South Bohemia Mathematical Letters Volume 20, (2012), No. 1, 40 47. VYUŽITÍ GRAFŮ PŘI ŘEŠENÍ ÚLOH ZE STOCHASTIKY RADKA ŠTĚPÁNKOVÁ Abstrakt. Tento článek se zabývá využitím grafů ve stochastice. Při výuce matematiky na školách není na grafické znázornění obvykle kladen důraz, dokonce je často zcela opomíjeno. Grafy jsou však velmi názorné a často mohou žákům a studentům pomoci příklad zcela vyřešit, nebo jim aspoň napoví cestu, jak lze příklad řešit. S grafy se v běžném životě setkáváme každý den a tento článek nám přibližuje jejich další aplikaci v situacích, se kterými se každý může setkat. Úvod Graf je ve školské matematice často opomíjen. Je obvykle spojen s geometrií, v ostatních oblastech se však příliš často nevyužívá. Může však sloužit například jako nástroj pro tvorbu pravděpodobnostních prostorů i k jejich následnému zkoumání. A právě pravděpodobnostní prostor, jeho tvoření a zkoumání, je předmětem pravděpodobnosti. Graf je velice názorný, usnadňuje tedy žákům a studentům pochopení závislostí, souvislostí a vzorců. Pomocí grafů lze dokonce některé vzorce i odkrýt. To znamená, že grafy mohou pomoci k porozumění stochastickým úlohám. Nenabízí hotové definice a vzorce, ale otevírají oči. 1. Graf, orientovaný graf a stochastický graf Graf se tedy může stát nedílnou součástí i dalších oblastí matematiky, v našem případě se bude jednat o stochastiku. Pod pojmem graf chápeme následující. Definice 1.1. Necht W je libovolná konečná množina a K množina všech jedno a dvouprvkových podmnožin množiny W. Pak dvojici [W, K], kde K je neprázdná podmnožina množiny K, nazýváme neorientovaným grafem, nebo zkráceně grafem. Prvky množiny W nazýváme uzly, prvky množiny K hrany. Jestliže w W a w K, tak hranu w nazýváme smyčka. Jestliže K = K, pak dvojici [W, K] nazýváme úplným grafem. Definice 1.2. Necht W je libovolná konečná množina a Kz = W W. Necht K z Kz a K z. Pak dvojici [W, K z ] nazýváme orientovaným grafem. Prvky množiny W nazýváme uzly orientovaného grafu. Jestliže w j W a w k W a (w j, w k ) K z, tak hranu (w j, w k ) nazýváme hranou orientovaného grafu a označujeme ji w j w k. Jestliže (w j, w j ) K z, tak hranu w j w j nazýváme smyčkou orientovaného grafu. Uzly orientovaného grafu zobrazujeme jako body roviny. Jestliže (w j, w k ) K z, pak spojujeme uzel w j s uzlem w k orientovanou úsečkou nebo křivkou. Uzel w j Key words and phrases. graf, orientovaný graf, matematizace, pravděpodobnost, kombinatorika.
VYUŽITÍ GRAFŮ PŘI ŘEŠENÍ ÚLOH ZE STOCHASTIKY 41 nazýváme počátečním uzlem, uzel w k nazýváme koncovým uzlem této hrany. Uzel w j, ze kterého nevede žádná hrana do jiného uzlu, nazýváme krajním uzlem. Definice 1.3. Stochastickým grafem rozumíme takový orientovaný graf, kde je každé hraně přiřazeno kladné reálné číslo a součet čísel přiřazených hranám se společným počátečním uzlem je roven 1. 2. Graf v příkladech z reálného světa Dennodenně se s grafy a také matematizací setkáváme - například v mapách, plánech a sítích. Matematizace znamená v podstatě zjednodušení reality a následné zanesení do mapy, plánu apod. Tvorba mapy je tedy kódování informace, čtení z mapy pak lze označit jako dekódování. A právě kódování a dekování je důležitá matematická aktivita. Jako příklad nám může sloužit plán MHD v Karlových Varech. Jedná se o graf, kde zastávky představují uzle a spojnice mezi zastávkami jsou hrany. Obrázek 1. Plán MHD v Karlových Varech Pokud bychom přešli k dalším reálným situacím, mohou nám grafy pomoci i v příkladech, které řešíme obvykle vzorci z kombinatoriky. Zapojení grafů spočívá v takovém případě v převedení příkladu na losování koule/í z urny, přičemž abychom vytvořili grafickou prezentaci, pomyslně rozmístíme koule do vrcholů mnohoúhelníků. Vrcholy se nám v takovém případě stanou uzly a spojnice mezi vrcholy (nebo smyčky) představují hrany. Vezměme si příklad, kdy se na večírku setkávají osoby, které si na přivítanou podávájí ruce. Příklad 1. Kolik bylo podání rukou při setkání 6 osob (každá si podala ruku s každou)? V obr. 2 jsou osoby jsou představeny jako uzly, podání rukou jako hrany. Jestliže spočítáme hrany, získáme výsledný počet podání rukou 15.
42 RADKA ŠTĚPÁNKOVÁ Obrázek 2. Podání rukou u šesti osob Podobným příkladem z kombinatoriky je následující příklad. Příklad 2. Každý z 6 států má v každém z ostatních států svého velvyslance. Kolik je celkem velvyslanců? Obrázek 3. Počet velvyslanců Obr. 3 zobrazuje státy jako uzly, velvyslance jako šipky. Spočítáním šipek získáme počet velvyslanců 30. Sérii doplní ještě příklad, který obsahuje i smyčky. Příklad 3. Nedávno se staly moderní barevné tkaničky v teniskách, přičemž může být dokonce tkanička v každé botě jiná. Obchod nabízí šest různých barev. Kolika způsoby je možné zašněrovat pravou a levou tenisku?
VYUŽITÍ GRAFŮ PŘI ŘEŠENÍ ÚLOH ZE STOCHASTIKY 43 Obrázek 4. Počet možností vázání tkaniček Barvy tkaniček jsou zobrazeny jako uzly, vektory jako dvojice tkaniček v obou botách - plná šipka od pravé do levé boty, čárkovaná šipka od levé do pravé boty. Smyčka značí tkaničky jedné barvy v teniskách. Celkově máme 36 šipek, což znamená 36 možností, jak lze boty zašněrovat. S těmito příklady lze ale pracovat dál. Vezměme si první a druhý příklad a odkryjme pomocí něj vzorec na počet dvouprvkových variací a kombinací. Příklad 4. Kolik bylo podání rukou při setkání n osob? Kolik je v n státech celkem velvyslanců? Ukážeme si několik grafů, které představují podávání rukou. Pokud zaměníme spojnice za šipky v obou směrech, získáme grafy pro velvyslance. Získáváme postupně tyto počty hran (šipek) - 3 (6), 6 (12), 10 (20) a 15 (30). Nyní tedy můžeme přejít k hledání vzorce. Při porovnání počtu podání rukou a velvyslanců je patrné, že velvyslanců je vždy dvojnásobek, první vzorec bude tedy dělen dvěma. Pokusme se nyní odvodit celý vzorec. Začněme postupně od grafu se šipkami pro n = 3 a n = 4. Získáme čísla 6 a 12. Pokud je rozložíme na součin prvočísel, získáme 3 2 a 2 2 3 = 4 3. Počet vrcholů je 3 a násobíme číslem o jedna menší, poté máme počet vrcholů čtyři a opět násobíme číslem o jedna menším. Pokud pokračujeme dále i s ostatními čísly, vyjde nám to samé. Odkryli jsme tedy, že počet dvouprvkových variací je s(s 1) a počet dvouprvkových kombinací je s(s 1) 2. Obrázek 5. Graf pro n = 3
44 RADKA ŠTĚPÁNKOVÁ Obrázek 6. Graf pro n = 4 Obrázek 7. Graf pro n = 5 Obrázek 8. Graf pro n = 6 Nyní přejděme k reálným příkladům z pravděpodobnosti. Příklad 5. Na kroužek laboratorních prací se přihlásilo 6 dětí. Ty budou vždy po dvojicích pracovat s mikroskopem. Paní učitelka se rozhodla, že dvojice zvolí náhodně. Napsala tedy jména dětí na lístečky a vždy dva vylosovala. Anička chce sedět s Bětkou, s jakou pravděpodobností se jí to podaří? V obr. 9 děti představují 6 uzlů v 6-ti úhelníku, možné dvojice jsou úsečky mezi uzly. Čárkovaná úsečka mezi pomyslným uzlem Aničky a Bětky je jev příznivý jevu, že Anička s Bětkou budou sedět spolu. Pravděpodobnost, že dívky budou sedět spolu, je tedy 1 15.
VYUŽITÍ GRAFŮ PŘI ŘEŠENÍ ÚLOH ZE STOCHASTIKY 45 Obrázek 9. Práce po dvojicích Pro grafické řešení jsou velmi vhodné i příklady na tzv. Pennyeovy hry. Definice 2.1 (Pennyeovy hry). Necht a a b jsou série rubů (r) a líců (l) délky k. Ve hře se opakuje hod mincí tak dlouho, dokud výsledky k posledních hodů neutvoří bud sérii a, tehdy zvítězí hráč H a, nebo sérii b, pak zvítězí hráč H b. V této hře uvažujeme hod symetrickou mincí a tedy pravděpodobnost, že padne rub, je stejně velká jako pravděpodobnost, že padne líc. Příklad 6. Anička s Bětkou dostaly od maminky dohromady jedno jablko. Protože se nechtějí dělit, rozhodnou se, že si o něj zahrají. Anička získá jablko, pokud jako první padne série rl, Bětka čeká na lr. Jsou šance na získání jablka pro obě dívky stejné? Obrázek 10. Graf pro čekání na série rl nebo lr Z grafu je patrné, že již po prvním hodu víme, která z dívek zvítězí. Obě dívky tedy mají stejnou šanci na výhru. Příklad 7. Druhý den dostaly dívky od maminky čokoládu. Opět se rozhodly hrát o ni, ale tentokrát volily tři po sobě jdoucí výsledky v hodu mincí Anička si zvolila sérii rll a Bětka se rozhodla pro sérii llr. Mají obě dívky stejnou šanci na výhru čokolády?
46 RADKA ŠTĚPÁNKOVÁ Obrázek 11. Graf pro čekání na série rll nebo llr Tentokrát vidíme, že pokud padne líc, hra ještě není rozhodnutá. Pokud ovšem padne rub, již v podstatě nemusíme hru dále pokračovat. Podle grafu si také můžeme pravděpodobnost vyčíslit. Pro sérii llr platí, že do uzlu l se dostaneme s pravděpodobností 1 2, do uzlu ll z uzlu l s pravděpodobností rovněž 1 2, v tomto uzlu je již jasné, že série ll povede na sérii llr a můžeme ji tedy vyčíslit jako 1 2 1 2 = 1 4. Pro sérii rll platí, že se do uzlu r dostaneme jednou cestou s pravděpodobností 1 2 a druhou cestou s pravděpodobností 1 4. V uzlu r je již jasné, že nastane série rll. Pravděpodobnost série rll je tedy 1 2 + 1 4 = 3 4. Jak je patrné z výsledků, série rll je opravdu série lepší a Anička má tedy větší šanci na výhru. Závěr Příklady v tomto článku nám ukázaly některé využití grafů ve stochastice. Jak je z vybraných příkladů patrné, grafy slouží především k názornému zobrazení a tím k lepšímu pochopení úloh, které jsou jinak pro pochopení poměrně náročné. Reference [1] KRECH, Ireneusz. Stochastický graf jako hrací plátno k náhodné hře a jako prostředek matematické argumentace. UHLÍŘOVÁ, Martina. Matematické vzdělávání z pohledu žáka a učitele primární školy: sborník příspěvků z konference s mezinárodní účastí = Mathematical Education from Pupil s and Primary School Teacher s view : the conference proceedings. 1. vyd. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2008, s. 155-159. ISBN 978-80-244-1963-3. [2] KRECH, Ireneusz a Pavel TLUSTÝ. Stochastické grafy a jejich aplikace.české Budějovice: Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích, 2012, 127 s. ISBN 978-80-7394-332-5. [3] MAJOR, Maciej a Barbara NAWOLSKA. Matematyzacja, rachunki, dedukcja i interpretacja w zadaniach stochastycznych. Kraków: Wydawnictwo Naukowe WSP, 1999. ISBN 83-875- 1377-6. [4] P LOCKI, Adam. Graf a digraf v matematice pro každého. UHLÍŘOVÁ, Martina. Matematické vzdělávání z pohledu žáka a učitele primární školy: sborník příspěvků z konference s mezinárodní účastí = Mathematical Education from Pupil s and Primary School Teacher s view : the conference proceedings. 1. vyd. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2008, s. 218-225. ISBN 978-80-244-1963-3.
VYUŽITÍ GRAFŮ PŘI ŘEŠENÍ ÚLOH ZE STOCHASTIKY 47 [5] P LOCKI, Adam a Pavel TLUSTÝ. Pravděpodobnost a statistika pro začátečníky a mírně pokročilé. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2007, 307 s. ISBN 978-807-1963-301. Katedra matematiky, Pedagogická fakulta, Jihočeská univerzita, České Budějovice, Česká republika E-mail address: radka.step@centrum.cz