DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO - CVIČENÍ

Transkript

1 MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně LDF) s ohledem na discipliny společného základu reg. č. CZ..7/2.2./28.2) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republiky. Mgr. Radka SMÝKALOVÁ, Ph.D. smyky@seznam.cz

2 MT MATEMATIKA Derivace funkce, L Hospitalovo pravidlo - CVIČENÍ 2 Cvičení. Derivujte:. y 2sin 2sin) P 2 sin) V7 2cos 2. y ) P2 5 ) + 5 ) V4 a V2 5 ln y tg cotg ) tg cotg) P2 tg) cotg) V9 a V cos 2 sin 2 cos 2 + sin 2 4. y arcsin arcsin) P3 ) arcsin)+ ) arcsin) 2) arcsin)+ ) arcsin) V2 a V 2 2 arcsin+ 2 2 arcsin y e cos ) e P4 cos e ) cos) e ) cos) cos 2 V3 a V8 e cos e sin) cos 2 e cos+e sin cos 2 6. y sin 3 3) sin 3 3) ) P3 sin) 3 3)+sin) 3 3) V7 a P2 cos 3 3)+sin 3 ) 3) ) cos 3 3)+sin 3 2 ) 7. y 2 arctg arctg P3 a P2 2 ) arctg)+2 ) arctg) ) 2 + 9) 2 arctg) 2 ) +) 9) ) V2 a V3 a V2 a V2 a V ) ) 2 2 arctg+ 2 ) ) ) 2 arctg) 2+ ) 2 arctg ) 2 arctg) 2+) 2 + 9) ) 2 ) P4 2 arctg) 2 + 9) 2 arctg) 2 + 9) 8. y 3 4 ln arccotg Zvolíme se jeden součin je jedno jaký) a podle něho uděláme pravidlo. 3 P3 4 ln arccotg) 3 4 ln) arccotg)+ 3 4 ln) arccotg) P3 a V ) ln)+ 3 4 ) ln) ) arccotg+ 3 4 ln ) + 2 V2 a V ln+ 3 ) 4 arccotg 3 4 ln ln+ 3 ) 4 arccotg 3 4 ln + 2

3 MT MATEMATIKA Derivace funkce, L Hospitalovo pravidlo - CVIČENÍ 3 Cvičení 2. Derivace složené funkce) Derivujte:. y sin 2 sin 2 ) sin 2 ) ) V7 a V2 cos 2 ) 2 2. y sin 2 sin) 2 sin) 2 ) V2 a V7 2sin cos 3. y arctg 3 ) arctg ) arctg 3 3 ) 2 V2 a V3 a V2 2 arctg 3 ) ) arctg y lncose 6 lncose 6) )) Víme, ) že derivujeme postupně jednotlivé složky a mezi nimi píšeme násobení. Od vnější složky po tu, co je nejvnitřnější. :-) lncose 6) V5 a V8 a V3 a V2 )) cose 6) ) sine6) )) e 6) 6 5 sine 6 e cose 6 5. y sin ln) 5 sin ) ) ln) 5 sinln) ) 2) 5 V2 a V7 a V2 a V5 5 sinln) 4 2 cosln) 2 2 ln) 2 sin 5 ) 4 ln cos ln 2 ln 6. y 4 4) V4 a V2 4 ln 4 3

4 MT MATEMATIKA Derivace funkce, L Hospitalovo pravidlo - CVIČENÍ 4 Cvičení 3. Derivace vyšších řádů) Vypočítejte derivaci druhého řádu:. y Víme, že derivaci druhého řádu, neboli druhou derivaci, vypočítáme tak, že funkci zderivujeme nejdříve jednou. A následně funkci, která nám vyjde, zderivujeme ještě jednou. y ) P2 3 ) + 2 ) +) ) V2 a V2 a V2 a V y ) P2 3 2 ) +2) +) P a P a V 3 2 ) +2 ) + V2 a V y 2 2 Víme, že derivaci druhého řádu, neboli druhou derivaci, vypočítáme tak, že funkci zderivujeme nejdříve jednou. A následně funkci, která nám vyjde, zderivujeme ještě jednou. y 2 2 ) P4 2 ) 2 ) 2 ) 2 ) 2 ) 2 V2 a P2 2 2 ) 2 2 ) ) ) 2 ) 2 V2 a V 2 2 ) 2 2 ) 2 ) 2 roznásobit ) ) 2 ) y 2 P4 2) 2 ) 2 ) 2) 2 ) 2 ) 2) 2 ) ) 2 ) P a derivace složené funkce - ) 2 je vnější složka a 2 ) je vnitřní složka 2 ) 2 2 ) 2 ) 2 2 ) 4 2) 2 ) ) 2 )) V2 2 2 ) ) 2) 22 ) ) v čitateli vytkneme 2 ) 2 ) 4 2 ) 4 2 ) 4 22 ) ) 3 2 ) 3 2 ) 3 2 ) 2 2 )+8 2 ) zkrátíme čitatel a jmenovatel 2 ) 4

5 MT MATEMATIKA Derivace funkce, L Hospitalovo pravidlo - CVIČENÍ 5 Cvičení 4. Derivujte pomocí pravidel, vzorců a pravidla pro složenou funkci):. y ) ) ) 2. y ln + ln + ) derivace složené funkce - ) 2 je vnější složka a ) je vnitřní složka ) ) ) derivace složené funkce - ln je vnější složka a neboli zlomek - pravidlo P4 - je vnitřní složka + + ) +) ) +) +) 2 + ) ) ) +) ) ) +) ) V a V2 a V a V2 + +) 2 ) +) ) +) + +) 2 +) ) + +) 2 + +) 2 3. y cos 2 + cos 2 ) ) ) 2 derivace složené funkce - ) + 2 je vnější složka, cos je prostřední složka a cos + 2 ) cos + 2cos sin + sin + ) + +) ) +) ) 2cos ) 2 ) 2) +) ) +) 2 2) V2 a V 2 cos ) 2 + sin + 2+) ) +) 2) + sin + 4. y 2 arcsin ) 2 P4 arcsin 2 ) arcsin) 2 ) arcsin) V 2 ) 2) arcsin) 2 ) arcsin) 2 ) 2 2 ) 2 2) arcsin) ) 2 ) ) arcsin 2 ) arcsin arcsin) 2 arcsin) 2 arcsin) 2 5. y 3 arctg 3 5 arctg ) ) 3 P derivace složené funkce - arctg je vnější složka a arctg 3 5 ) ) 5 ) 3) 5 ) P a P2 3 5 ) 2 ) ) 5 ) 3) ) 5 ) ) 5 ) 2 5 ) ) ) 5 ) 2 ) ) ) 2 5 P2 a P2 krácení do kříže neboli zlomek - pravidlo P4 - je vnitřní složka P2 a V2 ) ) ) +) 2 2) ) 2 2cos 2 arcsin) 2 derivace složené funkce - ) 3 5 neboli zlomek - pravidlo P4 - je vnitřní složka V2 a V a V2 3 ) sin + 2 +) 2 2 je vnější složka a 2 ) je vnitřní složka 3 5 ) 3) 5 4 ) 5 ) 2

6 MT MATEMATIKA Derivace funkce, L Hospitalovo pravidlo - CVIČENÍ 6 6. y 3 3 arcsin+ 2 +2) arcsin+ 2 +2) ) 2 P2 3 3 arcsin ) ) ) 2 P a P3 3 3 arcsin ) ) 2 )+ 2 +2) 2 ) 3 3 ) arcsin)+ 3 ) arcsin) ) + 2 ) +2) ) 2 )+ 2 +2) 2 ) 2) V2 a V a V2 a V a derivace složené funkce - ) 2 je vnější složka a 2 ) je vnitřní složka ) arcsin ) ) ) 2 2) 9 2 arcsin ) 2 2 2) 2 P3 a P2

7 MT MATEMATIKA Derivace funkce, L Hospitalovo pravidlo - CVIČENÍ 7 Cvičení 5. L Hospitalovo pravidlo). lim lim L H 3 9 lim ) lim 3 9) ln ) 2. lim 2 2 ln ) lim 2 2 L H ln )) lim 2 2) lim 2 lim 2. ln + 3. lim ln ln + lim ln L H ln +) lim ln) lim ) ln)+)ln) lim lim ln+). e 4. lim sin e lim sin L H e lim ) e sin) lim cos. ln+ lim ln+ lim ln+ e 5. lim +e 2 2 e lim +e 2 L H e 2 lim +e 2) e lim +e ) 2 ) 2 e lim +e lim e e 2 e lim e ) L H 2) lim e e ) lim 2+ + lim lim ln3+) lim ln3+) L H +) lim lim 2+) lim L H ln3+)) lim ) lim lim lim 2 e 2 3 lim 2 L H 3 e 2 lim 2 ) 2 lim e 2 ) lim L H ) e 2 lim lim e 2 ) e e 2 2