Řešení úloh. kola 60. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autor úloh: J. Jírů.a) Doba jízdy na prvním úseku (v 5 m s ): t v a 30 s. Konečná rychlost jízdy druhého úseku je v v + a t 3 m s. Pro rovnoměrně zpomalený pohyb na čtvrtém úseku získáme z rovnic vyloučením zrychlení dobu brzdění Graf: v a 4 t 4, s a 4t 4 t 4 s 4 v 40 s. Obr. R b) Jednotlivé dráhy určíme jako obsah plochy pod grafem: [ ( 5 30 s + 5 5 + 8 5 ) ] 3 40 + 3 50 + m 4 60 m. Lze též využít pro jednotlivé pohyby příslušné vztahy a dosadit hodnoty ze zadání a hodnoty již vypočtené: s ( a t + v t + ) a t + vt 3 + s 4 4 60 m. Celkový čas je průměrná rychlost t t + t + t 3 + t 4 45 s 4 min 5 s, v p s t 8,8 m s 68 km h. 4 body
.a) Pro hmotnost hliníkového válce platí m ρ V ρ d 4 h. Ze vztahu vyjádříme výšku: h 4m d ρ 5,4 cm. Výška složeného válce pak je h h + h h + 4m d ρ 8,9 cm. 4 body Hustota složeného válce je 4 d h ρ + m ρ m + m ρ V + m V + V V + m ρ b) Tlak je p (m + m ) g S 4 d h ρ + m 4 d 4 d h + m ρ d h ρ + 4m d h ρ + 4m ρ 4 700 kg m 3. g d h ρ + 4m d g ( h ρ + 4m ) d g 4 00 Pa. 3.a) Celá smyčka se skládá ze dvou geometricky podobných okruhů (obr. R). Každý okruh tvoří kruhový oblouk se středovým úhlem 70 a dva rovinné úseky délky poloměru příslušné kružnice. Platí s 3 4 r + r + 3 ( ) 3 4 r + r + (r + r ). Ze vztahu plyne r s (3 + 4) r 7 m. Obr. R
b) Cyklista se po celou dobu pohybuje rychlostí stálé velikosti v s t. Při průjezdu zatáčkou působí na cyklistu s kolem o celkové hmotnosti m v jeho neinerciální vztažné soustavě tíhová síla o velikosti F G mg a setrvačná odstředivá síla o velikosti F s mv (obr. R3). Z rovnoběžníku sil plyne r tgα F s F G v gr s grt. Obr. R3 Příslušné úhly jsou α 3, α 8,6. c) Kolmá tlaková síla na vozovku je tíhová síla, třecí síla má velikost F t fmg. Pro bezpečný průjezd musí platit F t >F s, neboli mv F s r F t fmg v fgr <. Pro menší kružnici dostaneme F s v 0, 65<, F t fgr nerovnost je splněna, čímž je splněna i pro větší kružnici. 4 body 4.a) Z rovnic s at 0, a g sin α plyne s t 0 8,0 s. g sin α b) Tentokrát je zrychlení lyžaře bod a g (sin α f cos α) () na stejné dráze s a t. Z rovnic plyne s t 9,3 s. g (sin α f cos α) c) Z obdobných rovnic a g (sin α f cos α), s a t dostaneme f tgα gt body s 0,8. () cos α body d) Z rovnic popisujících rozjezd lyžaře s a t, v a t vyjádříme vyloučením
času velikost konečné rychlosti v a s. (3) Z této rychlosti na vodorovné rovině lyžař zpomaluje, jeho rovnoměrně zpomalený pohyb do zastavení popisují rovnice s a t, v a t. Z nich vyloučením času dostaneme s v a. (4) Na vodorovné rovině se lyžař pohybuje se zrychlením a f mg m f g. (5) Ze vztahů (3) a (4) plyne s a s a s. a a Dalším dosazením vztahů () a (5) dostaneme s g (sin α f cos α) s f g ( sin α V případě c) je situace stejná, hledaná dráha je ( ) sin α s cos α s, f f ) cos α s 90 m. kde f je dáno vztahem (). Po číselném dosazení dostaneme s 9 m. body Poznámka: Případné obecné řešení je s s cos α gt sinα s. 5.a) Pomocí. Newtonova pohybového zákona dostaneme b) Výkon je P mv mv t F ma m v v t m ( ) v v t 700 N. bod 40 kw. bod c) Nahradíme-li konečnou rychlost v proměnnou rychlostí v a dobu rozjíždění t proměnným časem t měřeným od začátku zrychlování, dostaneme mv mv P. t Z rovnice plyne v v + P t. Sestavíme tabulku a sestrojíme graf. m
t s 0 4 6 8 0 v m s 5,0, 5,0 8,0 0,6,9 5,0 6 bodů Obr. R4 d) Doplníme graf pro pohyb rovnoměrně zpomalený z rychlosti 5 m s na rychlost 5 m s. Z porovnání obsahů ploch pod grafy plyne, že při rozjíždění ujede automobil větší dráhu. body Poznámka: Podle obsahu plochy pod grafem rovnoměrně zpomaleného pohybu je brzdná dráha 80 m, dráha při rozjíždění je určena integrálem ( s v + P t m dt m v 3P + P t ) 3 07m. m 0 6.a) K měření byla použita lať délky 63 cm, šířka plošky podpěry byla 4,8 mm. Ukázka naměřených hodnot a zpracování: Hmotnost latě byla měřením stanovena m 0 (60 ± ) g, relativní odchylka měření je δm 0 0,4%. b) Ukázka naměřených hodnot a zpracování: m x m 0 0,56 60 g 34, g 34 g, δm δx + δm 0 0,45 % + 0,4 % 0,87 % 0,9 %, m m δm 34 g 087 %, g g. 00% 00 % Hmotnost tělesa byla měřením stanovena m (34 ± ) g, relativní odchylka měření je δm 0,9 %. c) Na vahách byla zjištěna hmotnost latě 59,4 g a hmotnost tělesa 33,0 g. Obě hodnoty jsou v souladu s naměřenými hodnotami. 0
Číslo měření m z d d 0 m 0 m 0 g cm cm g g 00 5,9 0,5 58 00 49,8 9, 6 3 00 45,6 7,4 6 4 00 4,5 5,9 6 5 00 37,4 4,4 60 0 6 00 43,8 33,8 59 7 00 40,4 3, 60 0 8 00 37,3 8,8 59 9 00 33,6 6,0 58 0 00 30, 3, 6 Střední hodnota 60, Relativní odchylka δm 0 0,4 % Číslo měření d d 0 x d 0 cm cm d x 53,0 7, 0,53 0,003 5, 6,5 0,58 0,00 3 49, 5,5 0,59 0,003 4 47,3 4,4 0,56 0,000 5 43,9,5 0,53 0,003 6 40,3 0,7 0,54 0,00 7 37,6 9,3 0,53 0,003 8 35,4 8,4 0,50 0,004 9 33, 7, 0,58 0,00 0 3,5 6,3 0,57 0,00 Střední hodnota 0,56 0,003 Relativní odchylka δx 0,45 % 7.a) Z kinematických rovnic v gt, h gt dostaneme vyloučením času počáteční výšku míčku nad místem srážky: h v g 0,90 m. b) Diabolka musí letět v takovém směru, aby se soustava míčku s diabolkou v okamžiku bezprostředně po srážce pohybovala vodorovně. To znamená, že bezprostředně po srážce má soustava vodorovný směr okamžité rychlosti w, a tím vodorovný směr okamžité hybnosti (m 0 + m )w. Pak podle zákona zachování hybnosti je tato hybnost rovna vektorovému součtu hybnosti diabolky m 0 v 0 a hybnosti míčku m v bezprostředně před srážkou (obr. R5): m 0 v 0 + m v (m 0 + m )w. Obr. R5 body
Velikost hybnosti soustavy splňuje Pythagorovu větu: [(m 0 + m )w] + (m v ) (m 0 v 0 ). Z rovnice dostaneme hledanou velikost rychlosti míčku s diabolkou bezprostředně po srážce (m 0 v 0 ) (m v ) w 6, m s. () m 0 + m Úhel mezi rychlostmi w a v 0 je určen rovnicí sin α m v 0,549, m 0 v 0 z níž dostaneme α 33. c) Poměr kinetické energie po srážce a kinetické energie před srážkou je Užitím rovnice () dostaneme E k E k E k E k (m 0 + m ) (m 0v 0 ) (m v ) (m 0 + m ) m 0 v 0 + m v (m 0 + m ) w m 0v0 +. m v 5 bodů (m 0 v 0 ) (m v ) (m 0 + m ) ( ) m 0 v0 + m v 0,030.