Řešení úloh kola 53 ročníku fyzikální olympiády Kategorie A Autořiúloh:JJírů(),MJarešová(2,6),JThomas(4,7),PŠedivý(3,5) a) Vzhledemktomu,že v c,můžemesdostatečnoupřesnostípoužítzákony klasické fyziky Elektrické pole vykoná práci, která je rovna kinetické energii částice α: 2e U 2 4m v2 U mv2 65kV e b) Celá interakce probíhá jako dokonale pružný ráz dvou těles Platí zákon zachování hybnosti a zákon zachování mechanické energie: 4mv4mu + mu 2, 2 4m v2 2 4m u2 + 2 mu2 2 Řešením soustavy dostaneme dvě řešení: ) u v, u 2 0, 2) u 0,6v, u 2,6v První řešení udává hodnoty před rázem, teprve druhé řešení hodnoty po rázuhledanévelikostirychlostítedyjsou: u 0,6v,5 0 6 m s, u 2,6v4,0 0 6 m s 4body c) Vprvnífázisrážkysečástice αpřibližujekprotonuajeodpudivouelektrickou silou brzděna, současně je proton reakcí urychlován V okamžiku, kdy se rychlosti obou částic rovnají, dosáhnou hledané minimální vzdálenosti Od tohoto okamžiku se částice začnou od sebe vzdalovat do dosažení konečnýchrychlostí u, u 2 Označme uvelikostspolečnérychlostioboučástic vokamžikuminimálnívzdálenosti r m PlatíZZHaZZE: 4mv4mu+mu, Z rovnic plyne Poznámky: 2 4m v2 2 4m u2 + 2 mu2 + k e 2e r m r m 5ke2 mv 2, 0 3 m 4body )Poměrhmotnostíčástice αaprotonujespřesnostína4platnéčísliceroven 3,973, tj relativní odchylka způsobená zaokrouhlením poměru na 4 je přibližně 0,7% 2)Vlastnípoloměrčástice αjepřibližně2 0 5 m,tedykpřímémukontaktu částic nedojde částice se přiblíží zhruba na 50násobek poloměru částice α
2a) Nejprve popíšeme jednotlivé děje Děj-2jeizochorický,2-3jeizobarický, 3-4 je izochorický, 4- je izobarický p 2 ap p 2 3 Vestavuplatí p V nt, zčehož V nt p p 4 Vestavu3platí ap V 3 n 3T, zčehož V 3 n 3T ap 3 a V O V V V 3 3 a V b) Platí W (p 3 p ) (V 3 V )(ap p ) Zvýsledkuvyplývá,že a <3 Obr ( ) ( ) 3 3 a V V (a ) a p V c) Nejprveurčímeteplo Q,kteréjetřebapřikruhovémdějidodat: Po úpravě QQ 2 + Q 23 3 2 n(t 2 T )+p 2 (V 3 V )+ 3 2 n(t 3 T 2 ) Q 3 2 n 2T + ap ( 3 a )V (6 a)p V Účinnost je pak dána vztahem ( ) 3 η W (a ) Q a 6 a 4 3 a a 6 a d) Maximální účinnost určíme pomocí derivace výrazu pro účinnost podle pro- 2
měnné a Dostaneme dη da d 4 3 a a 2(a2 +3a 9) da 6 a a 2 (6 a) 2 Nynípoložímeprvníderivacirovnounule,tj dη da 0,zčehož a 2 +3a 90 Dostali jsme kvadratickou rovnici v proměnné a Úloze vyhovuje pouze kladný kořen a 0 3 2 ( 5 ),85 Tétohodnotě a 0 odpovídáúčinnost [ 3 2 ( 3 5 ) ] 3 2 ( 5 ) η max 6 3 2 ( 6 (3 5) 0,3 5 ) Otom,žesejednáomaximum,sepřesvědčímedosazenímhodnotza a zokolí a 0 Napřpro a,5je η 0,,pro a2,5je η 2 0,09,atedy pro aa 0 3 2 ( 5 )mákruhovýdějmaximálníúčinnost, η max 0,3 3a) Vrovnovážnépolozejetíhovásílapůsobícínabójivrovnovázesesilou vztlakovou Podle Archimédova zákona má bóje hmotnost mv 2 v 3 p(2 v)2 (+v) v () Vychýlíme-li kouli z rovnovážné polohy dolů o y (obr 2), působí na kouli směrem vzhůru výsledná síla rovná přírůstku vztlakové síly V vg pr 2 y vgp(2 v)vy vgky 3
r v y v Obr 2 Při malých výchylkách je tedy výsledná síla působící na kouli přímo úměrná výchylce z rovnovážné polohy a má opačný směr Konstanta úměrnosti je kp(2 v)v vg Koule kmitá podobně jako závaží na pružině s periodou m T2p k 2p m p(2 v)v vg (2) 4body Vyjádříme-li m z(2) a porovnáme s(), dostaneme rovnici s neznámou : m T2 (2 v)v vg 4p 3 p(2 v)2 (+v) v ovnicivydělímevýrazem2 v,kterýjezřejměvětšínež0,apoúpravě dojdeme ke kvadratické rovnici Úloze vyhovuje kořen 8p 2 2 +4p 2 v 4p 2 v 2 3vgT 2 0 4p2 v+ 44p 4 v 2 +96p 2 vgt 2 6p 2 pv+ 9p2 v 2 +6vgT 2 4p Číselněvychází 20,cm 4body b) Dosazenímdo()dostaneme m 28kgOznačme poloměrdutinyplatí m 4 3 p(3 ) 3 3 3 4p, 3m 3 3 3m 4p 9,3cm 4
Tloušťkastěnybójeje 3 3 3m 7,2mm 4p 4a) Aktivita je definována jako počet rozpadů za sekundu V kg přírodního uranu je N p m 00M m N A 0,0072 235 0 3 6,022 023,845 0 22 atomů 235 U a N 2 p 2m 00M m2 N A 0,9928 238 0 3 6,022 023 2,52 0 24 atomů 238 U Jejich aktivita je AA + A 2 ln2 N T + ln2 N T 2 2 0,693 365,25 24 3600 (,845 0 22 024 8 +2,52 7,038 0 4,468 0 9 ),29 0 7 Bq b) Předdobou t,9 0 9 letbylpočetatomů 235 Ua 238 U,kterédnestvoří jeden kilogram a jejich poměr N 02 N 0 N 2 N 2 t N 0 N 2 T a N 02 N 2 2 ( t T 2 t T ) 2,52 024 22 2,845 0 (,9 0 9 t T 2 4,468 0 9,9 09 7,038 0 8 )28,4 Poměrpočtůčástic 238 Ua 235 Ubyltehdy28,4:,poměrhmotnostíobou izotopů uranu byl m 2 N 02 Ar2 28,50 m N 0 A r Jestliže m + m 2 kg,pak m +28,50m kg, m kg 29,50 0,0339kg, m 20,966kg Vjednomkilogramupřírodníhouranubylotedy3,39 %izotopu 235 Ua 96,6%izotopu 238 U 235 c) Jdeoreakci 92U+ 0 n 43 56Ba+ 90 36Kr+3 0n Uvolněná energie při rozštěpení jednoho jádra je 5
m c 2 (m U m Ba m Kr 2m n )c 2 (235,0439 42,92062 89,99524 2,00866) u c 2 0,864,66 0 27 9 0 6 2,785 0 J74MeV d) 5tun 235 Uobsahuje N m M m N A 5000 235 0 3 6,022 023,28 0 28 atomů Jejich přeměnou se uvolnila energie E NE,28 0 28 200MeV2,56 0 30 MeV4, 0 8 GJ, cožjedenníspotřeba,mldlidí 5 Řešení užitím fázorových diagramů a) Kondenzátoremprocházíproud I C U X C UωC0,754A Fázor proudu procházejícího cívkou je součtem fázorů proudů procházejících žárovkou a kondenzátorem(obr 3) Má velikost I L I 2 + IC 20,8A apředbíháfázověpřednapětímnažárovceoúhel ϕarctg I C I 68,3 Fázornapětínacívcetedypředbíhápřednapětímnažárovceo90 + ϕ 58,3 Zfázorovéhodiagramunaobr4odvodímeužitímkosinovévěty kvadratickourovnicipro U L : U 2 U2 + U 2 L 2UU Lcos(90 ϕ)u 2 + U 2 L 2UU Lsinϕ, U 2 L 2UU Lsinϕ+U 2 U 2 0, {U L } 2 44,6{U L }+4320 Obakořenyrovnice U L 30,4V a U L2 4,2V vyhovují(vobr4 jezakreslenopouze U L )Můžemetedypoužítcívkuoindukčnosti L U L ωi L 0,9H nebo L 2 U L2 ωi L 0,056H 7bodů 6
I C I L U ϕ I U Obr 3 U L ϕ 90 +ϕ Obr 4 90 ϕ U b) Fázovéposunutí ϕ napětínažárovceoprotinapětízdrojeurčímezobr4 užitím kosinové věty: U 2 L U 2 + U 2 2UU cosϕ cosϕ U2 + U 2 U 2 L 2UU Použijeme-licívkuoindukčnosti L,bude cosϕ 0,352 anapětína žárovcebudefázověopožděnooϕ,použijeme-licívkuoindukčnosti L 2,bude cosϕ 0,899 anapětínažárovcebudefázověopožděno o ϕ 26 Řešení symbolickou metodou a) Žárovkamázaprovozuodpor U/I 80ΩImpedanceparalelního spojení žárovky a kondenzátoru je Z celková impedance obvodu je Platí U U Z Z jωc + jωc Z +jωc, +jωc +jωl +jωc +jωc +jωl U U ( ω 2 CL) 2 + ω 2 L2 2 ω 2 CL+j ωl, () 7
Úpravou dojdeme ke kvadratické rovnici pro L: ) ( ) 2 (ω 4 C 2 + ω2 2 L 2 2ω 2 U CL+ 0, U 2,83{L} 2 9,74{L}+0,750, kterámákořeny L 0,9H, L 2 0,056H b) Fázovéposunutí ϕ fázoru Uoprotifázoru U určímejakorozdílargumentů čitatele a jmenovatele ve zlomku(): ωl ϕ 0 arctg ( ω 2 CL) Pro L0,9H vychází ϕ, pro L0,056H vychází ϕ 26 8
6a) Platí zobrazovací rovnice a + a f, kdeplatí a+a lpodosazenídozobrazovacírovnicedostaneme a + l a f Po úpravě obdržíme kvadratickou rovnici v proměnné a: a 2 al+lf0 () Mají-li vzniknout dva ostré obrazy, musí mít rovnice() dva různé reálné kořeny,tjdiskriminant Dl 2 4lf >0,zčehož l f >4 b) Řešením kvadratické rovnice dostaneme a 2 (l+ l 2 4lf), a 2 2 (l l 2 4lf) c) Určíme d a a 2 l 2 4lfPoumocněnídostaneme d 2 l 2 4lf, zčehož f l2 d 2 (2) 4l d) Než začneme s vlastním měřením ohniskové vzdálenosti čočky, musíme nastavit vhodnou vzdálenost mezi předmětem a stínítkem, abychom při pohybu čočky po optické ose v prostoru mezi předmětem a stínítkem obdrželi v průběhu pohybu dva ostré obrazy Pak změříme příslušnou vzdálenost l, následně si označíme polohy čočky, při níž obrazy vzniklé na stínítku byly ostré Po změření vzdálenosti těchto poloh již můžeme užitím vztahu(2) určit ohniskovou vzdálenost čočky 7a) Na činku působí tíhová síla F G, reakce podložky, která má normálovou složku N a vodorovnou složku T(smykové tření mezi činkou a podložkou), asíla F 0 (obr5)nemá-limítsíla F 0 otáčivýúčinek,musíjejívektorová přímka procházet bodem, který leží na spojnici bodů dotyku činky s rovinou Pak cosα 0 r Přirovnoměrnémsmýkáníčinkypopodložceplatí T fn Všechnyuvedené síly jsou v rovnováze a tvoří uzavřený mnohoúhelník Z něj odvodíme T F 0 cosα 0 fn f(f G F 0 sinα 0 ), 9
fmg F 0 f(2m + m 2 )g cosα 0 + fsinα 0 r + f r2 2 Prodanéhodnotyvychází α 0 72,5, F 0,4N F 0 T α 0 N F G N F 0 T α 0 F G α 0 Obr 5 b) Zvolíme-likladnouorientaciveličin aa podleobr6,můžemezapsat pohybové rovnice činky ve tvaru mafcosα T, Řešením soustavy dostaneme a JεJ a T Fr F G N Fsinα0, F(cosα r) J+ m 2, T F(mr+Jcosα) J+ m 2, N mg Fsinα 0
ε a F α N T F G Obr 6 Nemá-lidojítkprokluzováníčinky,musíbýtsplněnapodmínka T fn Řešením nerovnice F(mr+Jcosα) J+ m 2 f(mg Fsinα) dostaneme F fmg(j+ m 2 ) mr+jcosα+fsinα(j+ m 2 ) Momentsetrvačnostičinkyje J2 2 m 2 + 2 m 2r 2 2,556 0 3 kg m 2 Pro αα 30 jemeznívelikostsíly,kteroupůsobímenavlákno F 0,40Naodpovídajícízrychlenístředučinky a,67m s 2 Pro αα 2 80 jemeznívelikostsíly,kteroupůsobímenavlákno F 2 2,03Naodpovídajícízrychlenístředučinky a 2 0,43m s 2 Vprvnímpřípaděsecívkavalítak,žesevláknonavíjí,vdruhémpřípadě se vlákno z cívky odmotává Poznámka:Bude-livelikostsílyvětšínež F resp F 2,budecívkasoučasně prokluzovatpak T fn