. Dvoufaktorová dferencovatelná produkční funkce a její charaktertky V další úeku výkladu o produkčních funkcích záěrně učníe dva dočané předpoklady: Jednak budee předpokládat - z důvodu ateatcké výhodnot uožňující operovat alepoň první dvěa parcální dervace produkční funkce, že : (a) Produkční funkce je dvakrát pojtě dferencovatelná, tzn. pro její analytcký tvar etují všechny pojté parcální dervace apoň do druhého řádu včetně, jednak e (b) Oezíe na analýzu produkční funkce, která á pouze dva výrobní faktory/arguenty: v defncích př značení uplatníe dva typcké výrobní faktory, a to prác a kaptál. Řekněe hned v úvodu, že dvojí pojtá dferencovatelnot produkční funkce nevyplývá bezprotředně z žádných eleentárních vlatnotí produkčních nožn (vtupů an výtupů) a že pro některé z dále defnovaných pojů (např. pro ezní produktvty) by bylo ožno rovnocenně zavét jejch konečně alé ekvvalenty. V takovéto případě bude tedy ít (dvakrát pojtě dferencovatelná) produkční funkce obecný tvar Y,, α, β, χ, δ,..., kde vyjadřuje kaptál, prác a píena řecké abecedy (počínaje α) přílušné paraetry produkční funkce. Počet uítění těchto paraetrů bude závet na tvaru konkrétní nelnearty, kterou použjee k popu technologe odpovídající produkční funkc.. Defnce 5 První parcální dervace produkční funkce podle každého výrobního faktoru vyčílená v některé pevné bodě, faktorového protoru je nazývána ezní (argnální) produktvta výrobního faktoru (tj. práce nebo kaptálu) v toto bodě. Mezní produktvty budee značt (.),, Přrozeně, každá ezní produktvta ůže být podtatnou ěrou závlá na faktorové kobnac,, v níž je vyčílována. Podle předpokladu o nekleající produkční funkc, v obou faktorech je ezní produktvta každého výrobního faktoru vždy nezáporná. Přpouští e tedy ožnot doažení určté aturační úrovně užtečnot některého výrobního faktoru, po jejíž překročení e produkce jž dále nezvyšuje. Z kroekonocké realty lze zajté jenovat případy, kdy po nabytí jté optální úrovně určtého výrobního faktoru ezní užtek nerote č dokonce kleá. Takovéto případy (ouvející zpravdla technckou, nkolv ekonockou tránkou výrobního proceu) však zde nepřpouštíe. Defnce 6 Součn ezní produktvty výrobního faktoru a velkot tohoto faktoru nazýváe účat faktoru na produkc (zkráceně jen účat ) a značíe v. orální zápe tedy (.) v v
Účat lze považovat - obrazně řečeno za hodnotový přípěvek přílušného faktoru k hodnotě produkce. Je přío úěrná jednak naazenéu nožtví faktoru, jednak ezní produktvtě faktoru. Poje účat faktoru na produkc jak níže ukážee nabývá záadní důležtot v ouvlot lneární hoogentou produkční funkce. Pokud je produkční funkce lneárně hoogenní, lze na základě platnot Eulerovy věty hodnotu produkce (uvažujee-l pouze dva výrobní faktory) zapat jako (.3) (.3A ),,, nebo také tručněj, v v V toto případě lze provét úplný adtvní rozklad funkční hodnoty na jednotlvé faktorové účat. Význa obou těchto velčn je patrný přío z jejch defnce : velčna e ná podává nforac o to, o kolk % e zvýší produkce, jetlže e nožtví rozklad produkce na účat jednotlvých výrobních faktorů. Zobecnění (.3A) pro vícefaktorovou produkční funkc je zřejé. Defnce 7 Podíl relatvní zěny produkce a relatvní zěny výrobního čntele nazýváe koefcent pružnot (elatcty) produkce vzhlede k prác rep. kaptálu. V zápe tedy (.4) e, Y e, použtého kaptálu zvýší o %. Totéž platí, utat utand, pro koefcent pružnot e. Oba koefcenty pružnot jou bezrozěrné velčny, které popují ctlvot celkové produkce vůč ndvduálníu přínou každého z obou výrobních faktorů. Uvažuje dále, že u dvoufaktorové produkční funkce, budee proporčně zvyšovat nožtví doazovaných výrobních faktorů, tj. každý z arguentů vynáobíe hodnotou. Poto podle charakteru vývoje produkce př této proporční zěně rozlšíe tř základní ožnot : Defnce 8 Jetlže pro lbovolná, a bude platt nerovnot a),,, kde, řeknee, že produkční funkce vykazuje kleající výnoy z rozahu výroby. V případě, že platí b),,, př, řeknee, že jde o produkční funkc kontantní výnoy z rozahu výroby. Pokud c),,, kde, řeknee, že produkční funkce e vyznačuje rotoucí výnoy z rozahu výroby. Poznáka Eprcké prověření, zda v reálné výrobní tuac platí případ a), b) nebo c), je oezeno na určté rozezí hodnot. Je-l produkční funkce popána analytcký funkční tvare (např. dvoufaktorovou ocnnnou funkcí), předpokládá e títo zpravdla zařazení této produkční funkce ez některý z uvedených tří případů pro lbovolné, což předchozí neuí korepondovat. Y
Poznáka Specfčtější ndkátore vyšetřování závlot růtu produkce na proporční zvyšování výrobních faktorů je hoogenta produkční funkce, která ovše předpokládá přeněj vyezený typ závlot růtu produkce na zvětšování. Pouze v případě kontantních výnoů z rozahu produkce, tj. případ b), e tato tuace kryje dále zavedený poje lneární hoogenty (též hoogenty. tupně). Defnce 9 Produkční funkc nazvee hoogenní -tého tupně, jetlže pro lbovolná doazení výrobních faktorů, z faktorového protoru a lbovolné kladné platí (.5),, pro nějakou kontantu, jejíž příputný rozah je zpravdla zdola oezen hodnotou. V případě, že, luvíe o lneárně hoogenní (produkční) funkc. Hoogenní funkce tvoří důležtou třídu ez produkční funkce. Jednou z vlatnotí lneárně hoogenní funkce je např. ta, že vedee-l polopříku (paprek) z počátku ouřadnc napříč faktorový protore, pak tečny k zokvantá vedené v bodech, kde tento paprek protíná jednotlvé zokvanty, jou navzáje rovnoběžné. Defnce Podíl dvou ezních produktvt, v některé bodě faktorového protoru e nazývá ezní (argnální) íra ubttuce ez prací a kaptále. Značíe j r (.6) r Jak je z defnce patrno, ezní íra ubttuce je ve vztahu k pořadí výrobních faktorů recproká, tzn. obrátíe-l potavení práce a kaptálu v ubttuční vztahu, obdržíe převrácenou hodnotu původní r. Podotkněe, že hodnota ezní íry ubttuce ůže lně závet na to, ve které bodě faktorového protoru j vyčílujee. Pro ezní íru ubttuce platí tejně jako v případě užtkové funkce vztah : (.6A) d d r, jehož vyvození je taktéž zcela hodné e zíněný případe :. Předpokládeje, že áe přírůtek produkce adtvně rozdělen do dvou dílčích vlvů. V ouladu přjatý rozklade totálního dferencálu d, pše : d,,. d, přčež pro zkrácení notace pše obě parcální dervace jako rep.. Př pohybu po zokvantě nedochází ke zěně velkot produkce, platí tedy d,. Odtud tedy :,, d d. d 3
Zde tedy vdíe, že ezní íru ubttuce ůžee forulovat v pojech parcálních dervací tejně dobře jako v pojech konečných přírůtků (úbytků) výrobních faktorů př pohybu po zokvantě. Defnční výraz (.6) ůže loužt k příéu výpočtu ezní íry ubttuce, znáe-l analytcký tvar produkční funkce, zatíco přednot vyjádření (.6A) počívá v ožnot přblížt charaktertku r grafcky v protředí zokvant produkční funkce. Záporné znaénko v (.6A) vythuje kutečnot, že ubttuce ( udržení na téže zokvantě) znaená zvýšení nožtví jako nutnou kopenzac př nížení rep. vce vera. Poznáka 3 Defnování ezní íry ubttuce jako podílu je - co do vyjádření, která ezní produktvta á být v čtatel a která ve jenovatel výrazu- věcí konvence. Stejně dobře bycho ohl užít recproké defnce. Podobně je to e znaénke, kdy e někdy přuzuje výrazu r záporná hodnota, a naopak podíl d je brán jako kladné čílo. Zde preferujee kladnot r a zápornot podílu dfe- d d rencálů př pohybu po zokvantě jde vždy o přírůtek jednoho a úbytek druhé- d ho výrobního faktoru (jou-l jen dva). Poznáka 4 V případě n faktorové produkční funkce bycho ohl analogcký způobe zavét všech n n ezních ěr ubttuce. Polovna z nch by ovše byla recprokou hodnotou přílušného protějšku. Mezní íra ubttuce je - jak už bylo zíněno - velčnou, která je vel ctlvá na to, ve které bodě faktorového protoru j vyčílujee. Jetlže e podíváe na obrázek č.[. ], zaznaenáe, že v bodě B ( velkou hodnotou a alou, tzn. alý podíle ) je velkot r alá. Naprot tou v bodě C charakterzované vyokou hodnotou faktoru a alou faktoru bude tuace přeně opačná, tzn. r bude ít vyokou hodnotu. Mezní íra ubttuce je tedy nevhodná jako globální kvanttatvní charaktertka pro vyjádření ubttučnot dvou faktorů u produkční funkce. Její hodnota - třeba př pohybu po zokvantě kontantní produkce - e vel znatelně ění, přčež lně záví na proporc použtí obou výrobních faktorů. V ouvlot títo problée lze položt otázku, zda je ožné, aby př pohybu po zokvantě odpovídající nějaké pevné hodnotě produkce zůtala ezní íra ubttuce tále tejná. Odpověď na n je nadná (a kladná), pokud uvážíe, že r bude kontantní př kontantních ezních produktvtách výrobních faktorů (touto vlatnotí e ovše vyznačuje právě lneární produkční funkce). neární produkční funkce vythuje tedy perfektní ubttučnot ez výrobní faktory. Toto chápání dokonalot však neíe zaěňovat perfektnotí ve ylu úplné nahradtelnot jednoho výrobního faktoru druhý. I touto vlatnotí, 4
která ouví tzv. podtatnotí výrobního faktoru vz čát [4] - e totž lneární produkční funkce (zdaleka ne ovše aa) vyznačuje. S ohlede na výše řečené bude tedy pro vyjádření ubttučnot ez výrobní faktory zajté užtečné ít k dpozc dokonalejší charaktertku, která by potlačla vyokou závlot ezní íry ubttuce r na poloze uvažovaného bodu, ve faktorové protoru, rep. na hodnotě podílu. Takovou vhodnou íru zavedee náledující defncí : Defnce Pružnotí (elatctou) ubttuce nazýváe relatvní zěnu podílu faktorů vůč relatvní zěně ezní íry ubttuce r. Vyjádřeno forálně tedy : (.7) d dr r Jetlže použjee tručnějšího vyjádření, např., pak lze pát jako (.7A) d dr r dln dlnr Tato charaktertka tedy vyjadřuje ubttuční vztah ez dvěa faktory nezávle na to, na jaké ítě zokvanty e vyšetřovaný bod (faktorová kobnace) nachází. I zde á yl uvažovat otázku, zda etuje nějaká třída produkčních funkčních tvarů, pro které platí, že pružnot ubttuce je běhe pohybu po celé zokvantě kontantní. Odpověď na tuto otázku je kladná. Produkční funkce touto vlatnotí e nazývají CES-produkční funkce (převzato z anglckého Contant Elatcty of Subttuton ) a lze je vyezt konkrétní analytcký tvare. Seznáíe e n v čát [ 3 ]. Pružnot ubttuce je zajíavou vlatnotí, která charakterzuje nadnot, e kterou lze jeden výrobní faktor nahradt druhý (v naše případě prác kaptále), anž e zění hodnota doažené produkce (v technologcké protředí předtavované produkční funkcí, ). Povšněe-l znaénka charaktertky pružnot ubttuce ohlede na obah defnce (.7): Zřejě jou vždy kladné velčny,,r v důledku kladných ezních produktů,. Pokud př otáčení polopříky vyezené kontantnotí podílu / potupujee ve ěru pohybu hodnových ručček, bude hodnota d ( / ) záporná, zatíco hodnota r, 5
kterou odečítáe př tradční ěru pohybu po zokvantě (zleva hora doprava dolů) zaručeně vždy záporná jen tehdy, bude-l plněn zákon kleající ezní íry ubttuce vz. [ ]. Tato podínka, jak jž víe, ouví kvazkonkávnotí produkční funkce. bude-l produkční funkce kvazkonkávní. Poznáka 5 Pružnot ubttuce, tak jak je zavedena defncí (.7), není vhodná pro výpočetní účely, neboť z ní není zřejé, jak lze určt z analytckého tvaru produkční funkce (např. dvakrát pojtě dferencovatelné). Někdy, jako např. u Cobb- Douglaovy [3.] nebo ACMS-funkce [3.3], lze k výpočtu využít vhodných obratů, které však nejou provedtelné u jných funkčních tvarů. Proto uvedee vzorec, který uožňuje pružnot ubttuce vypočítat pro lbovolnou (dvakrát pojtě dferencovatelnou) dvoufaktorovou produkční funkc. VĚTA Má-l dvoufaktorová produkční funkce (,) výrobní faktory práce a kaptál všechny parcální dervace pojté až do druhého řádu včetně, pak lze pružnot ubttuce ez oběa těto faktory vyjádřt vzorce (.8), kde (,), (,), (,), (,) důkaz krocích: (,) (,) provedee příý odvození vzorce z defnčního vztahu (.7) ve třech ) Ve výrazu (.7) nejprve vyjádříe dferencální člen d ( / ) na základě pravdla o rozkladu dferencálu podílu / : (.9) d d d Výpočte obou parcálních dervací v ouladu pravdly o dervování zloků dopějee k výrazů : d d d d d, Celý výraz v čtatel (.7) je tedy roven a po jeho vydělení d tedy dotá- d váe d d d d 6
d( ) / d d d Zde je opětovně využl vztahu d d ) Nyní přtoupíe k obdobný úpravá u jenovatele dr / r ve výrazu (.7). Nejdříve rozložíe dferencál podílu / na dva členy, z nchž každý je oučne parcální dervace / podle, rep. a dferencálu přílušného arguentu (výrobního faktoru). Dotanee (.) d d d Nyní vyčílíe hodnoty obou parcálních dervací na pravé traně a doadíe do (.). Dotanee (.) dr d a ná- ledně.d.d dr r d.d.d Další úprava pravé trany výrazu (.) dotáváe : dr r d., kde je opět čtatele jenovatele pravé trany d d. Navazující úpravy pak potupně vedou k výrazů vyděll d a využl vztahu 7
dr r d d 3) Souhrnně lze tedy výraz pro pružnot ubttuce zapat ve tvaru d r d dr d což po dalších úpravách (křížové zkrácení d a ) vede k cílovéu výrazu (.) Toto vyjádření obahuje - vedle doazovaných nožtví faktorů a - tolko parcální dervace produkční funkce a ůže být tedy vypočtena pro lbovolnou produkční funkc... Poznáka 6 Jak patrno, znaénko výrazu (.) určuje př kladnot všech otatních jenovatel druhého zloku, tj. výraz. Obdobně jako u užtkové funkce lze tento výraz zapat jako kvadratckou foru (v proěnných, ) atcí koefcentů obahující druhé parcální dervace produkční funkce, Z tohoto vyjádření je zřejé, že zápornou hodnotu zíněný výraz ( podňující kladnou velkot ) nabude tehdy, jetlže atce kvadratcké fory bude negatvně defntní. vazkonkávnot produkční funkce (, ) je tedy opět vlatnotí, která zajšťuje, že pružnot ubttuce ez výrobní faktory je (př kladných ezních produktvtách) kladná hodnota. Poznáka 7 V pracích některých autorů e lze etkat recprokou defncí pružnot ubttuce, tzn. * je pojíána jako podíl relatvní zěny ezní íry ubttuce r a relatvní zěny faktorového podílu /. V toto případě bude výraz pro * převrácenou hodnotou (.7). Poznáka 8 Všněe, že pružnot ubttuce ůže nabýt kladné, záporné (případně nulové) hodnoty. Ve vzorc (.8) určuje znaénko (př kladnot všech otatních výrazů) jenovatel druhého zloku. Ten ůžee rozepat do tvaru =., 8
což lze nadno ověřt příý výpočte deternantu (např. Saruový pravdle). Jenovatel bude záporný právě tehdy, když bude hodnota deternantu kladná. Znaená to tedy, že kladnot pružnot ubttuce přío ouví negatvní defntnotí atce Bude-l tato atce negatvně defntní, bude to znaenat kladné znaénko pružnot ubttuce. Jak víe z tetu pojednávajícího o teor užtku, odpovídá tato podínka (polu autoatcky plněný požadavke ) podínce kvazkonkávnot produkční funkce. Tedy, bude-l produkční funkce kvazkonkávní ve ylu defnce (P6), bude zajštěno, že tato funkce bude vykazovat kladnou hodnotu pružnot ubttuce. U funkcí, které tuto podínku neplňují, nelze (přnejenší ne v celé defnční oboru výrobních faktorů) platnot zajtt. Výraz (.) pro lze vyjádřt ve více ekvvalentních tvarech. Jeden z užívaných uvádí náledující ea Vzorec (.) lze vyjádřt ve tvaru.. (.3). Ověření Defnční výraz (.) upravíe tí způobe, že jeho čtatel jenovatel vydělíe výraze Dotanee..... Hledaný výraz jž okažtě dotanee úprava znaének ve jenovatel.. ٱ Pro tř a více výrobních faktorů jž není jednoznačné vodítko, jak přrozeně defnovat pružnot ubttuce ez každý dvěa z nch. Nejčatěj e lze etkat příou pružnotí ubttuce [Mcadden 963] označovanou DES a Allenovou parcální pružnotí ubttuce [Allen 938] značenou AES. 9
Příá pružnot ubttuce ez j-tý a k-tý faktore je příý zobecnění dvoufaktorové pružnot ubttuce (neění-l e nožtví otatních faktorů), tedy (.4) j k D j k j k jk ( opět < jk < ) k j jj k jk j k kk j Allenova parcální pružnot ubttuce ěří zěnu v poptávce fry po j té výrobní faktoru př dané zěně ceny faktoru ( opět za podínky ceter parbu tj. př kontantních cenách všech otatních faktorů). ontet jejího užtí tedy vyžaduje vzetí do úvah cenových apektů (byť ceny defnce přío neobahuje) : (.5) A jk j kde Φ je deternant a Φ jk je algebracký doplněk k prvku ležícíu na průečíku j tého řádku a k tého loupce atce vytvořené (tejně jako atce U v teor užtku) z prvních a druhých parcálních dervací (tentokrát) produkční funkce A D (). Hodnota jk ůže být na rozdíl od jk také lbovolně záporná. S ohlede na defnc prvků v této atc bude atce pružnotí ez jednotlvý A A faktory yetrcká: jk jk. VĚTA (Eulerova) Nechť G je lneárně hoogenní (produkční) funkce n proěnných. Poto lze tuto funkc zapat ve tvaru : k Φ jk Φ (.6) G n G, kde G je první parcální dervace G v bodě. důkaz Z hoogenty funkce G vyplývá pro lbovolné platnot vztahu : G,,..., n G,,..., n Dervuje nyní levou tranu tohoto vztahu podle dervac ložené funkce) (.6A) G n G Pravá trana po analogcké dervac nabude tvar.g() (.6B) G(,,...,n). Dotanee (podle pravdla o Nyní porovnáe pravé trany (.6A) a (.6B) a uplatníe vlatnot lneární hoogenty: Vzhlede k tou, že totožnot obou těchto pravých tran platí (dle předpokladu o lneární hoogentě G ) pro lbovolné, položíe ve výrazu (.6A). Obdržíe tak n G
G n G z čehož plyne platnot dokazovaného tvrzení.. Uvedená věta, užívaná též v řadě jných oblatí ateatckých aplkací, je vel důležtá. Ukazuje, že za předpokladu lneární hoogenty je ožné přeně rozložt funkční hodnotu do n členů (oučnů nožtví faktoru a přílušné ezní produktvty), tzn. vyjádřt tuto funkční hodnotu adtvně jako oučet n faktorových účatí. Jak dále uvdíe, řada funkcí užívaných v teor produkce (např. Cobb-Douglaova funkce jednčkový oučte ocnnných paraetrů), á vlatnot lneární hoogenty, takže je taková dekopozce provedtelná. U funkcí neplňujících tuto vlatnot je takový rozklad uvažovatelný nanejvýš přblžně. Další věta ukáže, že hodnotu pružnot ubttuce lze u produkčních funkčních tvarů, které jou hoogenní.tupně, vyjádřt podtatně jednodušej než vzorce uvedený ve větě : VĚTA 3 Nechť je dvoufaktorová produkční funkce (,) lneárně hoogenní. Pak lze pružnot ubttuce ez výrobní faktory, vyjádřt u této funkce vztahe (.7). (,). důkaz Vyjdee z obecného vztahu pro pružnot ubttuce (.) ez faktory práce a kaptál. (.) n G Z Eulerovy věty vyplývá pro lneárně hoogenní (produkční) funkc platnot vztahu (,) Jetlže tento adtvní rozklad zdervujee podle obou arguentů, dotanee (,) (,) Poněvadž dále zjednodušení (,). a. (,).. (,). (,)., obdržíe po elnac (,) na obou tranách (.8) (,). (,).. Zcela analogcky ( jako parcální dervac (,) podle ) obdržíe (,) (,) (,) (,). (,). (, (,). (,). e tejných důvodů jako dříve zíkáe po elnac ) na levé pravé traně (.9) (,). (,).. Z
Nyní z (.7),(.8) vyjádříe druhé parcální dervace (,), (,) poocí (,) : (,).(,) a podobně (,).(,) a obojí doadíe do výrazu pro (.) Úpravou jenovatele (vynáobení dotanee (.). a vytknutí..(,) (.. ) a po zkrácení. dále Dále všněe, že druhá ocnna výrazu pro (,) dává podle Eulerovy věty vztah (,)..., tedy výraz obažený v závorce jenovatele. Odtud už nadno - krácení (,) - dotanee dokazovaný tvar (.7)..(,) ). Ilutrace Unadnění výpočtu pro pružnot ubttuce v případě lneárně hoogenní funkce ukážee na příkladu dvoufaktorové Cobb-Douglaovy produkční funkce tvaru β β Y (,) β.., př β β. u níž nadno počtee.(,),.(,),.(,). Doazení do výrazu pro dotanee.(,)..(,). S..(,).. (,). ve hodě výpočte provedený poocí jž uvedeného obratu. Poznáka 9 U lneární funkce Y (,) lneárně hoogenní pro případ β. platí,, ; okažtě dotáváe β. Výpočet je ovše korektní jen pro případ jednčkového oučtu ocnnných paraetrů. Cobb-Douglaova funkce obecně není lneárně hoogenní, takže bycho ěl užít obecný vzorec (.). Jak e trpělvý čtenář převědčí, ten pokytne hodnotu pružnot ubttuce rovnou.
VĚTA 4 Nechť G je hoogenní tupně (produkční) funkce n proěnných. Poto pro kteroukolv z n parcálních dervací této funkce G () platí, G() G že tato parcální dervace je hoogenní tupně. Důkaz Z hoogenty -tého tupně funkce G λ Dervování obou tran tohoto vztahu podle (.) λ áe G λ G (λ) G plyne pro lbovolné platnot vztahu,λ,...,λn λ G,,..., n G λ λ G λ λ. λ dotanee G λ λ. G.λ λ λ. G.G (), z čehož po krácení Odtud plyne, že funkce G () je hoogenní tupně.. 3
Dva jednoduché příklady Příklad Dvoufaktorová lneární produkční funkce tvaru (.) y (př, ), je-l užta jako produkční, neůže obahovat kontantní člen (jnak by zřejě neplatlo ). Odtud vyplývá retrkce. Tato funkce á a) ezní produktvty přío rovny paraetrů, tj. a b) koefcenty pružnot produkce vzhlede ke kaptálu e a vzhlede k prác e. Y Y oefcenty pružnot e tedy ění (přío úěrně) růte každého výrobního faktoru. c) účat kaptálu na produkc v, podobně účat práce na produkc v d) výnoy z rozahu výroby kontantní (lneární funkce je hoogenní tupně ) př. e) ezní íru ubttuce r ez výrobní faktory rovnou podílu klonových paraetrů, tj. úrovně y. a tedy kontantní běhe celého pohybu po zokvantě kontantní f) pružnot ubttuce neoezeně velkou (, popř. ) Toto kontatování ověříe náledovně : Z defnce plyne dln dln. dlnr Jelkož však ve jenovatel uvažujee alou zěnu výrazu, který je ( po logartování) př pohybu po zokvantě kontantní, á jenovatel ( přírůtek kontanty) nulovou hodnotu. Výraz v čtatel á konečnou velkot (je kladný pro, kde podíl / a logartu je tudíž kladný rep. záporný v opačné případě / ), a plynule kleá podél uvažované zokvanty. Též vzhlede k této vlatnot e lneární funkce k odelování výrobních proceů téěř nepoužívá. Eprcké výzkuy totž ukázaly, že ubttuce ez výrobní faktory (a to nejen ez prací a kaptále) probíhá obtížněj, než jak by odpovídalo kontantní hodnotě ezní íry ubttuce u lneární funkce. dln 4
Příklad Dvoufaktorová ryze kvadratcká produkční funkce tvaru (.) y α β β β (př, a opět vynucené retrkc ) á a) ezní produktvty rep., a tedy závlé na nožtvích použtých výrobních faktorů, b) koefcenty pružnot produkce vzhlede ke kaptálu e a vzhlede k prác obdobně e Y. Obě velčny jou nelneární funkcí výrobních faktorů (a to faktoru k danéu koefcentu nepřílušejícíu). c) účat na produkc u kaptálu v, podobně u práce v d) charakter výnoů z rozahu výroby vyšetříe vel nadno : (.3),, Pro výledek předtavuje (jnak píše vzácnou) vlatnot rotoucích výnoů z rozahu výroby. Vztah (.) zřejě prokazuje hoogentu.tupně kvadratcké produkční funkce. e) ezní íru ubttuce r rovnou podílu Y (.4) r, po drobné úpravě., kde opět. f) pro výpočet pružnot ubttuce, kde nelze uplatnt tejný obrat jako u lneární produkční funkce, uíe potupovat doazení do výpočtového vzorce (.8 ) : Nejprve dotanee: náledně po běžných algebrackých úpravách dopějee k výrazu (.5). Také v toto případě tedy záví pružnot ubttuce na poloze bodu, ve které tuto charaktertku vyčílujee (kobnac faktorů a ). 5
vadratcká produkční funkce je ohlede na některé zíněné nedotatky používána zřídka. Vedle zíněné retrkce nutné k zajštění (P) totž natává problé také udržení nezápornot (P) a tí, že vzhlede k požadavku dané aoe (P3) je akceptovatelná vždy jen čát defnčního oboru: Navíc pro, není funkce kvazkonkávní. 6