1 GONIOMETRICKÉ ROVNICE - Pois zůsobu oužití: teorie k samostudiu (i- learning) ro 3. ročník střední školy technického zaměření, teorie ke konzultacím dálkového studia Vyracovala: Ivana Klozová Datum vyracování: 15. dubna 1 Použité zdroje: RNDr. Pavel Čermák, Mgr. Petra Červinková: Odmaturuj zmatematiky 1 Nakladatelství DIDAKTIS, s. r. o., ISBN 8-7358-1- Doc. RNDr. Emil Calda, CSc.: Matematika ro netechnické obory SOŠ a SOU, 3. díl, Prometheus, s. r. o. 1998, ISBN 8-7196-19- Doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc., RNDr. Jana Řeová: Matematika ro odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, 3. část, Prometheus, s. r. o. 1985, ISBN 978-8-7196-39-3
GONIOMETRICKÉ ROVNICE Úravy algebraických výrazů: Jsou výrazy (většinou ve zlomku) s neznámým argumentem Při řešení využíváme vzorce : Při řešení využíváme grafy goniometrických funkcí, ří. jednotkovou kružnici. Ekvivalentní úravy rovnic: 1. Lze vyměnit celou levou stranu rovnice za ravou stranu rovnice (bez změny znamének) a kořeny rovnice se nezmění.. Lze nahradit libovolnou stranu rovnice výrazem, který se jí rovná v celém oboru řešení rovnice, a kořeny rovnice se nezmění. 3. K oběma stranám rovnice můžeme řičíst (odečíst) stejné číslo nebo výraz, který je definovaný v celém oboru řešení rovnice, a kořeny rovnice se nezmění.. Obě strany rovnice lze vynásobit (vydělit) stejným číslem různým od nuly nebo výrazem, který je definovaný v celém oboru řešení a je různý od nuly, a kořeny rovnice se nezmění. 5. Celou rovnici (obě její strany) lze umocnit řirozeným eonentem, okud: a)!!! obě strany rovnice nabývají kladných hodnot v celém oboru řešení rovnice, a kořeny rovnice se nezmění; b)!!! obě strany rovnice nabývají záorných hodnot v celém oboru řešení rovnice, kořeny rovnice se nezmění; c) obě strany rovnice nabývají hodnoty nula v celém oboru řešení rovnice, a kořeny rovnice se nezmění. 6. Celou rovnici (obě její strany) lze odmocnit řirozeným odmocnitelem, okud obě strany rovnice nabývají nezáorných hodnot (tj. kladných hodnot nebo nuly) v celém oboru řešení rovnice, a kořeny rovnice se nezmění. 7. Celou rovnici (obě její strany) lze zlogaritmovat logaritmem stejného základu, okud nabývají obě strany rovnice ouze kladných hodnot v celém oboru řešení rovnice. Kořeny rovnice se tím nezmění. zět (str. ) zět (str. 3) zět (str. 5). /. ~ 1 ~
Postu řešení: -1- Pomocí vzorců se snažíme zadaný výraz řevést na výraz jedné goniometrické funkce. -- Rovnici řevedeme do anulovaného tvaru (i v říadě, že jsme nemohli vytvořit rovnici jedné funkce). -3- Získaný mnohočlen rozložíme na součin činitelů (vytýkáním, odle vzorců, omocí substituce, ). -- Každý činitel součinu oložíme roven nule. Tak získáme ro každý činitel jednu jednoduchou rovnici. Každou rovnici dořešíme zvlášť. -5- Všechny goniometrické funkce nalezneme na jednotkové kružnici řes základní ostrý úhel, ří. v grafech jednotlivých funkcí. -6- Zjistíme eriodu a zaíšeme všechna řešení. -7- Určíme odmínky a definiční obor. -8- Množinu kořenů tvoří sjednocení všech řešení jednotlivých jednoduchých rovnic, které atří do definičního oboru rovnice ( ). (-9- Zkouška není nutnou součástí řešení goniometrických rovnic, rotože rovádíme jen ekvivalentní úravy.) Př: a) Řešte rovnice: a) b) c) 3cos 3cos tg tg 3 Funkci kous nahradíme funkcí us omocí vzorce,, 3 ( ) 3 3 5 3 5 3 5t t 3 a ( ) ± 6 5 sub.: t D b ac D ( ) 5 ( 3) D 6 D 6 t 8 8 res. uraveným vzorcem Rovnici anulujeme (omocí 3. ekvival. úravy). Po rovedení substituce je lée vidět, že jsme získali kvadratickou rovnici. Tato rovnice není normovaná ( ), roto ji musíme řešit řes diskriminant a kořenový vzorec. 6 3 5 D b ac 1, a Získané kořeny, vrátíme do rovnice substituce a doočítáme neznámou. ~ ~
sub. t K K 1 Na jednotkové kružnici (říadně na grafu funkce us) nalezneme 3 hledaný úhel a jeho eriodu. 5,6...III. a IV. kv. 36 5 3 K Podmínky nejsou D() R K -,6 K 3 erioda 36 9 erioda 36 ve III. kv.: 1 9 k 36 8 36 5 6 5 k 36 ve IV.kv.: 3 36 36 5 3 33 8 36 K 1 9 k 36, 6 5 k 36, 3 33 8 k 36 b) ( cos ) cos Musíme se zbavit dvojnásobného argumentu odle Umocníme jednočlen ( ) Zbavíme se funkce kous: ( ) 5 5 ( ) 5 sub.: t t 5t D b ac D 5 ( ) ( ) D 5 6 D 9 res. Uravíme. Rovnici anulujeme (3. ekviv. úrava). Získali jsme rovnici vyššího stuně než druhého (než kvadratickou). Vhodnou substitucí vytvoříme kvadratickou rovnici. Rovnice není normovaná, roto ji musíme řešit řes diskriminant a kořenový vzorec D b ac 1, a./. ~ 3 ~
,,, sub.: t a 5 ± 9 ( ) 5 ± 3 8 A t t t 5 3 8 5 3 8 B Zjištěné kořeny dosadíme do rovnice substituce a doočítáme neznámou. Získané kvadratické rovnice dořešíme zvlášť. Nejrve je anulujeme. Rozložíme na součin odle vzorce ( ) ( ) Z definice ro součin čísel roven nule A v I., II., III. a IV. kvadrantu K 3 K K 1 3 vylývá, že jeden z činitelů musí být nula a nebo b. Tím získáme dvě rovnice, které dořešíme zvlášť. Oba výsledky ro ové souřadnice bodů 1,, 3, hledáme na jedné jednotkové kružnici. Z tabulek nebo kalkulačkou vyočítáme základní ostrý úhel funkce 1. ro hodnotu K 3 K Pomocí vzorců doočítáme úhly z II., III. a IV. kvadrantu I. kvadrant: II. kvadrant: III. kvadrant: IV. kvadrant: 1 3 k 36 18 8 3 5 k 36 3 18 3 8 3 3 k 36 36 36 3 33 k 36 Protože body 1 a 3 se oakují o eriodě 18 a body a se také oakují o eriodě 18, lze je zasat solečným řešením ro eriodu 18 Proto lze všechna čtyři řešení zasat jen omocí dvou ~ ~
B ( ) ( ) Doočítáme druhou rovnici, která vznikla dosazením do rovnice substituce. Kvadratickou rovnici můžeme řešit anulováním (3. ekvivalentní úrava) a ak rozkladem na součin. 9 5 9 k 36 7 6 7 k 36 Na jednotkové kružnici nalezneme body, jejichž usové souřadnice mají hodnoty ±. K K 5 solečná erioda: 18 6 K 1 3 k 8, 5 k 8, 3 9 k 8 Podmínky nejsou D() R K 6 c) tg tg 3 / (tg ) P tg tg (tg ) 3(tg ) tg tg 3 tg 3 3 tg tg 3 tg 3 3 tg 3 3 3 3 tg /: 3 3 3 3 tg 6..I., III. kvadr. V celé rovnici je jen funkce tangens, tak se jí nemusíme zbavovat. Násobením rovnice výrazem různým od nuly (. ekviv. úrava) odstraníme zlomek. Je nutné určit odmínky. Rovnici zjednodušíme: odstraníme závorky a řevedeme všechny členy s neznámou na jednu stranu rovnice a čísla na druhou stranu. Vytkneme neznámou. Vyjádříme neznámou. Hodnota funkce tangens je kladné číslo a odle definice funkce hledáme řešení v I. a III. kvadrantu../. ~ 5 ~
P tg tg 5 K K 1 P 1 Na jednotkové kružnici nalezneme základní ostrý úhel, eriodu i body odmínky P. D() R 5 k 8 P cos 18 K K 6 k 8 ~ 6 ~