Statika staveních konstrukcí II., 3.ročník akalářského studia Téma 3, Úvod do dynamiky staveních konstrukcí dynamiky Úvod Vlastní kmitání Vynucené kmitání Tlumené kmitání Podmínky dynamické rovnováhy konstrukcí Katedra stavení mechaniky Fakulta stavení, VŠB - Technická univerzita Ostrava
Statika a dynamika Ve statice se předpokládá, že zatížení konstrukce se s časem: nemění mění se velmi pomalu Rovnováha je zajištěna mezi vnitřními a vnějšími silami Při větší rychlosti změn zatížení v čase se musí počítat s pohyovou energií, která je při pomalém zatížení nepodstatná V rovnicích rovnováhy kromě vnějších a vnitřních sil vystupují ještě síly setrvačné a tlumící a sestavují se rovnice pohyové (dynamické rovnováhy)
Dynamická zatížení Za dynamické zatížení považujeme ta, u kterých se mění dostatečně rychle alespoň jedna z následujících charakteristik: velikost směr půsoení smysl půsoení poloha půsoiště 3
Dynamická zatížení, rozdělení Účinky pohyujících se zatížení Účinky rotujících strojů a strojů generujících rázy Účinky větru Účinky zemětřesení (seizmicita) Nárazy pohyujících se těles Účinky výuchu 4
Dynamika Je část mechaniky, která zkoumá a aplikuje zákony pro pohy hmotných ojektů v čase a v prostoru za účinku sil Newton formuloval tři základní principy: Princip setrvačnosti Princip síly Princip akce a reakce 5
Dynamika D Alamertův princip Setrvačná sílu F in =ma je v každém okamžiku v rovnováze se silou zrychlující F. Platí: F F in Platí i pro soustavu hmotných odů. Setrvačné síly soustavy hmotných odů vytvářejí s vnějšími silami rovnovážnou soustavu F i F in, i Vektorový součet všech vnějších sil půsoících na soustavu hmotných odů a setrvačných sil je rovnováze. 6
Přímočaré kmitání vlastní Vychýlením hmotného odu o hmotnosti m z rovnovážné polohy vznikne v péru síla F p =ky=cy, kde C je tuhost (pérová konstanta) Proti pohyu hmotného odu půsoí setrvačná síla F in =ma Z rovnováhy sil vyplývá: F p +F in =, respektive Cy+ma= d y dt d y je dt C m Protože a y 7
Přímočaré kmitání vlastní, pokračování Rovnici lze d y m Cy upravit na tvar: dt d y C y, kde je tzv. kruhová frekvence dt m Jde o diferenciální rovnici řádu, lineární a homogenní. Řešením je rovnice harmonického kmitání: y C cost C sin t 8
pro t Přímočaré kmitání vlastní, pokračování Integrační konstanty C a C se v rovnici určí z počátečních podmínek: Pro t rychlost kmitání je je y() dy dt C je y, dy dt C sin s t C C Rovnici lze také vyjádřit ve tvaru y y C cos t C cost C sin t y Acos( t ), kde A C C A je amplituda (maximální výchylka) a fázový posun pro t= y y 9
Přímočaré kmitání vlastní, pokračování Pro dráhu kmitavého pohyu je Pro rychlost kmitání pak platí: Pro zrychlení je kde ) sin( ) cos( : lze také upravit Rovnici ) cos( ) sin( ) cos( t A t A y t A y t A y t A y
Přímočaré kmitání vlastní, pokračování Ve vzorcích pro výpočet výchylky (posunutí), rychlosti a zrychlení kmitání je: kruhová frekvence, úhel v radiánech za jednotku času f vlastní frekvence, počet kmitů za sec [Hz] T doa periody (perioda), doa jednoho kmitu Platí: π f T ω f,, T f ω T Tzv. kruhová frekvence C / m je v daném případě funkcí pérové konstanty C a hmotnosti m. Není funkcí amplitudy.
Přímočaré kmitání vlastní, pokračování Pokud hmota na pružině ude uvedena do pohyu, ude kmitat. Neude-li docházet ke ztrátám energie, pak tento pohy se ude opakovat v pravidelných intervalech periodách T hovoříme o periodickém pohyu. Tento pohy je vyjádřitelný goniometrickou funkcí a nazýváme jej jednoduchý harmonický pohy neo prostě harmonický. Hmota m na pružině s pérovou konstantou C ude mít vlastní frekvenci a vlastní tvar kmitání. Vlastní frekvence a vlastní tvar kmitání jsou charakteristické pro každou soustavu.
Vynucené kmitání způsoené náhlým zatížením harmonicky proměnnou silou Na hmotný od na pružině ude půsoit harmonicky proměnná síla P: Pohyová rovnice je diferenciální rovnicí. řádu, nehomogenní: d y m Cy Psint dt Partikulární řešení : y( Asint, kde A je výchylka závislá na velikosti síly y ( ma sint CAsint A A cost, P C m y ( P m m A sint Po dosazení do diferenciální rovnice Psint P, m( ) je A( C m ) kde C m P 3
Vynucené kmitání způsoené náhlým zatížením harmonicky proměnnou silou Ve výrazu kruhová frekvence vlastního kmitání kruhová frekvence vynuceného kmitání Výchylka vyvolána statickou silou P Po dosazení A A Výchylka při dynamickém zatížení není stejná zatížení statickém. P m( ) A st je m m( ) A je : A st st P C P m jako při 4
y( což Pro t tedy a Vynucené kmitání způsoené náhlým zatížením harmonicky proměnnou silou Oecným řešením rovnice pro netlumené Asint A je součet partikulárního řešení a zkrácené homogenní rovnice. Pro rychlost kmitání Rozkmit :soustava A po dosazení A sin( t je v klidu a začne půsoit proměnná síla Psint. y( je : A ), y ( A cost dy( ) je y( ) a a také d( A f A f A(sint sin vynucené oecného integrálu A cos( t A f f kmitání ). je : 5
Vynucené kmitání způsoené náhlým zatížením harmonicky proměnnou silou f=n=3n =3s - f =n =s - Výsledné kmitání je dáno součtem ada) a ad). Vlastní část kmitání vlivem útlumu s časem zaniká, po delším půsoení vynucené síly zůstává jen ustálené vynucené kmitání. 6
Vynucené kmitání, resonance Pro f=f o, respektive = je frekvence síly v resonanci s vlastní frekvencí soustavy. Pro vynucené kmitání je amplituda P A a po dosazení je m( ) y( Ast A( sin ωt sin P( t cosω t sin m ( t cosω t sin, lim P(sin ωt sin m( ) P ( t cosω t sin C kde A st P C 7
Vynucené kmitání netlumené, resonance V rovnici Ast y( ( t cosω t sin, roste t s časem neomezeně. Zvětšení aplitudy závisí jen na počtu kmitů. Po k kmitech vzroste výchylka na kπ násoek statické výchylky A st. 8
Útlum U netlumeného kmitání rozkmitaná soustava kmitá se stejnou amplitudou neomezeně dlouho Pohyu však vždy rání menší neo větší rzdící síla způsoující útlum Příčiny útlumu jsou uvnitř i vně konstrukce a jsou různé (tření, odpor prostředí, deformace, porušení atd.) Matematické vyjádření útlumu je otížné a v jednotlivých případech zcela odlišné Předpoklady se zjednodušují, často se volí smykové tření látek tuhých a viskosita (tření kapalné), i když nemusí přesně odpovídat realitě 9
Útlum při vlastním kmitání Při viskosním tření je útlum úměrný rychlosti kmitání. Rovnice rovnováhy je: d y( m dt kde je koeficient vyjádřující tlumicí sílu při C f C m je dy( d( kg sec Cy( útlumu je kruhová frekvence útlumu n C - frekvence (kmitoče, jednotkové rychlosti. útlumu
Útlum při vlastním kmitání, pokračování Diferenciální lineární rovnici. řádu, homogenní d y( dy( m C Cy(, dt d( vyhovuje řešení : Po úpravě Řešením je : Je li ) ) 3) je,, α,, y( e t C m pak je útlum kritický pak je útlum nadkritický pak je útlum podkritický
Vlastní kmitání, kritický útlum V daném případě je kruhová frekvence vlastního kmitání a útlumu shodná: a když řešením diferenciální y( y() C e integrační C a t a C te t dy(t dt konstanty C ) rovnice po úpravách je : y() e t (, a C C C yly yly určeny pro t.
Vlastní kmitání, kritický útlum Průěh výchylky vlastního kmitání při kritickém útlumu jako funkce n t je zřejmý z or. Při tomto útlumu nenastane periodický pohy. Útlum aperiodický. v( v() n t y( y() n t f t t 3
a Vlastní kmitání, nadkritický útlum V daném případě je kruhová frekvence vlastního kmitání menší než kruhová frekvence útlumu: Integrační a řešením diferenciální y( C e pro rychlost kmitání y( ) C t C e t konstanty C C a, je dy( ) dt, t se určí pro t rovnice po úpravách je : dy( dt a C C e C te C C C t z rovnic : y() C y() 4
Vlastní kmitání, nadkritický útlum Průěh výchylky vlastního kmitání při nadkritickém útlumu jako funkce n t je zřejmý z or. Při tomto útlumu nenastane periodický pohy. Útlum aperiodický v( y( v() y() n t f t t 5
Vlastní kmitání, podkritický útlum Průěh výchylky vlastního kmitání při podkritickém útlumu jako funkce n t je zřejmý z or. Při tomto útlumu nastane periodický pohy s proměnnou amplitudou. v( y( v() y() n t f t t 6
Průěh výchylky vlastního kmitání při útlumu způsoeném smykovým třením Průěh výchylky vlastního kmitání. Při tomto útlumu nastane periodický pohy s proměnnou amplitudou. Vlivem tření se nedostane hmotný od do své výchozí polohy v odě s, ale do polohy s. v( y( v() y() n t f t t 7
Útlum při vynuceném kmitání Půsoí-li na hmotný od m zavěšeny na nehmotné pružině proměnná harmonická síla, má pohyová rovnice tvar: d y( dy( m m Cy( Psint dt dt Jde o nelineární diferenciální rovnici. řádu. V této rovnici představuje. člen sílu danou hmotností a zrychlením hmotného odu,. člen sílu při viskosním tření, 3. člen pružnou sílu vyvolanou výchylkou v pružině 4. člen (pravá strana) harmonicky proměnnou sílu 8
Útlum při vynuceném kmitání, příklad tlumeného kmitání vyvolaného náhlým zatížením harmonicky proměnnou silou 9
Útlum při vynuceném kmitání, rozkmitání s útlumem při resonanci 3
Stupně volnosti Stupněm volnosti v dynamice rozumíme počet nezávislých veličin, který je nutný, ay yla určena okamžitá poloha a tvar uvažované soustavy. Hmotný od zavěšený na nehmotné pružině má jeden stupeň volnosti. Hmotnosti m a tuhosti C (pérové konstantě) odpovídá jedna frekvence vlastního kmitání a tvar vlastního kmitání. 3
. stupně volnosti Dvě hmoty na nehmotných perech mají dva stupně volnosti. U takové soustavy může nastat jednoduchý harmonický pohy při dvou vlastních frekvencích. f f 3
. stupně volnosti Soustava tvořící dvě hmoty na nehmotném nosníku má dva stupně volnosti. V určitém okamžiku je v odě výchylka v ( a v odě výchylka v ( 33
Podmínky dynamické rovnováhy konstrukcí V současné doě se úlohy dynamiky staveních konstrukcí řeší zpravidla při aplikaci MKP. Podmínka dynamické rovnováhy se v maticovém tvaru vyjadřuje následovně: Mu Cu u u u K M C F Ku F, je vektor uzlových deformačních parametů konstrukce je vektor rychlosí uzlových deformací je vektor zrychlení je matice tuhosti kde je matice hmotnosti konstrukce je matice útlumu konstruce uzlových deformací je vektor zatížení (může jít o oecně proměnné zatížení v čase) 34
Podmínky dynamické rovnováhy konstrukcí Mu Cu Ku F, Řešením rovnice pro dané počáteční podmínky je přemístění uzlů v závislosti na čase u u( Dále se určí rychlosti a zrychlení uzlů, složky napětí v prvcích, vnitřní síly, reakce atd. K základním úlohám dynamiky patří: a) výpočet vlastních frekvencí a vlastních tvarů kmitů konstrukce, řeší se z rovnice Mu Ku, ) odezva konstrukce na harmonické zatížení, c) odezva konstrukce na oecné časově proměnné zatížení. 35
Použitá a doporučená literatura [] Koloušek V., Dynamika staveních konstrukcí, SNTL Praha 954 [] Teplý, B., Šmiřák, S., Pružnost a plasticita II, Nakladatelství VUT Brno 993 [3] Kolář, V., Němec, I., Kanický V., FEM Principy a praxe metody konečných prvků Computer Press, 997 [4] Pirner, M., a kol., Dynamika staveních konstrukcí, Technický průvodce, SNTL Praha 989 36