Floppy logika - užitečný nástroj pro popis a řízení systémů

Floppy logika - užitečný nástroj pro popis a řízení systémů Pavel Provinský i Abstrakt: Floppy logika je nový nástroj pro popis a řízení systémů. Může být použita např. při řízení křižovatek či autonomních vozidel, může ale i předpovídat počasí. Floppy logika je založena na prověřené a úspěšné fuzzy logice, ale, v porovnání s ní, má několik velkých výhod: Floppy logika může konzistentně pracovat s přesnými čísly, rozděleními pravděpodobnosti, fuzzy množinami i přesnými množinami současně. Floppy logika je kompatibilní s teorií pravděpodobnosti, tudíž můžeme používat všechny pravděpodobnostní nástroje. Všechny výroky, které jsou ekvivalentní ve standardní dvouhodnotové logice, jsou ve floppy logice ekvivalentní také. Všechny logické operace jsou jednoznačné. Není zde možnost výběru z mnoha různých triangulárních norem a konorem jako ve fuzzy logice. Klíčová slova: floppy logika, floppy množina, fuzzy logika, teorie pravděpodobnosti, řízení systémů Abstract: Floppy Logic is a new mathematical tool for systems control and description. It can be used e.g. to control of crossroads or autonomous vehicles, but it can also predict weather. Floppy logic is based on proven and successful fuzzy logic, but, compared to it, the new theory has several great advantages: Floppy logic can consistently work with exact numbers, probability distributions, fuzzy sets and exact sets together. Floppy logic is compatible with probability theory, so we can use all probabilistic tools. All statements, which are equivalent in standard bivalent logic, are equivalent in floppy logic too. All logical operations are unambiguous. There is not choice of many different triangular norms and co-norms as in fuzzy logic. Keywords: floppy logic, floppy set, fuzzy logic, probability theory, system control 1. Úvod Mnohé systémy lze dobře popisovat přirozeným jazykem s vágními pojmy. Např.: Když už dlouho svítí červená a fronta vozidel je dlouhá, zapni zelenou. Nebo: Když jedeš rychle a před tebou je prudká zatáčka, zpomal. Pokud chceme popis systému matematizovat, pak si s vágními pojmy jako: červená svítí dlouho, fronta je dlouhá, jedeš rychle, zatáčka je prudká velmi dobře poradí fuzzy logika. Hlavní myšlenkou fuzzy logiky je částečné patření prvků do množiny. Např.: Fronta dlouhá 20 aut je dlouhá na 100%, fronta dlouhá 10 aut jen na 90%, fronta dlouhá 2 auta není dlouhá vůbec. Tedy tyto fronty patří do množiny fronta je dlouhá na 100%, 90%, 0%. Takovým neostrým množinám, do kterých mohou prvky patřit jen částečně, se říká fuzzy množiny. i Mgr. Pavel Provinský, ČVUT FD, Ústav aplikované matematiky, Na Florenci 25, 110 00 Praha 1, Czech Republic, pavel.provinsky@fd.cvut.cz. 1

Obr. 1 Funkce příslušnosti dvou fuzzy množin Částečné patření prvků do fuzzy množiny je znázorněno tzv. funkcí příslušnosti dané množiny. Funkce příslušnosti pro množiny Fronta je krátká a Fronta je dlouhá mohou vypadat např. jako na obr. 1. Mnohé systémy lze také dobře popisovat pomocí nástrojů teorie pravděpodobnosti, např. pomocí pravděpodobnostních rozdělení. Pokud bychom však chtěli při popisu systému používat zároveň vágní pojmy i pravděpodobnostní rozdělení, zjistíme, že to je problém. Fuzzy logika a teorie pravděpodobnosti totiž nejsou kompatibilní. Nezbývá tedy než vyzkoušet nějakou ad hoc metodu. Anebo se naučit floppy logiku. Floppy logika zachovává výhody fuzzy logiky i teorie pravděpodobnosti a umí konzistentně pracovat s přesnými čísly, přesnými množinami, rozděleními pravděpodobnosti i fuzzy množinami zároveň. V tomto článku si povíme o historii, vzniku a hlavních myšlenkách floppy logiky a ukážeme si dva příklady. V prvním předvedeme logickou práci s floppy logikou, v druhém práci s jednoduchým systémem. 2. Historie První článek o fuzzy logice napsal Lotfi Zadeh v roce 1965 [8]. V tomto článku zavedl pojmy fuzzy množiny a funkce příslušnosti a navrhl dokonce dva způsoby, jak by se pro fuzzy množiny daly zobecnit průnik a sjednocení. Brzy následovaly způsoby další (např. [4]). Postupně vznikl úzus, že jako zobecnění průniku a sjednocení může být použita kterákoli (spojitá) triangulární norma a konorma. Toto pojetí se poprvé objevilo v knize [1]. Je jen na tom, kdo fuzzy logiku používá, jakou konkrétní triangulární normu a konormu si pro svou aplikaci vybere. Myšlenka propojit fuzzy logiku a teorii pravděpodobnosti není nová. Již Zadeh v článku [10] z roku 1968 zavádí pravděpodobnost fuzzy množiny. Tato definice je již velmi podobná definici z floppy logiky [7]. Přesto spojení obou teorií vede ke sporu [3]. Jiným zajímavým pokusem o spojení obou teorií je teorie možnosti Lotfi Zadeha [9], Didiera Duboise a Henriho M. Pradea [2], kde jsou jevům připisována dvě čísla možnost a nutnost. 2

Předzvěstí floppy logiky je článek [6] z roku 2013, kde autoři řeší otázku, které triangulární normy a konormy ve spojení se Zadehovou definicí pravděpodobnosti splňují Kolmogorovy axiomy teorie pravděpodobnosti. Na podzim roku 2013 položil můj kolega Ivan Nagy otázku, zda je možné ve světě fuzzy množin najít strukturu, která by splňovala všechny Kolmogorovy axiomy. Hovořili jsme o tom, jaké by to bylo hezké, kdyby se tímto způsobem podařilo fuzzy logiku a teorii pravděpodobnosti propojit. Tak začala vznikat floppy logika, která se posléze stala tématem mé dizertační práce. Teoretické základy floppy logiky jsou položeny v článku [7] z roku 2017. 3. Základní myšlenky floppy logiky Hlavní myšlenkou floppy logiky je najít takovou strukturu ve světě fuzzy množin, která by splňovala všechny Kolmogorovy axiomy teorie pravděpodobnosti. Co je k tomu potřeba? V první řadě musíme jevy reálného světa popisovat nikoli přímo fuzzy množinami, ale floppy množinami. Floppy množiny jsou normální množiny, jejichž prvky jsou fuzzy množiny. Jedná se vlastně o podobný krok, jaký svého času učinil Kolmogorov ve své teorii pravděpodobnosti [5]. Dále je potřeba splnit těchto pět předpokladů: 1. Počet primárních fuzzy množin, kterými popisujeme nějakou veličinu, je konečný nebo spočetný. 2. Funkce příslušnosti těchto primárních fuzzy množin nabývají hodnot od 0 do 1. 3. Součet funkcí příslušnosti všech těchto primárních fuzzy množin je všude roven jedné. 4. Veličina, kterou popisujeme, má nějaké pravděpodobnostní rozdělení P. 5. Všechny funkce příslušnosti primárních fuzzy množin jsou měřitelné vzhledem k míře P. Pak již struktura primárních fuzzy množin splňuje všechny axiomy Kolmogorovy teorie pravděpodobnosti. To znamená, že při práci s fuzzy, resp. floppy množinami můžeme používat všechny výdobytky teorie pravděpodobnosti. Podrobnější vysvětlení najdeme v [7]. Základní překladový slovníček mezi světem fuzzy množin a teorií pravděpodobnosti pak vypadá takto: Primární fuzzy množina Primární fuzzy množiny A i popisují veličinu A. Jednoprvková množina {A i } je elementárním jevem ve smyslu teorie pravděpodobnosti. Floppy množina Floppy množina je jevem ve smyslu teorie pravděpodobnosti. Floppy množiny budeme značit velkým tučným písmenem. Pravděpodobnostní míra R Floppy logika předpokládá existenci nějaké pravděpodobnostní míry P a zavádí novou, obecnější, pravděpodobnostní míru. Aby nedocházelo k záměně, budeme ji značit R. Funkce příslušnosti floppy množiny Funkce příslušnosti μ B floppy množiny B je součtem funkcí příslušnosti A i B. Funkce příslušnosti μ B může být chápána jako podmíněná 3

pravděpodobnost R(B x). Tato podmíněná pravděpodobnost může být často interpretována jako pravděpodobnost, že nějaký expert určí, že nastal jev B, jestliže přesná hodnota veličiny A je x. Funkce příslušnosti floppy množin budeme značit tučným symbolem μ. 4. Ukázka logické práce s floppy logikou Výroky ve floppy logice modelujeme floppy množinami a ty jsou dány svými funkcemi příslušnosti. Můžeme výrokům tedy přiřazovat funkce příslušnosti. Mějme teplotu vody popsanou třemi fuzzy množinami vyznačenými na obr. 2. Předpokládejme, že je splněno pět předpokladů floppy logiky. Obr. 2 Funkce příslušnosti pro fuzzy množiny Studená, Vlažná, Teplá Zkusme najít funkci příslušnosti nějakého složitějšího výroku. Např.: Voda je teplá právě tehdy, když je studená. Zapíšeme: A B. Nejprve převeďme náš výrok na nějaký ekvivalentní, ve kterém figurují jen konjunkce, disjunkce a negace. Např.: (A B) ( A B). Výrok převedeme na floppy množinu tak, že konjunkci nahradíme průnikem, disjunkci sjednocením, negaci doplňkem a elementární výroky příslušnými floppy množinami: (A B) (A B ), ({T} {S}) ({V, S} {T, V}), {V}, {V}. Funkce příslušnosti našeho výroku je tedy rovna funkci příslušnosti fuzzy množiny V = Vlažná. To je přesně výsledek, který bychom měli očekávat. Ekvivalence A a B totiž znamená, že A a B platí nebo neplatí zároveň. Zároveň studená i teplá voda není, ale zároveň neteplá a nestudená být může. Právě tehdy, když je vlažná. Všimněme si nyní pozoruhodné věci. Vůbec totiž nezáleží na tom, na který ekvivalentní výrok náš původní výrok převedeme. Vždy obdržíme stejný výsledek. (Což ve fuzzy logice neplatí.) 4

V tomto smyslu jsou výroky, které jsou ekvivalentní ve standardní dvouhodnotové logice, ekvivalentní i ve floppy logice. Zkusme např. tento postup: A B, (A B) (B A), (B A) (A B), (B A ) (A B ), ({S} {V, S}) ({T} {T, V}), {V, S} {T, V}, {V}. 5. Použití floppy logiky na jednoduchém systému 5.1. Zadání Je krásně, chceme se jít koupat. Podíváme se na oblohu a podle množství mraků se snažíme odhadnout, jestli voda v jezeře bude teplá nebo studená. Naše odhadování má tato pravidla: Pokud je jasno, bude voda na 90% teplá a na 10% studená. Pokud je polojasno, bude voda na 60% teplá a na 40% studená. Pokud je zataženo, bude voda na 20% teplá a na 80% studená. Vstupní veličinou je tedy procento oblačnosti, kterou popisujeme třemi fuzzy množinami: A 1 = Jasno, A 2 = Polojasno, A 3 = Zataženo. Výstupní veličinou je teplota vody, kterou popisujeme dvěma fuzzy veličinami: B 1 = Teplá, B 2 = Studená. Příslušné fuzzy množiny mohou vypadat např. tak, jak je znázorněno na obr. 3. Na obrázku též vidíme hustoty pravděpodobnosti. To je ono rozdělení pravděpodobnosti, které předpokládáme ve čtvrtém předpokladu. Splněny jsou i ostatní předpoklady, můžeme tedy použít floppy logiku. 5.2. Fuzzifikace vstupních veličin Vyjdeme před dům a podíváme se na oblohu. Odhadneme, že je pokryta mraky na 30%. Jaká je pravděpodobnost, že by nějaký expert prohlásil oblohu za jasnou, polojasnou nebo zataženou? K výpočtu použijeme zákon úplné pravděpodobnosti: R({A i }) = R({A i } x = 0,3) R(x = 0,3) + R({A i } x 0,3) R(x 0,3) = = μ {Ai }(0,3) 1 + R({A i } x 0,3) 0 = 0,5 = μ {Ai }(0,3) = ( 0,5). 0 5

Tím jsme získali pravděpodobnosti vstupních floppy množin. Obr. 3 Funkce příslušnosti a hustoty pravděpodobnosti pro veličiny Pokrytí oblohy oblaky a Teplota vody 5.3. Aplikace pravidel systému Nyní se budeme snažit získat pravděpodobnosti výstupních floppy množin. Nejprve si můžeme všimnout, že můžeme mluvit o dvou různých pravděpodobnostech výstupních veličin: Apriorních, které počítáme bez znalosti vstupních veličin a posteriorních, které počítáme již s touto znalostí. Posteriorní pravděpodobnosti budeme značit indexem P. Posteriorní pravděpodobnosti výstupních floppy množin snadno spočteme, pokud procenta z našich tří pravidel odhadování napíšeme do matice: 0,5 R P 0,9 0,6 0,2 ({B j }) = R({B j } {A i }) R({A i }) = ( 0,1 0,4 0,8 ) ( 0,5) = ( 0,75 0,25 ). 0 Pravděpodobnost, že voda bude teplá, je tedy 75%. 5.4. První poznámka Když si postup promyslíme, zjistíme, že jsme opět použili zákon úplné pravděpodobnosti, což je standardní prostředek teorie pravděpodobnosti. Využíváme tedy skutečnost, že ve floppy logice můžeme pravděpodobnostní nástroje používat. 6

5.5. Druhá poznámka Všimněme si blíže matice: 0,9 0,6 0,2 R({B j } {A i }) = ( 0,1 0,4 0,8 ). Ta interpretuje naše tři odhadovací pravidla jako šest podmíněných pravděpodobností. Takováto práce s podmíněnými pravděpodobnostmi má mnohem širší aplikační možnosti než striktní IF THEN pravidla, která najdeme ve fuzzy logice. 5.6. Třetí poznámka Mnoho aplikací floppy logiky má strukturu: fuzzifikace vstupních veličin aplikace pravidel systému defuzzifikace výstupních veličin. V našem příkladě jsme však vystačili již s pravděpodobností floppy množiny. Defuzzifikaci bychom potřebovali, pokud by například naše otázka zněla: Jaká je průměrná odhadovaná teplota vody? Tedy chceme výsledek nikoli jako pravděpodobnost floppy množiny, ale jako bodový odhad, čili číslo. 5.7. Defuzzifikace výstupních veličin Odpovídáme tedy na otázku, jaká je průměrná odhadovaná teplota vody. Defuzzifikaci začneme tím, že spočteme posteriorní hustotu pravděpodobnosti teploty vody. K výpočtu použijeme zákon úplné pravděpodobnosti a Bayesovu větu: 2 f P (x) = f(x {B 1 }) R P ({B 1 }) + f(x {B 2 }) R P ({B 2 }) = = R({B 1 } x) f(x) R({B 1 }) = R P ({B 1 }) + R({B 2 } x) f(x) R P ({B R({B 2 }) 2 }) = μ B1 (x) f(x) 0,75 + μ B1 (x) f(x) dx = μ B 1 (x) f(x) 0,3737 Apriorní a aposteriorní hustota jsou znázorněny na obr. 4. 0,75 + μ B 2 (x) f(x) 0,25. 0,6263 μ B2 (x) f(x) 0,25 = μ B2 (x) f(x) dx I I I 1 Obr. 4 Apriorní a aposteriorní hustota pravděpodobnosti 2 Dosadíme funkce příslušnosti znázorněné na obrázku 3 dole a normální rozdělení se střední hodnotou 22 a směrodatnou odchylkou 2,5 z téhož obrázku. 7

Z hustoty pravděpodobnosti již spočteme střední hodnotu standardním způsobem: E(x) = x f P (x) dx = 23,23. Odhadujeme tedy, že voda má přibližně 23,2 C. 6. Závěr V tomto článku jsme představili floppy logiku. Krátce jsme se věnovali historii a základním myšlenkám této teorie. Na dvou příkladech jsme se pokusili předvést, jak je práce s ní jednoduchá a efektivní. Literatura [1] DUBOIS, Didier a Henri M PRADE. Fuzzy sets and systems: theory and applications. New York: Academic Press, 1980. ISBN 01-222-2750-6. [2] DUBOIS, Didier a Henri PRADE. Possibility Theory. WEBSTER, John G., ed. Wiley Encyclopedia of Electrical and Electronics Engineering [online]. Hoboken, NJ, USA: John Wiley & Sons, 2001, 1999-12-27 [cit. 2018-09-21]. DOI: 10.1002/047134608X.W3502. ISBN 047134608X. Dostupné z: http://doi.wiley.com/10.1002/047134608x.w3502 [3] GAINES, Brian R. Fuzzy and probability uncertainty logics. Information and Control [online]. 1978, 38(2), 154-169 [cit. 2018-09-21]. DOI: 10.1016/S0019-9958(78)90165-1. ISSN 00199958. Dostupné z: http://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/s0019995878901651 [4] GILES, R. Łukasiewicz logic and fuzzy set theory. International Journal of Man-Machine Studies [online]. 1976, 8(3), 313-327 [cit. 2018-09-21]. DOI: 10.1016/S0020-7373(76)80003- X. ISSN 00207373. Dostupné z: http://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/s002073737680003x [5] KOLMOGOROV, Andrej Nikolajevič. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Berlin: Verlag von Julius Springer, 1933. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 2. Band, Nr. 3. [6] MONTES, Ignacio, Javier HERNÁNDEZ, Davide MARTINETTI a Susana MONTES. Characterization of continuous t-norms compatible with Zadeh's probability of fuzzy events. Fuzzy Sets and Systems [online]. 2013, 228, 29-43 [cit. 2018-09-21]. DOI: 10.1016/j.fss.2012.11.020. ISSN 01650114. Dostupné z: http://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/s0165011412005052 [7] PROVINSKÝ, Pavel. Floppy logic - a younger sister of fuzzy logic. Neural Network World [online]. 2017, 27(5), 479-497 [cit. 2018-09-11]. DOI: 10.14311/NNW.2017.27.025. ISSN 23364335. Dostupné z: http://nnw.cz/obsahy17.html#27.025 [8] ZADEH, L.A. Fuzzy sets. Information and Control [online]. 1965, 8(3), 338-353 [cit. 2018-09-21]. DOI: 10.1016/S0019-9958(65)90241-X. ISSN 00199958. Dostupné z: http://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/s001999586590241x [9] ZADEH, L.A. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility. Fuzzy Sets and Systems [online]. 1978, 1(1), 3-28 [cit. 2018-09-21]. DOI: 10.1016/0165-0114(78)90029-5. ISSN 01650114. Dostupné z: http://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/0165011478900295 [10] ZADEH, L.A. Probability measures of Fuzzy events. Journal of Mathematical Analysis and Applications [online]. 1968, 23(2), 421-427 [cit. 2018-09-21]. DOI: 10.1016/0022-247X(68)90078-4. ISSN 0022247X. Dostupné z: http://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/0022247x68900784 8