9. Řešení typických úloh diskrétní metodou nejmenších čtverců. DISKRÉTNÍ METODA NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ použití: v případech, kdy je nevhodná interpolace využití: prokládání dat křivkami, řešení přeurčených systémů lineárních rovnic nahrazení požadavku F x i fx i, i 0,,..., n slabším požadavkem F x 0 fx 0 + F x fx +... F x n fx n min obecná formulace úlohy: Pro dané vektory ϕ R k a ϕ, ϕ,..., ϕ n R k, n < k najděte koeficienty c, c,..., c n tak, že pro vektor ϕ c ϕ + + c n ϕ n X c, kde X ϕ, ϕ,..., ϕ n k n, je norma ϕ ϕ minimální. konstrukce: neznámé koeficienty c, c..., c n dostáváme jako řešení soustavy lineárních rovnic, tzv. normálních rovnic: ϕ, ϕ ϕ, ϕ ϕ, ϕ n c ϕ, ϕ ϕ, ϕ ϕ, ϕ ϕ, ϕ n c ϕ, ϕ........ ϕ, ϕ n ϕ, ϕ n ϕ n, ϕ n c n ϕ, ϕ n }{{}}{{}}{{} X T X c X T ϕ Pozn.. Při návrhu aproximace bychom měli aproximační funkci vybírat tak, aby vektory ϕ i byly lineárně nezávislé, v opačném případě by měla soustava nekonečně mnoho řešení. Pozn.. Za předpokladu, že jsou vektory ϕ i, i,..., n lineárně nezávislé, matice soustavy je symetrická a pozitivně definitní soustava lze efektivně řešit např. Choleského metodou. Příklad. Pro zadané hodnoty najděte vztah popisující závislost teploty na čase zjištěnou měřením zaznamenaným v tabulce. Aproximujte a lineárním, b kvadratickým polynomem. Vypočítejte normu vektoru chyb výsledné aproximace v daných uzlech. i 0 3 čas 0 3 teplota 3-0 teplota 0 3 0.0 0.5.0.5.0.5 3.0 cas
9. Řešení typických úloh diskrétní metodou nejmenších čtverců. Příklad. Metodou nejmenších čtverců řešte přeurčenou soustavu lineárních rovnic x + x x x x + x. ϕ, ϕ, ϕ matice plánu: X ϕ ϕ součin X T X: součin X T ϕ: X T X X T ϕ 3 6 systém normálních rovnic X T X c X T ϕ: 3 6 3 3 0 4 3 7 3 0 0 c odhad ϕ : chyba aproximace: ϕ ϕ 9 ϕ X c 3 0 4 + 4 + 7..8708 x 4 x + x x x 0 4 6 x x + x 4
9. Řešení typických úloh diskrétní metodou nejmenších čtverců. 3 Příklad 3. Funkci fx x aproximujte v uzlech x i + i, i,, 3, 4 lineární kombinací funkcí, e x, e x. Vypočítejte normu vektoru chyb výsledné aproximace v daných uzlech. Dané funkce: f x, f x e x, f 3 x e x i 3 4 x i - 0 y i 0 4 x i - 0 f x i f x i 0.3679.783 7.389 f 3 x i.783 0.3679 0.353 0.3679.783 ϕ, ϕ 783, ϕ3 0.3679, ϕ 0 7.389 0.353 4 0.3679.783 matice plánu: X.783 0.3679 7.389 0.353 součin X T X: 0.3679.783 0.3679.783 7.389 4.475 4.5.783 0.3679 475 63.5 4.783 0.3679 0.353 4.5 4 8.547 7.389 0.353 součin X T ϕ: X T ϕ 0.3679.783 7.389 0 6 3.644.783 0.3679 0.353 3.675 4 systém normálních rovnic X T X c X T ϕ: 4.475 4.5 6.475 63.5 4 3.644 4.5 4 8.547 3.675 řešení systému normálních rovnic: c.343 0.73 0.7535 rovnice modelu:.343 + 0.73e x + 0.7535e x odhadnuté hodnoty: 0.9693 ϕ X 0.54 c 0.8746 4.0305 teplota 0 3 4.0 0.5 0.0 0.5.0.5.0 cas x chyba aproximace: ϕ ϕ 0.85
9. Řešení typických úloh diskrétní metodou nejmenších čtverců. 4 Řešený příklad z praxe. U 5 podniků řepařské oblasti v České republice byl sledován průměrný hektarový výnos [q/ha] cukrovky ve vztahu ke spotřebě hnojiva K O [kg/ha]. Hodnoty jsou dány v tabulce. Odhadněte parametry následujících modelů a y c + c x, b y c + c x + c 3 x. c y c + c x, Zdroj: [] a porovnejte jejich vhodnost. spotřeba K O [kg/ha] 0 58 96 34 7 0 48 86 34 36 400 438 476 54 55 výnosy cukrovky [q/ha] 80 3 70 34 35 35 444 494 543 59 53 5 59 50 479 a model M : y c + c x ϕ,,..., T ϕ 0, 58, 96, 34, 7, 0, 48, 86, 34, 36, 400, 438, 476, 54, 55 T ϕ 80, 3, 70, 34, 35, 35, 444, 494, 543, 59, 53, 5, 59, 50, 479 T 0 matice plánu X ϕ ϕ 58. 55 součin X T X součin X T ϕ 0 58 55 0 58 55 0 58. 55 80 3. 479 5 4 60 4 90 63 90 6 97 057 63 systém normálních rovnic X T X c X T ϕ: 5 4 60 6 97 4 90 63 90 057 63 řešení systému normálních rovnic: c rovnice modelu: y 38.76 + 0.6349x aproximace: chyba aproximace: ϕ ϕ 3.387 38.76 0.6349 0 ϕ X 58 c. 55 38.76 0.6349 50.956 75.058 99.780 33.304 347.4304 37.5566 395.688 49.8090 443.935 468.064 49.876 56.338 540.4400 564.566 588.694
9. Řešení typických úloh diskrétní metodou nejmenších čtverců. 5 b model M : y c + c x + c 3 x ϕ,,..., T ϕ 0, 58, 96, 34, 7, 0, 48, 86, 34, 36, 400, 438, 476, 54, 55 T ϕ 3 400, 3 364, 9 6, 7 956, 9 584, 44 00, 6 504, 8 796, 04 976, 3 044, 60 000, 9 844, 6 576, 64 96, 304 704 T ϕ 80, 3, 70, 34, 35, 35, 444, 494, 543, 59, 53, 5, 59, 50, 479 T 0 400 matice plánu X ϕ ϕ ϕ 3 58 3 364.. 55 304 704 součin X T X 0 58 55 400 3 364 304 704 součin X T ϕ 0 58 55 400 3 364 304 704 0 400 58 3 364... 55 304 704 80 3 6 97. 057 63 8 374 8576 479 systém normálních rovnic X T X c X T ϕ: 5 4 90 63 60 6 97 4 90 63 60 697 8 400 057 63 63 60 697 8 400 38 89 58 43 8 374 8576 řešení systému normálních rovnic: 4.69 c.839 0.00 rovnice modelu: y 4.69 +.839x 0.00x aproximace: 5 4 90 63 60 4 90 63 60 697 8 400 63 60 697 8 400 38 89 58 43 59.8649.9487 79.9677 330.99 375.83 0 400 44.6359 ϕ c ϕ + c ϕ X 58 3 364 4.69 c.. 447.3957.839 474.0907 0.00 494.709 55 304 704 509.863 57.7869 50.7 56.5937 506.8999 49.43 chyba aproximace: ϕ ϕ 9.393
9. Řešení typických úloh diskrétní metodou nejmenších čtverců. 6 c model M 3 : y c + c x ϕ,,..., T ϕ 4.47, 7.658, 9.7980,.5758, 3.49, 4.494, 5.7480, 6.95, 8, 9.063, 0, 0.984,.874,.676, 3.4947 T ϕ 80, 3, 70, 34, 35, 35, 444, 494, 543, 59, 53, 5, 59, 50, 479 T 4.47 matice plánu X ϕ ϕ 7.658. 3.4947 součin X T X součin X T ϕ 4.47 7.658 3.4947 4.47 7.658 3.4947 4.47 7.658. 3.4947 80 3. 479 5 39.6653 39.6653 4 90 6 97 09 77.0954 systém normálních rovnic X T X c X T ϕ: 5 39.6653 6 97 39.6653 4 90 09 77.0954 řešení systému normálních rovnic: 0.93 c 9.88 rovnice modelu: y 0.93 + 9.88 x aproximace: 4.47 ϕ c ϕ + c ϕ X 7.658 c. 3.4947 chyba aproximace: ϕ ϕ 6.4549 0.93 9.88 9.0448 53.5469 96.9333 33.8 36.8806 390.483 45.39 438.366 460.007 480.4 499.773 58.308 535.9055 55.8877 569.59 POROVNÁNÍ VÝSLEDKŮ rovnice modelu chyba M y 38.76 + 0.6349 x 3.3870 M y 4.69 +.839 x 0.00 x 9.393 M 3 y 0.93 + 9.88 x 6.4549 vynosy cukrovky 00 300 400 500 M M M 3 0 00 00 300 400 500 spotreba K O Zdroj: [] https://myloview.cz/fototapeta-omalovanka-kreslena-repa-stastna-zeleninova-postava-symbol-c-6a903e8 XI 08 Kateřina Konečná/verze:. XI. 08