ravděpodobnost je Martina Litschmannová MODAM 2014
Jak osedlat náhodu? Řecká mytologie: Bratři Zeus, oseidon, Hádes hráli v kostky astragalis. Zeus vyhrál nebesa, oseidon moře a Hádes peklo.
Jak osedlat náhodu? Jaká je šance, že hodíte-li kostkou, tak padne šestka?
Jak osedlat náhodu? Jaká je šance, že Wimbledon 2014 vyhraje? Rafael Nadal (1) Tomáš Berdych (6) Vincent Millot (200)
Jak osedlat náhodu? Jaká je šance, že pojišťovna vydělá na cestovním pojištění?
Náhodu nelze ovládnout, ale šanci na výskyt náhodných jevů lze odhadnout.
Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? okus děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně za určitých, stejně nastavených, počátečních podmínek. Deterministické pokusy Za určitých počátečních podmínek se dostaví vždy stejný výsledek. X Náhodné pokusy ro určité počáteční podmínky existuje množina možných výsledků, přičemž jeden z nich nastane.
Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Hod kostkou
Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Stanovení množství cholesterolu v krvi
Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Měření počtu požadavků za určité období
Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Hod kostkou Náhodný jev tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O pravdivosti tohoto tvrzení lze po ukončení pokusu rozhodnout. Značíme velkými písmeny (A, B, X, Y, ). adne šestka.
Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Hod kostkou Náhodný jev tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O pravdivosti tohoto tvrzení lze po ukončení pokusu rozhodnout. Značíme velkými písmeny (A, B, X, Y, ). adne sudé číslo.
Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Stanovení množství cholesterolu v krvi Náhodný jev tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O pravdivosti tohoto tvrzení lze po ukončení pokusu rozhodnout. Značíme velkými písmeny (A, B, X, Y, ). Zjištěná hodnota cholesterolu bude odpovídat normě. ro laika v oboru nutno specifikovat!!!
Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Měření počtu požadavků za určité období Náhodný jev tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O pravdivosti tohoto tvrzení lze po ukončení pokusu rozhodnout. Značíme velkými písmeny (A, B, X, Y, ). Během jedné hodiny bude vytvořeno více než 300 funkčních požadavků.
Základní pojmy Náhodný pokus konečný děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá Náhodný jev tvrzení o výsledku náhodného pokusu, o jehož pravdivosti můžeme po ukončení pokusu rozhodnout (značíme A, B, X, Y, ) Elementární jev ω jednotlivý výsledek náhodného pokusu (nelze jej vyjádřit jako sjednocení dvou různých jevů) Základní prostor Ω množina všech elementárních jevů Náhodný jev (jinak) libovolná podmnožina základního prostoru
Typy jevů adne 7. adne 6. adne méně než 7. Jev nemožný Jev náhodný Jev jistý Ω
Vybrané vztahy mezi jevy A Ω A Ω A Ω B B A doplněk jevu A průnik jevů A a B sjednocení jevů A a B A A B A B A Ω B 3 B 5 B 7 B jevy disjunktní B 1 B 2 B 4 B 6 úplná množina vzájemně disjunktních jevů Ω = n B i i=1, kde i j: B i B j = Ω
Co je to pravděpodobnost? Číselné vyjádření šance, že při náhodném pokusu daný jev nastane. 0 0,05 0,95 1 jev nemožný Ω jev jistý jev prakticky nemožný jev prakticky jistý Jak pravděpodobnost definovat?
očátky teorie pravděpodobnosti 17. století Jak rozdělit spravedlivě bank mezi hráče, byla-li série hazardních her ukončena předčasně? Blaise ascal (1623 1662) zdroj: http://cs.wikipedia.org/wiki/blaise_ascal ierre de Fermat (1601 1665) zdroj: kids.britannica.com
Klasická definice pravděpodobnosti (ierre Simon de Laplace, 1812) Založena na předpokladu, že náhodný pokus může mít n různých, avšak rovnocenných výsledků. Nechť Ω je množina n rovnocených elementárních jevů. ravděpodobnost jevu A, jenž je složen z m těchto elementárních jevů je: ( A) m n Mějme férovou hrací kostku. Jaká je pravděpodobnost, že padne 6? 1 Označme: A padne 6, pak ( A ). 6
Statistická definice pravděpodobnosti (Richard von Mises, počátek 20. století) ( A) lim n n( A) n očet realizací pokusu příznivých jevu A očet všech realizací pokusu Jaká je pravděpodobnost padnutí 6 na hrací kostce, nevíme-li, zda je tato kostka férová?
n A / n Statistická definice pravděpodobnosti 0,16 1/6 Relativní četnost jevu "padne 6" 0 0 500 1000 1500 n ( A) lim n n( A) n
Geometrická pravděpodobnost Zobecnění klasické pravděpodobnosti pro případ, kdy počet všech možných výsledků náhodného pokusu je nespočetný. V rovině (případně na přímce nebo v prostoru) je dána určitá oblast Ω a v ní další uzavřená oblast A. ravděpodobnost jevu A, který spočívá v tom, že náhodně zvolený bod v oblasti Ω leží i v oblasti A je: A A Jaká je pravděpodobnost, že meteorit dopadl na pevninu?
Kolmogorovův axiomatický systém (Andrej Nikolajevič Kolmogorov, 1933) Definuje pojem pravděpodobnosti a její vlastnosti, neudává však žádný návod k jejímu stanovení. 1. ravděpodobnost každého jevu A je reálné číslo mezi 0 a 1 (včetně). 2. ravděpodobnost, že nějaký jev nastane (pravděpodobnost jevu jistého) je rovna 1. 3. ravděpodobnost, že nastane některý z navzájem se vylučujících jevů, je rovna součtu jejich pravděpodobností. A to pro každých spočetně mnoho jevů.
Vybrané vlastnosti pravděpodobnosti Nechť množina Ω obsahuje n elementárních jevů, nechť je pravděpodobnost na této množině, A a B jevy. otom platí : 1. 0 A 1 2. Ω = 1; = 0 3. A = 1 A 4. A B = A + B A B A, B disjunktní jevy A B = A + B 5. A B = A B. B A, B nezávislé jevy A B = A. B
1. an Ondra Hypoch tak dlouho obtěžoval lékaře, až mu lékař napsal prášky. V příbalovém letáku se Ondra dočetl, že mají dva možné nežádoucí účinky: a) vypadání zubů (15%), b) upadnutí palců na rukou (20%). Zároveň je v letáku napsáno, že nebyla prokázána závislost mezi výskytem jednotlivých typů nežádoucích účinků. S jakou pravděpodobností se bude moci Ondra po ukončení léčby kousnout do palce? (dle: Luboš ick; přednáška Dirichletovy šuplíčky na semináři OSMA)
Z Ondra bude mít po ukončení léčby zuby R Ondra bude mít po ukončení léčby prsty na rukou Z = 0,85, R = 0,80 S jakou pravděpodobností se bude moci Ondra po ukončení léčby kousnout do palce? Z = 0,15 Z = 0,85 Z R = 0,80 0,85 = 0,68 R = 0,80 R = 0,20
Věta o úplné pravděpodobnosti A B 3 B 5 B 7 B 1 B 2 B 4 B 6 n n n A = i=1 A B i = i=1 A B i = i=1 A B i B i
2. Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy? 70% 30%
2. Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy? 70% 30% 80% 20%
2. Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy? 10% 90% 70% 30% 80% 20%
ravoúhlý Vennův diagram 10% 90% 70% 30% 80% 20%
DV DV D DV CH DV D D DV CH CH DV 0, 80, 3 01, 0, 7 0, 31 DV CH 0, 1 KV CH 0, 9 CH 0, 7 0,07 0,63 D 0, 3 0,24 DV D 0, 8 KV D 0, 2 0,06
Rozhodovací strom ohlaví Délka vlasů Studenti CH 0, 7 DV CH 0, 1 CH KV CH 0, 9 DV KV CH DV 0, 701, 0, 07 CH KV 0, 70, 9 0, 63 D 0, 3 D DV D 0, 8 DV D DV 0, 30, 8 0, 24 KV D 0, 2 KV D KV 0, 30, 2 0, 06
DV DV D DV CH DV D D DV CH CH DV 0, 24 0, 07 0, 80, 3 01, 0, 7 0, 31 ohlaví Délka vlasů Studenti CH 0, 7 DV CH 0, 1 CH KV CH 0, 9 DV KV CH DV 0, 701, 0, 07 CH KV 0, 70, 9 0, 63 D 0, 3 D DV D 0, 8 DV D DV 0, 30, 8 0, 24 KV D 0, 2 KV D KV 0, 30, 2 0, 06
Bayesův teorém Thomas Bayes (1702 1761) zdroj: http://cs.wikipedia.org/wiki/thomas_bayes B k A A B A k i A Bk A B i
2. Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. A) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec? 70 % Apriorní pravděpodobnost
2. Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. B) Náhodně vybraný student má dlouhé vlasy. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec? Aposteriorní pravděpodobnost
DV 0, 80, 3 01, 0, 7 0, 31 CH DV CH DV 0, 07 0, 226 DV 0, 31 Studenti CH 0, 7 D 0, 3 Daný stav DV CH 0, 1 CH D KV CH 0, 9 DV D 0, 8 Výsledek testu DV KV DV CH DV 0, 701, 0, 07 CH KV 0, 70, 9 0, 63 D DV 0, 30, 8 0, 24 KV D 0, 2 KV D KV 0, 30, 2 0, 06
2. Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. B) Náhodně vybraný student má dlouhé vlasy. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec? CH DV CH DV DV 0, 07 0, 31 0, 226 Aposteriorní pravděpodobnost
3. V jednom městě jezdí 85% zelených taxíků a 15% modrých. Svědek dopravní nehody vypověděl, že nehodu zavinil řidič modrého taxíku, který pak ujel. Testy provedené za obdobných světelných podmínek ukázaly, že svědek dobře identifikuje barvu taxíku v 80% případů a ve 20% případů se mýlí. A) Jaká je pravděpodobnost, že viník nehody skutečně řídil modrý taxík? B) ak byl nalezen další nezávislý svědek, který rovněž tvrdí, že taxík byl modrý. Jaká je nyní pravděpodobnost, že viník nehody skutečně řídil modrý taxík? Úlohu prezentovali psychologové Kahneman a Tversky (Anděl; Matematika náhody; 2007)
Označme: M taxík byl modrý Z taxík byl zelený SM 1 (SZ 1 ) první svědek viděl modrý (zelený) taxík SM 2 (SZ 2 ) druhý svědek viděl modrý (zelený) taxík
SM SM M SM Z SM M M SM Z Z 1 1 1 1 1 SM 0,800,15 0,200,85 0, 29 1 SM Z 20 SZ Z 80 1 0, 1 0, Z 0, 85 0,17 0,68 M 0, 15 0,12 0,03 SM M 0, 80 SZ M 20 1 1 0,
M SM SM M SM 0,12 0,17 0,12 1 1 1 0,4138 SM Z 20 SZ Z 80 1 0, 1 0, Z 0, 85 0,17 0,68 M 0, 15 0,12 0,03 SM M 0, 80 SZ M 20 1 1 0,
M SM SM M SM 0,12 0,17 0,12 1 1 1 0,4138 Daný stav (před výpovědi svědků) Výsledek výpovědi 1. svědka M 0, 15 SM M 0, 80 M 1 SM 1 SM M 0,150,80 0, 12 1 Taxi Z 0, 85 Z SZ M 20 1 0, SM Z 20 1 0, SZ 1 SM 1 SZ M 0,150,20 0, 03 1 SM Z 0,850,20 0, 17 1 SZ Z 80 1 0, SZ 1 SZ Z 0,850,80 0, 68 1
Situace před výpovědi prvního svědka: M = 0, 15, Z = 0,15 Situace po výpovědi prvního svědka: M SM 1 = 0, 4138, Z SM 1 = 0,5862
4. V jednom městě jezdí 85% zelených taxíků a 15% modrých. Svědek dopravní nehody vypověděl, že nehodu zavinil řidič modrého taxíku, který pak ujel. Testy provedené za obdobných světelných podmínek ukázaly, že svědek dobře identifikuje barvu taxíku v 80% případů a ve 20% případů se mýlí. A) Jaká je pravděpodobnost, že viník nehody skutečně řídil modrý taxík? B) ak byl nalezen další nezávislý svědek, který rovněž tvrdí, že taxík byl modrý. Jaká je nyní pravděpodobnost, že viník nehody skutečně řídil modrý taxík? Úlohu prezentovali psychologové Kahneman a Tversky (Anděl; Matematika náhody; 2007)
M1SM 2 SM 2 0, 4482 SM SM 2 M1 2 0,3310 0,4482 0,7386 M1 0, 4138 Taxi Z1 0, 5862 Daný stav (po výpovědi 1. svědka) SM M 0, 80 M1 Z1 2 1 SZ M 0, 20 2 1 SM Z 0, 20 2 1 Výsledek výpovědi 2. svědka SM 2 SZ 2 SM 2 SM M 0, 3310 2 1 SZ M 0, 0828 2 1 SM Z 0, 1172 2 1 SZ Z 0, 80 2 1 SZ 2 SZ Z 0, 1172 2 1
M SM 1 SM 2 = M SM 1 SM 2 SM 1 SM 2 = 0,15 0,8 0,8 0, 7385 0,15 0,8 0,8 + 0,85 0,2 0,2 Taxi Daný stav (před výpovědi svědků) M 0, 15 Z 0, 85 SM M 0, 80 M Z 1 SZ M 20 1 0, SM Z 20 1 0, SZ Z 80 1 0, Výsledek výpovědi 1. svědka SM 1 SZ 1 SM 1 SZ 1 Výsledek následné výpovědi 2. svědka 0,80 0,20 0,80 0,20 0,20 0,80 0,20 SM 2 SZ 2 SM 2 SZ 2 SM 2 SZ 2 SM 2 0,80 SZ 2
Situace před výpovědi prvního svědka: M = 0, 1500, Z = 0,8500 Situace po výpovědi prvního svědka: M SM 1 = 0, 4138, Z SM 1 = 0,5862 Situace po výpovědi druhého svědka: M SM 1, SM 2 = 0, 7386, Z SM 1, SM 2 = 0,2614
Záleží na tom, zda svědkové vypovídali postupně nebo současně?
M SM 1 SM 2 = M SM 1 SM 2 SM 1 SM 2 = 0,15 0,64 0,15 0,64+0,85 0,04 0,7386 Daný stav Výsledek po výpovědi (před výpovědi svědků) svědků 0,15 M 0,64 0,16 0,16 SM 1 SM 2 SM 1 SZ 2 Taxi 0,04 SZ 1 SM 2 SZ 1 SZ 2 0,85 Z 0,04 0,16 0,16 0,64 SM 1 SM 2 SM 1 SZ 2 SZ 1 SM 2 SZ 1 SZ 2
Situace před výpovědi prvního svědka: M = 0, 1500, Z = 0,8500 Situace po výpovědi prvního svědka: M SM 1 = 0, 4138, Z SM 1 = 0,5862 Situace po výpovědi druhého svědka (následně vypovídajícího): M SM 1, SM 2 = 0, 7386, Z SM 1, SM 2 = 0,2614 Situace po výpovědi dvou svědků vypovídajících zároveň: M SM 1, SM 2 = 0, 7386, Z SM 1, SM 2 = 0,2614
4. Rodina má dvě děti. A) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? ředpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce.
4. Rodina má dvě děti. A) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? ředpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce.
4. Rodina má dvě děti. A) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? ředpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce.
4. Rodina má dvě děti. A) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? ředpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce. DD = 1 4
4. Rodina má dvě děti. Jedno z nich je dívka. B) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? ředpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce.
4. Rodina má dvě děti. Jedno z nich je dívka. B) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? ředpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce.
4. Rodina má dvě děti. Jedno z nich je dívka. B) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? ředpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce.
4. Rodina má dvě děti. Jedno z nich je dívka. B) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? ředpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce. DD = 1 3
4. Rodina má dvě děti. Jedno z nich se jmenuje Kleopatra. C) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? 62 odst. 1 zákona o matrikách: Matriční úřad nezapíše jméno, pokud je mu známo, že toto jméno užívá žijící sourozenec, mají-li sourozenci společné rodiče. 10 Dle MVČR (kdejsme.cz) a ČSÚ: K D i = 0,000002 5 347 235 Označme: K D i CH i DK i DK i dítě je pojmenováno Kleopatra i - té dítě je dívka i té dítě je chlapec i té dítě je dívka a jmenuje se Kleopatra D i K i té dítě je dívka a nejmenuje se Kleopatra D i K DK i = K D i D i = 0,000002 0,5 = 0,000001 DK i = K D i D i = 0,999998 0,5 = 0,499999
1. dítě 0,500000 CH 1 0,499999 0,000001 DK 1 DK 1
CH 1 0,500000 0,499999 1. dítě 2. dítě 0,500000 0,499999 0,000001 CH 2 0,000001 DK 1 DK 1
CH 1 0,500000 0,499999 DK 1 0,000001 1. dítě 2. dítě 0,500000 0,499999 0,000001 0,500000 0,499999 0,000001 CH 2 CH 2 DK 1
dvě dcery jedno dítě je Kleopatra (dvě dcery, z nichž jedna z nich je Kleopatra) = jedno z dětí je Kleopatra CH 1 0,500000 0,499999 DK 1 0,000001 DK 1 1. dítě 2. dítě 0,500000 0,499999 0,000001 0,500000 0,499999 0,000001 0,500000 0,499999 CH 2 CH 2 CH 2
dvě dcery jedno dítě je Kleopatra (dvě dcery, z nichž jedna z nich je Kleopatra) = jedno z dětí je Kleopatra CH 1 0,500000 0,499999 DK 1 0,000001 DK 1 1. dítě 2. dítě 0,500000 0,499999 0,000001 0,500000 0,499999 0,000001 0,500000 0,499999 CH 2 CH 2 CH 2
dvě dcery jedno dítě je Kleopatra (dvě dcery, z nichž jedna z nich je Kleopatra) = jedno z dětí je Kleopatra CH 1 0,500000 0,499999 DK 1 0,000001 DK 1 1. dítě 2. dítě 0,500000 0,499999 0,000001 0,500000 0,499999 0,000001 0,500000 0,499999 CH 2 CH 2 CH 2
dvě dcery jedno dítě je Kleopatra = ( DK 1 DK 1 ) ( CH 1 DK 1 CH 1 DK 1 ) 1. dítě 2. dítě CH 1 0,500000 0,499999 DK 1 0,000001 DK 1 0,500000 0,499999 0,000001 0,500000 0,499999 0,000001 0,500000 0,499999 CH 2 CH 2 CH 2
dvě dcery jedno dítě je Kleopatra = 0,499999 0,000001 + 0,000001 0,499999 ( CH 1 DK 1 CH 1 DK 1 ) 1. dítě 2. dítě CH 1 0,500000 0,499999 DK 1 0,000001 DK 1 0,500000 0,499999 0,000001 0,500000 0,499999 0,000001 0,500000 0,499999 CH 2 CH 2 CH 2
dvě dcery jedno dítě je Kleopatra = 0,499999 0,000001 + 0,000001 0,499999 0,500000 0,000001 + 0,499999 0,000001 + 0,000001 0,500000 + 0,000001 0,499999 CH 1 0,500000 0,499999 DK 1 0,000001 DK 1 1. dítě 2. dítě 0,500000 0,499999 0,000001 0,500000 0,499999 0,000001 0,500000 0,499999 CH 2 CH 2 CH 2
dvě dcery jedno dítě je Kleopatra = 0,999998 1,999998 = 0, 499999 CH 1 0,500000 0,499999 DK 1 0,000001 DK 1 1. dítě 2. dítě 0,500000 0,499999 0,000001 0,500000 0,499999 0,000001 0,500000 0,499999 CH 2 CH 2 CH 2
ro srovnání dvě dcery jedno dítě je Marie 0, 493 Dle MVČR (kdejsme.cz) a ČSÚ: M D = 288 950 5 347 235 0,054037
Rodina má dvě děti. ravděpodobnost, že rodina má 2 dcery je 1. 4 ---------------------- Víme, že jedno z dětí je dcera. ravděpodobnost, že rodina má 2 dcery je 1. 3 ---------------------- Víme, že jedno z dětí se jmenuje Kleopatra. ravděpodobnost, že rodina má 2 dcery je 0,499999 1. 2
A co tenhle? Dokážete najít řešení? ředpokládejme, že test na zjištění drog má senzitivitu 99% a specificitu 99%. To znamená, že test správně identifikuje skutečného uživatele drog v 99% případů a že test vyloučí osobu, která drogy neužívá rovněž v 99% případů. ředpokládejme, že ve škole, která se rozhodla testovat své studenty na užívání drog je prevalence 0,5%. Tj. jen 0,5% ze všech studentů drogy skutečně bere. Student Fajfka měl test pozitivní. Jaká je pravděpodobnost, že student Fajfka skutečně užívá drogy? Jak by se tato pravděpodobnost změnila, pokud by opakovaný (nezávislý) test vyšel také pozitivní?
Děkuji za pozornost!