25.z-6.tr ZS 2015/2016

Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace Typové členy 2 25.z-6.tr ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc.

TEORIE ŘÍZENÍ třetí část tématu předmětu pokračuje. A oblastí typových členů (prvků) pro řešení VR - ZS 2010/2011

Základy teorie řízení Základní schema zpětnovazebního regulačního obvodu. regulační odchylka u porucha regulovaná veličina w e Regulátor x soustava y žádaná hodnota - u y signál zpětné vazby člen zpětné vazby VR - ZS 2010/2011

Základy teorie řízení Při řešení průmyslových pohonů, různých strojů, techno-logických a výrobních linek se v oblasti regulačních a řídicích problémů musí jednat o řešení dynamických stavů systém či stroj nebo jeho část je (v časovém rozvinutí) vždy v dynamicky (tj. v závislosti na čase a parametrech systému) definovaném stavu. Ten se popisuje pomocí základních matematických vztahů, který mi jsou v tomto případě diferenciální rovnice.

Základy teorie řízení Aby řešení diferenciálních rovnic (čili rovnic popisujících časové závislosti chování regulované soustavy a jejího regulátoru to je ta dynamika v matematickém slova smyslu) nebylo složitým a čistě matematickým řešením, ale bylo přístupné široké obci regulačních techniků a inženýrů, používá se tzv. Laplaceova transformace. Její postupy, platnost použití i přenos výsledků zpět do reálu - z kterého vznikly popisující diferenciální rovnice a jejich následný převod do Laplaceova tvaru jsou jednoznačně definovány a v oblastech matematických teorií i aplikačních oblastech velmi dobře známy.

Základy teorie řízení Využívají se dva tvary: PŘENOSOVÁ FUNKCE (PŘENOS) Laplaceovou transformací vyjádřená diferenciální rovnice (Laplaceovými obrazy veličin) popisující časové (dynamické) vztahy mezi výstupní a vstupní veličinou systému. FREKVENČNÍ PŘENOSOVÁ FUNKCE Fourierovou frekvenční transformací vyjádřená diferenciální rovnice (Fourierovy frekvenční obrazy veličin) popisující frekvenčně závislé vztahy mezi výstupní a vstupní veličinou systému popisuje rychlost s jakou může systém reagovat na dynamické podněty.

Laplaceova transformace obecný matematický postup Principem Laplaceovy transformace je náhrada zápisu časové derivace funkce jedné proměnné v diferenciálních rovnicích pomocí operátoru D a to ve tvaru, který není součinem: f = D f (t) kde D... je lineární diferenciální operátor časové funkce. Z matematických teorií popisu Laplaceovy transformace vyplývá, že k matematickému popisu a k použití Laplaceovy transformace u reálných a skutečně existujících soustav je možné přistupovat velice formálně to neznamená neznat příslušné principy a teorie - formálně pak úprava vypadá následovně

Laplaceova transformace obecný matematický postup Napřed ale trochu specifikace zmíněných podmínek: Musí být splněny podmínky - pro funkci f (t) bude platit: f (t) je jednoznačná a pro t < 0 identicky nulová (v čase před t = 0 jakoby! neexistovala) f (t)... je v každém konečném intervalu po částech hladká (spojitá) f (t)... je exponenciálního tvaru, tzn., že existuje takové číslo (hranice konvergence) c > 0 pro které platí: e -pt * f (t) < M kde M... je konečná kladná konstanta a dále, že následující integrál existuje pro všechna p, pro které platí: Re p > c.

Laplaceova transformace obecný matematický postup - takže formálně pak úprava vypadá následovně Pro diferenciální rovnici (zachycující časově proměnnou skutečnost systému prezentované jednoduchou rovnicí) ve tvaru: neboli y + a * y + b * y = f d 2 y / dt 2 + a * dy / dt + b * y = f (t) Laplaceův tvar dává šanci pro matematicky jednoduché způsoby řešení s nutností výsledek převést zpětnou Laplaceovou transformací zpět do časové oblasti zde už to tak jednoduché není ale Laplaceův tvar umožňuje hledat celou řadu důležitých dílčích výsledků.

Laplaceova transformace obecný matematický postup zápis pomocí operátoru D bude ve tvaru: (D 2 + a * D 1 + b ) * y = f a řešení nespočívá ve vydělení funkce mnohočlenem v závorce, ale převedením do tvaru s Laplaceovým operátorem p

Laplaceova transformace obecný matematický postup Pokud budou derivace nahrazeny součtem nekonečně mnoha tlumených funkcí exponenciálních ve tvaru: f (t) = F (p) * e at * dp kde a... konstanta pak operátor D bude představovat násobení konstantou a.

Laplaceova transformace obecný matematický postup Pak lze také vyjádřit derivace časové funkce pomocí integrálu závislého na parametru p vztahem: f (t) = F (p) * e -pt * dp a tedy následnou derivací za integrálem přejde do (časového) tvaru: f (t) = D f (t) = p * F (p) * e -pt * dt.

Laplaceova transformace obecný matematický postup

Laplaceova transformace obecný matematický postup Za splnění výše uvedených podmínek platí, že Laplaceova transformace splňující uvedené podmínky je jednojednoznačná a že každé funkci f(t) náleží jediný obraz F(p) a naopak. Laplaceova transformace je tedy přiřazením obrazu F(p) každé funkci f(t). Aplikace je možná pouze pro určité systémy a za uvedených podmínek (přesně definovaných). Pro běžnou praxi jsou knižní formou k dispozici tabulky vzájemného převodu různých funkcí originálu f(t) a jeho Laplaceova obrazu F(p).

Laplaceova transformace obecný matematický postup Důležité vlastnosti - funkcí a jejich obrazů patří: linearita transformace pro: f(t) = a 1 * f 1 (t) + a 2 * f 2 (t) + a 3 * f 3 (t) +... + a n * f n (t) existují jednotlivé obrazy a tedy i: F(p) = a 1 * F 1 (p) + a 2 * F 2 (p) + a 3 * F 3 (p) +... + a n * F n (p) a platí to i obráceně pro zpětnou Laplaceovu transformaci.

Laplaceova transformace obecný matematický postup Důležité vlastnosti - funkcí a jejich obrazů patří: Obraz funkce násobené konstantou pro: f 1 (t) = c * f (t) pro obraz F(p) bude platit: F 1 (p) = L [ c * f (t) ] = c * F (p)

Laplaceova transformace obecný matematický postup Důležité vlastnosti - funkcí a jejich obrazů patří: Obraz posunuté funkce pro: f 1 (t) = 0 když t < d a d > 0, pak bude: pro t d f 1 (t) = f (t d ) to znamená, že funkce f 1 (t) je posunuta o čas d vpravo (směrem rostoucího času) a.

Laplaceova transformace obecný matematický postup Obecné vztahy a rovnice. - dynamické (časové) chování je popsáno diferenciální rovnicí b n *dx n (t)/dt n + + b 2 *dx 2 (t)/dt 2 + b 1 *dx(t)/dt + b 0 *x(t) = = a m *dy m (t)/dt m + + a 2 *dy 2 (t)/dt 2 + a 1 *dy(t)/dt + a 0 *y(t) - převod do tvaru Laplaceovy transformace b n * p n * X(p) + + b 2 * p 2 * X(p) + b 1 * p * X(p) + b 0 * X(p) = = a m * p m * Y(p) + + a 2 * p 2 * Y(p) + a 1 * p * Y(p) + a 0 * Y(p)

Laplaceova transformace obecný matematický postup - přenosová funkce jako poměr Laplaceova obrazu výstupního signálu k Laplaceově obrazu vstupního signálu - funkce F (p) je racionální, ryze lomená, pak platí její rozklad na podíl mnohočlenů v čitateli a ve jmenovateli pro m n : Y(p) F(p) = ------------ b m * p n + + b 2 * p 2 + b 1 * p + b 0 = ------------------------------------------------- X(p) a n * p m + + a 2 * p 2 + a 1 * p + a 0 F(p) = ------------ M(p) N(p)

opakování = takto zvětšené TO bude trochu čitelnější - dynamické (časové) chování je popsáno diferenciální rovnicí b n *dx n (t) / dt n + + b 2 *dx 2 (t) / dt 2 + b 1 *dx(t) / dt + + b 0 *x(t) = a m *dy m (t) / dt m + + a 2 *dy 2 (t) / dt 2 + + a 1 *dy(t) / dt + a 0 *y(t) Její řešení dává rovnici (vztahu) pro popis dynamického (časového) chování systému takto matematicky popsaného.

takto zvětšené TO bude trochu čitelnější - převod do tvaru Laplaceovy transformace b n * p n * X(p) + + b 2 * p 2 * X(p) + b 1 * p * X(p) + + b 0 * X(p) = a m * p m * Y(p) + + a 2 * p 2 * Y(p) + + a 1 * p * Y(p) + a 0 * Y(p)

takto zvětšené TO bude trochu čitelnější - přenosová funkce jako poměr Laplaceova obrazu výstupního signálu k Laplaceově obrazu vstupního signálu Y(p) b m * p F(p) = ------------ = ------------------------------------------ n + + b 2 * p 2 + b 1 * p + b 0 X(p) a n * p m + + a 2 * p 2 + a 1 * p + a 0

Laplaceova transformace obecný matematický postup - po konkretizaci přenosové funkce prvku či celé soustavy a po odpovídajících matematických úpravách, se řeší problém zpětné Laplaceovy transformace, čili nalezení odpovídající časově závislé funkce k danému Laplaceovu obrazu pro vstupní signál (proměnná) x(t), kterou je jednotkový skok Y (p) = F (p) * X (p) - to v praxi znamená, že časově definovaná závislost je y (t) = integrál (pro čas od 0 do konečného, ustáleného času t ) z funkčního vztahu vstupní proměnné x (t) * dt.

Aby bylo možné aplikovat Laplaceovu transformaci, je nutné přijmout jako fakt, že skok začíná v čase t = 0 a vlevo od tohoto času de facto neexistoval. Přechodová charakteristika - jednotkový skok x (t) t = 0 A = 1 t [čas]

Prvky regulačních obvodů - rozdělelní Pro stavbu modelů reálných soustav jsou zapotřebí přesně definované TYPOVÉ ČLENY.. Základní rozdělení je na: - STATICKÉ ČLENY - ASTATICKÉ ČLENY VR - ZS 2010/2011

Prvky regulačních obvodů - rozdělelní STATICKÉ ČLENY - 0 tého řádu (proporcionální) - 1 ho řádu (ideální integrál) - 2 ho řádu (reálný integrál integrál se setrvačností) VR - ZS 2010/2011

Prvky regulačních obvodů - rozdělelní ASTATICKÉ ČLENY - 1 ho řádu (setrvačný) - 2 ho řádu (kmitavý) podle koeficientu tlumení - ξ > 1 aperiodicky tlumený - ξ = 1 mez aperiodicity - 0 < ξ < 1 harmonické kmity - ξ = 0 netlumené (rostoucí amplituda kmitů) VR - ZS 2010/2011

Prvky regul. obvodů proporcionální statický 0-tého řádu DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE DYNAMIKY y(t) = K p * x(t) PŘENOSOVÁ FUNKCE výstup = konstanta * vstup F(p) = Y(p) / X(p) = K p FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA Amplitudová konstantní hodnota - úroveň dána konstantou zesílení Fázová nulové fázové zpoždění - pro všechny frekvence = 0 º

Prvky regul. obvodů proporcionální statický 0-tého řádu ODEZVA NA JEDNOTKOVÝ VSTUPNÍ SKOK Výstupní veličina kopíruje vstupní bez časové prodlevy (časového ovlivnění ) jen s K p násobkem amplitudy vstupního signálu K p zesílení soustavy lim Δt = 0 vyjadřuje, že časová prodleva existuje u reálných existujících prvků y (t) K p t = 0 lim Δt = 0 t [čas]

Prvky regul. obvodů derivační astatický DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE DYNAMIKY y(t) = T D * (dx(t) / dt ) PŘENOSOVÁ FUNKCE F(p) = Y(p) / X(p) = T D * p T D. časová konst. derivace FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA Amplitudová úroveň s rostoucí frekvencí roste (sklon + 20 db/dek) Fázová konstantní kladné zpoždění pro všechny frekvence = + 90 o

Prvky regul. obvodů derivační astatický ODEZVA NA JEDNOTKOVÝ VSTUPNÍ SKOK Výstupní veličina v okamžiku změny vstupního signálu (čas t 0 ) dosáhne nekonečné hodnoty, aby v čase (t 0 +lim t d ) - pro t d jdoucí k nule (čili pro nekonečně krátký časový interval) - opět klesla k původní úrovni prakticky vytvoří nekonečně krátký impuls s velmi y (t) vysokou amplitudou. lim Δt = 0 Využití: k urychlení počátku přechodového děje počáteční akcelerace). y (t) t = 0 t [čas] t = 0 t [čas]

Prvky regul. obvodů integrační astatický DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE DYNAMIKY a 0 * y(t) = b 1 * dx(t) / dt y(t) = (1 / T I ) * ( x(t) * d(t) ) v mezích pro t od 0 do T PŘENOSOVÁ FUNKCE F(p) = 1 / ( T I * p ) = K I * 1 / p T I. časová konst. integrace K I rychlostní konst. FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA Amplitudová úroveň s rostoucí frekvencí klesá (sklon 20 db/dek) Fázová konstantní záporné zpoždění pro všechny frekvence = - 90 o

Prvky regul. obvodů integrační astatický ODEZVA NA JEDNOTKOVÝ VSTUPNÍ SKOK Výstupní veličina s rostoucím časem a po počáteční časové prodlevě - zpomalení růstu v čase od t 0 do t I (dáno T I ) - roste nade všechny meze využití: k dosažení nulové konečné odchylky y (t) t = 0 Δt = T 1 t [čas]

Prvky regul. obvodů kombinovaný PI astatický DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE DYNAMIKY y(t) = K p * x(t) + (1 / T I ) * ( x(t) * d(t) ) v mezích pro t od 0 do T PŘENOSOVÁ FUNKCE F(p) = K p + 1 / (T I * p ) = ( K p * T I * p + 1 ) / T I * p FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA Amplitudová úroveň s rostoucí frekvencí klesá (sklon - 20 db/dek) a od kritické frekvence f I je konstantní Fázová pro rostoucí frekvence se bude plynule měnit od - 90 o do 0 o

Prvky regul. obvodů kombinovaný PI astatický ODEZVA NA JEDNOTKOVÝ VSTUPNÍ SKOK Výstupní veličina v okamžiku změny vstupního signálu (čas t 0 ) začne postupně (pozvolna) narůstat časový průběh (tvar změny) a rychlost nárůstu závisí na hodnotách konstant K p a T I - s růstem času bude vlivem integrační složky narůstat nade všechny meze y (t) K P t = 0 Δt = T I t [čas]

Prvky regul. obvodů kombinovaný PD astatický DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE DYNAMIKY y(t) = K p * x(t) + T D * (dx(t) / dt ) PŘENOSOVÁ FUNKCE F(p) = K p + (T D * p ) FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA Amplitudová úroveň je s rostoucí frekvencí konstantní a od kritické frekvence f D roste (dána sklonem + 20 db/dek) Fázová pro rostoucí frekvence se bude plynule měnit od 0 o do + 90 o

Prvky regul. obvodů kombinovaný PD astatický ODEZVA NA JEDNOTKOVÝ VSTUPNÍ SKOK Výstupní veličina v okamžiku změny vstupního signálu (čas t 0 ) začne velmi rychle narůstat = bude se chovat jako u prostého D členu - pak se ustálí na nové hodnotě s respektováním proporcionální konstanty K p y (t) K P t = 0 t [čas]

Prvky regul. obvodů kombinovaný PID astatický DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE DYNAMIKY y(t) = K p * x(t) + (1/T I ) * ( x(t) * d(t)) + T D * (dx(t) /dt) v mezích pro t od 0 do T PŘENOSOVÁ FUNKCE F(p) = K p + (T D * p ) + 1 / (T I * p ) FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA Amplitudová úroveň s rostoucí frekvencí klesá (sklon - 20 db/dek) od kritické frekvence f I bude konstantní a od kritické frekvence f D roste (sklon + 20 db/dek) Fázová pro rostoucí frekvence se bude plynule měnit od - 90 o do + 90 o

Prvky regul. obvodů kombinovaný PID astatický ODEZVA NA JEDNOTKOVÝ VSTUPNÍ SKOK Výstupní veličina v okamžiku změny vstupního signálu (čas t 0 ) začne narůstat = bude se chovat jako u D členu - pak po poklesu začne plynule růst opět vlivem integračního členu - nade všechny meze s respektováním konstant K p ; T I ; T D Výsledkem je urychlující impuls působící ihned v následujícím čase po t 0 =0.

Prvky regul. obvodů statický 1-ho řádu setrvačný DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE DYNAMIKY b 0 * y(t) = a 1 * dx(t) / dt + a 0 * x(t) PŘENOSOVÁ FUNKCE F(p) = b 0 / ( a 1 * p + a 0 ) = K p / ( 1 + T 1 * p ) FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA Amplitudová úroveň konstantní a od kritické frekvence f 1 klesá (sklon - 20 db/dek) Fázová pro rostoucí frekvence se bude plynule měnit od 0 o do - 90 o

Prvky regul. obvodů statický 1-ho řádu setrvačný ODEZVA NA JEDNOTKOVÝ VSTUPNÍ SKOK Výstupní veličina v okamžiku změny vstupního signálu (čas t 0 ) začne aperiodicky narůstat s respektováním konstant K p ; T 1 v čase T 1 dosáhne 63,7% z ustálené hodnoty

Prvky regul. obvodů statický 2-ho řádu kmitavý DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE DYNAMIKY b 0 * y(t) = a 2 * dx 2 (t) / dt 2 + a 1 * dx(t) / dt + a 0 * x(t) PŘENOSOVÁ FUNKCE F(p) = b 0 / ( a 2 * p 2 + a 1 * p + a 0 ) = = K p / ( 1 + T * ξ * p + T 2 * p 2 ) = K p / ( ( T 1 * p + 1) * ( T 2 * p + 1) ) FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA Amplitudová úroveň konstantní a od kritické frekvence f k klesá (sklon - 40 db/dek) nebo má dvě kritické frekvence s poklesem - 20 db/dek a - 40 db/dek Fázová pro rostoucí frekvence se bude plynule měnit od 0 o do - 180 o

Prvky regul. obvodů statický 2-ho řádu kmitavý ODEZVA NA JEDNOTKOVÝ VSTUPNÍ SKOK Výstupní veličina v okamžiku změny vstupního signálu (čas t 0 ) začne narůstat s respektováním konstant K p ; T 1 a T 2 aperiodicky, s jedním překmitem nebo více překmity vždy končícími ustálením na výsledné hodnotě nebo s ustálenými oscilacemi v extrémním případě mohou oscilace růst a způsobit havárii systému.... koeficient tlumení, 0,1)... kmitá, 1... nekmitá, =1... mez aperiodicity, =1/T... úhlová rychlost

Základy teorie řízení Regulátory. - současné regulátory jsou upraveny pro možnost dálkového nastavování (změna parametrů regulátoru u nejvyspělejších a tím pádem i nejkomplikovanějších, je i možnost změny charakteru regulátoru, změna parametrů měřicí části, statické charakteristiky převodníků, filtrů a zesilovačů, změny cejchovních křivek atd.) - většinou obsahují i koncové silové prvky (spínače)

Základy teorie řízení Regulace - regulační pochod Regulačním pochodem rozumíme celý proces probíhající v regulačním obvodu od okamžiku vzniku regulační odchylky až do okamžiku jejího odstranění regulátorem - regulační pochod zpravidla zaznamenáváme graficky jako časovou závislost regulované veličiny. Regulovaná veličina se v praxi může odchýlit od své žádané hodnoty buď vlivem nějaké poruchy na vstupu regulované soustavy (hovoříme o reakci na poruchu), nebo v důsledku změny této žádané hodnoty (hovoříme o reakci na řízení).

Základy teorie řízení praktická doba regulace t r, což je doba od počátku regulačního pochodu až do chvíle, kdy hodnota regulované veličiny zůstane trvale v určeném intervalu kolem žádané hodnoty (v obrázku je označen a volí se obvykle 5% žádané hodnoty) maximální překmit y max, tedy největší odchylka regulované veličiny od žádané hodnoty během regulačního pochodu perioda kmitů T k (jestliže je regulační pochod kmitavý) regulační plocha, což je integrál z regulační odchylky podle času - lepší a častěji užívané kritérium je integrál z druhé mocniny regulační odchylky podle času - eliminuje vliv znaménka

Základy teorie řízení Regulace - regulační pochod Obr. 3.21 Záznam regulačního pochodu

Základy teorie řízení Regulátory. MODEL REGULACE - analýza výchozích podmínek - úvodní matematický popis - blokové schema modelu - simulace na modelu - analýza dosažitelných výsledků - aplikace do reálu - ověření v reálu v případě vyhovujících výsledků = konec - úprava modelu a nové modelování a přenos výsledků do reálu.

a to by bylo zatím vše... (?) 5.210...

Témata VR - ZS 2009/2010