Dynamika proudících plynů Při výpočtech se budeme zabývat prouděním ideálních plynů. Jejich vlastnosti již byly popsány na předchozích přednáškách/cvičeních. Při proudění ideálního plynu si zavedeme ještě následující vlastnosti: Proudění je bez ztrát energie proudu (bez vnitřního tření a turbulencí Nedochází k výměně tepla s okolím dq=0 Proudění je ve vodorovné rovině dy=0 Práce ze soustavy není odváděna ani přiváděna da t=0 Nejprve si ale odvoďme, z čeho budeme vycházet: Klidná vzdušina je nositelem vnitřní tepelné energie, mechanické energie, kinetické a potenciální energie. Poslední dvě zmíněné jsou ale u klidné vzdušiny zanedbávané, protože mají minimální vliv na termodynamický výpočet. V technické praxi se vyskytují případy, kdy termodynamické změny stavu není možno zanedbávat. Z hlediska energií pro element proudu můžeme napsat, že: dm = d(u + w + g. y + p. v Čti: Element proudu (dm jako uzavřený systém je funkcí součtu elementárních změn vnitřní energie (u, kinetické energie ( w ; potenciální energie (g.h a energie proudu (p.v. Změna těchto energií proudící látky je dána vlivem vnějších účinků (přívod tepla (dq a tedy odvod technické práce (da t, případně generováním tepla následkem tření (dq tř a tedy i třecí práce (da tř. Dejme tyto vlivy na levou stranu rovnice a veličiny, na které působí, na pravou stranu a zároveň je převedeme do diferenciálního tvaru: dq da t + dq tř da tř = du + wdw + g. dy + d(p. v dq da t + dq tř da tř = du + wdw + g. dy + d ( p ρ V případě tření jde jen o přeměnu jedné formy energie na druhou, tedy když vynecháme tyto členy, energetická bilance rovnice se nezmění: Tedy rovnice nabyde tvaru: dq tř = da tř dq da t = du + wdw + g. dy + d ( p ρ Tato rovnice reprezentuje 1. zákon termodynamiky, při kterém se zohledňují všechny formy energie z makroskopického hlediska. Zopakujme si všechny tvary této rovnice, které máme nyní pro kontrolní objem: 1
dq da t = du + wdw + g. dy + d ( p ρ (1 dq da t = du + wdw + g. dy + d(p. v ( Využitím skutečnosti, která plyne z úvah o entalpii (viz: http://home.zcu.cz/~gaspar/cv/cv_tm_03_01.pdf můžeme vytvořit ještě jeden tvar první věty termodynamické: Využitá skutečnost: dh = du + d(p. v Poslední tvar první věty termodynamické pro kontrolní objem bude tedy: dq da t = dh + wdw + g. dy (3 Ukažme si tedy, jak by to vypadalo pro kontrolní objem: Obr. 1 Tvar kontrolního objemu s nenulovou rychlostí na vstupu a za předpokladu všech forem energií První zákon termodynamiky pro kontrolní objem můžeme napsat tak, aby korespondoval s obrázkem. Pro demonstraci využijeme rovnici (1 aby bylo vidět, že tam všechny členy doopravdy jsou. Nejprve převedeme všechny členy na jednu stranu: 0 = du + wdw + g. dy + d ( p ρ dq + da t Pro místo, kde se nacházejí veličiny s indexem 1: 0 = u 1 + w 1 + g. y 1 + ρ dq + da t Pro místo, kde se nacházejí veličiny s indexem : 0 = u + w + g. y + p ρ Poznámka: Jelikož již došlo k vykonání práce a výměně tepla s okolím, v bodě dva tyto veličiny nefigurují. Dáme tyto rovnice do rovnosti: u 1 + w 1 + g. y 1 + ρ q + a t = u + w + g. y + p ρ
Převedeme si teď rovnici do tvaru, jakou má rovnice (3. Platí tedy: u 1 + ρ = h 1 ; u + p ρ = h A rovnice nabyde následujícího tvaru: h 1 + w 1 + g. y 1 q + a t = h + w + g. y Separujme ještě tyto proměnné do tvaru, který je více podobný první větě termodynamické: q = g. (y y 1 + w w 1 + (h h 1 + a t (4 Na začátku jsme si zavedli tyto předpoklady: Ideální plyn bez vnitřního tření dq = 0 bez přívodu tepla dy = 0 proudění je ve vodorovné rovině da t = 0 není odváděná/přiváděná práce Můžeme tedy původní obrázek překreslit do následujícího tvaru: Obr. Obecný tvar kontrolního objemu s nenulovou rychlostí na vstupu Po dosazení předpokladů do rovnice (4: 0 = 0 + w w 1 + (h h 1 + 0 A následnou úpravou h 1 h = w w 1 (5 Poznámka: Z rovnice (5 se často při výpočtech vychází. Je dobré si ji pamatovat. Jelikož se v této kapitole zabýváme dynamikou plynů, budeme se zaměřovat na všechny veličiny, které s dynamikou souvisí. Nejprve to bude rychlost. Z předchozí rovnice (5 se dopracujeme k rovnici pro rychlost na výstupu z kontrolního objemu: w =. (h 1 h + w 1 (6 3
Toto je případ, kdy máme kontrolní objem, do kterého plyn vtéká i z něho vytéká. Využitím skutečnosti, která plyne z úvah o entalpii (viz: http://home.zcu.cz/~gaspar/cv/cv_tm_03_01.pdf a z Mayerovi rovnice (http://home.zcu.cz/~gaspar/cv/cv_tm_0_01.pdf: dh = c p. dt; Δh = c p (T 1 T =.r. (T 1 T Bude rychlost na výstupu z kontrolního objemu rovna: w =. 1. (T 1 T + w 1 (7 Vytknutím T 1 před závorku dostáváme rovnici ve tvaru: w =. 1. T 1. (1 T + w T 1 1 (8 Z předpokladů, které jsme zavedli na začátku (dq=0 se tedy jedná o adiabatický děj. Z úvah o adiabatickém ději platí (viz: http://home.zcu.cz/~gaspar/cv/cv_tm_04_01.pdf: T = ( p v 1 = ( T 1 v Můžeme rovnici napsat ve tvarech: w =. 1. T 1. (1 ( p + w1 (9 w =. 1. T 1. (1 ( v 1 v + w 1 (10 Úvaha: Všimněme si zásadní skutečnosti, která plyne z rovnic (8 a (9. K tomu aby byla rychlost na výstupu (veličiny s indexem různá od rychlosti na vstupu (veličiny s indexem 1 je nutné, aby se teploty a tlaky na vstupu a výstupu lišily, jinak rychlost na výstupu z kontrolního objemu bude stejná jako na vstupu, tedy proudění je ustálené!!!! Když je teplota na vstupu stejná jako výstupu: w =. 1. T 1. (1 T + w T 1 =. 1 1. T 1. (1 1 + w 1 =. 1. T 1. (0 + w 1 = w 1 Když je tlak na vstupu stejný jako na výstupu: 4
w =. 1. T 1 (1 ( p + w1 =. 1. T 1(1 1 + w 1 =. 1. T 1(0 + w 1 = w 1 Z rovnice (10 plyne taky jedna důležitá skutečnost. K tomu, aby byla rychlost na výstupu (veličiny s indexem různá od rychlosti na vstupu (veličiny s indexem 1, je potřebné, aby se objemy na vstupu a výstupu lišily, jinak rychlost na výstupu z kontrolního objemu bude stejná jako na vstupu. Objem plynu taky nesmí být stejný na vstupu a na výstupu. Když je měrný objem na vstupu stejný jako výstupu: w =. 1. T 1. (1 ( v 1 v + w 1 =. 1. T 1. (1 1 + w 1 =. 1. T 1. (0 + w 1 = w 1 Jelikož předpokládáme, že dq=0 a da t=0, tak je zapotřebí změnit i geometrii kontrolního objemu. Můžeme například takto: Obr. 3 Tvar kontrolního objemu s nenulovou rychlostí na vstupu Druhý případe nastává, když je kontrolní objem z jedné strany uzavřen a plyn jenom vytéká (w 1=0 Výtok z uzavřené nádoby (viz obr. 4: Obr. 4 Tvar kontrolního objemu s nulovou rychlostí na vstupu Rovnice (6 pro uzavřenou nádobu rovnice nabyde tvaru: Tedy rovnice (8, (9 a (10 se také změní: w =. (h 1 h 5
w =. 1. T 1. (1 T T 1 (11 w =. (1 1. T 1. (1 ( p w =. 1. T 1. (1 ( v 1 v (13 Úvaha: Všimněme si zásadní skutečnosti, která plyne z rovnic (11 a (1. Když budou hodnoty tlaku a teploty na vstupu i na výstupu stejné, tak se rovnice bude rovnat nule, tudíž k žádnému proudění na výstupu z kontrolnímu objemu nedojde: w =. 1. T 1. (1 T =. T 1 1. T 1. (1 1 =. 1. T 1. (0 = 0 w =. 1. T 1 (1 ( p =. 1. T 1(1 1 =. 1. T 1(0 = 0 Stejné to bude i v případě rovnice (13, když se budou měrné objemy na vstupu a výstupu rovnat, tak k žádnému proudění nedojde. w =. 1. T 1. (1 ( v 1 v =. 1. T 1.(1 1 =. 1. T 1.(0 = 0 Z hlediska fyziky, rychlost na výstupu má svoje omezení a není možné ji zvyšovat donekonečna. Je to dána tvarem dýzy a tlakovým spádem v ní. Důležitým pojmem z hlediska rychlostí je tzv. kritická rychlost. Kritická rychlost Kritická rychlost w k je taková rychlost w, která je rovna rychlosti zvuku v daném průřezu. Rychlost zvuku je dána rovnicí: a =. T (14 6
Kritická rychlost se nejprve odvodí pro výtok z uzavřené nádoby, tedy w 1=0. Pro vyjádření kritické rychlosti na výstupu z kontrolního objemu použijeme rovnici (11 a roznásobíme závorky. w =. 1. T 1. 1. T Předpokládáme, že v veličiny s indexem reprezentují stav proudícího média v nejužším průřezu dýzy, kde zároveň rychlost dosahuje i rychlost zvuku. Když využijeme také rovnici (14 můžeme napsat: Nebo: w k = w = a =. 1. T 1. 1 a Když umocníme celou rovnici a odseparujeme proměnné w k vytkneme před závorku w k = w = a =. 1. T 1. 1 w k =. 1. T 1. 1 w k +. w k w k 1 =. 1. T 1 w k (1 + 1 =. 1. T 1 vnitřek závorky převedeme na společného jmenovatele w k ( 1 + 1 =. 1. T 1 sečteme zlomek uvnitř závorky w k ( + 1 1 =. 1. T 1 pak upravíme rovnici tak, aby w k zůstalo separované. w k =. 1. T 1. ( 1 + 1 a posledními matematickými úpravami dostaneme tvar rovnice pro kritickou rychlost pro případ proudění v dýze při nulové počáteční rychlosti w 1=0 w k w k =.. T 1 + 1 pro případ, když je rychlost na vstupu do kontrolního objemu různá od nuly, se rovnice odvodí následovně V tomto případě využijeme rovnici (7 a mírně ji upravíme: w =. 1. T 1. 1. T + w 1 Předpokládáme, že veličiny s indexem reprezentují stav proudícího média v nejužším průřezu dýzy, kde zároveň rychlost dosahuje i rychlost zvuku. Když využijeme také rovnici (14 můžeme napsat: 7 (15
Nebo: w k = w = a =. 1. T 1. 1 + w 1 a Když umocníme celou rovnici a odseparujeme proměnné w k vytkneme před závorku w k = w = a =. 1. T 1. 1 + w 1 w k w k =. 1. T 1. 1 + w 1 w k +. w k w k 1 =. 1. T 1 + w 1 w k (1 + 1 =. 1. T 1 + w 1 vnitřek závorky převedeme na společného jmenovatele w k ( 1 + 1 =. 1. T 1 + w 1 sečteme zlomek uvnitř závorky w k ( + 1 1 =. 1. T 1 + w 1 pak upravíme rovnici tak, aby w k zůstalo separované. w k =. 1. T 1. ( 1 + 1 + w 1. ( 1 + 1 a posledními matematickými úpravami dostaneme tvar rovnice pro kritickou rychlost pro případ proudění v kontrolním objemu při nenulové počáteční rychlosti w 1 0 w k =.. T 1 + 1 +w 1. ( 1 + 1 (16 Tady pozor!!! Jelikož na vstupu máme proudící kapalinu, máme zároveň na vstupu nižší teplotu i tlak než v případě výtoku z uzavřeného objemu. Násobíme tedy nižší hodnotou T 1. Ve výsledku ale dostáváme opět kritickou rychlost (rychlost zvuku. Kritická rychlost je maximální dosažitelná rychlost v zužující se (konvergentním kontrolním objemu (dýze. K dosažení vyšších rychlostí je třeba speciálního tvaru dýzy, který má například Lavalova dýza. Jak je vidět z rovnice, tak hodnota kritické rychlosti závisí na druhu proudícího média a na teplotě, na které je závislá i rychlost zvuku. Proto jsme pro tento výpočet použili rovnici, která obsahovala hodnoty teplot. Samozřejmě ke změně rychlosti proudu je potřebné, aby byly teploty na vstupu a výstupu z kontrolního objemu různé. Jak bylo zmíněno výše, je třeba, aby tlaky i objemy na vstupu a výstupu z kontrolního objemu byly rozdílné. Jelikož jsme se bavili o kritické rychlosti, kterou dosahujeme při určitém rozdílu teplot, tak určitě bude existovat i rozdíl nebo poměr tlaků, při kterém se tato kritická rychlost dosáhne. Tomuto rozdílu nebo poměru tlaků říkáme kritický tlakový spád. 8
Kritický tlakový spád Již v předchozím jsme si uvedli, že hodnota kritické rychlosti je rovna rychlosti zvuku na výstupu ze zúženého kontrolního objemu: w k = w = a Jelikož máme vyjádřené rovnice pro w k i w, můžeme je dát do rovnosti: w k = w Pro w užijeme tvaru rovnice, kde se objevuje poměr tlaků (1 a pro vyjádření kritické rovnice užijeme tvar rovnice (15:.. T 1 + 1 =.. T 1 1 (1 (p Obě strany rovnice umocníme na druhou a obě strany budeme násobit členem 1 + 1 = 1 1 (1 (p V dalším kroku pravou i levou stranu budeme násobit členem 1, tedy dostaneme tvar: 1 + 1 = 1 (p 1..r.T 1. Dostaneme pak tvar: Pak od pravé i levé strany rovnice odečteme číslo 1 a následně obě strany vynásobíme číslem -1. ( p 1 = 1 + 1 Pravou stranu dáme na společného jmenovatele ( p + 1 + 1 = + 1 a po sčítání členů v čitateli dostaneme: ( p = + 1 zbývá jen obě strany umocnit členem výstupu z kontrolního objemu rychlost zvuku: a dostaneme výraz, pro poměř tlaků, při kterém se dosáhne na ( p = p k = ( k + 1 = β = kritický tlakový spád (17 Z této rovnice je možné se dopočítat k tlaku, který je v daném kritickém řezu: p k =. β =. ( + 1 (18 Z předchozích rovnic (8, (9, (10, (11, (1, (13 plyne, že když máme v daném průřezu kritickou rychlost a tedy i kritický tlakový spád, musí ideální plyn dle rovnice adiabaty dosáhnout kritického měrného objemu a tedy i hustoty. Z rovnice adiabaty si je jednoduše můžeme vyjádřit: 9
v k = v 1. ( 1 p k (19 ρ k = 1 v k Odvození těchto veličin si pak ukážeme na konkrétních příkladech nebo viz: http://home.zcu.cz/~gaspar/cv/cv_tm_04_01.pdf a http://home.zcu.cz/~gaspar/cv/cv_tm_01_01.pdf V případě, že rychlost na vstupu do kontrolního objemu je nenulová, využijeme rovnic (9 a (16:.. T 1 + 1 +w 1. ( 1 + 1 =.. T 1 1 (1 (p + w1 Obě strany rovnice umocníme na druhou:.. T 1 + 1 +w 1. ( 1 + 1 =.. T 1 1 (1 (p + w1 Odseparujeme proměnné a upravíme:.. T 1 + 1 +w 1. ( 1 + 1 w 1 =.. T 1 1 (1 (p Odečteme od obou stran rovnice hodnotu w 1 a následně obě strany rovnice násobíme [.. T 1 + 1 +w 1. ( 1 + 1 w 1 ]. 1 = 1 ( p.. T 1 Odečteme od obou stran rovnice 1 a následně obě rovnice násobíme hodnotou (-1: {1 [.. T 1 + 1 +w 1. ( 1 + 1 w 1 ]. 1 } = ( p.. T 1 Vnitřek hranaté závorky upravíme tak, aby všechny členy měly stejný jmenovatel: {1 [.. T 1 + 1 + w 1. ( 1 + 1 w 1. ( + 1 + 1 ]. 1 } = ( p.. T 1..r.T 1 : Členy s w 1 následně sečteme: {1 [.. T 1 + 1 + w 1 ( 1 1 + 1 ]. 1 } = ( p.. T 1 Po sečtení v závorce zůstane (-, tedy znaménko před zlomkem se změní: 10
Hranatou závorku pak nádobíme členem 1 [.. T 1 + 1. w 1 + 1 ]. 1 = ( p.. T 1 :..r.t 1 [1 ( 1 + 1 w 1. ( 1. T 1 ( + 1 ] = (p Druhý a třetí člen závorky upravíme tak, členy měly stejný jmenovatel: [1. T 1( 1 w 1 ( 1 ] = ( p. T 1 ( + 1 Člen ( 1 vytkneme před závorku a dostaneme tvar rovnice pro výpočet kritického tlakového spádu v kontrolním objemu při nenulové počáteční rychlosti w 1 0 : [1. T 1 w 1. T 1. 1 + 1 ] = p p1 = p k = β kritický tlakový spád (0 Tady pozor!!! Jelikož na vstupu máme proudící kapalinu, máme zároveň na vstupu nižší teplotu i tlak než v případě výtoku z uzavřeného objemu. Násobíme tedy nižší hodnotou T 1. Ve výsledku dostáváme stejný kritický tlakový spád jako v případě proudění s nulovou počáteční rychlostí. Z této rovnice je možné se dopočítat k tlaku, který je v daném kritickém řezu: p k =. β =. [1 ( 1. (. T 1 w 1. T 1. ( + 1 ] (1 11
Tlakový spád a rychlost Mezi tlakovým spádem p a rychlostí w existuje propojenost a výše zmíněný tlakový spád β a kritická rychlost w k tvoří hraniční stavy. Propojenost tlakového spádu a rychlosti je reprezentován následujícím grafem: Obr. 5 Křivka udávající závislost mezi tlakovým spádem a rychlostí mezi vstupem a výstupem z kontrolního objemu Jak je vidět na grafe (obr. 5 na x-ové ose jsou zobrazeny hodnoty pro tlakový spád p a na y-ové ose jsou zobrazeny hodnoty pro rychlost w. Pro body vyznačené na grafe platí následující: p = ; w 1 = 0 Když je tlak na výstupu z kontrolního objemu stejný tlak jako na vstupu (p =, tak je tlakový spád rovný číslu 1 ( p = 1. Pro rychlost na výstupu z uzavřeného objemu platí dle rovnice (1: w =. 1. T 1 (1 ( p Tedy rychlost bude nulová (tekutina neproudí. =. 1. T 1(1 1 =. 1. T 1(0 = 0 p = ; w 1 0 Pro rychlost na výstupu z objemu, do kterého vstupuje proudící látka rychlostí w 1 platí dle rovnice (9: w =. 1. T 1 (1 ( p + w1 =. 1. T 1(1 1 + w 1 =. 1. T 1(0 + w 1 = w 1 Tedy rychlost na výstupu bude stejná jako na vstupu do kontrolního objemu. 1
p = p k ; w 1 = 0 Když se dosáhne kritického tlakového spádu mezi vstupem a výstupem z kontrolního objemu ( p = p k = β dosáhne se i kritické rychlosti w k. Pro rychlost na výstupu z uzavřeného objemu platí dle rovnice (15: Tedy rychlost na výstupu bude rovna rychlosti zvuku. w = w k =.. T 1 + 1 p = p k ; w 1 0 Pro kritickou rychlost na výstupu z objemu, do kterého vstupuje proudící látka rychlostí w 1 platí dle rovnice (16: Tedy rychlost na výstupu bude rovna rychlosti zvuku. w = w k =.. T 1 + 1 +w 1. ( 1 + 1 Tady pozor!!! Jelikož na vstupu máme proudící kapalinu, máme zároveň na vstupu nižší teplotu i tlak než v případě výtoku z uzavřeného objemu. Násobíme tedy nižší hodnotou T 1. Ve výsledku ale dostáváme opět kritickou rychlost (rychlost zvuku. p = 0 ; w 1 = 0 Když je tlak na výstupu z kontrolního objemu rovný nule (výtok do vakua; p = 0, tak je tlakový spád rovný nule ( p = 0. Pro rychlost na výstupu z uzavřeného objemu platí dle rovnice (1: w =. 1. T 1 (1 ( p =. 1. T 1(1 0 =. 1. T 1(1 = w max V tomto případe se dosahuje maximální možné rychlosti (může být vyšší než rychlost zvuku. p = 0 ; w 1 0 Pro rychlost na výstupu z objemu, do kterého vstupuje proudící látka rychlostí w 1 platí dle rovnice (9: w =. 1. T 1 (1 ( p + w1 =. 1. T 1(1 0 + w 1 =. 1. T 1(1 + w 1 = w max V tomto případe se dosahuje maximální možné rychlosti (může být vyšší než rychlost zvuku. 13
Podkritický a nadkritický tlakový spád Pojmy podkritický a nadkritický tlakový spád se pro potřeby počítání příkladů používají pro vyjádření oblastí, ve které se má daná úloha řešit. Jak je vidět z grafu výše, když je ze zadání tlakový spád v následující relaci s kritickým tlakovým spádem p = β > β = p k = ( + 1 tak říkáme, že jde o podkritický tlakový spád (zelená oblast obr. 5. Rychlost na výstupu z kontrolního objemu (dýzy nepřekročí rychlost zvuku (v krajních případech ji dosáhne, tedy dýza pro tuto rychlost může být konvergentní (zužující se obr. 6 a 7. Obr. 6 Konvergentní tvar dýzy s nenulovou rychlostí na vstupu Obr. 7 Konvergentní tvar dýzy s nulovou rychlostí na vstupu Jak je vidět, v obou případech se používá indexování jenom s čísly 1 a. V krajním případě, když se dosáhne kritické rychlosti na výstupu, tak se indexy nahrazují indexem k (kritické parametry. Dále je z grafu (obr. 5 vidět, že když je ze zadání tlakový spád v následující relaci s kritickým tlakovým spádem p = β < β = p k = ( + 1 tak říkáme, že jde o nadkritický tlakový spád (červená oblast obr. 5. Rychlost na výstupu z kontrolního objemu (dýzy je vyšší než rychlost zvuku, tedy dýza pro tuto rychlost je konvergentně-divergentní (nejprve se zužuje a pak rozšiřuje obr. 8 a 9. 14
Obr. 8 Konvergentně-divergentní tvar dýzy s nenulovou rychlostí na vstupu Obr. 9 Konvergentně-divergentní tvar dýzy s nulovou rychlostí na vstupu Jak je vidět, v obou případech se používá indexování s čísly 1 a a písmenem k, které vyjadřuje kritické parametry a je vždy v nejužším průřezu dýzy. 15
Rovnice kontinuity Zákon zachování hmotnosti Při ustáleném průtoku projde za jednotku času průřezy 1 a totéž množství proudícího média m [kg.s -1 ]. Obr. 10 Kontrolní objem, skrz který proudí konstantní průtokový množství látky Množství proudícího média může být také vyjádřené rovnicemi: m = V. ρ = V Jelikož máme dva průřezy, tak můžeme napsat: m = V 1. ρ 1 = V. ρ = V 1 v 1 = V Objemový průtok [m 3 s -1 ] je možné vyjádřit jako součin plochy [m ] a rychlosti [m.s -1 ]. Pro oba průřezy se tedy rovnice jen upraví: V = S. w m = V 1. ρ 1 = V. ρ = V 1 v 1 = V v = S 1. w 1 v 1 = S. w v Jelikož se množství látky, která protéká, nemění, tak můžeme napsat: S 1. w 1 = S. w S. w = v 1 v v = konst Nebo: v m = ρ 1. S 1. w 1 = ρ. S. w = ρ. S. w = konst ( v 16