Nelineární systémy. 3 / Matematické základy

Transkript

1 Nelieárí sysémy 3 / Maemaické základy

2 Přehled 1. Úvod 2. Příklady 3. Maemaické základy 4. Sabilia a Lyapuovova fukce 5. Řízeí NS pomocí přibližé liearizace. Gai schedulig 6. Řízeí NS pomocí srukurálích meod základí pojmy 7. Srukura a řízeí NS s jedím vsupem a výsupem 8. Srukura a řízeí NS s více vsupy a výsupy Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 2

3 Přehled NS1. Úvod NS2. Euklidovský prosor a spojié fukce NS3. Vekorový prosor NS4. Věa o pevém bodě NS5. Exisece a jedozačos řešeí NS6. Závislos řešeí a počáečích podmíkách Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 3

4 Úvod f(,) x budeme zkouma základí vlasosi rovice, keré z í dělají vhodý maemaický model fyzikálích sysémů při experimeech s fyzikálími sysémy (řeba s kyvadlem) začeme z ějakého počáečího savu v čase a očekáváme, že se sysém bude pohybova a jeho sav bude defiová v (aspoň ejbližší) budoucosi > sysém je deermiisický, akže aké očekáváme, že pokud budeme experime přesě opakova, sysém se bude chova sejě a jeho budoucí savy budou sejé chováí sysému můžeme ako predikova, když zv. počáečí problém x& = f( x, ), x ( ) = x bude mí jedié řešeí abychom zajisili exiseci a jedozačos řešeí, musíme rochu omezi pravou srau ypické omezeí je zv. f ( x, ) f( y, ) l x y Lipschizova podmíka pro všecha (,) x a (,) y z ějakého okolí ( x, ) Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 4 x& =

5 Úvod / 2 podsaým fakorem pro plaos ějakého maemaického modelu je spojiá závislos a daech problému model by měl bý akový, aby malá chyba v daech ezpůsobila veliké chyby v řešeí daa problému jsou, x a var a paramery fukce a pravé sraě f ( x, ) řešeí by mělo bý spojiě závislé a ěcho daech ukážeme, že za jisých podmíek je a rochu budeme zkouma cilivos Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 5

6 Euklidovský prosor

7 Euklidovský prosor prosor vekorů reálých čísel se sčíáím vekorů a ásobeím vekoru skalárem euklidovský ozačujeme ho orma v je reálá fukce s vlasosmi x x R x = x= αx = α x α x+ y x + y příklady orem v { i } x = max x, i = 1, K, x = = 1 i 1 x ( p ) 1 i= 1 i i x = x,1 p < p R R R p R rojúhelíková erovos pro p = 2 je o Eukleidovská. Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 7

8 Vlasosi orem v Euklidovském p. R p-ormy v jsou ekvivaleí: Například: k, k, k, k : x R : k x x k x 1 α β 2 α k x x k x 3 β α 4 β x x x x x x x x x 2 1 emusíme se moc sara o kokréí výběr ormy klasický výsledek pro p-ormy je Hölderova erovos T 1 1 x y x y, 1 p q p + q = Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 8

9 Poslouposi v Euklidovském p. ( x = K) Posloupos vekorů z koverguje k prvku jesliže akové, že, 1,2, x ε > N ( ε ) x x < ε N( ε ) R jiými slovy x x Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 9

10 Kompakí možiy K X Podmožia se azývá kompakí, jesliže plaí: { x K, N} Z každé poslouposi můžeme vybra kovergeí podposloupos. Plaí: každá omezeá uzavřeá možia v koečě dimezioálím prosoru je kompakí. V prosorech ekoečé dimeze plaí: Je-li možia kompakí, je uzavřeá a omezeá. Obráceě e! Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 1

11 Spojié fukce m fukce f : R R je spojiá v bodě x když f ( xk ) f( x) kdykoli xk x ekvivaleě f je spojiá v x pokud ε > δ > : x y < δ f ( x) f ( y) < ε f je spojiá a S pokud je spojiá v každém bodě S a je sejoměrě (uiform) spojiá a S pokud δ ezávisí a výběru bodu a kompaku je spojios a sejoměrá spojios oéž lieárí kombiace a kompozice spojiých fukcí jsou spojié obraz kompaku ve spojié fukci je kompak obraz souvislé možiy ve spoj. fukci je souvislý fukce f : R R je po čásech spojiá a iervalu J R pokud má a každém jeho omezeém podiervalu ejvýše koečě moho skokových espojiosí (ex. lim. zprava a zleva) Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 11

12 Diferecovaelé fukce m fukce f : R R je diferecovaelá v bodě x když exis. f( x+ h) f( x) lim = f ( x) h h zvaá derivace v bodě m fukce f : R R je spojiě diferecovaelá v bodě x jesliže am všechy prví parciálí derivace fi xj exisují a jsou spojié pro spojiě diferecovaelou fukci f : R m R defiujeme řádkový vekor f f f =, K, x x1 x a gradie T f f ( x) = x m pro spojiě diferecovaelou fukci f : R R defiujeme Jacobiho maici výrazem f fi = x x Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 12 ij j

13 Sředí hodoa a implicií fukce čárový segme spojující dva růzé body x, y R je Lxy (, ) = { z: z= θx+ (1 θ) y,< θ < 1} echť f : R m R je spojiě diferecovaelá a oevřeé S a echť x,y jsou dva body S akové že Lxy (, ) S. Pak f z L( x, y): f ( x) f ( y) = ( y x) x x = z m Nechť f : R R R je spojiě diferecovaelá v každém m bodě oevřeé možiy S R R a echť ( x, y) S je akový bod, že f ( x, y ) = f a Jacobiho maice x je esigulárí ( x, y) m Pak exisují okolí U R bodu x R a V R bodu y R y V : f ( x, y) = má jedié řešeí x a o řešeí lze vyjádři jako x g( y) spojiě diferecovaelou v y = Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 13 m

14 Nerovos Bellmaa-Growalla Lemma (Bellma-Growall): Nechť λ( ), µ ( ) :[ a, b] R jsou spojié ezáporé fukce. Jesliže spojiá fukce y( ) :[ a, b] R splňuje [ a, b] y () λ () ys ( ) µ ( sds ) a + pro, pak aké a sejém iervalu µτ ( ) dτ s y () λ () ys () µ () se + λ ds a pokud je λ() λ kosaí, pak pokud je avíc ješě µ () µ kosaí, pak ( ) d a y () e µ τ τ λ ( a) y () λe µ Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 14

15 Lemma: Bellma-Growall / 2 Důkaz: z () = µ () sysds () Ozačíme a Pak z je diferecovaelá a To je skalárí lieárí difereciálí rovice se savovou přechodovou fukcí ( ) d s Φ (, s) = e µ τ τ za ( ) = s počáečí podmíkou má její řešeí var z() = Φ(,)( s µ () s λ () s µ ()()) s v s ds a Φ (, s) µ ( svsds ) ( ) v () = z () + λ() y () čle je ezáporý, akže a dz( ) = µ ( ) y( ) = µ ( ) z( ) + µ ( ) λ( ) µ ( ) v( ) d Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 15

16 Lemma: Bellma-Growall / 2 Proo µτ ( ) dτ s z( ) (, s) µ ( s) λ ( s) ds e Φ = µ ( s) λ( s) d a a Jelikož y () λ() + z (), důkaz je hoov. λ() λ Pokud, pak s= µ ( τ) dτ µ ( τ) dτ µ ( τ) dτ µ ( τ) dτ d µ () se ds= e ds e 1 e = = + ds s s s s a a s= a Pokud i µ () µ, vypočeme iegrál. Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 16

17 Věy o korakci

18 Pevý bod Defiice Zobrazeí T z vekorového prosoru X do vekorového prosoru Y x má pevý bod když * T( x ) = x * * v dalším budeme ozačova T( x ) = Tx * * pojem pevého bodu je užiečý při zkoumáí řešielosi difereciálích rovic Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 18

19 Globálí eorém o korahujícím zobrazeí Globálí eboli Baachova věa o k.z.: Nechť akové, že (,. ) X T : X a X ρ < 1: je Baachův prosor a je zobrazeí Tx Ty ρ x y x, y X korahující Pak exisuje právě jedo akové, že x je globálí, eboť plaí sejoměrě a celém prosoru hypoézu elze oslabi a * X T( x ) = x * * Tx Ty x y x, y X Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 19

20 Globálí eorém o korahujícím zobrazeí proipříklad - oslabeí: fukce splňuje oslabeou podmíku 2 2 (má derivaci ), x (1 + x ) < 1 x ρ <1 1 T( x) = x+ π 2 a x přičemž ovšem eexisuje splňující podmíku v předpokladech věy, eboť 2 x supx R = x Zobrazeí emá pevý bod - musel by bý * x = a( π 2), což eexisuje! Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 2

21 Globálí eorém o korahujícím zobrazeí / 2 Důkaz: Vezměme libovolé x X a defiujme posloupos x 1 Tx,,1, Opakovaě použijeme podmíku korakce x+ 1 x ρ x x 1 L ρ x1 x m= + r r 1 r 1 + i ρ xm x x++ i x+ i ρ x x x x i= i= 1 ρ ρ < ε > x x < ε m> N Pro použijeme rojúhelíkovou erovos pro ormy Jelikož m pak pro jisě exisuje dos velké N ak, že, edy posloupos je Cauchyovská Proože prosor je Bachův, posl. v ěm má limiu. Ozačme ji Proože, je hledaý pevý bod! Když exis. ješě jiý, pak Tx = lim Tx = lim x = x Proože, máme, edy jedozačos. x + = = K * * * + 1 ** * ** * ** * ** ρ < x x = x * ** x x = Tx Tx ρ x x * x Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 21

22 Lokálí eorém o korahujícím zobrazeí podmíku lze oslabi lokálě Lokálí věa o korahujícím zobrazeí: Nechť je podmožia Baachova prosoru a je zobrazeí akové, že pro ějaké Pokud exisuje akové, že T M Pak má právě jede pevý bod v. plaí pokud M je uzavřeá, pak druhá podmíka eí uá. Uzavřeos zaručuje, že pevý bod leží v M. Důkazy: podobé předchozímu. ρ <1 (,. ) X T : X a X Tx Ty ρ x y x, y M lokálě korahující x X Tx Tx B= x X : x x M 1 ρ Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 22 M

23 Exisece a jedozačos řešeí difereciálí rovice

24 ODE a její řešeí R Obyčejá difereciálí rovice v ODE (= ordiary differeial equaio) x& = f( x, ),, x() = x ODE řešeí ve smyslu Caraheodoryho je spojiě diferecovaelá fukce času x () x f( x( τ ), τ) dτ = + CAR Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 24

25 Řešielos pokud f je spojiá, je řešeí spojiě diferecovaelé pokud je spojiá v x, ale je po čásech spojiá v, pak je řešeí pak řešeí může bý po je čásech spojiě diferecovaelé předchozí je vhodé pro popis časově proměých sysémů se skokovými změami paramerů Příklad: 3 x& = x, x() = rovice má dvě řešeí: x () = (23) x () 23 jelikož je pravá sraa spojiá, asi o pro jedozačos esačí pro exiseci řešeí spojios sačí o ale ebudeme dokazova, omezíme se a jedodušší verzi Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 25

26 Lokálí exisece a jedozačos VĚTA: Lokálí exisece a jedozačos Nechť f( x, ) je spojiá v x a po čásech spojiá v a echť plaí Lipschizova podmíka f( x, ) f( y, ) k x y x, y B( x, r) [, ] 1 2 kde { R } B( x, r) = x : x x r r x je kruh s poloměrem a sředem. δ > Pak akové, že má rovice ODE právě jedo řešeí CAR a iervalu. [, + δ ] Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 26

27 Lokálí... - Důkaz Důkaz (ový): ejprve si všiměme, že je-li řešeím ODE pak plaí CAR x () x& = f ( x, ),, x() = x x () x f( x( τ ), τ) dτ = + x () a aopak, splňuje-li CAR a je diferecovaelá, splňuje i ODE. můžeme edy ekvivaleě zkouma řešeí iegrálí rovice CAR a pravou srau CAR se můžeme díva jako a zobrazeí spojié fukce x:[, 1] R. Ozačíme-li ho ( Px)( ) pak CAR x () = ( Px)() P je spojié v a řešeím éo rovice je pevý bod P. Exiseci pevého bodu dokážeme pomocí V o p.b. Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 27

28 Lokálí... - Důkaz / 2 K omu musíme ejprve defiova Baachův prosor X a a ěm uzavřeou možiu S akovou, že P zobrazuje S a S a přiom je a S korakcí Nechť δ r X = C[, + δ ] x = max x( ) C [, + δ ] { : } S = x X x x < r kde a musíme vybra. omezíme se a δ akže ukážeme, že P zobrazuje S a S: 1 f je po čásech spojiá, akže je omezeá a C [ ] 1 1 ( )() = ((),) = ((),) (,) + (,) [, + δ ] [, ] 1 Px x fxssds fxss fxs fxs ds fx (, ) 1 Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 28 [, ]

29 Lokálí... - Důkaz / 3 echť h= použíím L. podmíky a faku, že dosaeme a max f( x( ), ) [, +δ ] Px x f xs s f x s + f x s ds 1 ( )() ( ( ), ) (, ) (, ) x S: [, + δ ]: x( ) x r L xs () x h ds ( Lr hds ) = ( )( Lr+ h) δ( Lr+ h) C [, + δ] Px x = max ( Px)( ) x δ( Lr+ h) δ r ( Lr+ h) výběrem zajisíme, že P zobrazuje S a S abychom dokázali, že P je korakce a S, vezměme xy, S a uvažme, že Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 29

30 Lokálí... - Důkaz / 4 1 ( )() ( )() = [ ( (), ) ( (), )] a proo vybereme-li edy, zajisíme že P je korakce a S z věy o pevém bodu plye, že vybereme-li pak CAR má jedié řešeí v S 1 Px Py f x s s f y s s ds fxss ((),) fyssds ((),) L xs y s ds dsl x y 1 1 () () Px Py Lδ x y ρ x y pro δ ρ L C C C ρ < 1, δ ρ L r ρ δ mi 1,,, pro ρ > 1 Lr + h L Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 3 C

31 Lokálí... - Důkaz / 5 ješě musíme dokáza, že řešeí je jedié v X, j. mezi všemi spojiými fukcemi každé řešeí ODE v X leží v S eboť x leží v B a každé spojié řešeí x () am musí zůsa po ějaký časový ierval. řekěme, že opusí kruh B a že a hraici je pravě pro pak přiom ale akže x () x () = + µ x ( + µ ) x = r x ( + µ ) x [ f ( xs ( ), s) f ( x, s) + f ( x, s) ] ds r r = x( + µ ) x ( Lh + r) µ µ Lr + h δ a emůže opusi možiu B během iervalu a udíž každé řešeí v X leží v S proo jedozačos v S implikuje jedozačos v X Lxs () x + hds ] ( Lr+ hds ) [, + δ] Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 31

32 Příklady Když, pak můžeme L. podmíku apsa jako o zameá, že úsečka spojující libovolé dva body grafu fukce musí mí sklo s absoluí hodoou meší ež l j. žádá fukce, kerá má ěkde ekoečý sklo, v om bodě emůže bý L. apř. espojiá fukce eí L. v bodě espojiosi fukce j. f : R f() x f () = R z čehož jsou y problémy f( y) f( x) y x 3 = x má derivaci 2/3 l f () x = x Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 32

33 Peaova věa o exiseci řešeí Další věa o exiseci řešeí difereciálích rovic. Nechť fukce f je spojiá v možiě {(, ),, } D = y a y y b Ozačme M maximum fukce f a možiě D a b h: = mi( a, ) M ( h, + h) Pak exisuje a iervalu aspoň jedo řešeí y() akové, že y( ) = y Peaova věa zaručuje exiseci řešeí, ale ikoli jeho jedozačos. Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 33

34 Maximálí řešeí Věa o lokálí exiseci řešeí zaručuje exiseci iervalu I a fukce x : I R ak, že x je řešeí rovice a I s počáečí podmíkou v čase, kerý paří do iervalu I Ierval I eí urče jedozačě. Máme-li řešeí a defiovaé a iervalech I 1 a I 2 pak fukce x defiovaá x1( ), I1 x( ) = x2( ), I 2 je korekě zadaá a je řešeím a iervalu 1 2. Zajímají ás aková řešeí, kerá jsou defiovaá a co ejdelším iervalu. Exisují i řešeí defiovaá a ejdelším možém iervalu? Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 34 I x 1 I x x 2

35 Maximálí řešeí x1 x2 Fukce x je prodloužeím řešeí i. Řešeí se azývá maximálí, eexisuje-li k ěmu žádé eriviálí prodloužeí. Plaí: ke každému řešeí difereciálí rovice exisuje maximálí řešeí, keré je jeho prodloužeím. Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 35

36 Globálí exisece a jedozačos Příklad Uvažme sysém fukce je lokálě L.. je edy L. a každé kompakí podmožiě jedié řešeí exisuje a f ( x) [,1) 1 x( ) ( ) x& = x 2, x = 1 2 = x x 1 x () = 1 pro opusí každou kompakí možiu už jsme o měli jako fiie escape ime R R jak další podmíka zaručí možos eomezeého prodloužeí? Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 36

37 Globálí exisece a jedozačos VĚTA: Globálí exisece a jedozačos Nechť f( x, ) je po úsecích spojiá v a splňuje f ( x, ) f( y, ) L x y f( x, ) h xy, R, [, ] 1 Pak má rovice ODE právě jedo řešeí CAR a iervalu [, ] 1 Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 37

38 Globálí exisece a jedozačos / 2 Důkaz: Ukážeme, že kosau z lokálí věy lze uděla ezávislou a počáečím savu δ x δ x z erovosi pro v důkazu lok. v. vidíme, že závislos a se projevuje přes kosau ve čleu h r ( Lr+ h) proože yí L. podmíka plaí globálě, můžeme vzí libovolě velké pro každé koečé h můžeme vzí r ak, aby pak se erovos pro δ redukuje a ( ) r Lr+ h > ρ r ρ δ mi 1, r ( 1 ) < ρ / L δ = 1 [, ] δ ρ L pokud, mohli bychom vzí a hoovo jiak rozdělíme 1 a koečě moho podiervalů délky a použijeme lokálí v. opakovaě Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 38

39 Příklad uvažme lieárí sysém kde jsou po čásech spojié fukce času a každém koečém iervalu 1 jsou prvky A(), g() omezeé, akže A() a a g() b, kde g() je libovolá orma v a A() je idukovaá maicová orma podmíky globálí věy jsou splěy, eboť a A(.), g(.) x& = A() x+ g() = f ( x,) [, ] f ( x,) f( y,) = A()( x y) A () x y ax y, xy,, [, ] akže dle věy má lieárí sysém jedié řešeí a proože může bý libovolě velké, pak (za podmíek ahoře) má jedié řešeí a emůže mí úik v koečém čase Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 39 1 f ( x, ) = A( ) x + g( ) a x + b, x, s [, ] [, ] 1 R

40 Globálí versus lokálí mezi globálí a lokálí L. podmíkou musíme rozlišova lokálí L. vlasě požaduje hladkos a plye ze spojié diferecovaelosi až a espojié elieariy (keré jsou idealizací fyzikálích jevů), je rozumé předpokláda, že fyzikálí sysém má fukci a pravé sraě lokálě L. eplaí o je ve výjimečých případech, keré v praxi sova pokáme aopak globálí L. je omezující modely moha fyzikálích sysémů ji esplňují sado zkosruujeme rozumý hladký příklad, kdy globálí L. eplaí, ale sysém má přeso jedié globálí řešeí je edy požadavek globálí L. příliš kozervaiví Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 4

41 Příklad skalárí sysém & 3 x = x = f x ( ) pravá sraa eí globálě L. proože jakobiá eí globálě omezeý f = 3x x přeso má rovice pro pp. jedié řešeí x () = sig( x) 2 x ( ) = x x 1 2 ( ) x keré je dobře defiovaé Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 41

42 Jiá globálí věa proože je požadavek globálí L. moc kozervaiví, chěli bychom mí zaručeu g. s jeom lokálí L. lze oho dosáhou za ceu, že o řešeí víme více VĚTA: Globálí exisece a jedozačos f( x, ), x z oblasi D R. x W Nechť je po úsecích spojiá v a splňuje a lokálě L. Nechť W je kompakí podmožia D, a předpokládejme, že víme, že každé řešeí rovice celé leží ve W. Pak má rovice ODE právě jedo řešeí CAR defiovaé pro každé x& = f( x, ), x ( ) = x Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 42

43 Důkaz a diskuse Důkaz: Dle lokálí věy jedié řešeí ex. a iervalu ozačme maximálí ierval a ukažme, že lze ukáza, že pokud je T koečé, řešeí musí opusi každou kompakí podmožiu D proože ale eopusí kompakí W, musí bý Diskuse věu můžeme použí, když ěco o řešeí víme, aiž bychom ho zali k omu můžeme využí řeba Lyapuovovu eorii ebo ějaký ad hoc rik [, T) T = [, + δ ] T = Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 43

44 Příklad - pokračováí Uvažme opě skalárí sysém & 3 x = x = f x ( ) pravá sraa je lokálě L. proože jakobiá je lokálě omezeý f x = 3x pro každý čas plaí: je-li, pak derivace a aopak akže pokud začeme z libovolého počáečího savu x řešeí eopusí kompakí možiu x R : x a { } aiž bychom řešeí vypočeli, usoudíme z věy, že exisuje jedié pro každé x () > x &() < 2 ( ) = a Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 44

45 Spojiá závislos a počáečích podmíkách

46 Spojiá závislos a počáečích podmíkách Nechť je dá sysém ODE s fukcí f( x, ) splňující hypoézu Nechť Pak, f( x, ) f( y, ) k x y x, y f( x, ) h T x(.), y(.) jsou dvě jeho řešeí vzcházející z pp. ε > δε (, T ): x y δ x(.) y(.) < ε j. řešeí je spojiou fukcí počáečích podmíek T R x, y Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 46

47 Spojiá závislos a počáečích podmíkách / 2 Důkaz: x (), y () Jesliže jsou obě řešeími ODE, pak x() y() x y + f( x( τ), τ) f( y( τ), τ) dτ x y + k x() τ y() τ dτ T můžeme edy použí BG lemma. Podle í plaí [, T] Tedy pro daé T x() y() x y e δ = ε > ε KTT e sačí vzí k Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 47

48 Závislos a pp. a ekoečém iervalu spojiá závislos a pp. plaí je a kompakích iervalech a ekoečých iervalech vůbec e - měli jsme moho příkladů, řeba k odhadu kovergece/divergece dvou rajekorií a ek. iervalu se užívá Lyapuovův expoe λ + 1 x () y () = lim sup log x y Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 48

49 Závislos a pp. a ekoečém iervalu / 2 z předchozích vě plye, že pokud kt k T, pak k k λ + eo odhad je ale věšiou příliš hrubý věšiou. edivergují ako expoeciálě, zejméa když začíají ve sejém povodí (aracig se) λ + pokud ao a se blíží horí mezi k, pak je sysém exrémě cilivý a pp. a idikuje o chaos jeda z defiic chaosu je právě založea a blízkosi Lyapuovova expoeu Lipschizově kosaě (ve sejém povodí) Leí semesr 27 Nelieárí sysémy 3 S. Čelikovský FEL ČVUT 49