Dynamika vázaných soustav těles Většina strojů a strojních zařízení, s nimiž se setkáváme v praxi, lze považovat za soustavy těles. Složitost dané soustavy závisí na druhu řešeného případu. Základem pro úspěšné řešení problému je sestavení dynamického modelu, popisující mechanickou soustavu. Úkolem dynamiky je potom popsat a vyřešit dynamické vlastnosti, nebo též charakteristiky, dané soustavy. To znamená sestavit pohybové rovnice a následně je řešit některou ze dvou základních úloh dynamiky: 1. Na základě známého pohybu určit silové účinky, které způsobují pohyb 2. Ze známých sil stanovit pohyb soustavy Při sestavování pohybových rovnic lze použít jak vektorové, tak i skalární (energetické) metody mechaniky. Jednotlivé metodyřešení soustav těles si budeme prezentovat na jednoduchém příkladu. Máme soustavu tří těles vázaných mezi sebou podle obr. 5.1. Těleso 1 kvádr má hmotnost m 1, působí na ně síla F. Těleso 2 válec má hmotnost m 2, moment setrvačnosti I 2 a poloměr R 2. Těleso 3 složeno ze dvou souosých válců má hmotnost m 3, moment setrvačnosti I 3. Poloměr většího válce je R 3, poloměr menšího válce je r 3. Na těleso působí moment M. Těleso 3 se pohybuje po podložce, která má sklon β od vodorovného směru. Soustav se nachází v tíhovém poli Země, gravitační zrychlení je. Neuvažujeme žádné tření. Naším cílem vždy bude zjistit zrychlení tělesa 1 a 1. Obr. 5.1 Analyzovaná soustava Pro všechny metody bude potřeba provést kinematický rozbor soustavy. Těleso 1 koná translační pohyb s rychlostí v 1 a zrychlením a 1. Těleso 2 koná rotační pohyb kolem osy, které prochází rotační vazbou. Úhlová rychlost tělesa 2 je ω 2, úhlové zrychlení je α 2. Těleso 3 koná obecný rovinný pohyb, předpokládáme valení. Potom má těleso rychlostní profil trojúhelníku, pól rychlosti je v místě dotyku s podložkou. Všechny rychlosti a rychlostní profily jsou uvedené na obr. 5.2.
Obr. 5.2 Kinematický rozbor soustavy Z kinematiky pohybu platí následující kinematické závislosti mezi jednotlivými tělesy: Dále jelikož předpokládáme u tělesa 3 valení, musí platit podmínka valení: Metoda uvolňovací Metoda spočívá v úplném uvolnění všech těles a nahrazení vazeb vazbovými silami. Pro takto uvolněná tělesa se napíší pohybové rovnice. Soustava pohybových rovnic se doplní vazebnými rovnicemi, které udávají většinou kinematické závislosti mezi jednotlivými tělesy. Takto získaná soustava rovnic se následně řeší. Výsledkem řešení jsou jak kinematické závislosti jednotlivých těles soustavy, tak i vazbové síly a momenty a nebo neznámé zatěžující silové a momentové účinky. Metoda je zcela univerzální a je vhodná pro všechny druhy soustav. S výhodou lze použít u soustav, kde chceme znát vazbové silové účinky. Velmi dobře lze pomocí této metody zahrnout do dynamického modelu tření. Příklad Jednotlivá tělesa uvolníme, zavedeme vazebné síly a napíšeme příslušné pohybové rovnice.
Těleso 1 Těleso 2 Těleso 3 Obr. 5.3 - Uvolnění Soustavu doplníme kinematickými vazbami Tyto rovnice jsme dostali derivací kinematických závislostí uvedených výše. Dostali jsme tak soustavu 11 rovnic pro 11 neznámých. Tuto soustavu bysme následněřešili postupným redukováním, až bysme dostali závislost zrychlení a 1 na parametrech soustavy a na působící silové soustavě. Jako součást řešení bysme mohli dostat i další proměnné, jako jsou vazební síly a zbývající zrychlení a úhlová zrychlení. Na konciřešení je třeba zkontrolovat, zda skutečně u tělesa 3 došlo k valení pomocí podmínky.
Metoda redukce Metoda spočívá v náhradě celé soustavy jednoduchou redukovanou (fiktivní) soustavou, která koná buď translační pohyb, nebo rotační pohyb. Zcela nevhodné by bylo redukovat soustavu na obecný rovinný pohyb. Takto redukovanou soustavu popíšeme jednoduchou pohybovou rovnicí pro translační a nebo rotační pohyb a z ní vyřešíme příslušné kinematickou závislost. Pohybová rovnice pro redukovanou soustavu má následující tvar pro redukci na rotační pohyb pro redukci na translační pohyb Příslušné redukované členy se určí pomocí redukce hmotnostních nebo silových parametrů. Redukce hmotnostních parametrů Stanový se na základě rovnosti kinetické energie soustavy před redukcí a kinetické energie soustavy po redukci. pro redukci na rotační pohyb pro redukci na translační pohyb kde n je počet těles vykonávající translační a obecný rovinný pohyb m je počet těles vykonávající rotační a obecný rovinný pohyb. Redukce silových parametrů Stanoví se na základě rovnosti výkonů nebo prací silové soustavy působící na soustavu před redukcí a po redukci soustavy. pro redukci na rotační pohyb a práci pro redukci na translační pohyb a práci pro redukci na rotační pohyb a výkon pro redukci na translační pohyb a výkon kde n je počet těles vykonávající translační a obecný rovinný pohyb m je počet těles vykonávající rotační a obecný rovinný pohyb. Metoda je vhodná pro konzervativní (netlumené) soustavy. Používá se, jestliže chceme zjistit pouze jeden kinematický nebo silový parametr. K tělesu, k němuž přináleží požadovaný parametr, musíme provádět redukci. Pomocí metody redukce nejdou spočítat vnitřní silové účinky. Příklad
Chceme-li získat zrychlení tělesa 1 a 1, musíme celou soustavu redukovat k tomuto tělesu. Redukci proto provedeme na translační pohyb, podle vztahu F red a m red dostaneme z následujících rovnic, pro kinetickou energii a pro výkon soustavy. Porovnáním kinetických energií dostaneme Porovnáním výkonů dostaneme když dodržujeme konvenci, že výkon je kladný, když síla nebo moment působí ve směru předpokládaného posuvu nebo natočení. Směry působících sil, momentů, rychlostí a úhlových rychlostí jsou na obr. 5.4. Síly G 1 a G 2 nekonají práci, a proto nevytváří žádný výkon. Nejsou proto zahrnuty do rovnic pro výkony. Obr. 5.4 Směry pohybu a působící silové zatížení Obě rovnice musíme doplnit vazbovými rovnicemi, které vycházejí z kinematických závislostí a udávají vztah mezi jednotlivými rychlostmi a úhlovými rychlostmi a rychlostí v 1 : Když tyto rovnice dosadíme do rovnic pro kinetickou energii a výkon, dostaneme F red a m red.
Potom požadované zrychlení tělesa 1 dostaneme jako Metoda obecné rovnice dynamiky Metoda vychází z d Alembertova principu, tj. pracuje se setrvačnými účinky. Využívá se při ní principu virtuálních prací a virtuálních výkonů. Princip virtuálních prací je jedním z výchozích principů analytické mechaniky. Pohybovou rovnici potom sestavujeme jako rovnici dynamické rovnováhy mezi vnějšími silami a silami setrvačnými. Tento přístup se někdy nazývá kinetostatickou metodou. Obecnou rovnici dynamiky lze pro n těles napsat ve tvaru kde je zobecněný vnější silový účinek je zobecněný setrvačný účinek je virtuální posunutí Metoda je vhodná, chceme-li určit pouze jeden kinematický nebo silový parametr. Pomocí metody obecné rovnice dynamiky nejdou spočítat vnitřní silové účinky. Příklad U této metody musíme soustavu doplnit setrvačnými silami a virtuálními posunutími. Situace je uvedena na obr. 5.5.
Obr. 5.5 Soustava doplněná setrvačnými silami a virtuálními posunutími Pro takto doplněnou soustavu musíme napsat obecnou rovnici dynamiky: Pro tuto rovnici musíme odvodit závislosti mezi jednotlivými virtuálními posuvy. Jeden z nich si vyjádříme jako nezávislý a ostatní jako závislé: Tyto vztahy samozřejmě vzcházejí z kinematických vazeb v soustavě. Pro soustavu si musíme také vyjádřit vztahy pro setrvačné síly a momenty: I pro tyto síly musíme vyjádřit kinematické vazby. Opět si můžeme jeden parametr zvolit jako nezávislý a další jako závislé. Je výhodné si zvolit jako nezávislý parametr ten, který chceme vypočítat. Všechny takto odvozené vztahy dosadíme do původní rovnice a dostaneme:
Vykrácením virtuálního posuvu a roznásobením dostaneme Odtud potom už dostáváme pro zrychlení a 1 vztah Metoda Lagrangeových rovnic II. druhu Metoda je aplikací Lagrangeových rovnic druhého druhu. Ty jsou založeny na energetickém principu a pohybová rovnice se sestaví na základě pohybových deformací. K sestavení pohybové rovnice je třeba umět vyjádřit kinetickou a potenciální energii soustavy jako funkci zobecněných souřadnic. Lagrangeova rovnice druhého druhu se dá vyjádřit ve tvaru kde E k je kinetická energie soustavy E p je potenciální energie soustavy A je práce vnějších sil, které nemají potenciál a působí na soustavu Wje výkon soustavy q i je zobecněná souřadnice Metoda je vhodná pro konzervativní (netlumené) soustavy. Pokud bysme chtěli do modelů přidat např. tření, je nutné použít Lagrangeovu rovnici s multiplikátory ařešení je složitější. Velkou výhodou této metody je, že je založena na energetickém principu, tj. nemusíme řešit směr pohybu jednotlivých těles soustavy. Této vlastnosti se s výhodou využívá při řešení kmitání. Příklad Pro tuto metodu musíme sestavit vztah pro kinetickou a potenciální energii a vztah pro práci vnějších sil. Dále je třeba stanovit počet a druh zobecněných souřadnic. Jako zobecněnou souřadnici si zvolíme posuv tělesa 1. Potom platí: a. Pro kinetickou energii soustavy platí vztah:
. Potenciální energii v soustavě reprezentují buď pružiny, nebo posun jednotlivých těles vůči nulové hladině potenciální energie. Tutočást potenciální energie však můžeme stejně dobře zahrnout do práce vnějších sil. Neuděláme žádnou chybu, musíme však dávat pozor, abychom ji nezahrnuli jak do potenciální energie, tak i do práce. Jelikož v naší soustavě nemáme žádnou pružinu a jen jedno těleso se může pohybovat vůči nulové potenciální hladině, zahrneme tutočást potenciální energie do práce. Potom vztah pro práci má tvar Stejně jako v metodě redukce dbáme na dodržení konvence, že kladná práce je tehdy, působí-li síla nebo moment ve směru posuvu nebo natočení. Celá situace je na obr. 5.4 Opět musíme sestavit vztahy mezi jednotlivými kinematickými veličinami a zobecněnou souřadnicí. Dosazením do rovnic pro kinetickou energii a práci a použitím zobecněné souřadnice dostáváme: Máme-li sestavené rovnice pro kinetickou energii a práci, můžeme provést jednotlivé derivace a následně dosadit do Lagrangeovy rovnice. Postupně dostáváme: A po dosazení dostaneme
Odtud pak je zrychlení tělesa 1