Pojem relace patří mezi pojmy, které prostupují všemi částmi matematiky.

Relace. Pojem relace patří mezi pojmy, které prostupují všemi částmi matematiky. Definice. Mějme množiny A a B. Binární relace R z množiny A do množiny B je každá množina uspořádaných dvojic (a, b), kde a A, b B. Jinými slovy, binární relace je každá podmnožina kartézského součinu A B. V případě B = A mluvíme o binární relaci na množině A. Značíme (a, b) R nebo arb a čteme: a je v relaci R s b. Slovo binární budeme většinou vynechávat a mezi dvěma způsoby značení budeme volně přecházet. Příklad. Mějme A množinu všech studentů fakulty a B množinu všech vypsaných předmětů, které se na fakultě vyučují. Vztah mezi A a B nelze popsat funkční závislostí, neboť není pravděpodobné, že by každý student měl zapsaný nejvýše jeden předmět a stejně tak je nepravděpodobné, že by každý předmět navštěvoval nejvýše jeden student. Zde je třeba k popisu užít pojem relace: R = {(a, b) A B student a má zapsán předmět b}. Nejmenší relace je prázdná relace R =. Naopak největší relace je tzv. univerzální relace Rovnost na množině A je relace R = A A. I A = {(x, x) A A x A}. Někdy se nazývá diagonála. Mějme relaci R na množině R definovanou R = {(x, y) R R x je menší než y}. V tomto případě se držíme obvyklého značení a místo x R y píšeme x < y. Jsou-li množiny, na kterých relace uvažujeme, malé, můžeme si relace graficky znázornit buď vyznačením bodů v kartézském součinu nebo pomocí orientovaného grafu a nebo pomocí reprezentující matice M R. 1

2 Definice. Mějme možiny A = {a 1,..., a m }, B = {b 1,..., b n } a relaci R A B. Matice M R = (m ij ) typu m n definovaná m ij = se nazývá reprezentující matice relace R. { 1 když (ai, b j ) R; 0 když (a i, b j ) / R Mějme množiny A = {1, 2, 3} a B = {a, b} a relaci R = {(1, a), (1, b), (2, a), (3, b)}. Její reprezentující matice je 1 1 M R = 1 0. 0 1 Univerzální relace má matici, jejíž prvky jsou samé 1. Matice reprezentující diagonálu I A je diagonální matice s 1 na diagonále a s 0 všude mimo diagonálu. Definice. Mějme množiny A, B, C a relace R A B a S B C. Složená relace R S je relace z A do C definována následovně: Pro a A a c C je a(r S)c, jestliže existuje b B takové, že arb a bsc. Relace R 1 B A se nazývá inverzní k relaci R, jestliže br 1 a právě, když arb. V některých knihách a textech se složení relací R a S značí v obráceném pořadí S R oproti našemu označení R S. Oba způsoby mají své důvody. Pracujeme-li proto s několika texty, je třeba se přesvědčit, jaké označení se autor rozhodl užívat. Skládáme-li relaci R samu se sebou, používáme značení R R = R 2. Obecně, pro n-násobné složení relace R se sebou platí induktivní vztah R n = R R n 1, n 2. Příklad. Na množině A všech lidí uvažujme relace R a S: arb, je-li a rodičem b, asb, jsou-li a, b sourozenci. Co je R 1, S 1, R S, S R, R 2 a S 2? ar 1 b znamená, že člověk a je dítětem člověka b; S 1 = S; a(r S)b právě, když a je rodičem nějakého sourozence osoby b; a(s R)b, jestliže a je strýc nebo teta b; ar 2 b, jestliže člověk a je prarodičem člověka b; as 2 b, je-li buď a = b nebo a a b jsou sourozenci a v obou případech mají alespoň ještě jednoho dalšího sourozence. Pro inverzi ke složení dvou relací platí následující vztah, (R S) 1 = S 1 R 1. K důkazu stačí ověření podle definic složení a inverze. Mějme c(r S) 1 a. To znamená a(r S)c. Existuje tak b, že arb a bsc. To je to samé, jako br 1 a a cs 1 b. V tom případě ale c(s 1 R 1 )a.

3 Příklad. Uvažujme relaci R na N danou: (k, m) R, jestliže k = m 2. Co je R n? Začneme s R 2. Podle definice (k, m) R 2 jestliže existuje i N, že (k, i) R a (i, m) R, tj. k = i 2 a i = m 2. Spojením těchto podmínek dostaneme k = m 4. Poučeni tímto speciálním případem navrhujeme, že (k, m) R n, když k = m 2n. Důkaz provedeme indukcí podle n. Případ n = 1 je triviální a n = 2 jsme ověřili v prvním kroku. Předpokládejme, že tvrzení platí pro n a vyvodíme, že platí i pro n + 1: (k, m) R n+1, exisuje-li i, že (k, i) R n a (i, m) R, tj. k = i 2n a i = m 2. Spojením dostáváme k = (m 2 ) 2n = m 2 2n = m 2n+1. Skládání relací odpovídá v maticové reprezentaci součinu jejich reprezentujících matic s jednou důležitou změnou: Místo součtu užíváme Booleovskou operaci, což znamená, že 1 + 1 = 1. Jinak se nic nemění. Uvažujme na množině A = P({0, 1}) relaci R danou inkluzí. Jak vypadá matice relace R 2? Množina A = {, {0}, {1}, {0, 1}} a matice příslušná R je Pak matice M R 2 M R 2 = M R M R = je dána součinem M R = 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1. 1 1 1 1 0 0 0 1 = 1 1 1 1 0 0 0 1 = M R. V maticové reprezentaci má inverzní relace matici transponovanou k matici původní relace, M R 1 = (M R ) T. Uvedeme si nejpoužívanější vlastnosti, podle kterých relace klasifikujeme. Definice. Mějme relaci R na množině A. Řekneme, že R je reflexivní, jestliže pro každé a A platí ara. symetrická, jestliže pro každé a, b A platí implikace arb = bra. antisymetrická, jestliže pro každé a, b A platí a = b, kdykoli arb a bra. tranzitivní, jestliže pro každé a, b, c A platí arc, kdykoli arb a brc. Vlastnosti symetrie a antisymetrie nejsou opačné ani navzájem se vylučující. Např. diagonála I A je symetrická i antisymetrická relace. Příklad. Rozhodněte, zda relace R na množině R je reflexivní, symetrická, antisymetrická nebo tranzitivní, jestliže (x, y) R právě, když (i) x + y = 0;

4 (ii) x = y ; (iii) x y je racionální číslo; (iv) xy 0; (v) x je iracionální násobek y; (vi) prázdná relace R =. (i) je pouze symetrická, (ii) je reflexivní, symetrická a tranzitivní, (iii) má všechny vlastnosti kromě antisymetrie, (iv) je reflexivní a symetrická, (v) je pouze symetrická, (vi) kromě reflexivity má všechny ostatní vlastnosti. Výše uvedené čtyři základní vlastnosti můžeme popsat i pomocí operací mezi relacemi. Reflexivní relace vyžaduje, aby (a, a) R pro všechna a z dané množiny A. Jinými slovy, R obsahuje diagonálu, I A R. Symetrická relace vyžaduje, aby z (a, b) R vždy vyplynulo (b, a) R, tj. (a, b) R 1. Vidíme, že symetrická relace splňuje R = R 1. Pro antisymetrickou relaci zjišťujeme, že nastane-li situace, kdy (a, b) R a současně (b, a) R (tj. (a, b) R 1 ), pak nutně a = b, tj. (a, b) I A. Stručně zapsáno: R R 1 I A. A konečně tranzitivní relace požaduje, aby (a, b) R a (b, c) R vynutilo (a, c) R. Opět stručně vyjádřeno: R R R. Shrneme tato pozorování do tabulky. reflexivita R : I A R symetrie R : R = R 1 antisymetrie R : R R 1 I A tranzitivita R : R R R Definice. Relace R na množině A se nazývá ekvivalence, jestliže je reflexivní, symetrická a tranzitivní. V takovém případě budeme používat místo arb zápis a b. Nejjednodušší příklad ekvivalence je relace rovnosti I A. Jiný příklad je počítání modulo m, kde m je přirozené číslo větší než 1. Připomeňme si, že a b mod m, jestliže b je zbytek čísla a po dělení číslem m, tj. a b je dělitelné číslem m. Na množině celých čísel definujeme relaci R počítání modulo m následovně. R = {(a, b) a b mod m}. R je zřejmě relflexivní a symetrická. K tranzitivitě předpokládáme, že arb a brc, tj. a b i b c je dělitelné číslem m. Pak i součet (a b) + (b c) = a c je dělitelný m, a tedy arc. Příklad. Na množině A = R 2 \ (0, 0) zavedeme relaci R tak, že body X a Y jsou v relaci, jestliže leží na stejné přímce procházející bodem (0, 0). Ověříme, že R je ekvivalence. Opět reflexivita a symetrie je zřejmá. Tranzitivita je také snadno ověřitelná: Leží-li body X a Y na téže přímce procházející počátkem a body Y a Z opět na stejné přímce procházející počátkem, musí na téže přímce ležet i dvojice X a Z. Je užitečné všimnout si, že pro tranzitivitu bylo důležité, že množina A neobsahuje počátek. Bez toho by tranzitivita neplatila.

5 Definice. Mějme na množině A ekvivalenci. Třída ekvivalence určená prvkem a A je množina [a] := {b A b a}. Specielně, vždy a [a]. Např. pro počítání modulo 4 je třída ekvivalence určená prvkem 0 rovna [0] = {4k k Z}, tj. všechny násobky 4. Podobně [1] = {4k + 1 k Z}. Vidíme, že takto dostaneme 4 různé třídy ekvivalence, jejichž sjednocení pokrývá všechna celá čísla, [0] [1] [2] [3] = Z. Rovněž si můžeme všimnout, že třídy ekvivalence jsou disjunktní množiny. Obě vlastnosti se nevyskytují jen u počítání modulo, ale platí obecně pro každou ekvivalenci. Věta 1. Mějme ekvivalenci na množině A. Je-li a [b], pak [a] = [b]. Specielně, dvě různé třídy ekvivalence jsou nutně disjunktní. Důkaz. Mějme a [b], tj. a b. Pak každý prvek ekvivalentní s a je také ekvivalentní s b a obráceně. Tím [a] = [b]. Uvažujme nyní dvě různé třídy ekvivalence, [a] [b]. Kdyby existoval společný prvek c [a] [b], pak by podle výše dokázané části platilo, že [c] = [a] a [c] = [b]. To by znamenalo [a] = [b], což je spor. Třídy ekvivalence tvoří tzv. rozklad množiny. Pod rozkladem množiny A rozumíme systém neprázdných disjunktních množin A i A, i I, splňujících A i = A. i I Nejenže třídy ekvivalence tvoří rozklad, ale i naopak každý rozklad množiny A zadává ekvivalenci na A, jejíž třídy ekvivalence jsou přesně množiny původního rozkladu. Taková ekvivalence je dána a b, jestliže a i b patří do stejné množiny rozkladu. Uvažujme rozklad množiny A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} na A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {4, 5} a A 3 = {6}. Jak vypadá ekvivalence daná tímto rozkladem? Vypíšeme všechny ekvivalentní dvojice: (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5), (6, 6). Příklad. Mějme rozklad roviny R 2 na množiny A r, r 0, kde A r označuje kružnici se středem v počátku a poloměrem r. Popište ekvivalenci zadanou tímto rozkladem. Body (x 1, y 1 ) a (x 2, y 2 ) jsou ekvivalentní, leží-li na stejné kružnici A r, tj. jejich souřadnice splňují rovnici x 2 + y 2 = r 2. Můžeme tak psát (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ), když x 2 1 + y 2 1 = x 2 2 + y 2 2.

6 Někdy užíváme relaci k uspořádání prvků v množině. Mezi nejznámější patří uspořádání slov ve slovníku nebo uspořádání přirozených čísel. Relace, které slouží k porovnávání prvků mají společné vlastnosti. Definice. Relace R na množině A se nazývá uspořádání, je-li reflexivní, antisymetrická a tranzitivní. Příklad. Relace na množině N je příklad uspořádání. Stejně tak relace dělitelnosti S na N (msn, když m dělí n) je uspořádání. Relace inkluze na systému P(A) všech podmnožin množiny A je uspořádání. Naopak zavedeme-li na množině všech lidí relaci R definovanou xry, je-li člověk x nejvýše tak starý jako člověk y, pak tato relace není uspořádání, neboť nesplňuje vlastnost antisymetrie. Prvky a, b, pro které platí arb nebo bra nazýváme porovnatelné. V předchozím příkladu jsou při relaci všechny prvky navzájem porovnatelné. Při relaci dělitelnosti už tomu tak není, např. (3, 7) / S a stejně tak (7, 3) / S. Podobné je to i v případě inkluze, kde např. každé dvě neprázdné disjunktní množiny jsou neporovnatelné. Důležitý typ uspořádání je tzv. lexikografické uspořádání. Je to zobecnění obyčejného uspořádání slov ve slovníku. Teď místo slov budeme porovnávat konečné posloupnosti symbolů. Definice. Mějme množinu A s uspořádáním A. Označíme F (A) množinu všech konečných neprázdných posloupností vytvořených z prvků množiny A. Uvažujme dvě posloupnosti (a 1, a 2,..., a m ) a (b 1, b 2,..., b n ) z F (A). Řekneme, že (a 1, a 2,..., a m ) L (b 1, b 2,..., b n ), jestliže platí jedna z následujících dvou podmínek: (a 1, a 2,..., a m ) je počáteční úsek posloupnosti (b 1, b 2,..., b n ); existuje k < min{m, n}, že a 1 = b 1,..., a k = b k a Uspořádání L se nazývá lexikografické. a k+1 b k+1, a k+1 A b k+1. První podmínka v definici říká, že posloupnost (b 1, b 2,..., b n ) je buď rovna posloupnosti (a 1, a 2,..., a m ) nebo je jejím prodloužením. Druhý požadavek znamená, že první index k + 1, kde se členy obou posloupností začnou lišit, musí splňovat a k+1 A b k+1. Jako jednoduchou ilustraci uvažujme množinu A = {a, b} s obyčejným abecedním uspořádáním. Pak např. (a, a, b) L (a, a, b, a), (a, b, a, a, b) L (a, b, a, b). Zvolíme-li A = R, (e, π, 2, 2) L (e, π, 13) L (π, e). Máme-li na množině zadané uspořádání, můžeme mluvit o největším a nejmenším prvku této množiny nebo její podmnožiny.

7 Definice. Mějme množinu A s uspořádáním A. Prvek a A se nazývá největší (nejmenší) prvek množiny A, jestliže pro všechna b A platí, že b A a, (a A b). Největší a nejmenší prvek nemusí vždy existovat. Množina celých čísel s obvyklým uspořádáním nemá ani nejmenší ani největší prvek. Nicméně, existuje-li takový prvek, je vždy jediný. Kdyby např. v množině A existovaly dva největší prvky a 1, a 2, pak z definice největšího prvku plyne, že a 1 A a 2 a také a 2 A a 1. Protože uspořádání je antisymetrická relace, dostaneme a 1 = a 2. Požadavek na největší prvek můžeme oslabit a dostaneme pojem maximálního prvku. Maximálních prvků, na rozdíl od největšího, může být v množině více. Definice. Mějme množinu A s uspořádáním A. Prvek a A se nazývá maximální (minimální) prvek množiny A, jestliže neexistuje b A s vlastností a A b a b a, (b A a a b a). Příklad. Vezmeme si za A množinu všech neprázdných vlastních podmnožin množiny {1, 2,..., n} s uspořádáním. V množině A neexistuje nejmenší prvek, neboť jediný kandidát by byla, ale ta nepatří do A. Stejně tak neexistuje největší prvek v A, neboť to by mohla být jen celá množina {1, 2,..., n}, ale ta také nepatří do A. Minimálních prvků je v A dokonce několik, každá jednoprvková podmnožina je minimální prvek. Podobně i maximálních prvků je více, je to každá množina s n 1 prvky. Porovnáním definic vidíme, že největší prvek je vždy i maximální prvek a nejmenší prvek je i minimální prvek. Příklad uvedený výše ukazuje, že opačně to neplatí. Cvičení. (1) Mějme relaci R na množině všech lidí. Rozhodněte, zda R je reflexivní, symetrická, antisymetrická nebo tranzitvní, je-li a R b definováno (a) a je vyšší než b; (b) a a b se nenarodili ve stejný den; (c) a a b mají stejné křestní jméno; (d) a a b mají stejného prarodiče. (2) Uvažujme relaci R na N danou: k R m, jestliže k = m m. Co je R 2 a R 3? (3) Popište všechny relace, které jsou současně symetrické i antisymetrické. (4) Kterou z vlasností reflexivita, symetrie, antisymetrie a tranzitivita má prázdná relace R =. (5) Dokažte, že relace R je symetrická a tranzitivní právě, když R R 1 = R.

8 (6) Na množině všech polynomů definujeme ekvivalenci p q, když p = q. Ověřte, že je opravdu ekvivalence a určete třídu [x 4 ]. (7) Na R uvažujme ekvivalenci x y, pokud sin x = sin y. Ověřte, že je skutečně ekvivalence a určete třídu ekvivalence [x 0 ] pro daný bod x 0 R. (8) Mějme rozklad roviny R 2 na rovnoběžné přímky y = 2x + c, c R. Jakou ekvivalenci tento rozklad určuje? (9) Mějme rozklad množiny N = i=1 A i a k němu příslušnou ekvivalenci na N. Nalezněte funkci f : N N, aby platilo m n právě, když f(m) = f(n). (10) Mějme dvě ekvivalence R a S. Ukažte, že jejich složení je ekvivalence právě, když tyto relace komutují, tj. R S = S R. (11) Na množině A všech konečných posloupností vytvořených z 0 a 1 definujeme pro a, b A relaci a P b tak, že buď a = b nebo b je prodloužením posloupnosti a. Ověřte, že P je uspořádání. Jsou všechny dvojice prvků množiny A porovnatelné? (12) Ověřte, že inverzní relace k uspořádání je opět uspořádání. (13) Zjistěte, které z následujících matic reprezentují relaci uspořádání. M 1 =, M 2 =, M 3 = 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1. (14) Seřaďte následující posloupnosti podle lexikografického uspořádání: 0, 01, 11, 010, 011, 0001 a 0101. (15) Množina A = {2, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 48, 60, 72} je uspořádána relací dělitelnosti, tj. (a, b) R, když a dělí b. (a) Nalezněte největší a nejmenší prvek. (b) Nalezněte všechny maximální a minimální prvky. Řešení. (1a) antisymetrická a tranzitivní, (1b) pouze symetrická, (1c) reflexivní, symetrická a tranzitivní, (1d) reflexivní a symetrická. (2) k R 2 m znamená, že k = m mm+1 a k R 3 m dává k = m m(mm+1 +m+1). (3) Symetrická relace R splňuje R = R 1, antisymetrická R R 1 I A. Spojením máme R I A. (4) Všechny kromě reflexivity, pokud je R uvažovaná na neprázdné množině a všechny vlastnosti, pokud je R uvažovaná na prázdné množině. (5) : Relace (R R 1 ) je vždy symetrická, takže z rovnosti plyne, že R je symetrická. Tím R = R 1 a rovnost dává R 2 = R, tj. tranzitivitu.

9 : Protože R je tranzitivní, R 2 R. Navíc symetrie dává R = R 1, což je dohromady R R 1 R. K důkazu obrácené inkluze mějme (a, b) R. Ze symetrie máme (b, a) R a užitím tranzitivity (a, a) R. Protože také (a, b) R 1, spojením posledních dvou faktů dostaneme (a, b) R R 1. (6) [x 4 ] = {x 4 + ax 2 + bx + c a, b, c R}. (7) [x 0 ] = {x 0 + 2kπ k Z} {π x 0 + 2kπ k Z}. (8) Dva body (x 1, y 1 ) a (x 2, y 2 ) jsou ekvivalentní, splňují-li 2x 1 + y 1 = 2x 2 + y 2. (9) Funkci f definujeme hodnotou i pro všechny prvky z množiny A i. (10) Nejprve si všimneme, že pro reflexivní relaci R je tranzitivita ekvivalentní s R 2 = R, nikoli je s inkluzí R 2 R. : Je-li R S ekvivalence, pak je symetrická, tj. R S = (R S) 1 = S 1 R 1 = S R. : Složení reflexivních relací je vždy reflexivní relace. Ověříme symetrii: (R S) 1 = S 1 R 1 = S R = R S, kde v posledním kroku jsme užili komutativitu. Zbývá tranzitivita: (R S) 2 = R 2 S 2 díky komutativitě. Protože v našem případě R 2 = R a S 2 = S, máme (R S) 2 = R S a ověření tranzitivity je dokončené. (11) Relace P je uspořádání, ale ne všechny dvojice jsou porovnatelné, např. a = 0 a b = 10. (13) Matice M 1 a M 2. (14) 0 L 0001 L 01 L 010 L 0101 L 011 L 11. (15) Neexistuje největší ani nejmenší prvek. Maximální prvky: 27, 48, 60 a 72. Minimální prvky: 2 a 9.