Derivování sloºené funkce V tomto letáku si p edstavíme speciální pravidlo pro derivování sloºené funkce (te funkci obsahující dal²í funkci). Po p e tení tohoto tetu byste m li být schopni: vysv tlit pojem sloºené funkce, rozeznat funkci vno enou do funkce, derivovat sloºenou funkci. Úvod V této jednotce se nau íme jak odli²it "funkci ve funkci". Nejprve si vysv tlíme co je my²leno tímto pojmem, pak se dozvíme, jak takovouto sloºenou funkci derivovat. Funkce ve funkci Nejprve uvaºujme cos 2. Na první pohled je kaºdému z ejmé, ºe je odli²ná od elementární funkce cos. Vidíme, ºe funkce 2 je argumentem kosinu. Te si obecn p edstavme, ºe máme dv funkce f() a g(). Pak výsledná sloºená funkce je tvaru y = f(g()), te y je funkcí funkce. Te v na²em p ípad f() je funkce kosinus a g() je funkce kvadratická. Te p esn ji matematicky e eno te f() = cos a g() = 2, f(g()) = f( 2 ) = cos 2. Te uº víme, jak vypadá sloºená funkce, p ípadn jak m ºeme skládat funkce. Ov²em skládání funkcí není komutativní, te f(g()) g(f(). To si m ºeme snadno ov it na na²em p vodním p íklad. Jestliºe máme pak f() = cos a g() = 2, g(f()) = g(cos ) = (cos ) 2 = cos 2. Te cos 2 je taky "funkcí funkce,"ale rozhodn je to r zná funkce od cos 2. V náslející sekci se nau íme jak derivovat sloºené funkce. http://mathstat.econ.muni.cz/ Matematika
sloºené funkce V p ípad derivování sloºené funkce y = f(g()), tj k nalezení derivace náslejícího návo: postupujeme dle. Zavedeme substituci u = g(). Te sloºenou funkci máme nyní ve tvaru y = f(u). 2. Nyní pot ebujeme pouºít algoritmus, známý jako et zové pravidlo. D leºité tvrzení : et zové pravidlo Derivujeme funkci ve tvaru y = f(g()), poloºíme u = g(). Pak y = f(u) a =. 3. Vyjád íme pomocí. P íklad. Chceme derivovat funkci y = cos 2. Zavedeme substituci u = 2, te y = cos u. Podle vý²e uvedeného pravidla platí Pouºitím et zového pravidla získáme: = 2 a =, = sin u. pak víme, ºe = sin u 2, = 2 sin 2. P íklad. Nyní budeme derivovat funkci y = cos 2. Zavedeme substituci u = cos, te y = u 2. Pak platí = sin = 2u. Pouºitím et zového pravidla získáme: =, Handout 2 Matematika
potom = 2u ( sin ), = 2 cos sin. P íklad. P edstavíme si, jak m ºeme derivovat funkci y = (2 5) 5. Samoz ejm m ºeme derivovat tuto funkci jako p t sou in, tj y = (2 5) (2 5) (2 5) (2 5) (2 5). Tento postup je ale p íli² pracný a neefektivní, také vzniká spoustu p íleºitostí pro chybu b hem výpo tu. Proto i takovéto (sloºené) funkce derivujeme pomocí et zového pravidla. Te poloºme u = 2 5, pak y = u 5 a Následn zjistíme, ºe = 2 = 5u4. = = 5u 4 2 = 0(2 5) 4. Tip pro derivování funkcí s k násobkem argumentu V této sekci uvaºujeme elementární funkce s k násobkem argumentu, následn k nim p istupujeme obecn ji a tak p edstavíme ná² tip pro derivování sloºených funkcí speciálního typu. P íklad. Te uº umíme zderivovat sloºenou funkci. P ipome me si, jak se derivujeme nap. y = sin 5 zavedením substituce u = 5, pak y = sin u. jsou Z et zového pravidla získáme = 5 = cos u. = = 5 cos u = 5 cos 5. V²imn me si, ºe se 5 objevila na za átku zderivované funkce. Je to tím, ºe derivace vnitrní sloºky 5 je rovna 5. Otázkou te je, jestli m ºeme takto jedno²e derivovat kaºdou sloºenou funkci, jejíº argument je násoben libovolnou konstantou? Handout 3 Matematika
D leºité tvrzení 2: Pamatuj si! Jestli máme funkci f, kde její argument je násoben konstantou k, tj. y = f(k), pak její derivaci dostaneme ve tvaru y = k f (k). P íklad. Derivujeme-li funkci y = ln, pak 2 podle vzore ku vý²e je její derivace Jednochou úpravou získáme elegantní tvar y = 2 y =. 2. Technika pro p ímé derivování sloºené funkce V této sekci si ukáºeme jak zrychlit postup p i derivování sloºené funkce. vnit ní sl. P íklad. Chceme-li zderivovat funkci y = tg ( sin ), je nutné rozpoznat vnit ní sloºku vn j²í sl. funkce. V na²em p ípad je vnit ní sloºka y = sin. P i derivování postupujeme tak, ºe nejprve zderivujeme vn j²í sloºku funkce, kterou násobíme derivací vnit ní sloºky funkce. Potom derivace je ve tvaru y = cos 2 sin der. vn j²í sl. der. vnit ní sl. cos = cos sin. V podstat derivování tímto zp sobem není nic jiného neº zjedno²ená aplikace et zového pravidla. vnit ní sl. P íklad. Budem-li derivovat funkci y = ln cotg e, kde vs.vs. je vnit ní sloºka vnit ní sloºky, vs.vs. vn j²í sl. stejn jako v p edchozím p íklad je nutné poznat vnit ní sloºku funkce. V tomto p ípad je vnit ní sloºka y = cotg e a ta je²t obsahuje dal²í vnit ní sloºku e. P i derivování postupujeme tak, ºe nejprve zderivujeme vn j²í sloºku funkce, kterou násobíme derivací vnit ní sloºky funkce. Jestliºe i vnit ní sloºka je sloºená funkce, pak znovu násobíme derivovanou vnit ní sloºkou vnit ní funkce. y = cotg e der. vn j²í sl. der. vnit ní sl. sin 2 e e = sin cos sin 2 e e = cos sin der. vs. vs. Handout 4 Matematika
V stejn jako v prvním p íklad jsme aplikovali et zové pravidlo. Cvi ení. Najd te derivace v²ech náslejících funkcí: a) (3 7) 2 b) sin(5 + 2) c) ln(2 ) d) e 2 3 e) f) (6 + 5) 5 3 g) 5 3 h) cos( 4) i) ln(sin ) j) sin ln (3 ) 4 k) e cos l) cos e m) (sin + cos ) 3 n) ln sin o) Odpov di. a) 36(3 7) b) 5 cos(5 + 2) c) e) i) 5 2 5 3 f) 0(6 + 5) 2/3 g) cos 2 2 d) 3e 2 3 4 h) 4 sin( 4) (3 ) 5 cos = cot sin j) cos(ln ) k) sin e cos l) e sin (e ) m) 3(cos sin )(sin + cos ) 2 n) sin +ln cos o) sin cos 2 = tan sec Cvi ení. Zderivujte a) ln ( sin 2 ) b) sin 2 (ln ) c) cos(3 ) d) [ + cos ( 2 )] 3/2 Odpov di. 2 cos a) = 2 cot sin b) 2 sin(ln ) cos(ln ) c) 3 sin(3 ) 2 cos(3 ) d) 3 sin ( 2 ) [ + cos ( 2 )] /2 Handout 5 Matematika