Numeriké řešeí šířeí pasiího skaláru proudíí ekuiě Ig. Mila Smělý. Úod Tao práe si klade za íl umerik oěři eperimeálě zjišěý li separae a ířiosi, keré mají rozhodujíí podíl a aiálí přeos koerae plů při osilačím prouděí erálíh dýhaíh esáh (obr..). Obrázek zahuje posloupos ří klů při osilačím prouděí. V rozěeí modelu dýhaíh es je paré održeí a zik reirkulačí oblasi. Ta je zdrojem ířiosi, kerá má rozhodujíí podíl a podélý přeos a umožňuje, ab se koerae dalšíh kleh šířila do dalšíh ěí. Obr.. Prí ři kl osilačího prouděí e ěeí modelu dýhaíh es (eperime). Přezao od [3].. Numeriký model Nesaioárí roii s koekí a difuzí lze pro proměou Φ pro dourozměrý případ za předpokladu splěí roie koiui zapsa e aru Φ Φ Φ Φ = Φ, (.) kde ( ) a ( ) začí rhlosi koeke a difuze e směru ) (. Aplikaí Crak-Niholsooa shémau a ADI fakorizae pro časoou iegrai lze ýhozí roii přeés a ar ) ( O Φ = Φ (.)
Prí a druhé deriae prosoru jsou jádře kompakími shéma črého řádu přesosi. Souaa je epodmíěě sabilí, lze ji řeši s liboolým časoým krokem s druhým řádem přesosi čase. 3. Tesoaí příklad Pro oěřeí přesosi prezeoaé ADI meod při řešeí esaioáríh problémů s koekí a difúzí je použi příklad šířeí Gaussoa pulsu e čeroé oblasi [0;] [0;] házejíího z počáečíh podmíek ( 0,5) ( 0,5) Φ( 0,, ) = ep, (3.) kerý má eakí řešeí e aru ( 0,5) ( 0,5) Φ eak (,, ) = ep. (3.) 4 (4 ) (4 ) Dirihleo okrajoé podmík jsou přeza z eakího řešeí. Zolea uiformí síť = = 0, 05 m, součiielé difúze = = 0,0 m s. / 3 Zkoumá da případ, = = 0,8 m s a =,5 0 s pro Pe = a / 5 = = 80 m s a =,5 0 s pro Pe = 00. / L Pe = začí Péleoo číslo. ν Norma hb je jádřea e formě L = m. m, ( Φ i, j Φ i, j ) eak i=, j=. (3.3) Obr. 3. Sroáí eakího řešeí (a) a ADI s použiím kompakíh shéma (b) oblasi, <, <,8 čase 0,05 s při Pe = 00.
,00E-04 L (),00E-05,00E-06 0 0, 0,4 0,6 0,8 Obr. 3. Výoj hb L čase při Pe =. Z Obr. 3. je parý proes usaloáí hb průběhu ýpoču, ož je elmi ýhodé pro řešeí esaioáríh problémů. Meoda epřiáší do řešeí žádou přídaou hbu a o i při ššíh Péleoýh čísleh, kde oproi jiým meodám edohází k rozmazáí liem soké rhlosi koeke, jak je ukázáo a Obr. 3., kerý zahuje sroáí eakího řešeí a ADI meod. To zameá, že puls drží po elý průběh řešeí spráý ar. 4. Model kaálu Problém bl řeše ejpre roém a po rozšířeí aké zakřieém kaále. Obě řešeí jsou založea a poeiálím prouděí. 4.. Roý kaál Pro kaál o jedokoé šíře b = m je kompleí poeiál pro případ osilačího hlaího proudu o frekei f e směru s poeiálím írem počáku souřadé sousa oře superpozií osilačího paralelího proudu e směru a poeiálího íru, ořeého ak, ab a sěáh kaálu bla složka rhlosi kolmá ke sěě uloá. Výsledý kompleí poeiál je ( ) F( z) = Γ a( ).( i) i ( ) l( i( b)), (4.) π = kde a ( ) = Aos(πf ) [ m / s] začí ampliudu rhlosi osilačího prouděí a Γ ( ) [ m / s] časoě proměliou ířios. Z kompleího poeiálu lze deriaí ododi roie pro složk rhlosi prouděí F z = ( ) Γ( ) Re = ( ) [ m / s], (4.) z π = ( b) F z b = ( ) Γ( ) Im = a( ) ( ) [ m / s]. (4.3) z π = ( b) Na zjedodušeém modelu pli bla proedea série ýpočů pro ampliudu osilačího prouděí A = 0, m / s, frekei f = 0, Hz a uloou, kosaí ebo proměou ířios Γ. Součiiel difúze bl zole [s] 5 = = 5 0 m s ož řádoě odpoídá / molekulárí difúzi kslíku douaomoém plu. Počáečí puls je rooměrě rozmísě apříč kaálem e zdáleosi šířk kaálu od sředu íru a spojiě aazuje a okolí hodo.
Na obrázíh plý ekor s ozačeím [m/s] ukazuje měříko rhlosi zázorěého proudoého pole. 4.. Výsledk pro roý kaál Výpoč bl proede a obdélíkoé oblasi [-0,5; 0,5] [-,5;,8] rozděleé praoúhlou uiformí síí po kroíh d = d = 0,005 m a ( = 0) (m = 66) bodů. Teo rozsah dobře umožňuje sledoa časoý ýoj domiaí čási pulsu. Na horí a dolí sěě kaálu jsou předepsá Dirihleo okrajoé podmík asaeé a uloou hodou, hmoa esmí proháze sěami. Na leém a praém koi jsou předepsá Neumao okrajoé podmík asaeé a uloou hodou prí deriae, keré hmoě umožňují olé opušěí oblasi. Obr. 4.. zahuje posloupos řešeí pouze osilačího prouděí s uloou ířiosí Γ. Vplýá z ěho miimálí přeos hmo podél kaálu. Puls se po upluí dob period 0_s ráí zpě do ýhozí pozie. Je paré posupé rozploáí pulsu liem difúze. Obr 4.. Řešeí s uloou ířiosí časeh 0 až 0 s.
Obr. 4.. zahuje sekei řešeí při kosaí ířiosi Γ =,8 m / s po dobu dou period, 0 s. Sigularia e sředu íru bla ahrazea spojiým jádrem, keré ijak eolií přesos řešeí, proože puls se k ěmu žádém čase epřiblíží. Na obrázíh eí jádro íru zobrazeo z důodu ěší přehledosi. Z časoého průběhu je parý posu hmo liem urhleí čási horí a dolí čási kaálu. Po upluí prí period se puls přesue a srau aprao od íru, ed a opačou srau ež bla ýhozí pozie a po další periodě se puls přesue zpě a leou srau od íru, dál ež bla ýhozí poloha. Hmoa se omo případě pohbuje rámi elé oblasi arozdíl od osilačího prouděí bez ířiosi, kd se pohbuje sále a sejém mísě. Obr. 4.. Řešeí s ířiosí Γ =,8 m/s časeh 0 až 0 s. Obr. 4..3 zahuje řešeí s proměou ířiosí Γ ( ) =,8os(πf ) klesajíí a soupajíí záislosi a aiálí rhlosi prouděí po dobu 0s. Podobě jako předhozím případě zde dohází k posuu hmo liem ířiosi a pohbuje se rámi elé oblasi. Obr. 4..3 Řešeí s ířiosí Γ =,8 os(πf) časeh 0 až 0 s. Obr. 4..4 zahuje sekei s proměou ířiosí Γ ( ) =,8 os(πf ) klesajíí a soupajíí záislosi a aiálí rhlosi prouděí a zároeň měíí se změou směru rhlosi i smsl oáčeí íru po dobu dou period. Hmoa se omo případě sie posouá ýrazěji podél kaálu, ale z důodu změ směru rhlosi prouděí a opačou srau se po upluí dob period ráí zpě a ýhozí pozii a sejě pak po upluí druhé a řeí period. V omo případě se jedá pouze o jiý druh osilačího prouděí.
4.4. Zakřieý kaál Obr. 4..4 Řešeí s ířiosí Γ =,8 os(πf) časeh 0 až 0 s. Ab eblo řešeí omezeo je a praoúhlé oblasi, je ýhodé áře křiočaré síě globálím souřadém ssému,, keré lze jedoduhou úpraou přeés a praoúhlé souřadie ξ, η a řeši obdobě jako půodí problém. Srukuroaou síť lze podle [4] oři apříklad pomoí elipikýh Wislowoýh roi a ýhozí roii s koekí a difúzí (.) pak s pomoí rasformaí uprai a ar, kerý lze řeši podobě jako půodí sousau. 4.5. Výsledk zakřieém kaálu Výpoče bl proede a jedoduhém kruhoě zakřieém kaále, a kerém je možo síť eakě jádři. Poloměr zakřieí bl zole ak, ab mohl bý ýsledek poroá s roým kaálem 3 m. Jedolié bod síě jsou pak bod ležíí a kružiíh. Na Obr. 4.5. je zobrazea síť souřadiíh, ořeá 0 60 bod. Obr. 4.5. Zakřieý kaál souřadiíh,.
Proudoé pole kaále je ořeo osilujíím poeiálím írem se sředem počáku, pro kerý lze jedoduše jádři ečé rhlosi Γ ( r) = os(πf ), (4.5.) πr, kde ířios Γ = m / s je aržea ak, ab se rhlos a sředím poloměru roala π rhlosi osilačího proudu roém kaále. Frekee f = 0, Hz. Součiiel difúze 5 = = = 5 0 m s. Pro možos poroáí a lepší přehledos jsou ýsledk / zobraze souřadém ssému ξ, η. Obr. 4.5. zahuje sroáí ýsledků zakřieém a roém kaále po dobu jedé period 0 s. V zakřieém kaále dohází liem ířiosi k ýrazějšímu posuu hmo oproi pouhému osilačímu prouděí roém kaále, ale obou případeh se a koi každé period ráí puls do počáečí poloh. Z oho ple, že i pouhé zakřieí může apomoi podélému šířeí pasiího skaláru. ξ η
ξ η ξ η
Obr. 4.5. Sroáí řešeí roém a zakřieém kaále pro čas 0 až 0 s. 5 Záěr Nejpre bl proede čři ýpoč a roém roiém modelu kaálu pli. Celý ýpoče bl připrae a aprogramoá jaze C pomoí ADI meod a kompakíh shéma. Ze sroáí ýsledků ple jasé zlepšeí při podélém přeosu pasiího skaláru případeh, ihž se ířios skuje, oproi ěm, kde je pouhé osilačí prouděí. Na Obr. 4.. s uloou ířiosí se puls pohbuje je oblasi ± 0, m kolem ýhozí poloh, ož je plě souladu s eoreikým předpokladem délk dráh získaé iegraí rhlosi. Za hraie ěho mezí se koerae šíří je pozola liem difúze. Na Obr. 4..3 a Obr. 4..4, kde je kosaí ebo proměá hodoa ířiosi, dohází oproi pouhému osilačímu prouděí ke zaelému posuu pulsu za dobu jedé period, ož umoží dalšíh kleh posuuí až k proilehlé sraě zobrazoaé oblasi a ed k ýrazému zlepšeí podélého přeosu hmo obou směreh. Dále bl proede ýpoče a zakřieém kaálu, kerý roěž prokázal zlepšeí podélého přeosu oproi roému kaálu s pouhým osilačím prouděím jak je ukázáo a Obr. 4.5.. Podařilo se ed a elemeáríh případeh prokáza li ířiosi a podélý přeos pasiího skaláru. Dosažeé ýsledk jsou souladu s předpoklad i eperimeem a mohou se sá ýhozím maeriálem pro další ýzkum a složiějšíh případeh, keré epoedou k pouhému dokazoáí liu ířiosi ale i k ěšímu přiblížeí ke skuečosi a kaifikai ohoo jeu.
6. Sezam použié lieraur [] You D.: A High Order Padé ADI Meod for Usead Coeio-Diffusio Equaios, Ceer for Turbulee Researh, Saford, 005 [] Moi P.: Fudameals of Egieerig Numerial Aalsis, Cambridge Uiersi Press, Cambridge, 00 [3] Vališoá K., Kob M., Adame J.: Vli ířiosi a přeos pasiího skaláru osilačím prouděí, Colloquium FLUID DYNAMICS 005, Praha, 005 [4] Farrashkhala M., Miles J.P.: Basi Sruured Grid Geeraio, Buerworh- Heiema, Oford, 003 [5] Dořák R., Kozel K.: Maemaiké modeloáí aerodamie, Nakladaelsí ČVUT, Praha, 996