Teorie. kuncova/

Transkript

1 9. cvičení kuncova/ Teorie Věta (Integrace per partes). Necht I je neprázdný otevřený interval a funkce f je spojitá na I. Necht F je primitivní funkce k f na I a G je primitivní funkce ke g na I. Pak platí g()f()d = G()F() G()f()d na I. Příklady. f() = e Per partes: u = e, u = e, v =, v =. e d = [ e ] e d = e e. f() = cos Per partes: u = cos, u = sin, v =, v =. cosd = [sin] sind = sin+cos 3. f() = ln Položme u =, v = ln. Potom u = d = a v = (ln) = a použitím vztahu pro integraci per partes dostáváme lnd = [ln] d = ln 4. f() = sinln(tg ) cos = Per partes: u = sin, u = cos, v = ln(tg ), v = tg sincos. sinln(tg )d = cosln(tg )+ sin d = cosln(tg )+ln tg 5. f() = arctan

2 Per partes: u =, u =, v = arctan, v = +. arctan d = [arctan ] + d = Substituce y = +. = arctan y dy = arctan ln y = arctan ln(+ ) 6. f() = e První per partes: u = e, u = e, v =, v =. e d = [ ] e + e d = Druhé per partes: u = e, u = e, v =, v =. = e + [ ] e + e d = e e 4 e 7. f() = sin První per partes: u = sin, u = cos, v =, v =. [ sind = ] cos + cos = Druhé per partes: u = cos, u = sin, v =, v =. = [ ] cos+ sin sind = cos+ sin+ 4 cos 8. f() = arcsin Per partes: u =, u =, v = arcsin, v =. arcsin d = [arcsin ] d = Substituce y =. = arcsin + y dy = arcsin + y = arcsin +

3 9. f() = arctan Per partes: u =, u = + (mnohem výhodnější než mechanické ), v = arctan, v = +. arctan d = [ (+)arctan ] d = (+)arctan 0. f() = n ln, n Položme u = n, v = ln. Potom u = n+ /n+ a v =. Integrace per partes dává. f() = 3 e n lnd = n+ n+ ln n n+ d = n+ n+ ln n+ (n+) Provedeme substituci y =. Pak dy = d a platí 3 e d = ye y dy = Nyní aplikujeme per partes: u = e y, u = e y, v = y, v =. = [ ye y] + e y dy = ye y e y = e e. f() = ln První per partes: u =, u = 3 3/, v = ln, v = ln. [ ] ln d = 3 3/ ln 3 / lnd = Druhé per partes: u = 3 /, u = 4 9 3/, v = ln, v = /. [ ] [ ] 4 4 = 3 3/ ln 9 3/ ln + 9 / d = 3 3/ ln 4 9 3/ ln / 3. f() = arctan Per partes: u =, u =, v = arctan, v =. + arctan d = arctan + d = arctan = arctan ( ) d = d = arctan + arctan 3

4 4. f() = arccos Per partes: u =, u = 3 3, v = arccos, v =. [ ] 3 arccos d = 3 arccos d = Substituce y =, odkud plyne dy = d a = y. = 3 3 arccos + y dy = 3 6 y 3 arccos + ( ) y y dy = 6 = 3 3 arccos + 9 y3/ 3 y/ = 3 3 arccos + 9 ( ) 3/ 3 ( ) / 5. f() = arcsin Per partes: u =, u =, v = arcsin, v =. arcsin d = [ ] arcsin + d = Substituce y =. Potom dy = d a = y. = arcsin + d = arcsin + = arcsin + +y ln y = arcsin + 6. f() = ln(+ + ) y dy = + ln Per partes: u =, u =, v = ln(+ + ), v = +. ln (+ ) [ + d = ln (+ )] + Poslední integrál lze počítat např. substitucí y = f() = ln + Per partes: u =, u = +, v = ln, v = ln + d = ln + = ln + ( + d = ln (+ ) d = d = ln + ) d = ln ln 4 4

5 8. f() = sin(ln) Použijeme integraci per partes, položme v =, u = sin(ln). Potom v = a u = cos(ln). Dostaneme, že sin(ln) = sin(ln) cos(ln)d = Nyní použijeme ještě jednou per partes na v = a u = cos(ln) a dostaneme sin(ln) = sin(ln) cos(ln)d = sin(ln) cos(ln) sin(ln ) Převedením integrálu napravo na levou stranu dostaneme, že sin(ln) = sin(ln) cos(ln) sin(ln) = (sin(ln) cos(ln)) 9. f() = cos(ln) Použijeme integraci per partes, položme v =, u = cos(ln). Potom v = a u = sin(ln). Dostaneme, že sin(ln) = cos(ln)+ sin(ln)d = Nyní použijeme ještě jednou per partes na v = a u = sin(ln) a dostaneme sin(ln) = cos(ln)+ sin(ln)d = cos(ln)+sin(ln) cos(ln ) Převedením integrálu napravo na levou stranu dostaneme, že cos(ln) = cos(ln)+sin(ln) cos(ln) = (cos(ln)+sin(ln)) 0. e sin č f() = e a cosb Pro a = b = 0 je e 0 cos(0)d = d =. 5

6 Nyní předpokládejme, že a 0, b 0. Použijeme nadvakrát integraci per partes, eponencielu budeme derivovat a goniometrickou funkci integrovat. Platí e a cosbd = b ea sinb a e a sinbd = b b ea sinb+ a b ea cosb a b Odtud vyplývá, že ) (+ a e a cosbd = b e a cosbd = b ea sinb+ a b ea cosb b a +b ea sinb+ a a +b ea cosb = ea a +b (bsinb+acosb) Lehko se ověří, že výsledek platí i pro b = 0, pokud a 0, a také pro a = 0, pokud b 0. e a cosbd.. f() = e a sinb Pro b = 0 je e a sin(0)d = 0d =. Nyní předpokládejme, že a 0, b 0. Použijeme nadvakrát integraci per partes, eponencielu budeme derivovat a goniometrickou funkci integrovat. Platí e a sinbd = b ea cosb+ a e a cosbd = b b ea cosb+ a b ea sinb a b e a sinbd. Odtud vyplývá, že ) (+ a b e a sinbd = b ea cosb+ a b ea sinb e a sinbd = b a +b ea cosb+ a a +b ea sinb = ea a +b (asinb bcosb) Lehko se ověří, že výsledek platí i pro a = 0, pokud b 0. 6