Fakulta elektrotechky a formatky TATITIKA. ZÁKLADNÍ OJMY. Náhodý pokus a áhodý jev NÁHODNÝ OKU proces realzace souboru podmíek kde výsledek emůžeme předem ovlvt. - výsledek áhodého pokusu. - jev, který za daých podmíek musí astat. - jev, který př realzac téhož kompleu podmíek eí možý. NÁHODNÝ JEV JITÝ JEV NEMOŽNÝ JEV. Vztahy mez áhodým jevy Náhodé jevy začíme : A, B, C, A, B, C.. A B tz.: astae A astae B (A je částí B) A B.. B A tz.: ( A B B A) ; ( A B B A) (A a B s jsou rov AB.. A B tz.: astae A a zároveň astae B (průk jevů) A B..4 A B tz.: astae alespoň jede z jevů A ebo B (sjedoceí jevů) A B..5 A - B tz.: astae jev A a zároveň eastae jev B (rozdíl jevů) A B..6 Jev Jstý ozačujeme..7 Jev Nemožý ozačujeme..8 Doplěk jevu A - je opačý jevu A A..9 Dsjuktví jevy (eslučtelé jev tz.: A B Zobecěí :, j : A A j A B Jevy A, A jejchž sjedoceí je jevem jstým tz.: A A A... toto azýváme ULNOU KUINOU JEVU a v případě jejch Vypracoval Hlmak
Fakulta elektrotechky a formatky euskutečtelost toto azýváme ULNOU KUINOU NELUCITELNYCH JEVU. latí že: Elemetárí jevy a) Tvoří úplou skupu (úplý systém) eslučtelých jevů. Začíme E Tz.: E E E... j : E E b) V daé stuac ejsou rozkládáy a jevy podrobější. Všechy elemetárí jevy tvoří tzv. základí soubor. A B B A A B A A A A ( A B) A B B A A B B A A A A A A A O A A A A A A A A B A B A B A B j. ravděpodobost áhodého jevu - pravděpodobost áhodého jevu A je číslo (A), které můžeme terpretovat jako míru možost astoupeí áhodého jevu... Aomatcká defce - pravděpodobost je fukce, která každému áhodému jevu přřazuje reálé číslo přčemž splňuje aomy..aom ( A) tz.: ezáporé číslo.aom ravděpodobost sjedoceí početé možy eslučtelých jevů A, A, A áleží je rova součtu pravděpodobost těchto jevů. ( A A A) ( A) ( A) ( A).Aom ravděpodobost jstého jevu () je rova. () Z toho vyplývá:.. Klascká defce A B A B ( A) ( A) ( O) < ( A) ( A) ( B) ( A) ( B) Vypracoval Hlmak
( A) Fakulta elektrotechky a formatky M A M N A počet jevů přízvých jevu A N počet všech možých jevů... tatstcká defce -založea a pozorováí a četost výskytu jevu A, a opakovaých ezávyslích pokusech. Hodotu pravděpodobost jevu A v dostatečě velké sér pokusů. M ( A) M počet výskytů jevu A, N počet ez. okusů N.4 Geometrcká defce -uzavřeá oblast -reálý jev A, A.5 odmíěá pravděpodobost µ µ µ ( ) ( A) A µ ( ) ( A)... míra. jevu. A ( )... míra. oblast. ( A B) pravděpodobost jevu A vzhledem k jevu B (tz.: jev B jž astal) ( A B) A B pro( B) > ( B) ( A B) ( ) ( A B) * ( B) B A z. toho. plye B A ( B) ( A) A B A * B A B * A B Def.: ( ) Odborě: ( ) Bayesův vzorec: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Obecě: I A ( A) * ( A A) * ( A A) říklad: Dvě mce Jev A pade a obou RUB Jev B pade a prví RUB Všechy možé jevy: RR, RL, LR, LL ( A) ( B) 4 ( A B) 4 ( A B) ( B) Nezávslost jevů Dva jevy jsou ezávslé, jestlže pravděpodobost jedoho z ch ezávsí a tom zda druhý astal ebo eastal. Matematcká defce: Jev A je ezávslý a jevu B ( A B) ( A) Nezávslost dvou jevů je vždy oboustraá. A B A * B ro ezávslé jevy platí: ( ) ( ) ( ).6 Věta o sčítáí pravděpodobostí ( A B) ( A) ( B) ( A B) Vypracoval Hlmak
Fakulta elektrotechky a formatky ro eslučtelé: ( A B) ( A) ( B).7 Věta o úplé pravděpodobost Jev A může astat je tehdy, astae-l právě jede z jevů H, pak platí: H, H, H H tvoří úplý systém eslučtelých jevů U H ( H ) ( A) ( H ) ( A H ) * Jevy H za chž může astat jev A se ěkdy azývají hypotézy jevu A..8 Bayerova věta Nechť je dá jev A, který se muže uskutečt právě za jedu z podmíek o chž učíme hypotézy H, H, H H. Byl provede pokus jehož výsledek bylo ( H ) * ( A H ) ( H ) * ( A H ) astoupeí jevu A pak: ( H A) ( A) H * A H j ( ) ( ) rotože H, H, H H vyčerpávají všechy předpoklady musí platt : ( H A) j j Vypracoval Hlmak 4
Fakulta elektrotechky a formatky ravděpodobost zpožděí rychlíku způsobeého techckou závadou je,. Určete pravděpodobost toho, že budou zpožděy alespoň tř vlaky z osmáct sledovaých. a a * * ( ) a Řešeí: - ezávslé Beralho schéma ( ) ( ) a počet testovaých počet zkoumaých Nezpoždí se žády: 8 8 8 ( ) *, *(,) Zpozdí se jede: 8 7 8 ( ) *, *(,) Zpozdí se dva: 8 6 8 ( ) *, *(,) Alespoň tř (doplěk součtu všech do ): () () (), 78 8 8 8 Třkrát vystřelíme a cíl. ravděpodobost zásahu př každém výstřelu je,7. Určete: a) Rozděleí pravděpodobostí počtu zásahů př třech ezávslých výstřelech b) Dstrbučí fukc a sestavte její graf Řešeí: a a a) ezávslé Beralho schéma a( ) * ( ) * ( ) Netrefím žády () *,7 * (,7), 7 Trefím jede () *,7 * (,7), 89 Trefím dva () *,7 * (,7), 44 Trefím všechy tř () *,7 * (,7), 4 očet zásahů (úspěšost),7,89,44,4 b) Zde musíme vědět, že dstrbučí (komulatví) pravděpodobost se sčítá, takže začeme od, další čley abývají velkost plus předchozí čle. Rozděleí a ose je od, postupě podle střel takže do, pak od do,, až od do. F ( ),7,6,657 ( ; (; (; (; (; ) graf: Vypracoval Hlmak 5
Fakulta elektrotechky a formatky Vypracoval Hlmak 6 Náhodá velča má v tervalu ( ) ; hustotu pravděpodobost defovaou vztahem: ( ) ( ) b f ;) ;) taovte kostatu b a dstrbučí fukc áhodé velčy. Řešeí: Nejprve musíme staovt hodotu b, kterou zjstíme ze vzorečku ( ) b, ale esmíme zapomeout, že ) ;, takže to musíme vypočítat pomocí tegrálu od do. 7 ) ( ) ( b b b b Druhá část je zjstt dstrbučí fukc áhodé velčy. Záme vzoreček: du u u F ) ( ) (, který zde využjeme. Nesmíme ale zapomeout rozložt tegrál a tegrály, to zameá že můžeme rozdělt hrace. A ještě víme, že O. u u u du u u du u u b du u u F * 7 7 ) ( 7 ) ( ) ( ) ( osledí krok je zapsat dstrbučí fukc: ) *( 7 ) ( F (; (; ; (
Fakulta elektrotechky a formatky Rozděleí pravděpodobost áhodé velčy je dáo tabulkou. Najděte středí hodotu a dsperz áhodé velčy Y 5. - p( ),,,,5,5 Řešeí: rví část úkolu je alezeí středí hodoty E. Na tu máme vzoreček E ( * p( )) ( * p( )) ( * p( )) ( 4 * p( 4 )) ( 5 * p( 5 )) ( *,) ( *,) (*,) ( *,5) (*,5),5 E ( ). Když už záme E, tak můžeme vypočítat E Y ze vzorečku Y 5. Vypadá to takhle: Y 5 E( 5 ) E(5) E() 5 E( ) 5 *(,5), 9 E Y E() se pro ás zde rová s E, proto upravíme do fáze, kdy můžeme dosadt. Nesmíme zapomeout, že když máme E(5) (středí hodotu 5tk je 5. Naším druhým úkolem je vypočítat dsperz áhodé velčyy 5. K tomu ám pomaže D ( )... E( ) * ( ebol ROZTYL. vzoreček ( ) D ( ( 5 E (,5) E ) ) * ( * ( ) ( 5 *,5,547 ) (,5) E ) * ( ) ( *, (,5) E ) * ( *, (,5) ) ( 4 E *, (,5) ) * ( osledí věc, kterou uděláme je, že z vlastího rozptylu D ( k) k * D( ). Víme že D() (ebol D) je,547 a máme vztah Y 5, z kterého můžeme odstrat 5 a zbude ám Y. Teď už stačí pouze dosadt: Y 5 a dosadíme do D ( k) k * D( ). - je pro ás k, D() je : D ( k) k * D ( ) ( ).*,547 6, 9 4 ) *,5 Vypracoval Hlmak 7
Fakulta elektrotechky a formatky Náhodá velča má kostatí hodotu pravděpodobostí v tervalu (, a), to zameá, že její hustota pravděpodobost má tvar a f ( ) a a použtím vlastostí středí hodoty a rozptylu určete: E, E, D, D. ( ) ( ) ( ) ( ) Řešeí: Zde použjeme druhý důležtý vzoreček, který potřebujeme a to: Nejprve s vypočítáme středí hodotu: a E f ( ) d. a a E f ( ) d d a a ro výpočet využjeme rozptyl D, který ám říká, že když (E) odečteme od E (ebol D E( ( ) a E( ) E ), tak ho získáme. E víme, že je. Takže ám stačí vypočítat E( ). a a a ) f ( ) d Dosadíme do vzorečku: d a a a a a a a D E( ) ( E) a 4 4 4 Vypracoval Hlmak 8
Fakulta elektrotechky a formatky Dvourozměrá áhodá velča -tedy áhodý vektor(,y) -záko rozděleí pravděpodobost je dá ve formě sdružeé dstrbučí fukce F(, F(,(<, Y< tyto dvě erovost platí zároveň -sdružeá dstrbučí fukce je opět fukcí eklesající, spojtou zleva, a to vzhledem ke každé z áhodých velč. F ( ; F( ; ) F( ; ) a F ( ; ) vyplývá z emožost jevů, Y a z jstoty jevu, Y.-platí: ; y Y y ) ( < ; Y < y ) ( <, Y < y ) ( < ; Yy ) ******** ( ***** -Uvažujeme-l pouze pravděpodobost, že áhodá velča abude hodoty meší ež bez jakékolv podmíky, pro velču Y(hodota této velčy může být jakákolv) potom teto vztah ( <, Y < ) F(, ) F ( ) - Jde jedorozměrou dstrbučí fukc F() azveme margálí (okrajovou) dstrbučí fukcí áhodé velčy. Obdobě pro áhodou velču Y potom platí ( <, Y < F(, FY ( margálí dstrbučí fukce áhodé velčy Y -ro dskrétí áhodé velčy, Y: -družeé pravděpodobost (,Y(, -plňují vztahy:. ezáporé. (, y. (<<,y<y<suma(dole,ahoře ) suma(dole yy ahoře (, margálí (okrajové) pravděpodobost - ( ) (, součet margálích pravděpodobostí y - Y ( (, - oučet sdružeých pravděpodobostí hodoty Y -sdružeé (, a margálí pravděpodobost () a Y ( zapsujeme do tabulky sdružeých a margálích pravděpodobostí /y y y y y y (,y ) (,y ) (,y ) (,y ) ( ) (,y ) (,y ) (,y ) (,y ) ( ) (,y ) (, (,y) (,y ) ( ) R ( R,y ) ( R,y ) ( R,y ) ( R,y ) ( ) Y (y ) Y (y ) Y (y ) Y(y ) Vypracoval Hlmak 9
Fakulta elektrotechky a formatky družeá dstrbučí fukce F (, ( t, u) pro dskrétí,y t< u< y F (, f ( t, u) dt du pro spojté Je dvojrozměrá sdružeá hustota pravděpodobost áhodých velč(,y), která splňuje:. f (, všecha,y aleží R jsou ezáporá. f (, ddy, (, y Y < y ) [ f (, d] dy -platí pro otevřeé uzavřeé tervaly. Margálí (okrajové) hustoty jsou y y f ( ) f (, dy f Y ( f (, d -ze zámé dstrbučí (sdružeé) fukce F(, staovíme hustotu pravděpodobost F(, f (, y ř: Na výrobcích měříme délku s přesostí -,5 mm a šířku, mm. Ozačme áhodou velču chybu př měřeí délky a áhodou velču Y chybu př měřeí šířky. družeá hustota pravděpodobostí f(, uvtř mezích chyb je rovoměrě rozložea tedy f(, áleží (-,5;,5); y áleží (-,;,), f(, jde a) určete k b) margálí hustoty pravděpodobost c) určete sdružeou parcálí dervac a margálí dstrbučí fukc d) pravděpodobost, že délku změříme s mamálí chybou -, mm (délka) a zároveň šířku s mamálí chybou -, mm., a) b), f f c) F Y,5,5 ( ) ( F(, kd dy,4k k,5 f (, dy f (, d,, 5 ( ) F( ;,) F ( F(,5; Y y,,,5,5,5dy [,5 y],5d,5,,,5dt dy,5y,5,5y,5 (,5) *(,5y,5),5,, y,,5,5 f ( t, dy dt,5 f (, u) d du,5 y,5 Vypracoval Hlmak
Fakulta elektrotechky a formatky d) (,< <,;,< Y <,) F(,;,) F(,;,) F(,;,) F(,;,),45,5,,, Nezávslost áhodých velč - u jevů ( A B) (A) ezávslé ( A B) - defce podmíěé pravděpodobost ( A B) ( B) ( B) - obdobě dvě áhodé velčy a Y jsou ezávslé, jestlže záko rozděleí jedé velčy ezávsí a tom jaké hodoty abyla druhé velča ebol jestlže podmíěý záko rozděleí této velčy se elší od zákoa epodmíěého (margálího) - podmíěá dstrbučí fukce F( ( t, t< a) dskrétí případ F( Y ( ( b) ve spojtém případě F( f Y ( fy ( - y je předem dáo tedy je to dstrbučí fukce jedorozměrá f (, - f ( f Y ( fy ( - Záměou velč vzkají podmíěé zákoy rozděleí velčy Y pro daé y f ( t, dt - Nezávslost velč: jestlže áhodé velčy, Y mají sdružeou dstrbučí fukc F(,, pak áhodé velčy, Y jsou ezávslé právě tehdy a je tehdy jestlže F(, F ( ) * F ( Y - opíšeme-l sdružeé rozděleí pravděpodobostí (, pak jsou ezávslé právě tehdy (, ( ) * Y - opsujeme-l sdružeé rozděleí pravděpodobostí sdružeou hustotou f(, ezávslé f (, f ( ) * f ( Y - Jsou-l áhodé velčy, Y ezávslé pak jejch podmíěá rozděleí jsou rova margálím rozděleí - Například (pro všecha y : F( F ( f ( f ( ) ( ) ( ) Vypracoval Hlmak
Fakulta elektrotechky a formatky Charakterstky áhodých velč a) polohy (E, medá, kvatt) E předchozí látky -. počátečí momet kvatl F( p ) f ( ) d p ( < p ) p *p% kvatl Medá středí hodota 5% kvatl F( p ),5 Modus kde mamum f() b) Varablty - D(vlastost předchozí látka) -. cetrálí momet c) Škmost můžeme mít zeškmeí doprava č doleva. cetrálí momet - A ( ) E ([ E] ) ( D) d) Špčatost 4. cetrálí momet - A 4 E 4 ([ E] ) ( D) 4 - směrodatá odchylka δ 4 D - (eces, kurtoss) Charakterstky dvourozměré áhodé velčy - jako v jedorozměrých (polohy, varablty, škmost a to pro každé margálí rozděleí) - dále máme charakterstky podmíěé (Regresí fukce, kedastcká fukce) - charakterstka vzájemého vztahu kovarace (míra těsost) - kovarace patří mez součová momety a defujeme j jako středí hodotu souču odchylek obou velč od jejch středích hodot - cov(, Y ) E[ ( E) *( Y EY) ] ebol cov(, Y ) ( E ) *( y EY ) f (, ddy - cov(, Y ) E( Y ) E * EY ebol cov(, Y ) Na kovarac je založe Koefcet Korelace * y * Ff (, ddy E * EY Koefcet Korelace cov(, Y ) cov(, Y ) cov(, Y ) - ρ (, Y ) ρ(, Y ) D * DY var( ) * var( Y ) ρ( ) ρ( Y ) -koefcet korelace je bez rozměrou charakterstkou měřící těsost vztahu mez dvěma velčam a abývá hodot v tervalu ; ρ (, Y ) - velčy se azývají ekorelovaé - ale pozor! Z toho, že áhodé velčy jsou ekorelovaé, obecě eplye, že jsou ezávslé., Y ρ (, Y ) ; ρ je mírou leárí ezávslostí Vypracoval Hlmak
Fakulta elektrotechky a formatky Vlastost cov. cov( a, Y ) cov(, a ) cov( a, a ). cov( a b, a by ) bb cov(, Y ). cov(, ) D 4. cov(, Y ) cov( Y, ) 5. cov(, Y ) E( Y ) E * EY m m 6. cov, j cov(, Yj) j j říklad: f (, y < <, < y < jak cov? ρ? 7 E EY D DY 44 E f ( ) d; EY yf y ( dy D * yf (, ddy * y( E ( Y ) ddy E( ) E DY E( Y ) EY cov(, Y ) E( Y ) E * EY 44 cov(, Y ) ρ (, Y ) - velm slabá epřímá leárí závslost (obě velčy jsou D * DY velm slabě korelovaé) Vypracoval Hlmak
Fakulta elektrotechky a formatky Rozděleí pravděpodobostí áhodých velč a) Dskrétích áhodých velč - dskrétí rozděleí ám vzkají - Alteratví rozděleí A (π ) - Alteratví rozděleí astae s pravděp. π a eastae pravdě. -π. A astae A astae Π( ) -π π ( ( ) π ) π - pra pro zkoumáí jevu, které se realzují pouze dvěm varatam dobrého uspech (výskyt výrobku př techcké hodotě, tel. gálu a. pokus. vadého euspech říklad: Úspěch spojeí a. pokus π, (pravděpodobost) úspěch, eúspěch A(,), E,, D,*,77,77 Bomcké rozděleí B(;p) - opakovaé Beoullho pokusy (ezávslost) - sledujeme rozděleí, že jev A astae právě -krát,,,... bomcké rozděleí - p( ) p ( p) p pravděpodobost úspěchu jevu A E p D p( p) - Bomcké rozděleí vzká vlastě složeím u ezávslých velč s alteratvím rozděleím (tj. počet špatých výrobků zjštěých ve výběru výrobku; účost přípravku a subjektech; přpojeí k serveru ezávslých pokusech) - říklad: ažíme se zalogovat a počítač deset ezávslých pokusech. ravděpodobost úspěšého zalogováí a prví pokus,. Určete pravděpodobost, že se ám podaří zalogovat ejvýše dvakrát a akresl pravděpodobostí fukc rozděleí. b(;,) - pravděpodobost, že se alogujují ( ) *,*,77,586 úspěšě je 58,6%. - čísla velm blízko ule (od 7 do ) Vypracoval Hlmak 4
Fakulta elektrotechky a formatky ossoovo rozděleí O(λ) - jestlže u bomckého rozděleí je dostatečě velké a p je dostatečě malé λ λ p ( p,; ) pak p ( p)!,,... E λ D λ λ tezta počtu (průměrý očekávaý počet výskytu sledovaého jevu v za jedotku času apř. příjezdy aut k bezíové stac, příchody k obsluze, příchody zákazíků k pokladě) - př: bylo zjštěo př výrobě poly. vláka dojde a zpřádacích strojích za hodu průměrě k ucpáí čtyř trysek, které je uto vymět a vyčstt. Teto počet je áhodá velča s possoovým rozděleím pravděpodobostí s parametrem λ4[hod - ]. Určete pravděpodobost, že bude třeba vymět za : a. rávě dvě trysky b. Nejvýše dvě trysky c. Nakreslete graf rozděleí pravděpodobostí λ λ 4 4 ( ) e e!! 4 4 a. p () e, 465! 4 4 4 p F() e e!! 4! 4 4 b. ( ) e, 8 c. Vypracoval Hlmak 5
Fakulta elektrotechky a formatky pojtá rozděleí Normálí rozděleí Hustota ( µ ) δ ( ) * e f δ π E µ D δ < < < µ <, δ N ( µ, δ ) ozor!: Kubaová/Lda N ( µ ; δ ) ( vµ ) δ F( ) f ( v) dv * e * dv δ π µ Z N(,) δ Koupt: Krtcké hodoty bla bla bla, Kubaová Epoecálí rozděle Ep ( ) -z ossoova rozděleí jestlže sledujeme jev mez dvěma časovým událostm f ( ) * e F( ) e E D - často je průměrý počet výskytu sledovaého jevu za časovou jedotku - obecě je to doba žvotost ebo doba čekáí a ějakou událost Rovoměré rozděleí - R ( a; b) f ( ) ( a, b) ( b a) ( ) a b b a E D - pravděpodobost je rovoměrě rozdělea a celém tervalu - apříklad odečítáí měřeí a leárí stupc Tebyševova erovost - pro jakoukolv áhodou velču se středí hodota E a varabltou D a ε je D ( E ε) ( µ ε) ε ε - pro jakékolv k ejméě * % k ( µ k * δ; µ k * δ) 5% je v ±,44δ Nejméě 75% je v ± δ Nejméě 88,88% je v ± δ δ leží v tervalu Vypracoval Hlmak 6
Fakulta elektrotechky a formatky Záko velkých čísel -jestlže,..., je posloupost podvojě ezávslých áhodých velč mající středí ( ), E( )... E( hodoty E ) a shora ohračeé rozptyly D( ) c, D( ) c... D( ) c kde c je ějaké koečé číslo, potom pro lbovolé lm ( ) E ε (tedy průměr výsledku dostatečě velkého počtu pokusů se bude lbovolě málo lšt od průměru středích hodot) - praktckým důsledkem je možost odhadu teoretckého průměru a základě průměru z dostatečě velkého počtu pokusů (dostatečého počtu pozorováí) Cetrálí lmtí věty - hovoří o asymptotckém rozděleí - zabývá se ormálím zákoem rozděleím jako zákoem lmtím a) Věta Ldeberg-Lévyho tvrdí, že součet (a tedy průměr) vzájemě ezávslých áhodých velč s koečým středím hodotam a rozptyly má pro dost velká přblžě ormálí rozděleí - (,,... ) mají totéž rozděleí se středím hodotam µ a rozptylem tyto lmtí vztahy pro... u 5, platí µ u u ϕ( u) du...( tj. φ( u ) φ( u )) δ u u ϕ -hustota N(,) φ -dstrbučí fukce ormovaého ormálího rozděleí b) Věta Movre-Laplacedua vyjadřuje kofergec bomckého rozděleí ormálímu rozděleí. p - áhodá velča má B(, p) lm φ( ) - dstrbučí p( p) fukce N(,) - ϕ (u)du - hustota N(,) Vypracoval Hlmak 7
Fakulta elektrotechky a formatky Deskrptví (popsá statstka) říklady: tr. 9 ř.:,,5 potřeba Fabe v ltrech/km ( uzlů) 6,8 8, 6,4 8, 5,9 6,8 7,7 5,6 8, 7,8 7, 6,5 5,5 6,6 7,4 6,6 7, 8,6 7, 7, 6,9 7,5 6,4 7, 6,7 5,6 7, 8, 6,7 6,5 M 5,5 Ma 8,6 Ma-M, výběrové varačí rozpětí tr. k, log & 5,9 k & t( ) & Zvolíme 7 tříd: Zj kolkrát je zastoupea Mj Mj fj. <5,5;6,) 5,75 //// 4,. <6,;6,5) 6,5 //,667. <6,5;7,) 6,75 ///////// 9, 4. <7,;7,5) 7,5 /////// 7, 5. <7,5;8,) 7,75 ///, 6. <8,;8,5) 8,5 //// 4, 7. <8,5;9,) 8,75 /, 5,6 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 - polygo četostí (relatvích četostí když a ose Y f) bodový graf - hstogram četost (relátcích četostí) jsou ty obdelíkový graf. Artmetcký průměr: ( 6,8 8,...) & 7,) - (výběrový průměr) Vypracoval Hlmak 8
Fakulta elektrotechky a formatky Výběrové charakterstky a) olohy - výběrový průměr / (artmetcký průměr) - výběrový modus (kde ejvětší třídí četost výběru) - výběrový medá prostřed v eklesající posloupost hodot výběru (když sudý počet pak průměr z prostředích hodot) b) Varablty - výběrový rozptyl ( ) - výběrový rozptyl ( ) - výběrová směrodatá odchylka (ěkde ) - výběrová směrodatá odchylka evychýleá - výběrové varačí rozpětí RVAR MA MIN - Náhodý výběr rozměrou áhodou velču (vektor),,... ). (, jsou vzájemě ezávslé a všechy mají stejé rozděleí (tj. totéž v dstrbučí,... F budeme azývat áhodým výběrem v rozsahu z tohoto rozděleí (to je F ). - a základě áhodého výběru se sažíme odhadout rozděleí celého souboru, z kterého výběru vychází fukc ( ) z rozděleí mající dstrbučí fukc ( ) - odhadu E artmetckým průměrem výběru - odhadu D výběrovým rozptylem s výběru - Bodový odhad když odhaduj statstky a parametry jedím číslem. - Odhad metodou mometu -pokud odhaduj pomocí mometů hovoříme - Odhad mamálí věrohodost pokud odhaduj pomocí fukce věrohodost - př bodovém odhadu evíme c o chybě toho odhadu, pokud vím (ebo s z výběru zjstím) o jaké jde rozděleí. Mohu tuto formac využít ke staoveí chyby odhadu (vzká) tervalový odhad (tzv. tervaly spolehlvost) Vypracoval Hlmak 9
Fakulta elektrotechky a formatky Vypracoval Hlmak Itervaly spolehlvost pro středí hodotu ormálího rozděleí a) zám δ celého ormálího rozděle (NR) využtí věty.5. str. 44, tj. že áhodá velča! Z / δ µ má N(,) (když je z ), ( δ µ N ebo když ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) δ δ µ δ µ δ δ µ δ δ µ δ δ µ < < < < < < < < < / * ; / * / * / * / * / * / * / * / ) ; ( z z z z z z z z z z z Z z z z Z -kde typcký z je (- )*% kvatl N(,)oboustraý terval spolehlvost (- )pro středí hodotu m je takzvaá koefcet spolehlvost (kofdece) - se volí -,95 b) ezámá sgma věta.5.4 str.44, tj. že * T µ má tudetovo rozděleí s - stup volost (když z ), ( δ µ N ebo ) - obdoba jako v a) ( ) µ / ; / t t Iterval spolehlvost pro rozptyl ormálího rozděleí - využjeme věty.5., tj. že * δ χ má χ rozděleý s - stup volost, když výběr z NR (celého ormálího rozděleí) terval spolehlvost pro rozptyl * ; * χ χ I, kde χ je í ) *% / ( je kvatl χ s - stupě volost
Fakulta elektrotechky a formatky Jedostraé tervaly spolehlvost Ad a) pro µ, když zám δ I z δ / ; - levostraý (- ) terval spolehlvost I z δ / - pravostraý (- )%í terval spolehlvost pro středí hodotu říklady: ř.. Cea vía 4 58 5 45 6 5 55 57 9 4 58 46 ředp. NR pravdě. 99% terval spolehlvost pro středí hodotu NR cey ví, 5, 467 ; s7,968; ( T t ), t, 58,,, s s I,99 t ; t 4,587;57,.. Vypracoval Hlmak
Fakulta elektrotechky a formatky evost testů (a -t laech) [t],,,4,,,,6,,4,,8 ) µ,, δ,,5, Z µ má N(,) δ H : µ,t H : µ,t - hlada výzamost,8, Realzace: z *, 6, Testováí hypotéz - statstcká hypotéza je tvrzeí o vlastostech základího souboru, případě více základích souborů, o jehož pravdvost se chceme přesvědčt, přčemž předem evíme jestl je pravdvé ebo e. Vztahuje se buď k tvaru ebo parametrům rozděleí pravděpodobostí základího souboru a můžeme j ověřt testováím. - Nulová hypotéza (H) o Její platost ověřujeme - Alteratví hypotéza(h) o je to co bude platt, když eplatí H - říkáme, že testujeme H prot H - platost H rozhodujeme a základě zvoleé fukce áhodého výběru(,.. ), tato fukce se azývá testovací krtéru Krtcká oblast (KO) - je to podmoža možy hodot testovacího krtéra jejchž pravděpodobost alfa je za předpokladu platost hypotézy, tak malá, že áhodý jev hodota testovacího krtéra pade do krtcké oblast pokládáme za jev emožý Oblast přípustých hodot (OH) - je moža hodot testovaého krtéra, které epatří do KO Krtcká hrace (KH) - odděluje krtckou oblast od oblast přípustých hodot Hlada výzamost testu - - pravděpodobost krtcké oblast ostup pro všechy testy ) vezmu jedu realzac áhodého výběru (,,.. ) ) staovím test ) zvolím (z pravdla,5) 4) a základě (,,.. ) vypočítám realzac áhodé vhodé velčy (krtéra) 5) a základě, kam pade realzace testovací velčy rozhodu zda zamítu A č e (když pade do KO zamítu H; když epade do KO ezamítu H) OZOR! Nezamítutí H, že platí může platl ale taky emusí Vypracoval Hlmak
Fakulta elektrotechky a formatky Chyba prvího druhu zamítu H, když H platí ( ) Chyba druhého druhu příjmu H, když H eplatí ( β ) ( β) - síla testu p hodota udává ejžší možou hodotu pro zamítutí H pro daou realzac áhodého výběru Děleí -parametrcké testy (testy výzamost) se týkají parametrů základího souboru -eparametrcké testy (ostatí testy test shod dvoustraé, jedostraé testy jedostraé H : µ, H: µ <,. Testy výzamost.. Jedovýběrový test výzamost pro středí hodotu ormálího rozděleí - též lze použít pro velké výběry,,... H : E k H: E k ( H : µ k H: µ k) a) záme parametr δ Testovací krterum k Z * - má N(,) δ / z O b) ezáme δ k T * - studetovo rozděleí s - stup volost Vypočítám s z výběru s,6,,5 realzace T k,8, t * *,5 s,6,6,5, 6 t OH tedy realzace epadla do KO ezamítám H, a eí tedy důvod (a základě ašeho výběru) zamítout hypotézu, že E, (tedy může být,) I,59;,4 ( ),95 Vypracoval Hlmak
má pravdu (může mít pravdu), že δ,? Fakulta elektrotechky a formatky.. Jedovýběrový test výzamost pro rozptyl ormál. rozděleí (,... ) µ, δ, je z NR( ) H : D k H: D k Testovací krtérum: dle věty.5. str. 44 χ má χ - kvadrát rozděleí s - stup volost k χ 6,4 χ χ χ,5 χ χ,5;9,5;9 9,8 χ,79 χ * s *,6 χ,, může mít pravdu. 6,4,759 6,4 9, 8 ezamítáme H a tedy dodavatel Vypracoval Hlmak 4
Fakulta elektrotechky a formatky Dvouvýběrový test pro rozptyl.,.. ) z N µ, δ ) ( (, Y,.. Y ) ( Y z N µ, δ ) ( H : D DY H : D DY Testovací krterum F - F-rozděleí s V pra: ma{ F m{,, u stup volost, hrace F,, } } říklad:,5 99,7,, 99,6 Y 99,8 99,9,,7 8 H : D DY H : D DY 8,68,85 ma{, },68 f,495 m{, },85 ro f tabulka a straě 8, Hrace : F 8,885,5;8;8,495 8, 85 epadlo do KO H ezamítáme Vypracoval Hlmak 5
Fakulta elektrotechky a formatky Dvouvýběrový test pro rovost středích hodot H : E EY H : E EY a) záme δ a δ Y Testovací krterum: Z - má N(,) δ δ Hledáme obdobě jako Z u jedovýběrových b) ezáme δ a δ, ale předpokládáme, že δ δ H : E EY H : E EY Testovací krterum: T stupě volost Y * ( ) * - tudetovo rozděleí s t ; c) ezáme δ a δ předpokládáme, že δ δ (zjstím F testem a rozptyl H : E EY H : E EY Testovací krterum: T t ; t KH Y ; Vypracoval Hlmak 6
Fakulta elektrotechky a formatky říklad: tředa 76 6 75 7 7 55 595 75 átek 5 95 8 5 4 684 85 9 995,5 Zde odlšé středí hodoty? (předpoklad NR- ormalta) H : E EY H : E EY 8 67, 85 5, 69 5854, 5 99, 458, 6 447, 6 )? δ δ H : D DY H : D DY ma f m F,5;;8 { ; } { s ; s } F,5;9,7 447,6 7,64 5854,5 4,8 7,64 4, 8 realzace padla do KO H zamítáme a dále předpokládáme, že rozptyly jsou růzé y 6,775 99, t 4,447 5,69 459,6 7 9,5;,5; t,646-7 t,6-9 t ; t KH ; 5,69 459,6 *,646 *,6 7 9,766 5,69 459,6 7 9 4,447,776 realzace padla do KO H zamítáme středí hodota průjezdu ve středu a v pátek jsou stejé Vypracoval Hlmak 7
Fakulta elektrotechky a formatky árový T-test (test pro párové hodoty závslých výběrů) ( ; Y )( ; Y )... ( ; Y ) N ( µ ; µ ; δ; δ ) Hypotéza E EY k převádíme a hypotézu EDk, kde ED je středí hodota příslušých rozdílů H : ED k H : ED k Testovací krtérum: D k T *, D D d KH: studetovo, - st. volost, -, ( Do D) d Č 4 5 6 7 8 řed,9,94,8,,,9,95,87 o,5,95,97,,4,4,7,77 D -,6 -, -,7 -, -,,5 -,, d,475 d,8745.? Zda se úpravou změí tvrdost k H : ED H : ED D k,475 T * * 8,6,8745 d t,;7,495,6, 4995 H ezamítáme a tedy elze tvrdt, že proces má vlv a tvrdost χ -testy ( ). Test shody O pozorovaé četost. Test ezávslost (z O E χ E očekávaé (teoretcké) E kotgečí tabulk četost říklad: NR µ 7 ; δ,8 (,)? ( ) N µ Z δ. < 5,5;6,). < 6,;6,5) 4 <,875;,5) <,5;,65). < 6,5;7,) 9 <,65;) 4. < 7,;7,5) 7 < ;,65) 5. < 7,5;8.) <,65;,5) 6. < 8,;8,5) 4 <,5;,875) 7. < 8,5;9, é) <,875;,5) 5,5 7,875,8 Ep,56,6,4,4,6,749,7,56 O / (,5) O/ (,875) -Ep,68 4 6, 97 6, 97 4, 86, 86, 47, 9 χ (68,8) 8,8 ( 96,975) 6,97 ( 76,97) 6,97 ( O E),5,59,, -teto příklad eí dokoče!!! Vypracoval Hlmak 8
Fakulta elektrotechky a formatky χ ( O E) E z voláí - Č Z B M 4% % % % O E 4 ( 4) ( ) ( ) ( ) χ,5 5 7,5 4 4,5 tupě volost: r-k- (víme, že r 4, k) χ 7, 847 - ajdeme v tabulkách,5; 7,5< 7, 847 H ezamítám, vedoucí může mít pravdu Test ezávslost (z kotgečí tabulk χ ( O E) E říklad.4.7 Dokočeé Změa žvotí úrově vzděláí Zlepší Nezlepší Zhorší Základí 48 8 7 tředí 4 6 5 4 Vysoké 4 5 4 76 4 44 4 44 4 4 44 4 44 76 44 76 4 44 76 44 4 44 76 4 44 76 44 56,6 8 6,6 9,45 56 44,54 8,8 4,8 χ ( 4 56,6) ( 8 8) ( 7 6,6) ( 4 4,45) 56,6 8 6,6 4,45... & 8,556 z s očet stupňů volost: ( )*( ) ( ) *( ) 4 χ,5;4 9,4877 8,556< 9,4877 H ezamítám Vypracoval Hlmak 9
Neparametrcké testy,..., spojté, mají F dostav. Fukc Fakulta elektrotechky a formatky ~ -medá (mají stejý) H ~ ~ : c H : c Od všech hodot odečteme c -> posuu medá do >?medá říklad.4. Oktaové číslo testováo vzorků?medá je 98 a, 5 98, 96,8 98 96, 99,8 96,9 95, 95,6 96, 97,7 98, 98,7 ~ ~ H : 98 H : 98-98, -, -,7,8 -, -,8 -,4 -,9 -,,,7 Když tak vypustím o sdružíme počet o Y4 N- KO<K ebo >K Tabulky: hra u k:;k K<4<K>H ezamítá, medá může být jeda Vypracoval Hlmak
Fakulta elektrotechky a formatky Wlcooový testy Jedovýběrový Wlcooový test H F F (e. Dstr. Fukce je symetrcká) : ( ) ( ) H: eí symetrcká (aplkace tež pásový -> jedovýběrový) 4 5 6 7 8 9 taré,7,,8,9,5,9,,,,8 Nové,8,9,4,6,6,,,,,6 D -,,,4, -, -,,, -,,,5 8,5 8,5,5,5,5,5,5 7 4 5 6,5 ořadí z absolutích hodot 6,,,4,5,6,5 y 8,5 8,5,5,5 7 4 y {, } 4,5,5,5,5 4 4>8 >epadla do K>H ezamítáme > emělo vlv 6*, průměr z pořadí Dvouvýběrový Wlcooův test (,,. ) µ ( Y, Y,.. ) H: Dstrbučí fukce jsou stejé H: Dstrbučí fukce jsou rozdílé říklad: cey bezíu testováy u stac v raze a Brě raha,5 (,5),5 (7,5), (4 >,5), (6), (,5) Bro,,7,,5,6 () () ( >,5) (7,5) (9),5 (,5), (5), (,5),6 (,6)?jsou cey v raze a Brě stejé (a hladě vyz.,5) čísla v závorka je pořadí, když jsou stejý, dá se půlka a (7,5 je průměr mez 7 a 8) očet údajů raha m8 očet údajů Bro 6 t,5 7,5,5 6,5,5,5 4 77 t u u,5 5 7,5 9 8 m( ) m * 48 7 / 77 7 m( ) m *... evm Vypracoval Hlmak
Regresí aalýza Regresí fukce - E ( Y ) Fakulta elektrotechky a formatky - středí hodota podmíěého hodoceí velčy Y závsí a volbě podmíky (v hodotě velčy ) a je tedy její fukcí. Tato fukce se azývá fukcí regresí velčy Y vzhledem k - ( Y ) yf( y ) E dy - je fukce - Základem regresí aalýzy je a základě áhodého výběru odhadout regresí fukc ebo testovat hypotézy o regresí fukc ebo o parametru této fukce - arametry regresí fukce azýváme regresí parametry ebo též regresí koefcety - Odhad parametrů mám pak umoží předpovědět velču Y pro ějakou daou hodotu - Základím modelem regresí aalýzy je model, kde proměé,,.. k jsou pevým (eáhodým) proměým a áhodé velčy Y mají rozptyl a jsou ezávslé - Jedoduchým modelem leárí regrese budeme azývat model Y β ε ε - jsou ezávslé áhodé velčy pro, které platí středí hodota všecha - - E( ε ), dsperse D ( ε ) δ ε - se azívá áhodá položka (zahruje působeí áhodých vlvů) - římka : y β - se azývá regresí přímka β - její směrce - Nezámé parametry, β, δ - Budeme po řadě začt A, B, - Bodové odhady, β získáme metodou ejmeších čtverců -součet čtverců rezduí (rezduálí součet čtverců) E (efor sum of squares) -? ( Y Y) m ˆ ( Y Y ˆ ) ( Y( A B) ) ( Y A B) ( ) ( Y AY BY A AB B ) ( Y) A B E E A E B ( Y) A B Vypracoval Hlmak
Fakulta elektrotechky a formatky E A E - soustava ormálích rovc B Vypracoval Hlmak
Fakulta elektrotechky a formatky Řešeím ormálích rovc : Y Y B A Y B A Y B ( Y, ) a regresí přímce!! - dá se ukázat, že E je mmum (dle druhých parcálích dervací větších ež ula) - A,B paremet., β - Nevychýleá (tj. E (B) β a E (A) ) říklad: 4... str. Vzorek Kocetrace v % Ide lomu,9,44 5,6 4,69 5 4,76 6 5,88 7 6,97 8 8,44 9,49,44,4,4,8,6,4,, 4 5 6 7 8 9 ) y( ) β b a Y b Y Y,97,6 yˆ,6, 97 ) ro kocetrace 76,% y,6,97* 76,,446 ) určete vyrovaou hodotu deu lomu pro kocetrac 6% 6% y,6,97* 6, 9448 Jak charakterzovat varabltu Y? y b ( Y Y) - charakterzuje celkový rozptyl celkový součet čtverců odchylek Nás ejvíce zajímá součet čtverců odchylek od regresí přímky jako charakterstka rozptylu kolem regresí přímky Vypracoval Hlmak 4
Fakulta elektrotechky a formatky ε mají avíc (k ezávslost a stejému rozptylu a ( ) Za předpokladu E ε rozděleí je mamálě věrohodým odhadem parametru δ statstka ˆ δ rez ( Y A B) - tzv. rezduálí rozptyl Kde ( ) Y A B y ) ormálí - je rezduálí součet čtverců e - vysvětluje část celkové varablty, která je způsobea áhodým odchylkam e ( Y Y ˆ ) ( Y A B) Zbytek tzv. vysvětltelý regresí součet čtverců odchylek t ( ˆ ) ( ) Y Y A B Y t y t e y ( Y ˆ Y) ( Y Y ˆ) odíl vysvětleé část rozptylu celkovému rozptylu vyjadřuje de determace (pozor I koefcet determace a udává jaká část eí vysvětlea regresím modelem ) Ide determace určuje jakou část varablty lze vysvětlt daým modelem, abývá hodot <,> Např. I, 9 zameá, že 9% varablty lze vysvětlt regresím modelem a zbylých % je vlvem áhodého kolísáí I t y Vypracoval Hlmak 5
Fakulta elektrotechky a formatky Test B HO : β β H : β β β β T ( ; ) - studetovo s - stup volost mez : H H : : β H: β y H y Learzace regresích fukcí - je to trasformací -> převedu a leárí fukc l y l a b *l b - apř. y a zlogartmováím y l y... l y a b Korelačí aalýza -aalýza těsost vazby mez velčam cov(, Y ) -,Y ρ, Y D DY Výběrový koefcet korelace - echť je dá dvojrozměrý áhodý výběr (( Y )(,, Y ),.. (, ) - R Y cov(, Y ), (, Y ) ( )( Y Y) - ( ) Y Y Y Y - ( ) Vlastost R, : Y, Y cov - výběrová kovarace. R, Y,. R, Y RY,. R a b, cy d R, Y pro ac> 4. R a b, cy d R, Y pro ac< ρ test - ( )( ) ( ) ze zákl. souboru (,Y) -které mají N ( µ µ ; δδ )! - H : ρ H : ρ Nekotrolovaé eí leárí závslost kotrolovaé je leárí závslost Za předpokladu NR ρ R T R * má studetovo rozděleí s - stupě volost Vypracoval Hlmak 6
Fakulta elektrotechky a formatky Když evím zda,y mají NR, ebo chc obecě jou záv. Než leárí (mootoí fukce) aplkujeme pearmaův test (vychází z pořadí hodot, y porováí) R - spearmaův korelačí koefcet 6 R R pořadí jedoho výběru, Q pořadí druhého výběru R Q ( ) ( ) H: eí korelace H: je korelace R.. V tabulkách krtcké hrace pro růzá říklad 5.4. (pořadí v NHL) 4 5 6 7 8 Y (příjem),75,5,9,,5,,,88 ( R Q) 8 4 7 6 5 8 6 R * 8( 64),5 R, 95 ( 49 4 4 9 4 6 9), 4,5,4 <, 695 ezamítáme H eí korelace mez pořadím a příjmem Vypracoval Hlmak 7
Fakulta elektrotechky a formatky říklad 5.4.,5?korelace mez,y Za předpokladu, že,y mají NR (ormálí rozděleí) 94 98 7 88 95 75 8 Y,,9,5,5,,6,9,5,9 H : ρ H : ρ R T R * má studetovo rozděleí s - stupě volost Y Y ( )( Y Y) r &,45 r * Y Y ( ) * ( Y Y),<, 6 ezamítáme velčy jsou ekorelovaé (tj. eí leárí závslost mez,y) Druhy způsob: 94 98 7 88 95 75 8 85 Y,,9,5,5,,6,9,5 4 9 5 7 4 6 9 8 ( R Q) 9 9 6 5 6 4 6 R 6 *&,994 () R,664,994 <, 664 H ezamítáme eí korelace,5 Vypracoval Hlmak 8
Metody odhadu: mometů ma. věrohodost jé (apř. Baysova metoda) φ - skutečá hodota parametru φˆ - jeho odhad. odhad je kozstetí - ˆ φ φ < ε lm ε ( ) & hodotě podle pravděpodobost). odhad je evychýleý - E ( ˆ φ ) φ. odhad je defektví - D ( φˆ ) m Metoda ma. věrohodost Fukce věrohodost L (,,.. ; φ) π p π f ( ; φ) ( ; φ) -, Mamalzujeme L - tedy dφ N ( ) L ( ) µ,δ (,.. ; µ ; δ) Fakulta elektrotechky a formatky,.. - realzace, d L (tj. s rostoucím výběru koverguje odhad ke skutečé ( µ ) δ f * e (, ) δ π ( µ ) δ, π * e δ π π - zkratka pro ásobeí ( π *.. ( µ ) l L(,,.. ; µ ; δ) l lδ l e -l e π δ L? L? µ δ -vypočítají se tyhle dvě parcálí dervace Vypracoval Hlmak 9