TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE Obrázek 1: Volba souřadnicového systému Pole posunutí, deformace, napětí v materiálovém bodě {u} = { u v w } T (1) Obecně 9 složek pole napětí lze uspořádat do matice [3x3] - TENSOR NAPĚTÍ Pokud je těleso namáho pouze povrchovým a objemovým silovým zatížením (momentové zatížení není uvažováno), pak z momentových podmnínek rovnováhy vyplývá, že tensor napětí je symetrický - věta o vzájemnosti smykových napětí [σ] = σ x τ xy τ xz τ xy σ y τ yz τ xz τ yz σ z (2)
Obecně 9 složek pole deformace lze uspořádat do matice [3x3] - TENSOR DEFORMACE ε x ε xy ε xz [ε] = ε xy ε y ε yz (3) ε xz ε yz ε z Pozn. Složky tensoru, podobně jako složky vektoru, závísí na volbě souřadnicového systému. Transformační vztah pro vektory Mějme dva souřadnicové systémy x, y, z a x, y, z a materiálový bod P o souřadnicích {x P } = {x P, y P, z P } T. Vyjádření bodu P v pootočených souřadnicích x, y, z obdržíme aplikací transformační matice [T] ve tvaru Obddobně transformujeme vektor (tensor 1. řádu) posunutí {x P } = [T] {x P }. (4) {u} = [T] {u}. (5) Transformační vztah pro tensory - připomeňme transformaci tensoru setrvařnosti Říkáme, že matice [A] typu [3x3] je tensor 2. řádu, pokud se její složky transformují podle následujícího transformačního vztahu [A] = [T] T [A] [T]. (6) Pozn. - transformační matice [T] je matice ortogonální, neboť platí [T] 1 = [T] T.
Jako příklad uvažujme transformační matici [T] pro případ rovinné deformace (τ xz = τ yz = 0). cos α sin α 0 [T] = sin α cos α 0 (7) 0 0 1 Vektorová representace tensoru napětí a deformace Vzhledem k symetrii tensorů napětí a deformace lze tyto veličiny přepsat do vektoru ve tvaru {σ} = { σ xx σ yy σ zz τ yz τ zx τ xy } T (8) Pozn. - poznamenejme, že {ε} = { ε xx ε yy ε zz γ yz γ zx γ xy } T (9) γ xy = 2ε xy. Hustota potenciální energie deformace W (skalár) {σ} = W {ε} W = 1 2 {ε}t [D] {ε} = 1 2 {σ}t {ε} (10) kde matice [D] (obecně [6x6]) je materiálová matice tuhosti. Vzhledem ke vztahu (10) lze ukázat, že matice tuhosti [D] = [C] 1 je symetrická. Matici [C] nazýváme maticí poddajnosti.
DEFINICE INVARIANTNÍCH MÍR POLÍ NAPĚTÍ A DEFORMACE Operátorové matice {m}, [P], [Q] {m} = { 1/3 1/3 1/3 0 0 0 }T [P] = 2/3 1/3 1/3 0 0 0 1/3 1/3 2/3 0 0 0 1/3 2/3 1/3 0 0 0 [Q] = 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 (11) 0 0 0 1/2 0 0 0 0 0 0 1/2 0 0 0 0 0 0 1/2 Vzájemné vztahy {m} T [Q] {m} = {m} T {m} = 1 3 [P] [Q] [P] = [P] [P] [Q] {m} = {0} (12)
DEFINICE INVARIANTNÍCH MÍR POLÍ NAPĚTÍ A DEFORMACE Pozn. - Invariantní veličina je veličina, která na rozdíl od tensorů a vektorů nezáleží na volbě souřadnicového systému. Střední napětí σ m σ m = {m} T {σ} = 1 3 (σ x + σ y + σ z ) = 1 3 (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) (13) Složky deviátorového pole napětí Objemová deformace ε v Složky deviátorového pole deformace {s} = {σ} 3{m}σ m (14) {s} = [P] [Q] {σ} (15) ε v = 3{m} T {σ} = ε x + ε y + ε z = ε 1 + ε 2 + ε 3 (16) {e} = {ε} {m}ε v (17) {e} = [P] [Q] {ε} (18) První invarianty tensorů deviátorových napětí a deformace I 1s, I 1e I 1s = s x + s y + s z = s 1 + s 2 + s 3 = 0 (19) I 1e = e x + e y + e z = e 1 + e 2 + e 3 = 0 (20)
DEFINICE INVARIANTNÍCH MÍR POLÍ NAPĚTÍ A DEFORMACE Druhý invariant tensoru deviátorových napětí J 2 = I 2s J 2 = I 2s = 1 2 {s}t [Q] 1 {s} (21) J 2 = I 2s = 1 2 {σ}t [P] {σ} (22) Lodeův úhel θ [ ( 1 θ = tan 1 3 2 σ )] ( 2 σ 3 1 = 1 σ 1 σ 3 3 arcsin 3 3 2 I 3s J 3 ) (23) J = J 2 I 3s = det [s] (24) Ekvivalentní míry tensoru deviátorových napětí q, J 3 q = 2 {σ}t [P] {σ} = 3J (25) J = 1 6 [ (σ1 σ 2 ) 2 + (σ 1 σ 3 ) 2 + (σ 2 σ 3 ) 2] 1 2 (26) q = 1 2 [ (σ1 σ 2 ) 2 + (σ 1 σ 3 ) 2 + (σ 2 σ 3 ) 2] 1 2 (27)
DEFINICE INVARIANTNÍCH MÍR POLÍ NAPĚTÍ A DEFORMACE Ekvivalentní míry tensoru deviátorových deformací γ eq, E d [ ] 1 2 2 γ eq = 3 {e}t [Q] 1 2 {e} = 3 {ε}t [P] [Q] [P] {ε} (28) E d = 2{e} T [Q] 1 {e} = [ 2{ε} T [P] [Q] [P] {ε} ] 1 2 (29) 2 [ γ eq = (ε1 ε 2 ) 2 + (ε 1 ε 3 ) 2 + (ε 2 ε 3 ) 2] 1 2 (30) 3 E d = 2 [ (ε1 ε 2 ) 2 + (ε 1 ε 3 ) 2 + (ε 2 ε 3 ) 2] 1 2 (31) 6 E d = 3γ eq (32) Ekvivalentní míry polí napětí σ eq a deformace ε eq 3 σ eq = 2 {σ}t [Q] {σ} (33) 2 ε eq = 3 {ε}t [Q] {ε} (34) Hustota potenciální energie deformace W (skalár) W = 1 2 {σ}t {ε} = 1 2 σ eqε eq = 1 2 (σ mε v + qγ eq ) = 1 2 (σ mε v + JE d ) (35)
HLAVNÍ NAPĚTÍ Poloha materiálového bodu v prostoru hlavních napětí σ 1 = σ m + 2 ( J sin θ + 2π 3 3 ) (36) σ 2 = σ m + 2 J sin (θ) 3 σ 3 = σ m + 2 ( J sin θ 2π 3 3 σ 1 > σ 2 > σ 3 )
HLAVNÍ NAPĚTÍ Př. Určete hlavní napětí v materiálovém bodě za předpokladu rovinné deformace. Připomeňme: [σ] = σ x τ xy 0 τ xy σ y 0 0 0 σ z (37) [σ] = [T] T [σ] [T] (38) cos α sin α 0 [T] = sin α cos α 0 (39) 0 0 1 Aplikací transformační matice [T] (rov. (39)) v rovnici (38) obržíme σ x = σ x cos 2 α + σ y sin 2 α + τ xy sin 2α (40) σ y = σ x sin 2 α + σ y cos 2 α + τ xy sin 2α (41) ( τ xy = τ xy cos 2 α sin 2 α ) σ x σ y sin 2α 2 (42) σ z = σ z (43)
HLAVNÍ NAPĚTÍ Př. Určete hlavní napětí v materiálovém bodě za předpokladu rovinné deformace - pokračování Tensor hlavních napětí [σ] = [σ I ] σ 1 0 0 0 σ 2 0 0 0 σ 3 (44) Z pomdmínky τ xy = 0 (rov. 42) určíme úhel α, o který je nutno pootočit původní souřadnicovou soustavu x, y, z abychom přešli k hlavní souřadnicové soustavě. Připomeňme, že v rovinách, ke kterým jsou hlavní normálová napětí σ 1, sigma 2, σ 3 kolmá, jsou odpovídající smyková napětí rovna nule (analogie s hlavní centrální soustavou souřadnic). pokud τ xy = 0 pak tan 2α = 2τ xy σ x σ y (45) Dosazením do rovnic (40) a (41) obdržíme příslušná hlavní napětí. Z rovnice (41) je dále zřejmé, že σ z je zároveň jedno z hlavních napětí. Hlabnní napětí pak většinou řadíme tak, že σ 1 > σ 2 > σ 3.
ZÁKLADNÍ ROVNICE TEORIE PRUŽNOSTI Operátorová matice [ ] [ ] = x 0 0 0 z y 0 0 0 y z x 0 0 z y 0 x (46) Deformační varianta teorie pružnosti kde [D] je matice materiálové tuhosti, {X} je vektor objemových sil a {ε 0 } je vektor počátečních deformací. Poznámka 1: Je zřejmé, že tento postup vede na soustavu parciálních differenciálních rovnic v proměnných x, y pro neznámé prvky vektoru posunutí u, v. Prvky vektoru posunutí představují tzv. primární neznámé. Složky vektoru deformace jsou pak následně odvozeny z geometrických rovnic a složky vektoru napětí z rovnic fyzikálních.
FYZIKÁLNÍ ROVNICE - předpokládejme isotropní materiál 1. {σ} vs. {ε} {σ} = [D] ({ε} {ε 0 }) (47) 2. {s} vs. {e} {s} = 2G [Q] 1 ({e} {e 0 }) (48) 3. σ m vs. ε v (charakterizují objemové přetváření materiálu) σ m = K(ε v ε v0 ) (49) 3. J vs. E d a q vs. γ eq (charakterizují tvarové přetváření materiálu) J = GE d q = Gγ eq (50) E = Youngův modul pružnosti ν = Poissonovo číslo G = modul pružnosti ve smyku = K = objemový modul = E 2(1 + ν) E 3(1 2ν) = GE 3(3G E)
NELINEÁRNÍ - ELASTOPLASTICKÉ - CHOVÁNÍ MATERIÁLU V určitých bodech tělesa je materiál zatěžován nad počáteční mez kluzu. Vztah mezi napětím a deformací v takovém případě již není lineární a záleží na dráze zatěžování. Neplatí princip superpozice zatěžovacích stavů. Chování materiálu je často idealizováno bilineární závislostí mezi napětím a deformací. Obrázek 2: Idealizace skutečného chování materiálu Fyzikální rovnice {σ} = [D] ({ε} {ε p }) (51)
NELINEÁRNÍ - ELASTOPLASTICKÉ - CHOVÁNÍ MATERIÁLU Podmínka plasticity - plocha v prostoru napětí - tvoří hranici mezi elastickým a plastickým stavem napětí. Nelineární chování materiálů je obecně popsáno různými podmínkami plasticity. Pro kovy se uplatňuje tzv. von Misesova podmínka plasticity dána vztahem (stejné chování v tahu i tlaku, zanedbatelná objemová plastická deformace - pouze změna tvaru) F ({σ}, k) = J k = 0 (52) Parametr k určíme z jednoosé tahové zkoušky pevnosti. Za předpokladu jednoosé tahové zkoušky obržíme tensor napětí ve tvaru σ x = f y 0 0 [σ] = 0 0 0 (53) 0 0 0 Z rovnic (22) a (24) 1 pak přímo plyne k = f y / 3.
PRINCIP VIRTUÁLNÍCH POSUNUTÍ - OBECNÝ PRINCIP ROVNOVÁHY Poznamenejme, že program GEO MKP je založen na deformační variantě metody konečných prvků. Geometrické rovnice a kinematické okrajové podmínky jsou v takovém případě splněny přesně. Statické rovnice (podmínky rovnováhy) jsou splněny v průměru s určitou vahou ve smyslu pricipu virtuálních posunutí. Obrázek 3: Těleso Ω s hranicí Γ Kinematické okrajové podmínky {u} = {u} na Γ u (54) Statické okrajové podmínky [n] {σ} = {t} na Γ t (55) Princip virtuálních posunutí - obecný princip rovnováhy δ{u} T ([ ] {σ} + {X}) dω + δ{u} T ( [n] {σ} + {t}) dω = 0 (56) Γ t Ω
Platí pro všechny kinematicky přípustné složky virtuálního pole posunutí δ{u}. Použitím věty o integrování per partes (Greenova věta) a s uvážením δ{u} = {0} na Γ u lze předchozí rovnici převést na tvar δ{ε} T {σ} dω = δ{u} T {X} dω + δ{u} T {t} dγ (57) Ω Ω Γ t PVp: Virtuální práce sil vnitřních se rovná virtuální práci sil vnějších.