DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ - TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA Isiu maemaik a deskripiví geomerie DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Maemaika IV Jaroslav Vlček Jiří Vrbický Osrava

2 Předmluva Skripum "Difereciálí rovice" keré vziklo a Isiuu maemaik a deskripiví geomerie jako součás iovovaé řad učebích eů základího kurzu maemaik v ižeýrském sudiu je určeo pro sude všech fakul VŠB-TU s výjimkou ekoomické Při výběru a zpracováí zařazeých éma jsme vcházeli z učebích pláů a osov plaých ve školím roce 995/96 pro předmě Maemaika II a Maemaika III a FS FMMI a HGF a dále z áplě předměů Maemaická aalýza II a Maemaická aalýza III a Fakulě elekroechik a iformaik Předpokládáme aké kompaibiliu s kurzem maemaik a ově vziklé Fakulě savebí Pro sudium ohoo skripa se předpokládá zvláduí maemaické aalýz a algebr v rozsahu základího kurzu ižeýrského sudia Jmeoviě se jedá o sousav lieárích algebraických rovic a maicový poče difereciálí poče fukcí jedé a více proměých a iegrálí poče fukcí jedé proměé Jsme si vědomi oho že úspěšos sudijího eu je mimo jié závislá a vvážeosi mezi eorií a příklad Kladli jsme proo důraz a dosaečý poče řešeých úloh kerými je doplě eoreický výklad Příklad k samosaému procvičeí keré doplňují každý věší émaický celek jsou uvede v míře kerá odpovídá vmezeému rozsahu skripa Použiá ozačeí veliči jsou sadardí a odpovídají kize [Re] Smbol je používá jedak pro absoluí hodou čísla jedak jako eukleidovská orma přičemž výzam je všude zřej-mý z koeu Ve druhé kapiole kde jsou ukazová posup řešeí jedolivých pů difereciálích rovic řádu zapisujeme v řadě případů v souladu se zavedeou praí rovici jako vzah mezi difereciál Čiíme ak s vědomím že eo přísup eí zcela korekí Ve čvré kapiole je ve výkladu o sousavách difereciálích rovic používá apará vekorových fukcí kerý může méě obezámeým sudeům čii poíže Domíváme se ovšem že pořebé iformace k éo problemaice lze aléz v řadě jiých dosupých publikací a proo jsme v omo směru eusilovali o deailější pohled Auorem prví a čvré kapiol je Jaroslav Vlček druhou kapiolu apsal Jiří Vrbický řeí kapiola vzikla společě Přáli bchom si ab ao publikace bla aké připomeuím koleg RNDr Miloše Sedláčka jehož spolupráce bla bohužel již v úvodu ragick přerušea Nezaedbaelým podílem přispěla ke koečému výsledku aké aše kolegě Mgr Marcela Kaháková a o jak pečlivým přečeím ak ceými věcými připomíkami Vřelý dík paří aké recezeům doc RNDr Kvěomilu Sachovi CSc a doc RNDr Juraji Kosrovi CSc jejichž kriické připomík jsme vužili ke zvýšeí kvali a srozumielosi eu Osrava březe 997 Auoři

3

4 Obsah Úvod Základí pojm 5 Druh řešeí difereciálích rovic 7 Cauchho úloha eisece a jedozačos řešeí 8 Meod řešeí difereciálích rovic prvího řádu Difereciálí rovice se separovaými proměými 5 Homogeí difereciálí rovice 7 Lieárí difereciálí rovice prvího řádu 4 Beroulliova difereciálí rovice 5 5 Eakí difereciálí rovice 8 6 Iegračí fakor 4 7 Někeré další speciálí p DR prvího řádu 7 8 Směrové pole 4 9 Orogoálí rajekorie 45 Někeré umerické meod řešeí DR řádu 48 Difereciálí rovice všších řádů Základí pojm 57 Speciálí p difereciálích rovic -ého řádu 59 Vlasosi lieárích difereciálích rovic 6 4 Srukura řešeí zkráceé DR 64 5 Zkráceá LDR s kosaími koeficie 67 6 Řešeí úplé LDR meodou variace kosa 7 7 LDR se speciálí pravou sraou 77 8 Eulerova a Lagrageova rovice 8 9 Harmoické kmi 87 4 Sousav difereciálích rovic 4 Základí pojm 99 4 Sousav lieárích difereciálích rovic 4 4 Homogeí SLDR 4 44 Homogeí SLDR s kosaími koeficie 8 45 Nehomogeí lieárí sousav 46 Základ eorie sabili 9 47 Fázový obraz řešeí homogeí LSDR řádu Lieraura

5 4

6 Úvod Základí pojm V ižeýrské prai se velmi časo sekáváme s úlohami keré vzikají odvozeím z fzikálích zákoů geomerických vzahů či jiých závislosí ak že ve svém důsledku předsavují rovici ebo sousavu rovic pro ezámou fukci a její derivace Hovoříme pak o difereciálích rovicích popřípadě o sousavách difereciálích rovic Několik ásledujících příkladů je ukázkou ako formulovaých úloh Příklad Najděme rovici jejímž řešeím je jedoparamerická sousava sousředých kružic C (C > je poloměr) Řešeí Obě sra rovice derivujeme: ; dále vjádříme derivaci podle akže hledaá rovice má jede z ěcho varů: ' ebo ' Příklad Vjádřee časovou závislos elekrického proudu i() v sériovém RLC obvodu se sousředěými paramer při vsupím apěí u() (obr) Řešeí Vjádříme apěí a každém prvku obvodu: u R = ir u L di u d C i d L C ( ) ; aplikujeme-li Kirchhoffův záko obdržíme zv iegrodifereciálí rovici ve varu L di R i d C i ( ) d u ( ) Jejím derivováím podle ezávisle proměé získáme difereciálí rovici zámou z eorie obvodů: L d i ( ) R di ( ) d d C i ( ) u ( ) Příklad Sesave jedoduchý model uzavřeého ekologického ssému "kořisdravec" z hlediska časového vývoje poču jediců obou populací Řešeí Ozačíme () poče jediců v populaci kořisi j porav pro populaci dravců v íž poče jediců bude (); dále budou ABCD ezáporé kosa s jejichž pomocí vjádříme (pro jedoduchos lieárím modelem) základí fakor změ poču jediců v populaci: A C reprodukčí schopos příslušé populace B úbek kořisi působeím dravců D přírůsek populace dravců jako důsledek dosaku porav Chováí ssému v závislosi a čase vjadřuje ao sousava difereciálích rovic: 5

7 d d d A B D C d 4 Příklad Vvoře úlohu pro saoveí eploí bilace kovekivího ohřevu kapali při průoku dlouhým úzkým porubím (obr) rchlosí v Řešeí Teplou kapali uvažujeme závislou a souřadici a a čase o zameá jako fukci T(); eploa okolího prosředí je kosaí o hodoě T > T() Proože jde o úzké porubí můžeme předpokláda okamžiý ohřev v celém průočém profilu Bilačí rovice vjadřuje rovos akumulovaého výkou v objemové jedoce kapali a výkou při přesupu epla sěou porubí: c dt ( T T) d kde c [J/(kgK)] je měrá epelá kapacia kapali [kg/m ] její husoa a [W/(Km )] objemový součiiel přesupu epla Difereciál eplo a levé sraě je řeba rozepsa akže dosáváme T c d T d ( T T) d ; a závěr vdělíme rovici d a uvážíme že d/d = v je rchlos prouděí kapali Teploí bilace kovekivího ohřevu je ed popsáa ouo difereciálí rovicí: cv T T c ( T T) 5 Zobecěí Uvedeé příklad předsavují základí p úloh s difereciálími rovicemi se kerými se lze seka V prvích řech hledáme fukce jedé ezávisle proměé; v akovém případě hovoříme o občejých difereciálích rovicích ebo o sousavách občejých difereciálích rovic (příklad ) Posledí příklad je ukázkou parciálí difereciálí rovice řádu pro fukci dvou proměých Sudium ohoo pu rovic je áplí speciálích kurzů maemaik a v omo učebím eu se jimi ezabýváme 6 Defiice Občejou difereciálí rovicí azýváme rovici v íž se vskuje derivace (vjádřeá případě použiím difereciálů) hledaé fukce jedé proměé Parciálí difereciálí rovicí azýváme rovici v íž se vskují parciálí derivace hledaé fukce dvou ebo více proměých Řádem difereciálí rovice ozačujeme řád ejvšší derivace ezámé fukce kerý se v rovici vskuje Difereciálí rovicí (v dalším eu píšeme zkráceě DR) budeme adále rozumě občejou DR kerou budeme obecě zapisova ve varu F( ') ebo ' f ( ) pro DR řádu () F( ' ( ) ) ( ) f ( ( ebo ) ) pro DR -ého řádu () 7 Pozámka V příkladu se jedá o rovici prvího řádu a v příkladu jsme odvodili difereciálí rovici řádu 6

8 Druh řešeí difereciálích rovic Defiice Řešeím DR -ého řádu a možiě M azýváme každou -krá spojiě diferecovaelou fukci a éo možiě kerá daé rovici vhovuje Křivku kerá zázorňuje ěkeré řešeí rovice azýváme iegrálí křivkou éo DR Druh řešeí DR Rovici považujeme za vřešeou záme-li všecha její řešeí Pro jejich alezeí slouží řada posupů jejichž základí přehled chceme v omo učebím eu ukáza Druh řešeí DR obvkle klasifikujeme z hlediska obecosi a z hlediska regulari Chceme-li se zaměři a prví z ich provedeme geeralizaci posupu z příkladu kerý vedl k získáí difereciálí rovice pro jedoparamerický ssém roviých křivek Libovolý akovýo ssém zapíšeme rovicí ( C) (a) resp ( C) kde C je paramer Derivací podle obdržíme (b) ( C) ( C) (4a) resp ( C) (4b) Vloučíme-li paramer C z dvojic rovic (a) (4a) ebo (b) (4b) získáme difereciálí rovici prvího řádu ve varu () přičemž fukce (ab) předsavují dva možé var jejího řešeí Obdobý posup lze použí pro ssém křivek s paramer C C o rovici ( C ) (5) C K vloučeí paramerů pořebujeme í dalších rovic keré získáme posupým derivováím výchozího vzahu Výsledkem bude DR -ého řádu v ěkerém z varů () a výraz (5) popřípadě jeho eplicií var ( C C ) (6) bude jejím řešeím Ní můžeme defiova ásledující druh řešeí z hlediska obecosi Řešeí DR -ého řádu dle defiice azýváme - obecým řešeím jesliže obsahuje kosa C C C ; - parikulárím (eboli čásečým) řešeím lze-li je získa z obecého pro kokréí hodo kosa keré vpočeme ebo zvolíme; - výjimečým řešeím elze-li je získa z obecého řešeí pro žádý výběr kosa C C (eisuje pouze u ěkerých difereciálích rovic) C Příklad Ověře že fukce si(l C) je obecým řešeím rovice Ukaže dále že lieárí fukce = je rověž jejím řešeím avšak výjimečým Řešeí Ověřeí spočívá v obou případech ve výpoču derivací a dosazeí do zadaé rovice (proveďe samosaě); dále je vidě že fukci = elze vvoři z obecého řešeí žádou volbou kosa C což zameá že jde o výjimečé řešeí Hledisku regulárosi řešeí se budeme věova v ásledující kapiole C 7

9 Cauchho úloha eisece a jedozačos řešeí Moivace Vraťme se opě k příkladu v ěmž bla obecým řešeím difereciálí rovice + = sousava kružic + = C Její zadáí můžeme dopli požadavkem aléz právě u kružici (obecě: iegrálí křivku) kerá prochází kokréím bodem apříklad [-] Dosazeím hodo = - = do obecého řešeí vpočeme C 5 Křivka 5 je pak parikulárím řešeím zadaé rovice pro bod určeý počáečí podmíkou (-) = Právě popsaá úloha paří v aplikacích k velmi časým a budeme ji formulova obecě zaím pro DR řádu Defiice Cauchho úlohou pro difereciálí rovici řádu F( ) = rozumíme určeí parikulárího řešeí éo rovice keré vhovuje podmíce ( ) Jiými slov: mezi iegrálími křivkami rovice hledáme právě u kerá prochází bodem [ ] Je zřejmé že s Cauchho úlohou je spojeo ěkolik zásadích oázek: zda a a jaké možiě řešeí eisuje jak vpadá a jak se určí kd je jedozačé Odpovědi poske ásledující výklad Picardov aproimace Abchom mohli saovi posačující podmík eisece řešeí Cauchho úloh = f() ( ) ukážeme jede z klasických posupů jeho kosrukce Předpokládejme že fukce f() je spojiá a oblasi D kerá obsahuje bod [ ] Picardov aproimace hledaého řešeí () defiujeme jako posloupos fukcí ( ) ( ) f ( ( )) d (7) ( ) f ( ( )) d Je a mísě pozamea že v prai eí eo algorimus příliš výhodý eboť i v případě že posloupos { ()} koverguje k řešeí () je kovergece velmi pomalá a avíc jsou k dispozici efekivější umerické meod Pro ilusraci připojujeme jedoduchou úlohu ad 8

10 4 Příklad Aproimuje řešeí rovice s podmíkou () = pro = Řešeí V prvé řadě je f ( ) spojiá v libovolé oblasi obsahující bod o souřadicích = = Podle (7) dále vpočeme: ( ) ( ) d ( ) d 6 Získaá fukce je ovšem aproimací přesého řešeí keré má var ( ) e eboli - po vjádřeí epoeciálí fukce Maclauriovým rozvojem 4 4 ( )!! 4! Vidíme že druhý čle poslouposi Picardových aproimací vjadřuje výsledek s dosaečou přesosí pouze v malém okolí bodu = 5 Defiice Říkáme že fukce f() splňuje a oblasi D Lipschizovu podmíku vzhledem k proměé eisuje-li kosaa L > aková že plaí: f ( ) f ( ) L [ ][ ] D 6 Geomerická ierpreace Lipschizov podmík je para z obr5 Plaí-li ao podmíka pak pro každou dvojici bodů je rozdíl fukčích hodo ejvýše rove L-ásobku jejich vzdáleosi (a obr5 je L ~ 5) 7 Věa (eisece řešeí Cauchho úloh) Nechť je fukce f() spojiá a ohraičeá a dvojrozměré oblasi D ( a a) ( b b) akže plaí f ( ) M M [ ] D Pak difereciálí rovice = f() má alespoň jedo řešeí () keré prochází bodem [ ] D a je defiováo a obdélíku h h b b přičemž h = mi{a b/m } (obr) 9

11 Důkaz Z předpokladů vě lze odvodi že posloupos Picardových aproimací (7) koverguje k řešeí Cauchho úloh v bodě [ ] D j lim ( ) ( ) Podrobý posup lze aléz v doporučeé lierauře apř [Ku] sr 8 Příklad Je dáa difereciálí rovice 4 a) Určee možiu všech bodů a íž eisuje řešeí éo rovice a ukaže že fukce ( C) C C je jejím obecým řešeím 4 b) Ověře že rovice má výjimečé řešeí přičemž každým bodem éo křivk procházejí ejméě dvě řešeí Řešeí a) Do zadaé rovice dosadíme zadaou fukci ( C) a její derivaci C / čímž se sado přesvědčíme o om že fukce rovici vhovuje Too obecé řešeí je jedoparamerická sousava přímek jak ukazuje obr4 Fukce f ( ) 4 eí defiovaá (a udíž ai spojiá) pro > /4 a proo řešeí rovice eisuje pouze a uzavřeé oblasi ohraičeé parabolou (viz obr 4) 4 b) Fukce rověž rovici vhovuje jak se můžeme přesvědči aalogickým 4 posupem avšak zjevě eí součásí obecého řešeí Zvolme a éo křivce libovolý bod o souřadicích c c ; rovice eč k parabole v omo bodě pak bude 4 4 c c ( c ) j c c 4 4 což je právě jeda přímka ze ssému obecého řešeí Každým bodem parabol (výjimečého řešeí) ed současě prochází další řešeí keré je ečou Obr4

12 9 Pozámk a) V uvedeém případě azýváme výjimečé řešeí obálkou ssému iegrálích křivek obecého řešeí Zároveň kosaujeme porušeí jedozačosi Cauchho úloh a parabole (obálce) i v oblasi < /4 kde každým bodem prochází obecě ekoečě moho řešeí rovice Ta můžeme vvoři apříklad jako sjedoceí čási eč jdoucí zvoleým bodem až po bod doku avazující čási parabol a čási další eč v jiém bodě b) Viděli jsme že k zajišěí eisece řešeí Cauchho úloh sačí požadova podle vě 7 spojios fukce f(); jedozačos řešeí bude uo zajisi silější podmíkou Věa Má-li fukce f() a oblasi D ohraičeou parciálí derivaci f ( ) pak splňuje a D Lipschizovu podmíku Důkaz Proože je f ( ) ohraičeá eisuje reálé číslo L ak že f ( ) L a D Uvažujme dva libovolé bod [ ][ ] D ; podle Lagrageov vě o sředí hodoě pro ě eisuje ( ) ak že j v důsledku ohraičeosi derivace což je Lipschizova podmíka f ( ) f ( ) f ( )( ) f ( ) f ( ) f ( ) L Věa (jedozačos Cauchho úloh) Nechť fukce f() je spojiá a ohraičeá a oblasi D s viřím bodem [ ] D Splňuje-li f() a D Lipschizovu podmíku pak eisuje právě jedo řešeí Cauchho úloh = f() ( ) Důkaz Eisece řešeí ple z vě 7 jedozačos dokážeme sporem Uvažujme dvě růzá řešeí Y ( ) Y ( ) Cauchho úloh = f() ( ) akže plaí Y f ( Y ) Y f ( Y )

13 přičemž Y ( ) Y ( ) Iegrací obou rovic v mezích od do dosáváme eboli Y( ) d f Y ( ) d Y( ) d f Y ( ) d Y ( ) f Y ( ) d Y ( ) f Y ( ) d Rozdíl ěcho řešeí vjádříme v absoluí hodoě a aplikujeme Lipschizovu podmíku: Y ( ) Y ( ) f ( Y ) f ( Y ) d L Y ( ) Y ( ) d Ozačme K = ma Y ( ) Y ( ) pro h h kde h je zavedeo ve věě 7 Pokud b blo K došli bchom ke sporu eboť pro hl < b podle výše uvedeého vzahu plailo: K L K d L K L K h K (pro příslušé L lze akové h vžd ají) Proo musí bý K = a udíž Y ( ) Y ( ) což jsme měli dokáza Regulárí a sigulárí řešeí difereciálí rovice Řešeí difereciálí rovice se azývá regulárí jesliže v žádém jeho bodě eí porušea jedozačos Sigulárím řešeím azýváme akové řešeí v jehož každém bodě je jedozačos porušea Pozámk a) Sigulárí řešeí se ed vzačuje ím že každým jeho bodem procházejí alespoň dvě iegrálí křivk daé difereciálí rovice Je omu ak v příkladu 8 ve všech bodech parabol 4 b) Výjimečé řešeí bývá časo sigulárí Je omu ak vžd u řešeí kerá předsavují obálku obecého řešeí c) Obvkle se Lipschizova podmíka jedozačosi řešeí Cauchho úloh ahrazuje požadavkem spojiosi derivace f ( ) kerý je silější ež předpoklad ohraičeosi derivace ve věě avšak v prai se mohem sáze prověřuje 4 Příklad Všeřee difereciálí rovici ( ) z hlediska eisece a jedozačosi jejího řešeí Ověře že její obecé řešeí je ssém kubických křivek C a dále že jejím sigulárím řešeím je přímka = Zjisěe v jakém vzahu je ao přímka k ssému křivek obecého řešeí Řešeí V zadaé rovici je f ( ) ( ) Tao fukce je spojiá a ohraičeá v každém bodě [] a proo řešeí rovice podle vě 5 všude eisuje Proože však derivace

14 f eí spojiá pro = předsavuje ao přímka možiu a íž b podle vě mohla bý porušea jedozačos řešeí Dosazeím do rovice sado zjisíme že právě fukce = je jejím sigulárím řešeím Ve všech osaích bodech rovi je řešeí jedozačé a je reprezeováo uvedeým ssémem kubických křivek (přesvědče se sami dosazeím) Křivk C mají ifleí bod o souřadicích [-CC] proože je ( C) 9 ( C) 9 Směrice eč v omo bodě bude ( C) a rovice eč je právě = pro každou křivku obecého ssému V bodech éo přímk eí z uvedeých důvodů řešeí jedozačé Příklad k procvičeí P Najděe difereciálí rovice pro zadaý ssém roviých křivek: a) kružice ( C) C b) logarimické křivk l( C ) c) parabol C P Přesvědče se že uvedeá fukce je řešeím daé difereciálí rovice (a vhodém iervalu) a) C ; ( ) e b) d C e ; c) e e ; ( ) d d) C cos C si ; d P Sefaův-Bolzmaův záko vjadřuje časovou změu eplo T ělesa při vzařováí epla: dt 4 4 k T T d kde T [ K] je eploa okolího prosředí a k je kosaa Ukaže že obecým řešeím éo rovice je závislos arcg T T T l 4 T ( k C) T T T

15 P4 Sesave Cauchho úlohu pro určeí křivk jdoucí bodem [] a mající u vlasos že úsek kerékoli její eč vťaý souřadými osami je půle bodem doku P5 Vpočěe prví dvě Picardov aproimace řešeí úloh l ( ) P6 Pro Cauchho úlohu ( ) určee Picardovou meodou prvích pě aproimací jejího řešeí v bodě = 5 P7 Určee oblas ve keré mají zadaé DR jedié řešeí: a) e b) arcg( ) c) d) si P8 V ádobě kerá má var ělesa vvořeého roací křivk s() kolem os sahá hladia vod do výšk h U da ádob je kruhový ovor o poloměru r kerým voda véká rchlosí v k g (k je kosaa jejíž hodoa pro vodu je asi 6) a) Sesave Cauchho úlohu jejímž řešeím můžee vpočía dobu za kerou se ádoba vprázdí b) Zkuse odvodi akový var ádob při ěmž bude hladia klesa rovoměrě (jde o pricip zv vodích hodi) Výsledk: P a) b) e c) P4 ()= P5 4 5 l l l P P7 a) celá rovia b) celá rovia c) pouze bod splňující podmíku < d) rovia bez os s ( ) d P8 a) úloha má vjádřeí d při podmíce () = h kde k r g 4 b) rchlos poklesu hladi je d/d = kos pro var ádob vchází s() ~ 4

16 Meod řešeí difereciálích rovic prvího řádu V éo kapiole se sezámíme s ěkerými základími p DR prvího řádu a uvedeme meod keré vedou k alezeí jejich řešeí DR se separovaými proměými Defiice Difereciálí rovicí se separovaými proměými rozumíme každou rovici kerou lze zapsa ve varu P Q () Věa Nechť fukce P( ) a Q( ) jsou spojié pro všecha a b c d Poom lze a oblasi a b c d obecé řešeí rovice () vjádři ve varu P d Q d C () Důkaz Sačí ukáza že vloučeím kosa C z rovice () dosaeme rovici () přičemž považujeme za fukci proměé ed ( ) Lze ed () zapsa ve varu P d Q d C kde derivujeme podle proměé a dosaeme výraz P Q což je rovice () Pozámk a) Schemaick lze posup řešeí rovice () zapsa ako: Nahradíme-li derivaci podílem difereciálů d poom uo rovici můžeme zapsa ve varu d P d Q d a odud iegrací dosaeme obecé řešeí () b) Časo se můžeme seka s DR v zv separovaelém varu : P R Tuo rovici lze za předpokladů Q R Q S () upravi a var P( ) S( ) Q( ) R( ) což je DR se separovaými proměými Její obecé řešeí lze za daých předpokladů zapsa ve varu P( ) Q d S( ) ( ) R( ) d C 5

17 Rovice () může mí i výjimečá řešeí varu kde čísla jsou koře rovice R( ) 4 Příklad Řeše DR 4 d d Řešeí 4 d d 4 d d pro 4 d d C d d C l C ed C l je obecé řešeí daé rovice pro Ní dosazeím do daé rovice zjisíme že pro uo hodou je rovice ideick splěa Neí možo ji ovšem získa žádou volbou kosa C z obecého řešeí a proo je výjimečé řešeí daé rovice 5 Věa Difereciálí rovici varu f a b c kde b převedeme subsiucí u a b c a rovici se separovaými proměými Důkaz Rovos u a b c zderivujeme podle proměé ed u u a b a b Dosazeím do daé DR obdržíme rovici u a f u u a bf u b a po úpravě (pro a bf u ) a bf u u což je DR se separovaými proměými pro fukci 6 Pozámka Pro b máme DR což je DR se separovaými proměými u u f a c kerou lze jedoduše převés a var f a c 7 Příklad Najděe řešeí DR si pro 4 Řešeí Zavedeme subsiuci u u u a dosadíme do daé DR u si u 6

18 u si u du cos u d du d cosu cos u pro du d C cos u g u C u C arcg C Obecé řešeí daé rovice lze psá ve varu arcg C Dosazeím počáečí podmík určíme hodou kosa C : 4 arcg C arcg C 4 C Hledaé řešeí je ed arcg arcg ed Homogeí difereciálí rovice Defiice Difereciálí rovice F se azývá homogeí lze-li ji pro upravi a var Věa Homogeí DR převedeme subsiucí = u kde u = u() a DR se separovaými proměými pro ovou ezámou fukci u() Důkaz Je dáa homogeí DR ve varu kde Ze subsiuce u j u ple po derivováí u u Dosazeím do zadaé homogeí DR dosaeme u u u u u u pro u u což je DR se separovaými proměými pro fukci u = u() Příklad Řeše DR g Řešeí Daá DR má smsl pro proměou a po úpravě obdržíme uo DR ve varu g ed homogeí DR k k Z Po vděleí rovice 7

19 Subsiucí = u j u u u dosaeme rovici u u u gu cog udu d pro u k k Z Po iegraci máme cosu l si l l si si u du d K u K K u K ed si u K K což lze zapsa jedodušeji si u C C Dosazeím za u dosaeme obecé řešeí si C C Too řešeí jsme obdrželi za předpokladu u k k Z Ověřme dosazeím zda fukce u k j k k Z vhovují daé rovici L k k k k k P g g gk Ted fukce k k Z jsou aké řešeími daé DR Tao řešeí lze ovšem obdrže z obecého řešeí pro C o zameá že všecha řešeí daé DR lze zapsa ve varu si C C R 4 Defiice Fukce f() se azývá homogeí fukce supě k kn a oblasi právě ehd kdž v každém bodě plaí pro libovolé ideick f f 5 Věa Jsou-li fukce P Q homogeí sejého supě k poom rovice P Q je homogeí difereciálí rovicí Důkaz P k k P Q Q k P P P P k Q Q Q Q Rovici P Q lze pro Q P Q upravi a var P Q a z éo rovice pro dosaeme P což je homogeí DR Q 8

20 6 Příklad Řeše DR Řešeí Daou rovici upravíme a var d d ed P Q Proože obě o fukce jsou homogeí supě k = je daá DR homogeí Vjádřeme í z daé rovice jako fukci proměých pro Zlomek a pravé sraě éo rovice rozšíříme výrazem dosaeme ( obecě výrazem Do éo rovice dosadíme u j u u u a dosaeme u u u u u u du d u Obecé řešeí hledáme ve varu u u du d K u l u l K u l u K a po zpěém dosazeí subsiuce K l K e Ke kde K K e Ke Ce C Too obecé řešeí jsme dosali za předpokladů u Dosazeím do daé DR zjisíme že výraz a daou rovici esplňují Z podmík u ple a ao fukce vhovuje daé rovici Too řešeí lze ale obdrže z obecého řešeí pro C Všecha řešeí zadaé DR lze ed zapsa ve varu 7Věa Difereciálí rovici varu subsiucí uspořádaá dvojice Ce C R a b c f a b c k ) a kde ab ab lze převés a homogeí DR pro fukci je jedié řešeí sousav rovic a b c a b c Důkaz Podle předpokladů je a b c a b c Přiom 9

21 Dosazeím do daé DR máme: a b c f a b c a b f a b a pro dosaeme rozšířeím zlomku výrazem a b f a b ed což je homogeí DR pro ezámou fukci a b a b c f a b a b c 8 Pozámka Podmíka ab ab zaručuje eiseci právě jedoho řešeí uvedeé sousav Ukažme jak řeši daou rovici v případě a b a b a b a b a b a ka b kb k a b ed po dosazeí je daá DR ve varu ka kb c f a b c což je p rovice uvedeý ve věě 5 9 Příklad Řeše DR Řešeí Sousava rovic má jedié řešeí Ted subsiucí dosaeme k a b c f Fa b a b c pro Too je homogeí DR kerou řešíme subsiucí u ed u u u u u u du u u d pro u

22 Obecé řešeí hledáme ve varu u u du uu d K du u u d K l u arcg u l K arcg u l u K arcg l K arcg K l což je obecé řešeí daé rovice za předpoklad u Dosazeím zjisíme že je řešeím éo rovice a o výjimečým proože jej elze dosa z obecého řešeí pro žádou volbu kosa K Lieárí difereciálí rovice prvího řádu Defiice Lieárí difereciálí rovicí prvího řádu (zkráceě LDR) azýváme každou rovici varu p q (4) kde p q jsou spojié fukce a určiém iervalu a b Přiom a) je-li b) je-li q hovoříme o zkráceé LDR q hovoříme o úplé ebo ezkráceé LDR Věa Zkráceá LDR p má a iervalu a b obecé řešeí varu p d Ce Důkaz Rovice p je DR se separovaelými proměými ed d p d d p d pro Obecé řešeí hledáme ve varu d p d K p d K K p d l e e p d K e e ed obecé řešeí lze psá ve varu p d Ce pro C Too obecé řešeí jsme dosali za předpokladu Sado zjisíme že fukce je aké řešeím zkráceé LDR keré ovšem obdržíme z obecého řešeí pro C Všecha řešeí zkráceé LDR lze ed zapsa ve varu p d Ce C R

23 Věa Úplá LDR řádu E p q má obecé řešeí ve varu E q d K kde E e Důkaz Důkaz vě je kosrukiví j ukazuje způsob řešeí úplé LDR kerý vede k uvedeému vzorci ) Určíme obecé řešeí příslušé zkráceé LDR ) Obecé řešeí úplé LDR hledáme ve varu p d Ce p d p keré ozačíme : p d C e (5) C j v obecém řešeí zkráceé LDR jsme kosau C ahradili zaím eurčeou fukcí Nezámou fukci C() určíme z předpokladu že (5) je řešeím úplé LDR Dosaďme ed uo fukci a její derivaci C p d C p d e e p do rovice (4) čímž dosaeme p d C C p d p d p C e p q e e p d C q C q p d e e p d Ozačíme-li E e obdržíme DR se separovaými proměými pro ezámou fukci C() ve varu C q E Její obecé řešeí lze psá ve varu C q E d K a dosazeím do (5) dosaeme q E d K E což je hledaé řešeí rovice (4) 4 Pozámk a) Posup uvedeý v důkazu předešlé vě se azývá Lagrageova meoda variace kosa Při hledáí obecého řešeí LDR řádu můžeme ed použí buď uvedeého vzahu ebo meod variace kosa b) Jak je vidě z předcházejícího důkazu po dosazeí fukce (5) do rovice (4) se vžd vruší čle keré obsahují ezámou fukci C() To ám umožňuje korolu správosi výpoču - v případě že se uvedeé čle evruší poom se buď ejedá o LDR ebo máme chbu v předešlých krocích c) Obecé řešeí úplé LDR lze aké hleda ve varu uv kde apř v je ová ezámá fukce a u je vhodá fukce kerou zvolíme během výpočuukážeme že eo způsob vede ke sejému výsledku jako u meod variace kosa

24 Fukce u v má bý řešeím úplé LDR dosaďme ed uo fukci a její derivaci uv uv do rovice (4) uv uv uv p q uv vu u p q a v éo rovici položme u u p (volielá podmíka pro fukci u ) Máme ed sousavu dvou DR pro ezámé fukce u a v : uv q (6) u u p (7) Rovice (7) je zkráceá LDR pro ezámou fukci u a podle vě je jejím řešeím fukce u p d e Rovice (6) je DR se separovaelými proměými ed ji upravíme a var q dv u d dv q u d K v q u d K Ozačíme-li E p d e dosaeme u v Eqd K E Obecé řešeí rovice (4) jsme hledali ve varu uv E q d K E E a ed p d kde e j sejý výsledek jako u meod variace kosa 5 Příklad Řeše DR Řešeí Jedá se o úplou LDR řádu kde p q éo rovice řemi způsob: ) Dosazeím do vzahu : E q d K E Ukážeme řešeí p d kde e E d l l p d p d E e e l Eqd d d Ted obecé řešeí lze psá ve varu K

25 ) Lagrageova meoda variace kosa Příslušá zkráceá LDR má var ed Nalezeme její obecé řešeí ve varu p d Ce d l l p d l Ce C Variace kosa: obecé řešeí úplé LDR hledáme ve varu C odkud ple a po dosazeí do daé rovice dosaeme Ted obecé řešeí má var C C C C C C C C K K ) Obecé řešeí hledáme ve varu uv Ze vzahu uv ple uv uv a po dosazeí do daé rovice dosaeme uv uv uv odud po úpravě uv v u u Volielá podmíka pro fukci u : u u vede k sousavě rovic uv u u Druhá z ěcho rovic je zkráceá LDR pro ezámou fukci u() a její řešeí lze zapsa ve varu p d u e ed u Dosazeím éo fukce do prví rovice sousav dosaeme v v v K Obecé řešeí jsme hledali ve varu uv ed po dosazeí K 4

26 4 Beroulliova difereciálí rovice 4 Defiice Beroulliovou difereciálí rovicí (zkr BDR) azýváme každou rovici varu m p q kde m R m m a fukce p q fukce q eí ideick rova ule jsou spojié a iervalu a b přičemž 4 Pozámka Pro m dosáváme LDR pro m obdržíme DR se separovaelými proměými p q 4 Věa a) Beroulliovu DR převádíme subsiucí z m a LDR pro fukci b) Je-li m poom fukce je řešeím BDR m Důkaz: a) p q Ze subsiuce z a po dosazeí m ple což je LDR řádu pro ezámou fukci z pro m m p q m m z z m m m z m z p q m z m z p m q z b) Triviálí dosazeím do levé a pravé sra BDR ( m ) dosaeme p p L m m P q q 44 Pozámka Obdobě jako u LDR řádu můžeme hleda obecé řešeí BDR ve varu u v Dosaďme ed do BDR a obdržíme rovici ve varu m m uv uv uvp u v q Volielá podmíka u up pro fukci m m uv v u up u v q u vede k sousavě rovic m m uv u v q u up 5

27 Druhá rovice éo sousav je zkráceá LDR pro ezámou fukci u a podle vě je jejím řešeím fukce u p d e Prví rovice éo sousav je DR se separovaelými proměými ed ji upravíme a var m dv u qd m v obecé řešeí hledáme ed ve varu m dv u qd K m v m v m u qd K m m m v m u qd mk m m v m u qd C kde C m K m m m Proože u v můžeme obecé řešeí psá ve varu kde u m u m m u m q d C 45 Příklad Řeše DR = e Řešeí Jedá se o BDR kde p q m ed fukce je jedím řešeím daé rovice Obecé řešeí éo rovice alezeme oběma uvedeými posup a) Subsiucí z m p d pro Zavedeme subsiuci z z z a po dosazeí dosaeme z z z z z což je LDR řádu pro ezámou fukci Její obecé řešeí ( viz příklad 5 ) je z K Odud a z uvedeé subsiuce obdržíme K K což je hledaé obecé řešeí 6

28 b) Obecé řešeí hledáme ve varu uv Dosaďme ed za uv a uv uv do zadaé rovice u v uv uv uv u v uv v u u Volielá podmíka u u vede k sousavě rovic u v uv u u Druhá rovice éo sousav je zkáceá LDR její řešeí je ed u e p d d l j u Dosazeím éo fukce do prví rovice sousav dosaeme v v odkud po jedoduché úpravě máme v dv d C v K K C v Proože a u u v můžeme obecé řešeí psá ve varu K K p d V obou případech kromě alezeého obecého řešeí má rovice i výjimečé řešeí Příklad k procvičeí P Řeše difereciálí rovice: a) e e e pro b) cos 5 c) l l 7

29 d) e) si cos e si P Řeše Cauchho úlohu: b pro a) b) pro c) pro d) d d f) pro e) pro f) Výsledk: P a) le C e C d) b) l pro C C c) e cog 5 e) e Csi f) b P a) b) g c) b e) l f) l C e d) Eakí difereciálí rovice 5 Defiice Difereciálí rovice varu P d Q d se azývá eakí (zkr EDR) právě ehd kdž její levá sraa předsavuje oálí difereciál vhodé fukce kerou azýváme kmeová fukce 5 Věa a) Jsou-li fukce P Q P d Q d b) Je-li daé EDR je varu spojiě diferecovaelé a poom rovice je eakí právě ehd kdž a oboru ideick plaí P Q kmeovou fukcí příslušého oálího difereciálu poom obecé řešeí C Důkaz a) Levá sraa EDR P d fukce Proože d d d plaí P Q Q d je oálím difereciálem kmeové 8

30 Odud P Q Proože pro kmeovou fukci plaí ( P Q mají spojié derivace) je ed P Q V důkazu opačé implikace ( j P Q P d Q d je eakí ) se vužívá vlasosí křivkového iegrálu viz apř [Šk] sr 78 b) Sačí ukáza že elimiací kosa z obecého řešeí dosaeme příslušou DR Diferecováím rovice C obdržíme d d a ed P d Q d 5 Určeí kmeové fukce Z předešlé vě je zřejmé že alezeí obecého řešeí EDR je vlasě problém určeí kmeové fukce Proože levá sraa EDR P d Q d kmeové fukce dosaeme sousavu parciálích DR pro ezámou fukci : Z rovice (8) iegrací podle proměé dosaeme P d je zaím eurčeá fukce Ozačme kde akže předsavuje oálí difereciál hledaé P (8) Q (9) U Tuo rovici derivujeme podle proměé a porováím s rovicí (9) dosaeme P d U U d d d U Q () d 9

31 Ukážeme í že pravá sraa éo rovice je vžd fukcí pouze proměé ( samozřejmě za předpokladu že daá rovice je eakí j P Q Q P ) R ed Ozačme ed pravou srau obecě jako fukci R Q U R Q P d a derivujme uo rovici podle proměé R Q P d R Q P d P Q P R akže R R r U Máme ed dokázáo že Q je fukcí pouze proměé Pokud při výpoču dospějeme k jiému výsledku pak se buď ejedá o EDR ebo je chba v předešlých krocích Rovice () je DR se separovaými proměými pro ezámou fukci její řešeí lze psá ve varu U Q d C a hledeá kmeová fukce je U U Q d C kde U P d Sousavu rovic (8) a (9) můžeme samozřejmě řeši i ak že rovici (9) iegrujeme podle proměé : Q d Ozačíme-li V Q d bude V Tuo rovici derivujme podle proměé Porováím s rovicí (8) dosaeme V d d V d P d d V P d

32 Opě lze ukáza že výraz a pravé sraě éo rovice musí bý fukcí pouze proměé V P d K a ed hledeá kmeová fukce je V V P d K kde V Q d 54 Pozámka Kmeovou fukci lze v moha případech urči poěkud jedodušším způsobem Rovici (8) resp (9) iegrujeme podle proměé resp a dosaeme P d U C Dá se ukáza že kmeová fukce U a V Q d V C je sjedoceím moži sčíaců vořících fukce Teo pojem vsvělíme v ásledujícím příkladu Tao meoda má u evýhodu (což aké ukážeme) že v ěkerých případech eí a prví pohled zřejmé zda se ěkeré sčíace liší pouze o kosau 55 Příklad Řeše DR e + e e + e d d Řešeí e + e jedá se ed o eakí DR P Q e + e P Q e + e e + e P Q Hledejme příslušou kmeovou fukci pro kerou plaí P Q j řešme sousavu parciálích DR pro ezámou fukci : e + e e + e způsob: a) Z prví rovice iegrací podle dosaeme e + e d e + e odkud po derivaci podle proměé d e + e + d Porováím s druhou rovicí obdržíme d e + e e + e + d

33 d d d C C Hledaá kmeová fukce je e + e C b) Z druhé rovice iegrací podle dosaeme d odud po derivaci podle proměé d e + e + d a porováím s prví rovicí obdržíme d e + e e + e + d d d d C C Hledaá kmeová fukce je e + e C způsob: e + e d C C e + e e + e e + e U e + e d C e + e C Sjedoceí moži sčíaců vořících fukce U a V obsahuje apř všech sčíace fukce U V keré se evskují ve fukci U varu V zameá že kmeová fukce doplěé o sčíace z fukce Ted kmeovou fukci můžeme psá ve e + e C Všemi uvedeými způsob jsme samozřejmě dospěli ke sejému výsledku ed obecé řešeí daé rovice je varu e + e K V ásledujícím příkladu ukážeme že meoda sjedoceí sčíaců může bez deailějšího rozboru vés k chbému výsledku 56 Příklad Řeše DR d d Řešeí P P jedá se ed o eakí DR Q P Q Q

34 Hledáme ed kmeovou fukci pro kerou plaí sousava parciálích DR způsob: Z druhé rovice iegrací podle proměé dosaeme d arcg odud derivací podle proměé je d d a porováím s prví rovicí d d d d C Kmeová fukce je arcg C a obecé řešeí lze psá ve varu arcg K způsob ( meoda sjedoceí sčíaců): d C C arcg U d C arcg C Bez hlubšího zkoumáí b ed mohlo dojí k omu že kmeovou fukci apíšeme ve varu arcg arcg C což je ovšem v rozporu s výsledkem zjišěým předešlým způsobem Zde si oiž musíme uvědomi že plaí arcg pro arcg arcg pro fukci U lze ed zapsa jako V U arcg C arcg K K C Teprve po éo úvaze obdržíme kmeovou fukci ve správém varu arcg C

35 6 Iegračí fakor 6 Moivace Neí-li levá sraa rovice P d Q d oálím difereciálem ějaké kmeové fukce j P Q a elze ji ai upravi a žádý z dříve uvedeých pů difereciálích rovic pak se abízí možos abchom uo rovici převedli a EDR kerou azýváme iegračí fakor vásobeím vhodou fukcí Hledejme ed podmík pro ezámou fukci : P d Q d P d Q d Má-li se jeda o eakí DR musí plai P Q P P Q Q P Q Q P () Získaá rovice je parciálí difereciálí rovicí pro ezámou fukci a její řešeí může bý obecě začě složié Za speciálích podmíek lze však iegračí fakor aléz poměrě sado Uvedeme dva z ěcho případů kd fukci budeme považova za fukci pouze proměé resp a zároveň ukážeme jaké požadavk musí splňova fukce P Q ab aková fukce eisovala a 6 Iegračí fakor = () Fukce je fukcí pouze proměé ed dosáváme d ; dosazeím do rovice () d P Q d d Q d P Q Q d () Proože levá sraa éo rovice je fukcí proměé musí bý i pravá sraa fukcí pouze proměé Ted uá podmíka k omu ab iegračí fakor eisoval ve varu je P Q Q Rovici () lze proo psá ve varu d d 4

36 což je DR se separovaými proměými pro ezámou fukci ako: d d l d d e jejíž řešeí určíme 6 Iegračí fakor = () Fukce je fukcí pouze proměé ed () dosaeme P Q d d P d a dosazeím do rovice d d P Q P d () Ab iegračí fakor í eisoval ve varu musí plai P Q P a rovici () lze ed psá ve varu d d což je DR se separovaými proměými pro ezámou fukci l d d d 64 Příklad Řeše DR cos d si e d d e Řešeí Rovice eí eakí eboť P cos Q e si s řešeím P Q P Q si e Dále je P Q si e Q e si Podmíka pro eiseci iegračího fakoru jako fukce proměé je ed splěa a plaí d d l e Vásobeím daé DR ímo iegračím fakorem dosaeme e cos d e si d 5

37 Pro korolu ověřme podmíku eakosi rovice ( ozačme P P Q Q ) : P Q P Q e si e si Hledáme příslušou kmeovou fukci pro kerou je e cos e si Z prví rovice máme e cos d e cos e si Porováím s druhou rovicí dosaeme d d e si e si C d d Kmeová fukce je e cos C a obecé řešeí daé rovice je 65 Příklad Řeše DR e cos K si d cog d Řešeí si P Q cog P Q P Q cos cog P Q cos cog si cog d d P Q si cog cog P si Je ed splěa podmíka pro eiseci iegračího fakoru jako fukce proměé d cog d l si l Po vásobeí daé rovice ímo iegračím fakorem obdržíme cos d si si d Opě pro korolu ověřme podmíku eakosi rovice cos P Q si si P cos Q cos P Q si si Pro kmeovou fukci ed plaí cos si si d si si si 6

38 Odud derivací podle dosaeme cos d si d a porováím s druhou rovicí obdržíme cos cos d d si si d d C Hledaá kmeová fukce je C si a obecé řešeí daé rovice můžeme zapsa ve varu K si 7 Někeré další speciálí p DR prvího řádu 7 Difereciálí rovice varu f( ) = ebo f( ) = Difereciálí rovice varu f ebo f kde řešíme subsiucí Užiím éo subsiuce převedeme daou difereciálí rovici a sousavu dvou rovic v íž jsou difereciál d d vjádře jako fukce proměé Jedak ze vzahu okamžiě ple d d druhou rovici dosaeme diferecováím zadaé rovice do íž jsme dosadili Obecé řešeí akových rovic získáme obvkle v paramerickém vjádřeí 7 Příklad Řeše DR si Řešeí Jedá se o rovici pu f Obecé řešeí hledáme výše uvedeým způsobem Dosaďme proo odud po diferecováí Proože ze subsiučí rovice ple je do daé rovice: si si d d cos d d d cos d cos d si cos C Obecé řešeí daé rovice je určeo paramerickými rovicemi si si cos C kde R je paramer 7

39 7 Příklad Řeše DR Řešeí Jedá se o rovici pu f Obecé řešeí hledáme opě pomocí subsiuce : Odud diferecováím dosaeme rovici d d a proože je d d máme d d d pro d C Obecé řešeí obdržíme v paramerickém vjádřeí C Všeřeme případ kd k k R Dosazeím do daé rovice dosaeme L k k P k Proo je aké řešeí daé DR keré ovšem dosaeme z obecého řešeí pro paramer Všecha řešeí zadaé DR lze ed zapsa ve varu C kde R je paramer 74 Defiice Clairauova DR je každá rovice kerou lze zapsa ve varu (4) kde fukce je elieárí spojiě diferecovaelá a určiém iervalu J 75 Pozámka V případě že fukce je lieárí ( j a b ) máme DR ve varu a po úpravě a b b a což je DR se separovaelými proměými b d a d 8

40 76 Věa Pro Clairauovu DR a) Jejím obecým řešeím je fukce plaí: C C b) Její výjimečé řešeí lze psá v paramerickém varu Důkaz Clairauovu DR řešíme obdobě jako v čláku 7 subsiucí kde Dosazeím do rovice (4) dosaeme odud po derivaci podle proměé máme d d d d a proože plaí d d akže d d Ted d a) C C d a dosazeím do rovice (4) dosaeme obecé řešeí ve varu C C b) a po dosazeí do rovice (4) je Lze ed hledaé řešeí zapsa ve varu a proože oo řešeí elze obdrže z obecého řešeí pro žádou volbu kosa C jedá se o výjimečé řešeí 77 Věa Výjimečé řešeí Clairauov DR je obálkou jedoparamerického ssému přímek keré jsou vjádře příslušým obecým řešeím Důkaz Sačí ukáza že každá eča sesrojeá v libovolém bodě ke křivce daé paramerickými rovicemi paří do jedoparamerického ssému přímek keré jsou vjádře rovicí C C 9

41 Hledáme rovici eč ve varu kde a Teča má ed rovici j pro C C C proože 78 Pozámk a) Z předešlé vě je zřejmé že výjimečé řešeí Clairauov DR je zároveň řešeím sigulárím proože každým bodem éo iegrálí křivk lze vés eču jejíž rovice je rověž řešeím příslušé Clairauov DR a je ed v každém jejím bodě porušea jedozačos řešeí b) Pro ilusraci viz příklad 8 a příslušý obr4 79 Příklad Řeše DR Řešeí Jedá se o Clairauovu DR kde Podle vrzeí a) vě 76 lze obecé řešeí psá ve varu a zázorěe var iegrálích křivek C C což z geomerického hlediska předsavuje jedoparamerický ssém přímek Proože a má podle vrzeí b) éže vě výjimečé řešeí paramerické vjádřeí Pro ázoros můžeme z ěcho rovic vlouči paramer ak že je umocíme a druhou a sečeme ed přičemž Jde o půlkružici se sředem v počáku a poloměrem r ležící pod osou Přímk o rovici C C C R jsou ečami éo půlkružice (obr ) 4

42 C = - C C = C C = - C - C = C C = Obr C C / 7 Defiice Lagrageova DR je každá rovice kerou lze zapsa ve varu f (5) kde fukce f jsou spojiě diferecovaelé a určiém iervalu J kde a lieárí dife- 7 Věa Lagrageovu DR převedeme subsiucí reciálí rovici řádu pro ezámou fukci Důkaz Dosazeím do Lagrageov DR dosaeme f a odud po derivaci podle proměé máme d d f f d d d Vzhledem k omu že dosáváme pro d což je LDR řádu pro ezámou fukci f f d 7 Pozámk a) Je-li poom uě je aké d f V případě že je ao rovos splěa ideick (j f ) jedá se o Clairauovu DR kerá je proo speciálím případem Lagrageov DR 4

43 b) Je-li k R řešeí rovice f k mo- poom je k a ed fukce hou bý výjimečými řešeími Lagrageov DR Tuo skuečos je řeba ověři dosazeím 7 Příklad Řeše DR Řešeí Jedá se o Lagrageovu DR kde f kde a dosaeme Dosaďme (6) Derivováím podle proměé dosaeme posupě d d d d d d d d d : (7) d d d d d což je LDR řádu pro fukci Meodou variace kosa alezeme její obecé řešeí ve varu Ce Dosazeím do rovice (6) dosaeme Ce C e a obecé řešeí lze ed apsa v paramerickém vjádřeí Ce C e kde R je paramer d Podmíka evede k žádému dalšímu řešeí proože po jejím dosazeí do rovice d (7) dosaeme což je zjevě esplielé Příklad k procvičeí P Řeše difereciálí rovici: a) si cos si cos d cos si d b) c) l d) l e) e f) 4

44 P4 Řeše Cauchho úlohu: e d e d pro Výsledk: a) l pro c) b) pro d) pro e) f) pro P a) C cos ; b) si cos si e C e pro ; c) l C ; d) l C l ; C C C e) C e sig ř l ; f) sigř P4 a) e ; b) l 4 ; c) ; d) a ; e) 4 a ; f) a 8 Směrové pole 8 Pricip meod Nechť je dáa difereciálí rovice ve varu f přičemž fukce f je spojiá a ohraičeá a oblasi D a a éo oblasi splňuje Lipschizovu podmíku vzhledem k proměé Podle vě D prochází právě jeda iegrálí křivka daé DR ed každým viřím bodem Vzah f můžeme ovšem chápa aké ak že každému bodu přiřazea hodoa f D je kerá je z geomerického hlediska rova směrici eč k iegrálí křivce procházející ímo bodem Sesrojíme-li v každém viřím bodě D malou úsečku (eleme eč) se k f dosaeme zv směrové pole směricí Pro sadější zázorěí směrového pole je výhodé sesroji izokli což jsou křivk spojující bod kerým přísluší sejá směrice k Je ed zřejmé že rovice izokli mají var f k kde k R Pomocí směrového pole lze přibližě sesroji iegrálí křivk čímž získáme grafické zázorěí řešeí daé rovice 8 Příklad Zázorěe směrové pole a ačrěe iegrálí křivk rovice Řešeí Směrové pole zázoríme pomocí izokli keré mají v omo případě rovici k k R 4

45 Tuo rovici upravíme: k Jedá se ed o dvě růzoběžk k k k k k k k k k p: k k q: k k Pro směrice ěcho přímek plaí že k p k q k k k k k k p q p q k k k k k k Izokli jsou ed voře sousavou dvojic avzájem kolmých přímek keré pocházejí počákem souřadého ssému Například pro k dosaeme dvojici přímek V každém bodě ěcho přímek je směrice k eče iegrálích křivek rova a proo v bodech uvedeých přímek sesrojíme kráké úsečk rovoběžé s osou k = k = k = - k = k = k = - Obr 44

46 Na obr jsou ješě zázorě izokli pro k resp k kde eč k iegrálím křivkám svírají s kladou poloosou úhel 45 resp 5 Lze samozřejmě voli další hodo k R čímž dosaeme husší síť izokli a ed i lepší předsavu o varu iegálích křivek 9 Orogoálí rajekorie Jedou z moha prakických aplikací DR je určeí zv orogoálích rajekorií o je roviých křivek keré proíají daou sousavu jiých roviých křivek pod pravým úhlem Orogoálí rajekorie ak spolu s daými křivkami voří určiou pravoúhlou síť ; jako příklad můžeme uvés vrsevice a spádice ebo ekvipoeciálí čár a proudice 9 Defiice Odchlkou dvou roviých křivek v jejich průsečíku P azýváme velikos osrého úhlu eče sesrojeých k oběma křivkám v bodě P ( obr ) P Obr 9 Defiice a) Izogoálí rajekorie sousav roviých křivek jsou akové rovié křivk keré proíají všech křivk daé sousav při sejé odchlce b) Je-li hovoříme o orogoálích rajekoriích 9 Věa Nechť je dá jedoparamerický ssém roviých křivek o rovici C a echť f je DR ohoo ssému Poom rovice f je DR orogoálích rajekorií daého ssému 45

47 Důkaz Nechť křivk (z daého ssému) resp (z hledaého orogoálího ssému) mají rovice P Je zřejmé že resp a proíají se v bodě k ěmo křivkám ve společém bodě P resp Dále pro směrice eče k Paří-li křivka splěa rovos k (9) plaí do daého jedoparamerického ssému křivek je uě ideick f () Má-li křivka paři do orogoálího ssému pak k k Dosadíme-li eo vzah spolu se vzahem (9) do rovice () obdržíme opě ideiu f To ovšem zameá že každá křivka z hledaého orogoálího ssému je řešeím DR f 94 Pozámk a) Připomeňme že difereciálí rovici f dosaeme z rovice C vloučeím kosa C ( viz čláek ) b) Pro ( ; / ) má difereciálí rovice izogoálích rajekorií var f k kde k g k 95 Příklad Určee orogoálí rajekorie ssému křivek o rovici C Řešeí Jak sado zjisíme jedá se o kružice se sředem a ose procházející počákem souřadého ssému Příslušou DR dosaeme vloučeím kosa C K omu pořebujeme kromě daé rovice ješě jedu rovos kerou obdržíme derivací podle proměé přičemž Máme ed sousavu rovic: C C a odud elimiací kosa C což je hledaá DR daého ssému Nahradíme-li v éo rovici výrazem dosaeme DR orogoálích rajekorií 46

48 odkud po úpravě máme což je homogeí DR Podle Vě převedeme uo rovici subsiucí u a separovaou DR u du u u d kerá má obecé řešeí u k u Dosazeím u a po úpravě obdržíme obecé řešeí uvedeé homogeí DR ve varu K což je hledaá rovice orogoálích rajekorií Opě sado zjisíme že se jedá o kružice se sředem a ose procházející počákem souřadého ssému Zadaý ssém roviých křivek a jeho orogoálí rajekorie jsou zázorě a obr 4 K = 8 K = 4 K = C = C = 4 C = 8 Obr 4 Kružice se sřed a záporých poloosách odpovídají kosaám C a K s opačými zamék Příklad k procvičeí 47

49 P5 Zázorěe směrové pole a ačrěe iegrálí křivk difereciálí rovice: a) b) c) P6 Určee orogoálí rajekorie ssému křivek o rovici: 4 C b) 4 C c) C Výsledk: a) P6 a) Ke b) K 4 c) K Někeré umerické meod řešeí DR řádu Form řešeí DR V předcházejících kapiolách jsme acházeli řešeí DR epliciím resp impliciím resp paramerickém varu Možos vjádřeí řešeí koečým počem elemeárích fukcí závisí především a ásledujících dvou fakorech a) Tp DR: V prai se časo sekáváme s difereciálími rovicemi keré elze zařadi do žádého z uvedeých ( i dalších euvedeých ) pů ed pro ě eeisuje algorimus kerý b vedl k alezeí řešeí v aalickém varu b) Určeí primiiví fukce: I kdž pro daou difereciálí rovici eisuje příslušý algorimus arazíme v moha případech a emožos alezeí primiiví fukce ( apř všší rascedeí fukce ) To důvod vedou k omu že hledaé řešeí daé difereciálí rovice určíme buď grafem ( viz kapiola 8 ) ebo abulkou hodo Touo problemaikou se zabývá zvláší obor umerické maemaik a proo v omo skripu uvedeme ( spíše pro iformaci ) pouze dvě základí meod předsavuje ezámé ( přesé ) řešeí daé úloh Předpoklá- Eulerova meoda Hledejme řešeí DR f pro Nechť fukce dejme že ao fukce je spojiá a a b a má derivaci a a b vě ( prví věa o přírůsku fukce ) eisuje alespoň jedo reálé číslo c a b plaí b a c b a což lze zapsa aké ve varu b a a b a b a kde Ozačíme-li a b h h dosaeme jedoduchými úpravami h h h h h h h h f h h Poom podle Lagrageov akové že Pro h je aké h a proo se abízí pro výpoče přibližé hodo hledaé fukce v bodě h zvoli vzah h h f 48

50 Ozačíme-li h a dosadíme-li do předchozího vzahu za hodou a za hodou dosaeme Obecě ed máme h h f h f kde h h () a ŷ ŷ () ŷ ŷ() Obdržíme ak posloupos bodů i i i jejichž spojeím je lomeá čára kerá aproimuje graf přesého řešeí daé rovice ( obr5 ) Pro odhad chb éo meod lze ukáza že eisuje kosaa K aková že plaí K h K h pro pro dosaečě malá h Obr 5 Připomeňme že smbol i ozačuje přibližou hodou řešeí v bodě i a smbol i je přesá hodoa řešeí v omo bodě Je zřejmé že ao meoda je obecě ím přesější čím meší zvolíme krok h Pozámka Eisuje ješě zv zpřesěá Eulerova meoda kerá hodou (vpočeou podle vzahu ) ahradí přesější hodoou ~ ~ h ~ f f () ~ h f ~ ~ přičemž a 4 Příklad Eulerovou ( resp zpřesěou ) meodou alezěe přibližé řešeí Cauchho úloh a iervalu ; 5 s krokem h Řešeí a) Eulerova meoda vužívá vzahu () kde f Dosazeím posupě dosáváme h f 49

51 h f h f 98 h f h f h f b) Zpřesěá Eulerova meoda vužívá vzahu () přičemž ~ ~ h f ~ f ~ h f ~ kde opě f ~ Posupým dosazováím do ěcho vzahů obdržíme ~ ~ h f ~ ~ h ~ f f 959 ~ ~ h f ~ ~ h f ~ f 84 ~ ~ h f ~ ~ h f ~ f 66 ~ ~ 4 h f ~ ~ h f ~ f ~ ~ h f ~ ~ h f ~ f

52 Pro přehledos zapíšeme zjišěé hodo do abulk: ~ Vpočeé hodo jsme bez ohledu a přesos meod zaokrouhlovali a čři deseiá mísa V posledím řádku abulk jsou uvede přesé hodo řešeí ( opě zaokrouhle ) Daá rovice je oiž Beroulliova DR jejímž řešeím je pro daou počáečí podmíku fukce Teo příklad jsme volili proo abchom ilusrovali rozdíl v přesosi ěcho meod s počáečí pod- 5 Ruge-Kuov meod Hledejme opě řešeí DR f míkou Hodou řešeí v bodě h ( h je pevě zvoleý krok ) lze vjádři pomocí Talorov formule ve varu h h h Zavedeme-li ozačeí k h pak přírůsek k fukčí hodo odpovídající přírůsku h ezávisle proměé je dá vzahem h k h Základem všech Ruge-Kuových meod je vjádřeí přírůsku k ve varu kde m k wi k i i i ki h f i h i j k j () j přičemž Zaím ezámé kosa w i i i j je řeba urči ak ab plaila rovos m h h wi ki (4) To ovšem zameá že se musejí rova koeficie u sejých moci h r výrazů a obou sraách rovice (4) pro r M Lze ukáza že ejlepšího výsledku ( co se ýká přesosi ) lze dosáhou pro m M Hovoříme pak o Ruge-Kuově meodě řádu M Pro ilusraci odvodíme vzorce pro Ruge-Kuovu meodu řádu M j porováme koeficie u h a h ( koeficie u všších moci euvažujeme ) i 5

53 Proože m M můžeme rovos (4) zapsa ve varu h h w k w k f a ed Především je přičemž f 5 (5) Dále je d df f d f d f f d d d d a ed f f f f f Levá sraa rovice (5) je ed varu h L h f f f f L h f h f h f f Upravme í pravou srau rovice (5) ed P w k w k kde podle vzahu () pro m je k h f F h (6) k h f h k h f h h f h F h Určíme í prví dva čle Talorova rozvoje fukce Proože fukce dosáváme F h F h df dh F h v okolí bodu h ed Fh je složeá fukce j Fh f h h f kde f d f d Fh f h dh dh h f h f f f Máme ed k h F h h f h f f f Pravou srau rovice (5) můžeme proo zapsa ve varu P w k w k w h f w h f h f f f odkud po jedoduché úpravě je P h w w f h w f h w f f Porováím s levou sraou j se vzahem (6) dosaeme sousavu ří rovic pro čři ezámé:

54 w w w w Jedu z ezámých můžeme ed zvoli libovolě Nejpoužívaější je případ volb odkud dosaeme w w Máme ed k h f k h f h k k k k k Ruge-Kuova meoda řádu M umožňuje urči přibližou hodou řešeí v bodě podle vzahu h h f h k kde k h f Ozačíme-li h a dosadíme-li do předchozího vzahu za hodou a za hodou dosaeme h h f h k kde k h f Obecě h f h k k h f pro kde h h a V prai ejužívaější je Ruge-Kuova meoda řádu M 4 pro kerou lze aalogick odvodi vzorce k k k k4 6 přičemž k h f k h k h f k h k h f k h f h k 4 kde h h a h 5

55 Při vhodých předpokladech o fukci f lze ukáza že pro odhad chb zde plaí K h K h 4 ; h kde K je vhodá kosaa Přesos éo meod je ed o ěkolik řádů všší ež u meod Eulerov 6 Příklad Ruge-Kuovou meodou 4 řádu alezěe přibližé řešeí Cauchho úloh a iervalu ; 5 s krokem h Řešeí K určeí přibližých hodo řešeí použijeme výše uvedeých vzahů kde f Je ed k h f h k k h f h k k h f k4 h f h k k k k k k h f k k k k4 8 6 k h f k k k k k h f k k k k

56 4 k4 h f k4 k4 k4 k Výsledk pro přehledos opě zapíšeme do abulk: Porováí s výsledk získaými pro sejou úlohu v příkladu 4 ázorě dokumeuje rozdíl v přesosi použiých meod Ruge-Kuov meod lze sado implemeova a počíači a paří proo ke sadardím algorimům pro prakické řešeí difereciálích rovic Příklad k procvičeí P7 Řeše difereciálí rovici: a) cos si d) si cos si f) g) e b) c) g e) d d si h) P8 Řeše Cauchho úlohu: 4 a) 4 arcg pro b) e e pro c) e) 4 pro pro d) pro P9 Najděe rovici křivk jejíž eča v libovolém bodě proíá osu v bodě kerý je sejě vzdále od bodu doku a od počáku souřadého ssému P Nalezěe rovici křivk jdoucí bodem [;] a mající u vlasos že úsek libovolé její eč vťaý souřadými osami je půle bodem doku ( viz P4) P Určee rovici křivk procházející bodem [;] jejíž každá eča proíá osu v bodě jehož vzdáleos od počáku je rova vzdáleosi bodu doku od os 55