Literatura [1] Fuka, J., Haveka, B.: Eektřina a magnetismus. 3. vydání. Praha, SPN 1979. [] Haiday, D., Resnick, R., Waker, J.: Fyzika. Část 3 Eektřina a magnetismus. Brno Praha, VUTINUM PROMETHEUS 000. [3] Haňka, L.: Teorie eektromagnetického poe. Praha, SNTL/ALFA 198. [4] Horák, Z., Krupka, F.: Fyzika. Praha, SNTL/ALFA 1966, 1976, 1981. [5] Hubeňák, J.: Řešené úohy z eektřiny a magnetismu. Edice SCIO ME MULTA NESCIRE č. 8. Hradec Kráové, MAFY 1997. [6] Feynman, R. P., Leighton, R. B., Sands, M.: Feynmanovy přednášky z fyziky s řešenými příkady. Havíčkův Brod, Fragment 000, 001, 00. [7] Irodov, I. E.: Osnovnyje zakony eektromagnetizma. Moskva, Vysšaja škoa 1983. [8] Krempaský, J.: Fyzika. Bratisava, ALFA/SNTL 198. [9] Maíšek, V.: Co víte o dějinách fyziky. Praha, HORIZONT 1986. [10] Vybíra, B.: Fyzikání poe z hediska teorie reativity. Praha, SPN 1976, Bratisava, SPN 1980. [11] Vybíra, B.: Teorie eektromagnetického poe. Pedagogická fakuta v Hradci Kráové, Hradec Kráové 1984. [1] Vybíra, B.: Eektrostatika. Knihovnička fyzikání oympiády č. 39. Hradec Kráové, MAFY 1999. [13] Vybíra, B.: Magnetické poe ve vakuu. (Eektrodynamika 1). Knihovnička fyzikání oympiády č. 4. Hradec Kráové, MAFY 000. [14] Vybíra, B.: Magnetické poe v átce. (Eektrodynamika ). Knihovnička fyzikání oympiády č. 49. Hradec Kráové, MAFY 001. [15] Vybíra, B., Zdeborová, L.: Pohyb těes s vivem odporových si. Knihovnička fyzikání oympiády č. 55. Hradec Kráové, MAFY 00. Obsah ELEKTROMAGNETICKÁ INDUKCE (Eektrodynamika 3) Studijní text pro soutěžící FO a ostatní zájemce o fyziku Bohumi Vybíra Úvod 3 1 Zákon eektromagnetické indukce 4 1.1 Historie objevu........................... 4 1. Eektrické poe indukované pohybem vodiče v magnetickém poi 5 Příkad 1 jednoduchý aternátor................. 10 Příkad baistický magnetometr................ 1 1.3 Eektrické poe indukované rotací Faradayova kotouče..... 13 1.4 Eektrické poe indukované časovou změnou magnetického poe 14 1.5 Indukované eektrické poe..................... 16 Příkad 3 vírové eektrické poe................. 18 Příkad 4 experimentání proudový vozík............ 0 Indukčnost vodičů a energie magnetického poe 3.1 Vastní indukčnost vodiče a vastní indukce........... 3 Příkad 5 indukčnost soenoidu................. 4. Vzájemná indukčnost vodičů a vzájemná indukce........ 5 Příkad 6 vzájemná indukčnost dvou soenoidů s těsnou vazbou 6.3 Energie magnetického poe..................... 8 a) Energie magnetického poe jediného vodiče... 8 b) Hustota energie magnetického poe.............. 8 c) Energie magnetického poe soustavy vodičů... 9.4 Indukčnost některých vodičů................... 30 a) Vastní indukčnost vácové cívky a přímého drátu...... 30 b) Vastní indukčnost toroidu................... 31 c) Vastní indukčnost koaxiáního kabeu............. 3 d) Vzájemná indukčnost dvou pochých cívek... 34 e) Závěrečný poznatek o indukčnosti............... 35 [16] Vybíra, B.: K teorii torzních baistických měřicích přístrojů. Jemná mechanika a optika 8/1988, str. 37 39. 76
Mezní stav pohybu nastane, když argument exponenciání funkce poroste nad všechny meze tedy pro t. Pak v m = mg kb. Tuto rychost určíme také přímo z pohybové rovnice, jejíž pravou stranu poožíme rovnou nue. Pak je nuové zrychení (brzdná sía se vyrovná tíhové síe). b) Do funkce v = v(t) dosadíme do evé strany derivaci funkce x(t) pode času. S využitím v m je ( ) dx = v m 1 e g t v m. Integrací [ ( )] x = mg t + m e kb m t 1. kb kb 14. a) E k = hc =3,97 10 λ 1 J=4,8 MeV 5 MeV. min b) Pode (10) je ˆB =0,675 T, B 0 =0,337 T. c) Pode (99) je m =49,5m e =4,51 10 9 kg, pode (100) je v =0,99978c =,9973 10 8 m s 1. Úvod Eektromagnetická indukce patří k významným fyzikáním jevům, které tvoří nejen jeden z důežitých piířů teorie eektromagnetického poe, nýbrž který také nachází široké apikace v technice, např. v energetice, měřící či komunikační technice. Bez zařízení jako jsou aternátory, transformátory, betatrony, antény aj., by stěží moha existovat současná civiizace, i když si to řadový občan ani neuvědomuje. Předožený text se zabývá eektromagnetickou indukcí a jejími zákadními fyzikáními apikacemi. Tvoří třetí dí eektrodynamiky voně navazuje na texty [13], [14], které byy zaměřeny na magnetické poe. Nejprve je věnována pozornost zákonu eektromagnetické indukce rozboru Faradayových experimentů a matematické formuaci zákona. Poté se definuje a počítá vastní a vzájemná indukčnost vodičů. Pozornost je věnována rovněž energii magnetického poe, přechodným jevům a významným obvodům střídavého proudu. Důežitou součástí textu jsou apikace eektromagnetické indukce, které jsou fyzikáně zajímavé a prakticky významné vázané osciační obvody, transformátor, Foucatovy proudy, skinefekt a betatron. Při výkadu átky bya dodržena osvědčená metoda popis experimentu, teoretický výkad, formuace zákonitosti, apikace, řešený příkad, úohy. V textu je zařazeno 11 příkadů. Na závěr je zadáno 16 úoh k řešení, přičemž výsedky řešení (případně u obtížnějších úoh i naznačené řešení) jsou uvedeny. 15. Při projití náboje Q za čas τ dojde ke změně pohybového stavu cívky pode pohybové rovnice Jε = M, kde úhové zrychení je ε Δω Δt = ω b 0 = ω b τ τ. Veikost momentu síy je dána působením magnetického poe na cívku, jíž projde proudový impus I = Q. Pode zákonů eektrodynamiky (viz např. τ [13], str. 8) působí na cívku moment síy M = ISB = QNa B. τ 74 3
i A S E v C V U B Obr. 47 K výpočtu napětí vobvoduc Pak U = I m π a Pro smyčku C patí d = dφ E, C neboi (obr. 47) E v U = dφ. ( sin ωt γr 0 h + μ 0ω n r ) 0 + h + a cos ωt. r 0 + h b) Protože nyní pošný obsah smyčky je S 0, naměří votmetr jen napětí U = U v = 11. Doba průetu poem t = a gh. I m sin ωt. πγr 0 h a) Protože cívka se podé poe pohybuje rovnoměrně, bude se tok Φ cívkou rovnoměrně zvětšovat z nuy do maxima Φ m = BNa. Přitom se bude v cívce indukovat napětí U. Když bude cívka opouštět poe, bude se Φ rovnoměrně zmenšovat a indukované napětí bude mít stejnou veikost U, avšak opačnou poaritu. Indukované eektrické poe vykoná práci W = U R a gh. Protože rychost cívky se při průetu magnetickým poem nezvětšuje, musí být tato práce rovna práci tíhových si, tj. W =mga. Pak Indukovaný proud U = Rmg 4 gh = 189 mv. (103) mg I = R 4 gh = 315 ma. 1. Vytvoři soustavu dvou cívek na spoečném žeezném prstenci. Když pak do jedné (I) přived přes spínač eektrický proud z baterie, tak se magnetka, rovnoběžně umístěná pod vodorovným drátem spojujícím konce druhé cívky (II), vychýia a poté se vrátia do původní poohy. Po přerušení proudu v první cívce se magnetka vychýia na opačnou stranu a vrátia zpět.. Při druhém pokusu zasouva do vzduchové cívky (soenoidu) tyčový permanentní magnet. Při vsouvání magnetu zjisti výchyku na jednu stranu, při vysouvání na opačnou stranu. Jakmie pohyb magnetu zastavi, vrátia se magnetka do původní poohy. Přitom je hostejné, zda pohybujeme magnetem nebo cívkou, rozhodující je reativní pohyb. 3. Pro třetí pokus zhotovi měděný kotouč, jehož obvod a osa byy pomocí kouzavého kontaktu vodivě spojeny drátem, pod nímž se nacházea indikační magnetka. Když kotoučem otáče v magnetickém poi permanentního magnetu, pozorovavýchykumagnetkyv jednom směru; když směr otáčení změni, přeša výchyka magnetky v opačnou. Těmito pokusy Faraday prokáza, že změnou magnetického poe se indukuje eektrické poe. Všechny tyto tři jevy se dají popsat jediným obecně patným indukčním zákonem. Jeho matematickou formuaci poda až v r. 1845 teoretik F. E. Neumann (1798 1895). Faradayův indukční zákon zařadi r. 1855 J. C. Maxwe (1831 1879) do své soustavy havních rovnic eektromagnetického poe. Faradayovým objevem se začaa rozvíjet teorie nestacionárního eektromagnetického poe. V násedujícím textu provedeme teoretický výkad Faradayových pokusů a odvodíme obecný tvar indukčního zákona. Zajímavé přitom je, že vystačíme se zákony pro magnetické poe eektrického proudu, jejichž výkad by předmětem pubikace [13]. 1. Eektrické poe indukované pohybem vodiče v magnetickém poi Nejprve se budeme věnovat nejjednoduššímu případu eektromagnetické indukce, který je jednoduchou variantou experimentu na obr. 1. Faraday použi zavěšenou astatickou magnetku viz [14] str. 34. Jde o soustavu dvou rovnoběžných magnetek se vzájemně opačně orientovanými póy; pak je výchyka nezávisá na geomagnetickém poi. Výhodné je umístit spojovací vodič se zkoumaným proudem u našeho pokusu mezi tyto magnetky citivost bude dvojnásobná. Při použití jen jedné magnetky musí mít spojovací vodič severojižní orientaci. Dnes užíváme pro indikaci indukovaného proudu gavanometr. 7 5
Řešení úoh 1. Eement cívky o pooměru r ašířcedr obsahuje cekem N dr závitů o pošném obsahu ds = πr N dr. r 0 r 0 Indukční tok ceou cívkou Indukované napětí Φ = B πn r 0 r 0 0 r dr = πr 0N B m cos ωt. 3 U i = πr 0 NB mω 3 sin ωt.. Φ = 15ab4 N t 4, U i = 15 ab4 Nt =4, mv,i i = 15ab4 Nt =35, ma. R 3. a) Sériové řazení L s = L 1 + L. b) Paraení řazení 1 L p = 1 L 1 + 1 L. 4. a) Závity ve stejném směru: L a = L 1 + L +M. b) Závity v opačném směru: L b = L 1 + L M. c) M = 1 4 (L a L b ). πr 5. M = μ 0 N 1 N. Vzájemná indukčnost nezávisí na r 1 proto, že na něm nezávisí indukce poe vnější cívky. Protože toto poe je homogenní v ceém objemu vnější cívky, nezávisí M ani na vzdáenosti os cívek, pokud druhá cívka zůstává uvnitř první cívky. 6. M = μ 0N 1 N S U i = μ 0N 1 N S =3,14 10 5 H, ΔI 1 Δt =15,7 mv. Po vožení jádra bude M = μ r M =31,4 mh,u i = μ ru i =15,7 V. indukované eektromotorické napětí mezi konci tyčky U i = E i = Bv. () Přísušné indukované eektromotorické napětí ze vyjádřit i obecněji pomoci integráu viz např. [13], str. 1. Pak U i = E i E = d i =(v B), (3) C neboť podé uzavřené křivky C (viz obr. ), resp. v uzavřeném eektrickém obvodu, vzniká eektrické poe jen podé úseku,kdejee i = konst. V uzavřeném eektrickém obvodu, tj. po připojení rezistoru o odporu R (viz obr. ), prochází indukovaný eektrický proud I i = U i R = Bv R. (4) Směr indukovaného proudu je zřejmý z obr. a obecně jej určuje Femingovo pravido pravé ruky: Poožíme-i pravou ruku na vodič tak, aby indukční čáry magnetického poe vstupovay do daně a paec ukazova směr pohybu vodiče, pak prsty ukazují směr indukovaného proudu. Pro vektorové vyjádření ve výrazu (3) jsme tyčku popsai vektorem ve směru indukovaného proudu, resp. intenzity E i indukovaného poe. Vrátíme se k výsedku (3), který nám umožní obecnější vyjádření indukčního zákona. Především skaární součin E i popisuje obecnější případ než znázorňuje obr. tyčka se může vzhedem k rovnoběžným drátům pohybovat šikmo. Z matematického hediska představuje vztah (3) smíšený vektorový součin tří vektorů, pro který patí pravido o záměně čenů 3. Násobíme-i rovnici ještě faktorem,dostaneme U i =(v B) = (B v ) = (v ) B = = 1 ) = 1 (dr ) B = ds B, (v kde je vektorový eement pochy rovinného eektrického obvodu opsané B ds tyčkou za čas. Eement pochy ze považovat za vektor, využijeme-i vastnosti vektorového součinu (viz obr. 3). 3 Patí (a b) c =(c a) b = (a c) b, neboť na zákadě geometrické interpretace vyjadřuje tento součin objem rovnoběžnostěnu nad vektory a, b, c. V posedním výrazu byo využito pravido pro vektorový součin: c a = (a c). 70 7
1. Vířivé proudy v trubce Douhá tenkostěnná trubka, jejíž průměr je (r+h), kde r je vnitřní pooměr a h toušťka stěny (obr. 45), je na koncích vodivě zasepena. Trubka je umístěna v homogenním časově proměnném poi o indukci h B(t) r B = B m cos ωt, Obr. 45 Řez trubkou jejíž indukční čáry komo protínají osu trubky. Vypočtěte cekový vířivý proud, který se indukuje v trubce. Skinefekt, stejně jako ovivnění vnějšího poe indukovaným proudem, neuvažujte. 13. Brzdění pásku vířivými proudy Douhý úzký přímý pásek z neferomagnetického kovu necháme voně padat ve svisé orientaci ze stavu kidu mezi póy magnetu s homogenním poem o B indukci (obr. 46). Na pásek, který má hmotnost m, bude kromě tíhové síy působit brzdná F sía v vyvoaná vířivými proudy. Má veikost F v = kbv, kdek je konstanta a v veikost okamžité rychosti. a) Odvoďte funkční závisost rychosti na čase a stanovte její mezní veikost v m. b) Odvoďte rovnici x = x(t) pro dráhu pásku. N m v S B Obr. 46 Padající pásek mezi póy magnetů 14. Betatron Betatron má soužit k produkci eektromagnetického záření o vnové déce až λ min =5,0 10 14 m. Eektrony se urychují na kruhové trajektorii o pooměru r 0 = 50 mm. Určete: a) Výstupní kinetickou energii E k eektronů. b) Potřebnou veikost indukce magnetického poe podé trajektorie (B 0 ) a střední hodnotu magnetické indukce ( ˆB) cekového magnetického poe uvnitř trajektorie. c) Výstupní hmotnost a rychost eektronu. 15. Teorie baistického gavanometru Eektrické náboje ze měřit baistickým gavanometrem, jehož zjednodušená teorie je předmětem řešení této úohy. Zákadem přístroje je ehká cívka kde U i a I i je dáno vztahy () a (4). Tato práce se spotřebuje na zvětšení kinetické energie voných eektronů ve vodiči, tedy dw =de k 4. V důsedku ohmického odporu R vodiče se tato energie projeví jako přírůstek vnitřní energie du rezistoru, tedy jako přírůstek kinetické energie kmitavého pohybu iontů v krystaické mřížce rezistoru, neboi zvýšením tepoty vodiče. Tato změna vnitřní energie je rovna Joueovu tepu du =dw. Jev popsaný Lenzovým zákonem (tj. indukovaný proud je takového směru, že brání změně, která jej vyvoaa) můžeme vysvětit i superpozicí magnetických poí. Sožíme-i primární magnetické poe B s magnetickým poem B i vyvoaným indukovaným proudem I i (obr. 5a), dostaneme výsedné poe B c = B + B i (obr. 5b), které zřejmě naznačuje, že proti pohybu vodiče, podmiňujícím magnetickou indukci, působí mechanický odpor popsaný reakční magnetickou siou F. B F v B i Obr. 5 K výkadu Lenzova zákona užitím superpozice magnetických poí; F je reakční magnetická sía působící proti pohybu vodiče rychostí v Veikost indukovaného napětí závisí pode Faradayova zákona (5) na rychosti změny magnetického indukčního toku. Té se ve vyšetřovaném případě dosahuje časovou proměnností pochy, kterou tok prochází. Typickým příkadem je otáčení smyčky v homogenním magnetickém poi (viz příkad 1). Na tomto principu je zaožena výroba eektrického proudu v aternátorech a dynamech. Poznámka: V dosavadním výkadu jsme soustavně pracovai s veičinou eektromotorické napětí U e, za kterou považujeme i indukované napětí U i pode výrazů (), (3) a (5). V teorii eektrických obvodů se pracuje s obvodovou veičinou svorkové napětí U je to napětí, které naměříme na zdroji (např. na baterii nebo na cívce, v níž se indukuje napětí) eektronickým votmetrem (s vekým vnitřním odporem) nebo oscioskopem jako napětí naprázdno (U 0 ). Toto napětí 4 Energii budeme v této pubikaci označovat všeobecně užívaným symboem E, i když v teorii eektromagnetického poe se označuje W, aby se odstrania koize se symboem pro veikost E intenzity E. F I i v B c 68 9
r 0 a Obr. 41 Soustava cívky a přímého vodiče b a) Určete vzájemnou indukčnost této soustavy vodičů. b) Určete napětí, které se bude indukovat v cívce, bude-i přímým vodičem procházet střídavý proud i = I m cos ωt. 9. Soustava soenoidu a otočné cívky Uvažujme soustavu dvou vzduchových cívek z obr. 4. Jde o soenoid, který má na déce = 300 mm N 1 = 40 rovnoměrně navinutých závitů o pooměru r. Uvnitř soenoidu komo k jeho ose je otočně uožena úzká rámová čtvercová cívka o straně a = 40 mm s počtem N = 100 závitů. a) Vypočtěte vzájemnou indukčnost M soustavy cívek v závisosti na úhu α. b) Soenoidem necháme procházet proud I 1 =,0 A a otočnou cívkou budeme z výchozí poohy α = 0 rovnoměrně otáčet úhovou rychostí ω = =60π rad s 1. Odvoďte výraz pro indukované napětí v otočné cívce a vypočtěte jeho ampitudu. a r N N 1 Obr. 4 Soustava dvou cívek α bokorys 10. Indukce v okoí trubky Přímým vodičem ve tvaru kruhové trubky (viz obr. 43a) s vemi tenkou stěnou (h r 0 ) prochází střídavý proud i = I m sin ωt. VbodechA, B povrchu vodiče je připojen votmetr, jehož přívody jsou upraveny U i = B Nb v sin α = NBabωsin(ωt + α 0 )=NBSωsin(ωt + α 0 ), kde S = ab je pošný obsah jednoho závitu. Indukované eektromotorické napětí je zřejmě střídavé o ampitudě NBSω. Druhý způsob K výsedku se dostaneme rycheji užitím obecného tvaru (5) indukčního zákona. V obecné pooze popsané úhem α cívky prochází jedním závitem indukční tok daný skaárním součinem vektoru B indukce avektorus rovinné pochy závitu (viz obr. 7), tj. Φ 1 B = S = Babcos α = BS cos(ωt + α 0 ). Protože cívka má N závitů, bude cekový tok Φ = NΦ 1. Indukované napětí dostaneme ze vztahu (5) derivací: U i = dφ = NBSωsin(ωt + α 0). (8) b) Při zatížení aternátoru rezistorem o odporu R bude obvodem cívky procházet proud I i = U i R = NBSω R sin(ωt + α 0) (9) a proti otáčení působí na cívku dvojice F si, jejichž směr je zřejmý z obr. 8. Pro jejich veikost patí F = BI i Nb.Hnací motor aternátoru musí tedy B překonávat moment dvojice si I i M = Fasin α =(NBS) ω R sin (ωt + α 0 ). F B ω Týž výsedek dostaneme, vypočteme-i užitím výrazů (8) a(9) výkon P = U i I i aterná- α a sin α toru a vyjádříme jej pomocí momentu F síy. I i Pak M = P ω = U i ωr, po dosazení za U i Obr. 8 K výpočtu momentu síy M =(NBS) ω R sin (ωt + α 0 ). Neuvažujeme-i mechanické ztráty, je výkon hnacího motoru roven eektrickému výkonu aternátoru, tj. P = Mω = U i I i = (NBSω) sin (ωt + α 0 ). R Z odvozených výsedků je zřejmé, že F sía mění znaménko (v souadu s průběhem funkce sin α), kdežto moment síy a výkon jsou nezáporné (v souadu s průběhem funkce sin α). 66 11
5 Úohy 1. Vinutí ve tvaru Archimédovy spiráy Pochácívkamánapooměrur 0 cekem N závitů ve tvaru Archimédovy spiráy (obr. 38), které jsou hustě vinuty od středu k okraji cívky (cívku ze dobře vytvořit např. na destičce s tištěnými spoji). Cívka se nachází v periodicky proměnném magnetickém poi, jehož indukce se mění pode vztahu B = B m cos ωt ajekomákrovině cívky. Vypočtěte eektromotorické napětí, které se indukuje v cívce.. Cívka v nehomogenním poi Uvažujme nehomogenní magnetické poe o indukci B(x, t), jejíž veikost je dána funkcí B =15x 3 t, kde veičiny B, x, t jsou v jednotkách SI. Do poe (obr. 39) umístíme cívku o N = 4 obdéníkových závitech o rozměrech a = 00 mm, b = = 50 mm tak, že indukční čáry vstupují komo do roviny cívky. Vypočtěte indukované napětí v cívce v čase t =0,300 s. Jaký proud bude cívkou procházet při jejím zkratování, má-i odpor R =1,0 Ω. y r 0 Obr. 38 Vinutí ve tvaru Archimédovy spiráy B 0 b Obr. 39 Cívka v nehomogenním poi 3. Řazení odehých cívek Dvě cívky o indukčnostech L 1 a L jsou umístěny daeko od sebe. Jaká bude výsedná indukčnost těchto cívek, spojíme-i je a) do série, b) paraeně. 4. Sériové řazení bízkých cívek Cívky o indukčnostech L 1, L jsou umístěny bízko sebe tak, že jejich vzájemná indukčnost je M. Jaká bude vastní indukčnost těchto cívek při jejich zapojení do série tak, že a) závity obou cívek budou vinuty ve stejném směru, b) závity budou vinuty ve vzájemně opačném směru. c) Navrhněte, jak ze z naměřených indukčností L a, L b určit vzájemnou indukčnost M spojovaných cívek. a x Měříme-i poe eektromagnetu, nemusíme cívkou otáčet. Postavíme ji komo k indukčním čarám a vypneme (nebo zapneme) proud do eektromagnetu. Potom je S = konst. a B se změní od B do 0. Pak B = Q 0R Na. 1.3 Eektrické poe indukované rotací Faradayova kotouče Nyní se zaměříme na výkad třetího Faradayova experimentu z obr. 1. Ten není z hediska indukčního zákona ve formuaci (5) na první pohed již tak zřejmý. Kotouč se otáčí v homogenním časově neproměnném magnetickém poi a inie obvodu, v němž se indukuje proud, zůstává rovněž časově neproměnná. a) B r O K e F m F e r 0 v o ω b) B O K r 0 ω Obr. 10 K výkadu indukovaného poe u Faradayova kotouče; magnetické poe B je na ceé poovině, tj. od osy O ke kontaktu K, homogenní Nejprve provedeme výkad mikroskopický (obr. 10a). Na vodivostní eektron nacházející se na pooměru r mezi osou O a kouzavým kontaktem K, působí v B magnetickém poi v důsedku v jeho rychosti magnetická sožka Lorentzovy síy F mg = B ev = B, v kde = r. qv Protože jednotivé vektory jsou na sebe komé, má sía veikost F mg = Beωr a míří v našem případě k ose O. Hustota eektronů u osy se bude zvětšovat, kdežto u obvodu kotouče zmenšovat. Mezi kontaktem K aosouo vznikne eektrostatické poe E o intenzitě, které na eektrony F působí siou e = ee opačného směru než F je sía mg. V rovnovážném F stavu bude mg + F e =, 0 neboi B E + 0 =. Intenzita neeektrostatického indukovaného eektrického v poe E i je mg E i = e = B v F o ds K ω 64 13
Protože pak časový průběh toku Φ je pode obr. 37, ze pro proces urychování využít maximáně časový interva Δt = T, např. když je Φ > 0adΦ 4 > 0. V průběhu doby Δt vykoná eektron veké množství oběhů a dosáhne požadované energie. Např. u betatronu českosovenské výroby eektron za 5 ms vykoná 1,6 10 6 oběhů a dosáhne energie 15 MeV. Se vzrůstající energií eektronů v betatronu však vzrůstají ztráty energie způsobené eektromagnetickým zářením, které vydává každá nabitá částice, jei urychována. Tyto ztráty rostou se čtvrtou mocninou energie částice. Např. u betatronu na 100 MeV eektron vyzáří na konci urychovacího intervau při každém oběhu energii 1 ev, která je maá proti energii 400 ev, kterou při jednom oběhu získává, kdežto u betatronu na 300 MeV eektron získanou energii při jednom oběhu na konci urychování právě vyzáří a urychování již je neefektivní. Urychené eektrony se na konci urychovacího intervau Δt odkoní např. přídavným magnetickým poem (získaným proudovým impusem ve vinutí eektromagnetu) a dopadají na woframový terčík uvnitř trubice (viz půdorys betatronu na obr. 36). Při tomto dopadu se prudce zabrzdí, přičemž se generuje γ záření ve vemi širokém spektráním rozsahu. Bude-i mít eektron kinetickou energii E k, může vyzářený foton mít energii až E k = hν max atedyvnovou déku až λ min = c = hc, (98) ν max E k kde h =6,661 10 34 J s je Panckova konstanta. Tak např. u zmíněného betatronu na E k =15MeVjeλ min =8,3 10 14 m. Toto vemi tvrdé záření γ se užívá pro defektoskopii (např. ke kontroe kvaity oditků vekých rozměrů) anebo k ničení nádorů při éčbě rakoviny. Příkad 11 Kerstův betatron D. W. Kerst sestroji již r. 1945 veký betatron, který urychova eektrony na kinetickou energii E k = 100 MeV, přičemž pooměr rovnovážné trajektorie eektronů by r 0 =1,00 m. a) Vypočtěte hmotnost, rychost a hybnost eektronů na konci každého urychovacího intervau. b) Jaká musí být střední hodnota ˆB indukce magnetického poe uvnitř trajektorie eektronů a indukce B 0 podé jejich trajektorie na konci urychovacího intervau. c) Určete nejkratší vnovou déku záření γ, které vznikne po dopadu urychených eektronů na terčík. Z tvaru (5) indukčního zákona je zřejmé, že pro veikost indukovaného napětí je rozhodující rychost změny magnetického toku. V případě experimentu a 3 na obr. 1 se jí dosahovao proměnností pochy eektrického okruhu, v případě experimentu 1, jehož jiná obdoba je na obr. 11, se jí dosahuje změnou indukce magnetického poe buzeného v cívce (I), tj. zapínáním a vypínáním budicího proudu. Rozhodující přitom je rychost změny magnetického indukčního toku Φ, který projde pošným obsahem S rovinné pochy závitů cívky (II). Můžeme psát U i = dφ db =, kde S = konst. (10) S je vektor rovinné pochy, který má veikost rovnou pošnému obsahu S asměr daný směrem vnější normáy pode pravida pravé ruky (srovnejte s obr. 3b). Ze srovnání experimentů z obr. 1 a obr. 11 můžeme posoudit prozíravost Faradayova uspořádání, který cívky navinu na prstencové žeezné jádro. Tím oproti vzduchovým cívkám při pokusu na obr. 11 podstatně (μ r 10 3 krát) zvětši při stejném budicím proudu B indukci a současně výrazně omezi rozpty magnetického poe. Z obr. 11 můžeme rovněž posoudit jev, který popisuje Lenzův zákon. Indukovaný proud I i je takového směru, že magnetické poe, které vytváří (jeho indukční čáry jsou na obr. 11 vyznačeny čárkovaně), je namířeno proti poi, které je vybudio. Na tomto prvním Faradayově experimentu jsou zaoženy transformátory střídavého proudu. Výpočtu transformátoru bude věnována pozornost v čánku 4.. Poznámka: K výpočtu eektromotorického napětí při eektromagnetické indukci vznikající při pohybu vodiče v magnetickém poi (č. 1.) i při časové změně magnetického poe (č. 1.4) jsme použii stejný konečný tvar (5) indukčního zákona, jehož apikaci jsme rozšířii i na případ B = B(t). Fyzikání podstata obou těchto indukčních jevů je však zcea odišná. Původ pohybového indukovaného poe je v setrvačném pohybu nabité částice ve vnějším magnetickém poi, např. v pohybu vodiče v magnetickém B poi = konst. Druhý jev, tzv. akceerační indukované poe, vzniká při zrycheném pohybu nabité částice, např. při časově proměnném proudu ve vodiči (a to buď v tomto vodiči anebo ve druhém vodiči, který je v jeho bízkosti). Jestiže podstatu pohybového indukčního zákona ze najít v zákonech speciání teorie reativity, je podstata akceeračního indukčního jevu v zákadech obecné teorie reativity. Reativistické odvození akceeračního indukovaného poe poprvé poda (r. 196) český fyzik Zdeněk Horák (1898 1987). Reativistická podstata obou jevů je diskutována v [10], podrobně ve [4]. Ve vydání [4] z r. 1976 a 1981 ze najít řešení i pro ryche proměnné (nestacionární) proudy, které je již náročné. Na pro- 6 15
být taková, aby dostředivá sía na trajektorii o pooměru r 0 bya rovna síe magnetické, neboi mv = B r 0 ev, 0 kde m je okamžitá (reativistická) hmotnost eektronu. Oud B 0 = mv = p, (93) er 0 er 0 kde p je veikost okamžité reativistické hybnosti eektronu. stabiní trajektorie r 0 eektronové děo záření γ terčík póové nástavce B 0 ˆB vakuová trubice vakuová trubice Obr. 36 Osový řez betatronem a půdorys jeho trubice. Úpravou póových nástavců se dosahuje podmínky ˆB =B 0 pro stabiní pohyb eektronů Eektron je urychován na kruhové trajektorii o pooměru r 0 indukovaným eektrickým poem, pro jehož intenzitu patí pode (14) vztah πr 0 E = dφ. (94) Toto poe působí na eektron tečnou siou o veikosti F = ee = e dφ πr 0, 60 3. Změnou úhu α mezi směrem B asměrems,tj.α = α(t), (např. otáčením cívky v magnetickém poi) Nyní se ještě podívejme na indukční zákon (5) resp. (11) z jiného hediska. Eektromotorické napětí U e = d E (13) C v rovinném uzavřeném eektrickém obvodu popsaném křivkou C viz str.1 v [13] představuje práci, kterou eektrické poe o intenzitě E vykoná při přemístění kadného jednotkového náboje podé orientované uzavřené křivky C. Dosadíme-i (13) do indukčního zákona, dostaneme vztah C E d = dφ, (14) který má veký význam v Maxweově teorii eektromagnetického poe. Rovnice (14) vyjadřuje, že měnícím se magnetickým poem je indukováno eektrické poe, které cirkuuje po uzavřené křivce C. Bude ještě vhodné porovnat vastnosti eektrostatického poe s eektrickým neeektrostaickým poem vznikým eektromagnetickou indukcí. Eektrostatické poe je vytvářeno náboji v kidu a patí pro ně d =0, (15) E C jak jsme poznai v [1], str. 17. Proto moh být pro ně zaveden eektrický potenciá ϕ. Vztah (15) říká, že eektrostatické poe je nevírové. Zcea jiná situace je u eektrického poe vznikého eektrostatickou indukcí, jak vypývá ze srovnání vztahů (14) a (15). Indukované eektrické poe je vírové. Pravá strana rovnice (14) je nenuová a tudíž pro toto poe neze zavést eektrický potenciá. Tento výrok si můžeme vysvětit např. na situaci částice s kadným jednotkovým nábojem. Když s ní oběhneme po ibovoné uzavřené křivce (např. po kružnici) v eektrostatickém poi z určitého bodu a vrátíme se do něho, bude vykonaná práce nuová bez ohedu na veikost a tvar této křivky. V indukovaném eektrickém poi bude v důsedku patnosti rovnice (14) tato práce při přenesení kadného jednotkového náboje nenuová, číseně rovna indukovanému napětí (např. U i = 3 V). Kdybychom v tomto poi chtěi zavést potenciá, muse by vzrůst o tuto hodnotu. To ovšem není možné, protože bychom měi pro určitý bod prostoru dva potenciáy. Nejen to na jiné křivce anebo při jiné rychosti změny magnetického poe bychom dostai ibovoné 17
komé k podéné ose váce. V důsedku proměnnosti magnetického poe se ve vodiči indukuje vířivé eektrické poe o intenzitě E i, přičemž siočáry tohoto poe jsou uzavřené křivky ežící v rovinách procházejích podénou osou váce. Cirkuace indukovaného poe E i má takový směr, že její směr u povrchu je souhasný se směrem vtištěného poe E v a tudíž v obasti vzdáenější od povrchu (na obr. 35a v bízkosti podéné osy váce) má opačný směr. a) B(t) db E i (t) r 0 (t), dj j E v (t) b) f 0 =0Hz f 1 =5kHz f =60kHz f 3 = 10 khz f 4 = 400 khz 1 Obr. 35 a) K výkadu skinefektu. b) Rozožení proudové hustoty po průřezu kruhového vácového vodiče při různých frekvencích proudu (průběh funkcí je řešen pro měděný vodič o pooměru r 0 =0,6 mm; pro pooviční pooměr budou uvedené frekvence čtyřnásobné) Obě eektrická poe se skádají a o toku proudu vodičem rozhoduje výsedné poe E = E v + E i. Proudová hustota je pode Ohmova zákona v okáním tvaru (viz [13], str.10): j = γe přímo úměrná E. Proudová hustota bude tedy největší u povrchu vodiče a ve směru k ose bude kesat. Protože veikost E i závisí na rychosti změny magnetického poe, bude se efekt zvýrazňovat se vzrůstající frekvencí procházejícího proudu. Kvantitativní řešení skinefektu je spojeno s řešením soustavy Maxweových rovnic. Protože jde o parciání diferenciání rovnice, je toto řešení náročné. Pro zájemce s dobrými zákady diferenciáního počtu je však dobře zvádnutené pro případ vodivého pooprostoru (viz např. [11], str. 180). Řešením tohoto probému můžeme zjistit, že proudová hustota se zmenšuje se vzdáeností od 1 0 j j 0 f 0 f 1 f f 3 f 4 1 r r 0 Pro výpočet veikosti E intenzity i, resp. funkční závisosti E i = E i (r), použijeme indukční zákon ve tvaru (14). Za uzavřenou křivku C užijeme kružnici, resp. siočáru o pooměru Jejíeementd avektore r. i mají v určitém jejím bodě stejný směr a E vektor i ve všech jejích bodech stejnou veikost. Proto můžeme psát E i = d E i d = E i C C C d =πre i = dφ. Protože vektory B indukce a S pochy vymezené rovinnou křivkou C mají vzájemně opačný směr (např. B vektor na obr. 13 míří do nákresny a vektor v souadu se směrem oběhu po hraniční křivce C míří z nákresny), můžeme S psát Φ B = S = BS cos 180 = πr B pro r 0,r 0, Φ = πr0 B pro r r 0. Pak E i = 1 dφ πr = r db E i = r 0 db r V jednotivých případech je a) E i = rb mω cos ωt pro r 0,r 0, E i = r 0 B mω cos ωt pro r r r 0. pro r 0,r 0 ), (16) pro r r 0. (17) b) E i = A r pro r 0,r 0, E i = r 0 A 1 r pro r r 0, přičemž funkční závisost E = E(r) pro tento případ a zadané numerické hodnoty je znázorněna na obr. 14. 58 19
Příkad 10 ohřev vířivými proudy Hiníkový kotouč o pooměru r 0 = 40,0 mm a toušťce h = 1,00 mm vožíme do magnetického poe o B indukci B = m cos ωt, kdeb m = 30,0 mt, ω = 100π rad s 1 tak, aby jej indukční čáry protínay komo. Vypočtěte: a) Proud, který se indukuje v kotouči a jeho výkon. b) Vzrůst tepoty kotouče za časový interva τ = 40 s. Hustota hiníku je ϱ =,70 10 3 kg m 3 měrná tepená kapacita hiníku je c = 896 J kg 1 K 1, konduktivita (měrná eektrická vodivost) hiníku γ =3,70 10 7 Ω 1 m 1 = konst. (závisost γ na tepotě zanedbejte). Řešení B r 0 r h a) Z kotouče vyjmeme eementární prstenec o pooměru r, toušťceh ašířcedr. V souadu se vztahem (16) se v něm indukuje vírové eektrické poe o intenzitě E i = 1 dφ πr = r B mω sin ωt. dr Pode Ohmova zákona v okáním tvaru (viz např. [13], str. 10), tj. proudová hustota j = γe,kdeγ je konduktivita, má proudová hustota na pooměru r veikost Obr. 34 K výpočtu vířivých proudů j = γ r B mω sin ωt. Uvážíme-i, že eementární prstenec má obdéníkový průřez o pošném obsahu ds = hdr, dostaneme pro cekový indukovaný proud v kotouči výraz I = γb mωh sin ωt Ampituda proudu má tedy veikost r 0 0 I m = γb mωhr 0 4 rdr = γb mωhr 0 4 = 139 A. sin ωt. Eement výkonu proudu indukovaného na eementárním prstenci určíme ze vztahu dp = Ui dg =(πre i ) dg, kde dg = γ hdr πr 56 Koejnice se nacházejí v homogenním magnetickém poi, které má svisý směr a jsou prostřednictvím reostatu připojeny ke zdroji o eektromotorickém napětí U e. Reostatem upravíme cekový odpor obvodu na R. a) Vypočtěte veikost počátečního zrychení a 0 a mezní rychosti v m. b) Odvoďte funkční závisost rychosti v = v(t) a dráhy x = x(t) vozíku. Počáteční podmínky: v(0) = 0, x(0) = 0. Řešení O x B I v F U e Obr. 15 Proudový vozík v magnetickém poi a) Na vozík v kidu působí pode Ampérova zákona sía o veikosti F 0 = BI 0. Počáteční zrychení vozíku má tedy veikost a 0 = F 0 m = BI 0 m = BU e mr. Jakmie se vozík pohybuje v rychostí, indukuje se v jeho nápravě eektromotorické napětí U i = Bv namířené proti napětí U e a pro uzavřený eektrický obvod pode. Kirchhoffova zákona patí U e Bv = RI. Oud pro okamžitý proud dostaneme I = 1 R (U e Bv). Ke stejnému výsedku dospějeme, když od proudu I 0 odečteme indukovaný proud I i = U i R = Bv R, který je v souadu s Lenzovým zákonem namířen proti proudu I 0. Mezní stav pohybu nastane, když indukovaný proud právě vykompenzuje proud I 0. Pak cekový proud I =0.Ztohomeznírychostje v m = U e B. 1 R
Příkad 9 transformátor jako soustava vázaných obvodů Řešte transformátor jako soustavu dvou vázaných obvodů s vemi těsnou vazbou. Uvažujte, že primární cívka má indukčnost L 1, N 1 závitů a zanedbatený odpor R 1 0. Cívka je připojena ke zdroji o eektromotorickém napětí u e1 = U m1 sin ωt. Sekundární cívka o indukčnosti L a N závitech je připojena k zátěži o odporu R. V důsedku uzavřeného feromagnetického jádra uvažujte činite induktivní vazby k v =1,takžeM = L 1. Odvoďte výrazy pro okamžitý proud a napětí v sekundárním vinutí. Řešení u e1 i 1 i M u il1 u im1 L 1 L u il u im R Obvody transformátoru (obr. 3) jsou popsány soustavou rovnic u e1 L 1 di 1 M di =0, M di 1 L di = R i. Z rovnic vyoučíme derivaci proudu i 1 tak, že ji vyjádříme z první rovnice a dosadíme do druhé. Obr. 3 Transformátor jako soustava vázaných obvodů s těsnou vazbou Potom Mu e1 +(L 1 L M ) di = L 1R i. Protože k v =1jeL 1 L M = 0. Pak pro sekundární proud patí i = M u e1 = 1 L u e1 = U m1 N sin ωt, L 1 R R L 1 R N 1 neboť vastní indukčnost je úměrná druhé mocnině počtu závitů (L 1 N1, L N ). Pak napětí na rezistoru o odporu R, neboi sekundární napětí transformátoru je N u = R i = U m1 sin ωt. N 1 Pro ampitudu U m a efektivní hodnotu U zřejmě patí U m = U = N = k U m1 U 1 N 1 v souadu s výsedkem (9). Indukčnost vodičů a energie magnetického poe.1 Vastní indukčnost vodiče a vastní indukce Při zkoumání magnetického poe eektrického proudu užitím Biotova Savartova Lapaceova zákona (viz [13]) jsme poznai, že magnetická indukce B v okoí vodiče je přímo úměrná eektrickému proudu I. Přejděme nyní od indukce B k indukčnímu toku Φ = B ds, kde integrujeme přes ceou pochu, přes níž magnetické poe prochází. Je-i B I, musíbýtiφ I. Označíme-i konstantu úměrnosti L, dostaneme jednoduchý vztah Φ = LI, (18) kde veičina L se nazývá vastní indukčnost vodiče. Výraz (18) se nazývástatický definiční vztah pro indukčnost. Použijeme jej k výpočtu indukčnosti některých vodičů. Indukčnost L je pro neferomagnetické prostředí konstantní veičinou, závisou na veikosti a tvaru vodiče a na magnetických vastnostech átkového prostředí, v němž se nachází. Je-i vodič ve feromagnetickém prostředí, závisí L také na magnetickém sycení feromagnetika (viz např. hysterezní smyčky v [14]). Proto je indukčnost cívky s feromagnetickým jádrem poněkud závisá na proudu, který cívkou prochází. Těmito kompikacemi se však nebudeme zabývat a pro jednoduchost budeme předpokádat, že L nezávisí na I. Bude-i vodičem procházet proměnný proud, bude vytvářet časově proměnné poe. Pak se v něm pode indukčního zákona (11) bude indukovat eektromotorické napětí U i = dφ = d (LI) = LdI, (19) Tento jev se nazývá vastní indukce (dříve označovaný samoindukce). Znaménko minus v (19) v souadu s Lenzovým zákonem značí, že indukované napětí je namířeno proti primární změně proudu, která jev vyvoává (obr. 16). Z toho vypývá, že vodič (cívka), kterým prochází časově proměnný proud, kade jeho průchodu odpor. Výpočtům obvodů s proměnným proudem budeme věnovat více pozornosti vkap.3. 54 3
Pode. Kirchhoffova zákona patí u e1 + u i1 = R 1 i mg =0, (87) protože odpor R 1 primárního vinutí zanedbáváme (R 1 0). Po dosazení do (87) z (84) a (86) dostaneme U m1 sin ωt = N 1 dφ. Separujeme-i na evou stranu a integrujeme, dostaneme Φ = U m1 cos ωt = U ( m1 sin ωt π ). (88) ωn 1 ωn 1 Magnetizační proud pode (85) pak bude i mg = R mgu m1 ωn 1 sin ( ωt π ). Z toho je zřejmé, že magnetický tok Φ i magnetizační prod i mg jsou fázově opožděny za napětím u e1 o π. V důsedku proměnného magnetického indukčního toku Φ = N Φ procházejícího N závity sekundární cívky, kde Φ je dáno (88), se v této cívce indukuje eektromotorické napětí u e = dφ = N dφ = N N 1 U m1 sin ωt = U m sin(ωt π), (89) kde pro ampitudu napětí na sekundární cívce zřejmě patí U m = N N 1 U m1, neboi U m U m1 = U U 1 = N N 1 = k, (90) kde k = N je transformační poměr a U N 1, U efektivní hodnoty napětí. Podí maximáních nebo efektivních hodnot napětí na svorkách obou vinutí je 1 tedy roven podíu počtu závitů obou vinutí. Z (89) je zřejmé, že eektromotorické napětí indukované v sekundárním vinutí je fázově posunuto o π, neboije v protifázi oproti eektromotorickému napětí v primárním vinutí. Porovnáme-i tento výsedek se vztahem (18), dostaneme pro vastní indukčnost soenoidu výraz L = μ 0 πr N ( ) N = μ 0 V, (0) kde V je objem poe soenoidu a N déková hustota závitů. Výraz (0) patí pro vakuum a ze jej použít prakticky pro všechny diamagnetické a paramagnetické átky; používá se proto pro vzduchové cívky. Vožíme-i do ceého vnitřního prostoru soenoidu feromagnetickou átku, která bude mít pro dané magnetické sycení reativní permeabiitu μ r, bude její indukčnost L = μ r L. Poznámka Soenoid je ideaizovaná cívka, u níž se předpokádá, že její magnetické poe je omezeno jen na její vnitřní objem V. Tuto podmínku však teoreticky spňuje jen cívka neomezené déky s hustě vinutými závity. Protože skutečné cívky mají konečnou déku, vzniká na jejich okrajích rozpty magnetického poe. Tomu ze zamezit, když takový soenoid stočíme do anuoidu a dostaneme tak toroid. Zde vzniká ovšem probém, že déka indukčních čar není stejná, že tedy B indukce závisí na vzdáenosti od osy toroidu. Patí tedy jen pro tenký toroid a výraz (0) pro vemi štíhou vácovou cívku. O vivu konečné déky soenoidu a konečné toušťky toroidu na L pojednáme v č..4 a,b.. Vzájemná indukčnost vodičů a vzájemná indukce Mějme dva uzavřené vodiče (smyčky) v určité vzájemné pooze (obr. 17). 1 Φ 1 Φ 1 I 1 Bude-i procházet první smyčkou proud I 1, vznikne magnetické poe s cekovým indukčním tokem Φ 1. Část tohoto toku Φ 1 bude procházet pochou druhé smyčky. Tento tok je přímo úměrný toku Φ 1 aten je pode (18) přímo úměrný proudu I 1. Můžeme proto psát Φ 1 = M 1 I 1, (1) Obr. 17 K výkadu vzájemné indukčnostismyček1a kde M 1 je konstanta úměrnosti. Bude-i naopak druhou smyčkou procházet proud I, bude indukční tok procházející první smyčkou úměrný tomuto proudu: Φ 1 = M 1 I. () 5 5
frekvencí jsou ve srovnání s funkcemi součtových frekvencí pomau proměnné a ze je považovat za proměnné ampitudy kmitů napětí u 1, u (viz obr. 30). Časový diagram napětí u 1 a u pro zvoené parametry obvodů z obr. 9 je na obr. 30. Záznam by získán řešením na PC pomocí programu Famuus. 4 u 0 1 4 4 u 0 4 0 0 4 4 t t 6 6 8 8 10 10 Obr. 30 Časový diagram napětí u 1 a u na kondenzátorech obvodů z obr. 9 pro L =1,0 H,M =0,0 H, C =1,0 μf (f 1 = 145 Hz, f = 178 Hz) a U =5,0 V 4. Transformátor Transformátor se skádá ze dvou cívek o značné vastní a vzájemné indukčnosti. Toho se dosahuje tím, že cívky se vinou na feromagnetické jádro (obr. 31) sožené ze žeezných pechů (pech se používá proto, aby se omeziy ztráty vířivými proudy). Do vstupní cívky primární (1) se přivádí střídavý proud, čímž se ve výstupní cívce sekundární () indukuje střídavé napětí stejné frekvence. Vztah mezi ampitudami U m1, U m vstupního a výstupního napětí závisí na počtech závitů N 1, N. Eektrický odpor vinutí pro jednoduchost zanedbáme. se vyznačuje zanedbateným rozptyem magnetického poe. Pak indukční tok procházející druhým soenoidem je Φ 1 = B 1 S = μ πr N 1 N I 1 = M 1 I 1, kde vzájemná indukčnost je M 1 = μ πr N 1 N = M 1 = M. (6) Pokud bychom postup obrátii nechai bychom proud I procházet druhým soenoidem a počítai tok Φ 1, který projde prvním soenoidem, tj. Φ 1 = = B πr N 1, dostai bychom pro vzájemnou indukčnost stejný výsedek (6). Výsedek je souměrný k oběma indexům, jak pyne z komutativního zákona pro součin N 1 N. Tím je ověřena patnost rovnosti (3) pro uvažovaný případ. Jednotivé cívky soustavy mají v souadu se vztahem (0) vastní indukčnosti L 1 = μ πr N 1, L = μ πr N Je zřejmé, že mezi těmito indukčnostmi a vzájemnou indukčností (6) patí vztahy ( ) N L = L 1, N 1 M = N L 1 = N 1 L = L 1 L, N 1 N neboi M =1. L1 L (7) Činite induktivní vazby Vztah (7), ke kterému jsme dospěi při řešení příkadu 6 patí pro zváštní případ soustavy cívek s vemi těsnou vazbou. V obecném případě soustavy dvou cívek patí tyto definiční vztahy Φ 1 = MI 1, Φ 1 = MI, Φ 1 = L 1 I 1, Φ = L I. Oud M = Φ 1 Φ1 1, L 1 L Φ 1 Φ protože Φ 1 Φ 1, Φ 1 Φ. Konstantu k v =. M L1 L 1 (8) 50 7
Z hediska experimentáního ověření činností těchto vázaných osciačních obvodů je vhodné pracovat s uvedenými svorkovými (obvodovými) napětími budeme tedy hedat funkce pro napětí u 1, u na svorkách kondenzátoru (ta můžeme snímat oscioskopem). Zvoíme-i za kadný směr při oběhu po uzavřené smyčce obvodu vyznačené směry proudů i 1, i,musípatit u 1 + u L1 + u M1 =0, (71) u + u L + u M =0, přičemž proudy i 1, i v obvodech jsou dány vybíjením kondenzátorů a tudíž vztahy Napětí na svorkách cívek pak jsou i 1 = dq 1 = d(cu 1) = C du 1, i = dq = d(cu ) = C du. } u L1 = L di 1 = LC d u 1, u L = LC d u, (7) u M1 = M di = u MCd, u M = MC d u 1. Po dosazení do rovnic (71) dostaneme soustavu vázaných diferenciáních rovnic druhého řádu pro napětí u 1, u : u 1 + LC d u 1 + MCd u =0, u + LC d u + u 1 MCd =0. Výhodné bude hedat funkce pro součty u 1 + u, a rozdíy u 1 u,proněž z těchto rovnic dostaneme u 1 + u = C(L + M) d (u 1 + u ) =0, (73) u 1 u = C(L M) d (u 1 u ) =0. (74) Z matematického hediska nyní již jde o dvě samostatné diferenciání rovnice, které fyzikáně popisují harmonické kmity o úhových frekvencích ω 1 = 1 ω = 0, (75) C(L + M) 1+kv tedy E mg = 1 LI = Φ, přičemž za L dosadíme výsedek (0) pro μ aza L Φ = Bπr N.Pak E mg = 1 B π r 4 N μπr N = 1 B μ V, kde V = πr je objem magnetického poe soenoidu. Hustota energie magnetického poe je w mg = E mg V = 1 B μ = 1 μh = 1 HB. (30) Tento výsedek ze zobecnit pro nehomogenní poe, u kterého veičiny H, mají bod od bodu jinou veikost a směr; případně i na poe anizotropní, B B ukteréhovektoryh, nemají stejný směr. Pak součin veikostí vektorů v (30) nahradíme skaárním součinem vektorů H, B: c) Energie magnetického poe soustavy vodičů w mg = 1 H B. (31) Mějme soustavu dvou nepohybivých vodičů (cívek) o indukčnostech L 1, L, M, přičemž jimi budou procházet proudy narůstající z nuové hodnoty na I 1 a I. Pak se v první cívce bude indukovat napětí U i1 + U i1,kterémusíbýt v rovnováze s vnějším napětím U e1,tj.u i1 + U i1 + U e1 = 0. Podobně pro napětí na druhé cívce musí patit rovnováha: U i + U i1 + U e =0.Stejnějako v odst. a) bude práce, kterou vykonají vnější zdroje, rovna energii magnetického poe soustavy proudovodičů. Pro eement této energie patí de mg = U e1 I 1 + U e I e = (U i1 + U i1 )I 1 (U i + U i1 )I = = L 1 I 1 di 1 + M(I 1 di + I di 1 )+LI di = ( ) ( ) 1 1 =d L 1I1 +d(mi 1 I )+d L I, přičemž u závěrečné úpravy byo využito poznatku o diferenciáu druhé mocniny proměnné a diferenciáu součinu proměnných. Pak energie soustavy je E mg = 1 L 1I 1 + MI 1 I + 1 L I. První a třetí čen představují vastní magnetickou energii uvažovaných proudovodičů, druhý čen vzájemnou magnetickou energii uvažované soustavy proudovodičů. 48 9
Matematicky jsou diferenciání rovnice (69), (70) podobné. Jejich řešením je funkce pro tumené kmity s exponenciáně ubývající ampitudou, např. pro proud (v případě podkritického tumení) je 9 i = I 0 e δt sin(ω t + α), kde součinite tumení δ a úhová frekvence ω jsou dány výrazy δ = R ( ) L, 1 R ω = LC = ω0 L δ, přičemž ω 0 je úhová frekvence netumených kmitů. Konstanty I 0, α se určí z počátečních podmínek. 9 Podrobnější rozbor řešení této diferenciání rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty pro případ mechanického osciátoru ze najít např. v minuém studijním textu [15] na str.16 1. Přímý drát o déce a pooměru r 0 má indukčnost L = μ ( n 3 ). π r 0 4 Tyto vztahy patí pro frekvence, u nichž se výrazně neprojeví skinefekt (viz č. 4.4). Pro vysoké frekvence je nutné provést korekce i na tento jev. b) Vastní indukčnost toroidu Uvažujme toroid (cívku navinutou na anuoidu, tj. na váci o pooměru r podstavy,jehož osaje stočena do kružnice o pooměrur). Nechť je na něm navinuto N závitů tenkého drátu tak, aby rovnoměrně pokryy ceý povrch anuoidu. (obr. 19). Toroid je navinut na jádře, o jehož permeabiitě předpokádáme, že je pro uvažované sycení konstanta (μ konst.). Bude-i toroid tenký, tj. bude-i r R, ze indukci magnetického poe B považovat po ceé poše S = πr za konstantu jako u soenoidu. Pak vastní indukčnost toroidu je dána výrazem (0), v němž nahradíme dékou πr osy toroidu, r tj. L = μ r N R = μsn πr. (33) Bude-i r srovnatené s R, projevísezávisost veikosti magnetické indukce B na vzdáenosti x od osy. Funkci B = B(x), resp. H = H(x) jsme řešii v [13] užitím zákona cekového proudu viz výraz (8): I R + x R O Obr. 19 Toroid μni B = π(r + x). Výpočet magnetického indukčního toku toroidu s kruhovým průřezem naráží na probémy při integraci. Výpočet proto provedeme pro obdéníkový průřez, který se v praxi rovněž využívá. Průřez (obr. 0) má pošný obsah S = ab a jeho eementem bude procházet tok dφ 1 = Badx. Protože cívka má N závitů, bude eement indukčního toku procházející všemi závity dφ = NdΦ 1 a cekový 46 31
Řešení Frekvence ω 0 = 1 LC =1,0 10 5 rad s 1, f 0 = ω 0 π =16kHz. Ampitudy proudu při rezonanci jsou I m1 =5,0 A, I m =,0 A, I m3 =1,0 A. Závisost ampitudy I m a fázového posunu ϕ na reativní úhové frekvenci je na obr. 8. 5 4 3 I ma 1 ω ω 0 Užitím zákona cekového proudu (viz např. [13]) můžeme snadno nahédnout, že magnetické poe vně kabeu je nuové; je rozprostřeno pouze v prostoru mezi vodiči a pode téhož zákona můžeme určit veikost jeho indukce vztahem B = μ I πr, pro r r 1,r. (35) Protože kruhové indukční čáry tohoto poe protínají komo všechny roviny procházející osou kabeu, bude pošným eementem dr procházet indukční tok dφ = Bdr a cekový tok bude Φ = μ I π r r 1 dr r = μ I π n r r 1. Pak indukčnost koaxiáního kabeu je I r r 1 r dr Obr. 1 K výpočtu vastní indukčnosti koaxiáního kabeu I 1 0 π π ϕ 3 0,5 1 1,5,5 3 1 3 0 0,5 1 1,5,5 3 ω ω 0 ω ω 0 Obr. 8 Závisost ampitudy proudu I m afázovéhoposunu ω ϕ vsériovémrlc obvodu na reativní úhové frekvenci, ω 0 kde ω 0 je rezonanční úhová frekvence, pro odpor R 1 =0Ω, R =50Ω,R 3 = 100 Ω L = Φ I = μ π n r r 1. (36) Úohu můžeme řešit také výpočtem energie magnetického poe užitím výrazů (30) a (9). Protože indukce (35) závisí na r, vytkneme si z prostoru eementární prstenec o objemu dv =πrdr. Pak bude mít poe v tomto objemu energii Ceková energie je de mg = w mg dv = B μi dr dv = μ 4π r. E mg = μi 4π r r 1 dr r = 1 ( μ π n r ) I = 1 r 1 LI. Výraz v kuaté závorce je indukčnost v souadu s výsedkem (36). Jak uvidíme dáe, význam má déková hustota indukčnosti definovaná vztahem L = L = μ π n r r 1. (37) 44 33
obvod induktivní charakter, fázový posun ϕ je kadný, tj. proud je opožděn za napětím. Zváštní případ nastane, když X L = X C.PakZ = R a ϕ =0.Pro dané L, C tento stav nastane pro úhovou frekvenci ω = ω 0,proníž tedy pro ω 0 L 1 ω 0 C =0, ω 0 = 1 LC (Thomsonův vztah). (60) Při této úhové frekvenci je ampituda I m maximání (I max = U m )-obvod RLC R je v rezonanci. Poznámka: V předoženém výkadu jsme použii eektromotorická napětí (50) a (56) na cívce a kondenzátoru, jak se běžně užívá ve fyzice. Již v poznámce v č. 1. jsme uvedi, že teorie eektrických obvodů dává přednost obvodovým veičinám, kterými jsou svorková napětí na jednotivých prvcích R, L, C, tedy okamžitá napětí u R, u L a u C, která jsou rovněž vyznačena na obr. 6. Pak pode. Kirchhoffova zákona bude okamžité eektromotorické napětí u e vtištěného zdroje rovno součtu okamžitých hodnot těchto napětí, neboi Pak pode () má soustava vzájemnou indukčnost e) Závěrečný poznatek o indukčnosti M = μ 0 πr 1 N 1N r. (41) Z dosavadních výsedků je zřejmé (viz vztahy (6), (41)), že vzájemná indukčnost je přímo úměrná součinu počtu závitů cívek ve vazbě, tj. N 1 N, kdežto vastní indukčnost je dána druhou mocninou počtu závitů cívky viz např. (3). u e = u R + u L + u C, (61) přičemž u R = Ri, (6) u L = L di, (63) du C = i C. (64) Dosadíme-i do derivované rovnice (61) přísušné derivace napětí (48), (6), (63) a výraz (64), dostaneme dříve uvedenou rovnici (57). Svorková napětí prvků (6) až (64) mají význam pro měření jsou to napětí, která měříme votmetrem anebo jejich časový průběh znázorňujeme oscioskopem připojeným ke svorkám prvku. K řešení sožitějších obvodů se s výhodou užívá symboická metoda zaožená na pojmu fázor (Podrobněji viz např. [1], []. [3]). 4 35
b) Obvod s R, L, C vsérii Obvod z obr. 5 rozšíříme o sériově zapojený kondenzátor o kapacitě C (obr. 6). Pokud bychom tento obvod připojii je zdroji stejnosměrného napětí, procháze by obvodem proud jen po dobu nabíjení kondenzátoru. Po jeho nabití působí proti eektromotorickému napětí zdroje stejně veké napětí na kondenzátoru opačného směru a proud ustane. Připojíme-i do obvodu zdroj střídavého napětí (48), vznikne v obvodu střídavý proud, kterým se kondenzátor bez časového omezení střídavě nabíjí a vybíjí. Z uvedené úvahy je zřejmé, že na kondenzátoru se vytváří napětí, které je namířené proti voženému eektromotorickému napětí u e. u e Obr. 6 Obvod s R, L, C v sérii. Vede eektromotorických napětí jsou zde vyznačena svorková napětí u R, u L a u C, která mají opačný směr než napětí eektromotorická Toto napětí u ec na kondenzátoru můžeme považovat za eektromotorické. Při přivedení kadného eementárního náboje za čas, tj.dq = i, se změní eektromotorické napětí na kondenzátoru o du ec = dq C = i C, neboi du ec = i C. (56) Při proměnném proudu se současně v cívce indukuje eektromotorické napětí (50) a pro rovnováhu napětí v obvodu na obr. 6 musí pode. Kirchhoffova zákona patit Ri = u e +u ec +u il. Protože pode (56) známe jen derivaci napětí na kondenzátoru, provedeme derivaci rovnice napětí pode času a dosadíme do ní výraz (56) a derivované výrazy (48) a (50). Pak L d i + R di + i C = ωu m cos ωt. (57) Rovnice (57) je z fyzikáního hediska pohybovou rovnicí eektrického tumeného osciátoru buzeného harmonicky proměnným napětím. Z matematického hediska jde o nehomogenní diferenciání rovnici druhého řádu s konstantními u s i u il u ec R L C u R u L u C Oud kde i = I 0 e t τ, (44) τ = L R (45) je časová konstanta obvodu při vybíjení. Je to doba, během níž proud i kesne právě e-krát. Rovnici (4) převedeme do tvaru anaogického tvaru (43) substitucí u =(R 1 + R )i U e, du =(R 1 + R )di (U e = konst.). Rovnici (4) upravíme na tvar L (R 1 + R )di du (R 1 + R )i U e =, neboi u = τ 1 R 1 + R, kde L τ 1 = (46) R 1 + R je časová konstanta obvodu při nabíjení. V upravené rovnici můžeme separovat proměnné du u =. τ 1 Integrujeme pro danou počáteční podmínku: i =0prot =0,neboiu = U e. Horní mez je i pro t, neboi po separaci u =(R 1 + R )i U e pro t. Pak n (R 1 + R )i U e U e = t τ 1, neboi ( ) ( ) U e i = 1 e t τ 1 = I 0 1 e t τ 1. (47) R 1 + R Funkční závisost proudu na čase při zapnutí (47) a vypnutí (44) obvodu z obr. 3 je znázorněna na grafech v obr. 4. V obou grafech je pro zajímavost nakresena tečna v bodě t = 0; v obou případech je určena jednoduchými souřadnicemi. 40 37
i I 0 1 0,5 0 t τ 1 1 3 4 5 i I 0 1 0,5 Obr. 4 Časový diagram proudu v obvodu na obr. 3; a) při zapnutí proudu, b) při jeho vypnutí 3. Obvody střídavého proudu a) Obvod s R, L vsérii 0 t τ 1 3 4 5 Uvažujme obvod cívky o indukčnosti L a eektrickém odporu R (neboi cívku a rezistor spojené do série obr. 5) připojený ke zdroji s periodicky proměnným eektromotorickým napětím pode funkce kde U m je ampituda napětí, ω =πf = π T a T perioda. i u e u il R L Obr. 5 Obvod s R, L vsérii u e = U m sin ωt, (48) úhová frekvence, f frekvence Protože R a L jsou v sérii, bude jimi procházet stejný proud i = I m sin(ωt ϕ), (49) kde I m je ampituda proudu a ϕ je fázový posun proudu za napětím (48). Veičiny I m a ϕ máme určit řešením. Proti vzrůstu proudu (49) v obvodu působí v cívce eektromotorické napětí u il = L di (50) a pro napětí v obvodu musí pode. Kirchhoffova zákona patit Ri = u e L di. (51) Tuto rovnici vyřešíme tak, že předpokádáme průběh napětí a proudu pode funkcí (48) a (49), přičemž neznámé veičiny I m, ϕ určíme tak, aby rovnice (51) bya spněna pro každý okamžik. Po dosazení z (48) a (49) do (51) máme RI m sin(ωt ϕ) =U m sin ωt ωli m cos(ωt ϕ). (5) Protože tato rovnice musí být spněna pro každé t, můžeme si zvoit dva vhodné okamžiky, pro něž se tato rovnice zjednoduší: t 1 =0: RI m sin ϕ = ωli m cos ϕ, ωt ϕ = π : ( ) π RI m = U m sin + ϕ = U m cos ϕ. Z rovnic pyne tg ϕ = ωl R, I m = U m R cos ϕ = U m R Výraz pro ampitudu můžeme vyjádřit ve tvaru 1 1+tg ϕ = U m R + ω L. (53) I m = U m Z, (54) kde Z = R +(ωl) = R + XL (55) je impedance obvodu a X L induktance. Jejich jednotkou je zřejmě ohm. Vztah (55) se využívá k určování vastní indukčnosti cívek. Eektrický odpor R určíme z měření stejnosměrným proudem (např. ohmetrem). Pak cívku zapojíme do obvodu střídavého proudu známé frekvence f, změříme napětí na cívce a proud jí procházející. Jejich podí 8 určí v souadu s (54) impedanci Z. Indukčnost pak vypočteme užitím vztahu (55): Z R L =. πf Měření indukčnosti touto metodou vyžaduje kvaitní generátor sinusově proměnného napětí. Je-i výstupní signá generátoru zkresený, upatní se při měření také jeho vyšší harmonické sožky, což může vést ke znateným chybám měření. 8 Protože veičiny jsou v podíu, je hostejné, zda jde o jejich ampitudy nebo měřené efektivní hodnoty. 38 39