMM). je rovnice charakteristické přímky (tzv. charakteristiky), podél níž se šíří veličina konstantní rychlostí Nmerické řešení počáteční úlohy () () provedeme pomocí metody konečných diferencí. Rovnoměrná kartézská síť: M {[ x,t ]; x i x, i 0, ±, ±,...;t n t, N } n i n i n a 0 () () x i x i x > 0 t n t n t > 0 krok v prostorové sořadnici krok v časové sořadnici

Rozvineme fnkci definovano na n-téčasové hladině do Taylorovyřady v okolí bod x: 3 3 ( ) ( ) ( x,tn ) x ( x,tn ) x ( x,tn ) 4 x x,tn x,tn x O ( x ) (3) 3 x! x 3! x Podobně rozvineme fnkci do Taylorovy řady v okolí bod x: ( x,t t ) x i 3 3 ( x,t) t ( x,t) t ( x,t) i Dále rozvineme fnkci definovano v bodě do Taylorovy řady v čase: ( x x,t ) ( x,t ) ( x,t t) ( x,t) i Úvod do modelování v mechanice (UMM) ( x ) i ( x,t) i x,t n ( x ) i t t t t x,t n 3 3 ( x,tn ) x ( x,tn ) x ( x,tn ) 4 O( x ) n n x 3 x! x 3! x! t ( x,t) ( O t ) i i 3! t i 3... (4) (5)

Odečtením rozvoje (4) od (3) dostaneme centrální diferenční formli drhého řád přesnosti x, která aproximje první derivaci fnkce podle x: Sečtením rozvojů (3) a (4) dostaneme centrální diferenční formli drhého řád přesnosti x, která aproximje drho derivaci fnkce podle x: Z rozvoje (5) vyjádříme dopředno diferenční formli prvního řád přesnosti O t, která aproximje první derivaci fnkce x,t podle čas t : ( ) Přesné řešení [ x, ] O( ) ( x,t n ) ( ) ( x x,tn ) ( x x,tn ) x,t O( x ) x x ( x,t ) x bodech po částech konstantní fnkcí i t n Úvod do modelování v mechanice (UMM) n t n O( ) ( ) ( x,t) ( x,t) i ( x x,tn ) ( x,tn ) ( x x,tn ) O( x ) x ( x,t t) ( x,t) i t i O ( t) počáteční úlohy () () je aproximováno v síťových U n i ( x,t ) ( i x,n t) i n ( ) i x,t n (6) (7) (8) (9)

Aproximacíčasové a prostorové derivace v rovnici () pomocí vztahů (8) a (6) v síťových bodech dostaneme: Úvod do modelování v mechanice (UMM) [ xi, t n ] ( x,t ) ( x,t ) ( x,t ) ( x,t ) i i n i n a t x n i a t x [ ], ( x,t ) ( x,t ) ( x,t ) ( x,t ) i n i n i n i a t x n n ( U U ) n n Ui U i i i n n respektive (30) Jedná se o Elerovo FTCS explicitní diferenční schéma pro nalezení nmerického n řešení U ve vnitřních bodech [ x i i, t n ] sítě. Pozor! Toto schéma je ale nestabilní a proto pro nmerické řešení nepožitelné. podmíněně stabilní (a tdíž pro nmerickéřešení požitelné) nmerické schéma n dostaneme tak, že za U i v (30) dosadíme aritmetický průměr: n n n Ui Ui Ui

Laxovo-Friedrichsovo (LF) schéma (3) Jedná se o explicitní diferenční schéma prvního řád přesnosti v prostor i čase, které je podmíněně stabilní s podmínko stability (3) Dále odvodíme Laxovo-Wendroffovo (LW) schéma. Uděláme Taylorův rozvoj fnkce v čase kam dosadíme a dostaneme ( ) ( ) n i n i n i n i n i U U x t a U U U a x t ( ) ( ) ( ) 3 t O t t t t x,t t x,t ( ) ( ) ( ) 3 t O x t a x t a x,t t x,t x a t x a x t a t, x a t ( ) t x,t ( ) t x, O Úvod do modelování v mechanice (UMM)

Aproximací prostorových derivací pomocí centrálních diferenčních formlí (6) a (7) drhého řád přesnosti získáme v síťových bodech [ xi, t n ] : a t a t ( xi,tn ) ( xi,tn ) [ ( xi,tn ) ( xi,tn )] [ ( xi,tn ) ( xi,tn ) ( xi,tn )], x x a t x n n a t n n n ( U U ) ( U U U ) n n Ui Ui i i i i i Jedná se o explicitní diferenční schéma drhého řád přesnosti v prostor i čase O( x, t ), které je podmíněně stabilní s podmínko stability x t (34) a Poznámka: a) Uvedená diferenční schémata (3) a (33) složí pro nalezení nmerického řešení n U i ve vnitřních bodech [ xi, t n ] kartézské sítě. V bodech na hranici výpočtové oblasti msíme splnit předepsané okrajové podmínky. b) Obecně diferenční schémata prvního řád přesnosti (např. LF schéma (3)) jso příliš disipativní a potlačjí amplitdy řešení. Naopak schémata drhého řád přesnosti (např. LW schéma (33)) nejso disipativní, ale způsobjí silné oscilace v řešení, které moho vést až k nestabilitě výpočt. x (33)

Příklad: Řešte transportní PDR Počáteční podmínky: Okrajové podmínky: Úvod do modelování v mechanice (UMM) x 0... x ( x, 0) ( x, 0) 0 t, a x ( x, 0) 0, ( 0,t) 0 L... ( L,t) 0 0 0 x 50 tj. v čase t 0 je vygenerovaná porcha (počáteční podmínka), která se šíří v D trbici délky L zavřené na obo koncích., x 50 00 sin π, 60 50 x 0 0 x 400 a 50 ms

Řešení: t t LF schéma (3): σ a 0,5 LW schéma (33): σ a 0, 5 x x x 5, t 0, 005 t 0, 5s t 0, 5s

Aplikace transsonické prodění v rovinném GAMM kanále (0% výdť) Bezrozměrové okrajové podmínky: pinlet, ρinlet, α inlet 0, potlet 0, 737 Ma inlet 0, 675 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0. 0 0 0.5.5.5 3 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0. Ma 0 0 0.5.5.5 3.3.. 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4.4. Ma lower wall 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 p x 0 4 0 9 8 0.3 7 0. 0. 6 5 0 0 0.5.5.5 3 0.8 0.6 Ma pper wall 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 T 30 300 90 80 0.4 70 0.4 0.3 0. 0. 60 50 0 0.5.5.5 3 0 0 0.5.5.5 3 40

Aplikace spersonické prodění v rovinném GAMM kanále (0% výdť) Bezrozměrové okrajové podmínky:, v 0,, Ma, 65 inlet ρ inlet inlet inlet 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 Ma..8.6.4. 0.3 0. 0.8 0. 0.6 0 0 0.5.5.5 3 3.5 4.5 Ma lower wall Ma pper wall.5 0.5 0 0.5.5.5 3 3.5 4

Aplikace spersonické prodění v rovinném GAMM kanále (4% výdť) Bezrozměrové okrajové podmínky:, v 0,, Ma, 65 inlet ρ inlet inlet inlet 0.9 0.8 0.7 Ma.9.8 0.6.7 0.5 0.4 0.3.6.5 0..4 0..3 0 0 0.5.5.5 3 3.5 4. Ma lower wall Ma pper wall.8.6.4. 0 0.5.5.5 3 3.5 4

Laminární prodění stlačitelné Newtonovy tektiny Matematický model prodění ve D je popsán nelineárním systémem Navierových- Stokesových (NS) rovnic zapsaných v kompaktním tvar vektorovo PDR w f ( w) g( w) fv ( w) gv ( w) t x y x y T kde w ρ, ρ, ρv, E je vektor konzervativních proměnných f g f g ( ) ( ) T ( v) ( w) ρ, ρ p, ρ v, ( E p) ( w) ρv, ρ v, ρv p, ( E p) V V ( w) 0, τ xx Úvod do modelování v mechanice (UMM), τ xy, τ xx vτ k T x T ( w) 0, τ yx, τ yy, τ yx vτ yy k y xy T T T kartézské složky nevazkého tok kartézské složky vazkého tok ρ v ( ) T ( ) T t je čas, je hstota tektiny,,v je vektor rychlosti tektiny, y x, y je vektor prostorových sořadnic, T je teplota a k je sočinitel tepelné vodivosti tektiny. Pro celkovo energii E vztaženo na jednotk objem prodící tektiny platí: E ρ ε ( v ) (36) (35)

Tlak p je dán v případě ideálního plyn vztahem p ( κ ) E ρ ( v ), který získáme dosazením rovnice () do (36). Poissonova konstanta κ pro dvoatomový plyn je κ,4 Pro složky tenzor vazkých napětí platí: τ η 3 xx x v y τ η y Sočinitel tepelné vodivosti tektiny k lze vyjádřit ve tvar c p Úvod do modelování v mechanice (UMM) τ xy yx η 3 yy x kde je měrná tepelná kapacita při konstantním tlak a Pr je Prandtlovočíslo. V případě laminárního prodění platí Pr 0,7. κ Dynamická viskozita tektiny η se často ve výpočtech važje konstantní. Pomocí Stherlandova vztah lze vyjádřit její závislost na teplotě η 3, 457 v x 6 ( T ) 0 T T 0 k τ c p η Pr v y (37)

Aplikace laminární transsonické prodění plyn v rovinném model těsnící mezery ve šrobovém kompresor bez vstřikování hlavní rotor vedlejší rotor 3 komora pracovního prostor 5 važovaná těsnící mezera D model těsnící mezery mezi hlavo zb hlavního rotor a skříní kompresor

H 350 µ m, p / p 0, otlet inlet Izočáry Machova čísla Šlíry Gradienty hstoty ve směr osy x

H 00 µ m, p / p 08, otlet inlet Izočáry Machova čísla Šlíry (ÚT AVČR) Gradienty hstoty ve směr osy x

Aplikace laminární transsonické prodění plyn ve D kaskádě DCA8% profilů Bezrozměrové okrajové podmínky: pinlet, ρinlet, αinlet, potlet 0, 48, v wall 0 periodické okrajové podmínky Re 6450, Ma 0, 744 ref inlet Zobrazeny izočáry Machova čísla ve dvo různých časových okamžicích.4.4.5..5. 0.5 0.5 0 0.8 0 0.8 0.5 0.6 0.5 0.6 0.4 0.4.5 0..5 0. 0.5 0 0.5.5.5 3 3.5 4 0.5 0 0.5.5.5 3 3.5 4

Aplikace laminární sbsonické prodění plyn v symetrickém rovinném kanál se dvěma DCA8% profily Bezrozměrové okrajové podmínky: potlet / pinlet 0, 675, ρinlet, αinlet 0, v wall 0 symetrické okrajové podmínky Re 58, Ma 0, 7 ref inlet Zobrazeny izočáry Machova čísla ve dvo různých časových okamžicích 0.9 0.9 0.8 0.8.5 0.7.5 0.7 0.6 0.6 0.5 0.5 0.5 0.4 0.5 0.4 0 0.3 0 0.3 0. 0. 0.5 0.5.5.5 3 0. 0.5 0.5.5.5 3 0.