Řešení úlo celostátnío kola 55 ročníku fyzikální olympiády AutořiJTomas(134)aMJarešová() 1a) Pro určení poloy těžiště umístíme jelan do poloy podle obr R1 Obsa příčnéo řezu jelanem ve vzdálenosti od vrcolu je y S 1 = S ( ) S 1 S kde S jeobsapodstavysouřadnici T těžiště určíme integrací: T = dm m m = S 1 d = S 1 d S S O d Obr R1 3 d 4 4 = 3 = 3 4 d 3 Vzdálenosttěžištějelanuodpodstavyje 75=5 b) Abycom převrátili jelan do svislé poloy musíme jeo těžiště zvednout nad ranu podstavy(obr R) Přitom budeme udržovat svislý směr vlákna aby nedošlo ke sklouznutí podstavné rany po dně Po překročení této vratké poloy už nemusíme konat práci jelan se postaví působením tíové sily Těžiště jelanu se nacází v jedné čtvrtině jeo výšky Výšku s těžiště ležícío jelanu nade dnem nádrže stanovíme z podobnosti trojúelníků V SO a V PT: s 75 = 5a 375a s= 5a + 5a + jeo vzdálenostod podstavné rany je z = (5) +5a Práce kterou musíme vykonat při zvednutí jelanu do vratké poloy je rovna změně celkové potenciální energie soustavy nádrž jelan Potenciální energie jelanu se zvětší o V g(z s) Současně se ale zmenší potenciální energie vodyvnádržiov vg(z s)neboťvodazprostorukterýzabírástojící jelan zaplní prostor který jelan zabíral původně Celkově tedy W 1 = V( v)g(z s)= = 1 3 a ( v)g ( (5) +5a ) 375a 5a + Číselněvycází W 1 =51J 4body 1
y T S s z V P Obr R O Obr R3 c) Stejnou úvau můžeme provést i v případě zvedání stojícío jelanu nad ladinu Potenciální energie jelanu se zvětší o V gh a potenciální energie vodyvnádržisezmenšíov vg(h 5)neboťvodakterázaplníprostor u dna kde stál jelan bude cybět u ladiny která nepatrně poklesne Celkově tedy W = V gh V vg(h 5)=V( v)gh+5v vg= Číselněvycází W =19J Poznámka: = 1 3 a g[( v)h+5 v] Výsledek úloy c) můžeme zkontrolovat výpočtem práce jako dráovéo integrálu síly: Do okamžiku kdy se vrcol jelanu dotkne ladiny tedy na dráze H musímetánoutkonstantnísilouovelikosti V( v)gavykonáme práci W 1 = V( v)g(h ) Jakmile se vrcol jelanu dostane nad ladinu(obr R3) zmenší se vztlaková síla V okamžiku kdy vystoupí do výšky y plyne z prostorové podobnosti pro objem V 1 vynořenéčásti a musíme působit silou o velikosti V 1 V = ( ) 3 y V g (V V 1 ) vg=v( v)g+ V v ( ) 3 y g
Nad ladinou tedy vykonáme práci { ( ) 3 [ ] y W = V( v)g+ V v g} dy= V g ( v)y+ v 4 3y4 = { = V g ( v)+ v } 4 Celková práce při zvednutí jelanu ze dna nad ladinu je W = W 1 + W = V( v)gh+5v vg 3
a) Zvolíme soustavu souřadnic Oy dle obr R4 y P v H O d Obr R4 Potom pro souřadnice místa dopadu platí: =d y= H Dálevímežeprovršikmovzůruplatívztay Zevztaupro vyjádříme t= úpravě dostaneme =v tcosα y=+v tsinα 1 gt v cosα y=+tg α 1 g adosadímedovztaupro ypo v cos α (1) Dovztau(1)dáledosadímeza aytj H= +dtg α 1 g v cos α d Postupnýmiúpravamivyjádřímeztétorovniceledanouryclost v : v = d g cosα (dtg α H+ ) () Podosazenízadanýcodnotdostaneme v =858m s 1 =86m s 1 4body b) Míčekdopadnenastřecuvčase t 1 = má ryclost míčku souřadnice d v cosα =1165sVtomtookamžiku v 1 = v cosα=49m s 1 v 1y = v sinα gt 1 = 4m s 1 4
Velikostryclostidopaduje v 1 = v1 + v 1y =587m s 1 úeldopadu vzledemkvodorovnéroviněje γ=arctg v 1y v 1 = 43 ZobrR5jezřejméžemíčekseodrazísepodúlem δ=18 β γ =77 rovněž vzledem k vodorovné rovině v y γ +β δ β γ Obr R5 v 1 c) Zvolíme nový počátek soustavy souřadnic v místě dopadu míčku na střecu atotakžekladnýsměrosy budesměřovatnalevoustranukladnýsměr osy y bude směřovat naoru(obr R5) Pak můžeme pro souřadnice míčku po odrazu od střecy psát: =v 1 tcosδ y= v 1 tsinδ 1 gt Prosouřadnici yvokamžikudopaduplatí y= HPodosazenídostaneme kvadratickou rovnici 1 gt v 1 tsinδ H= znížvypočtemedobudopadumíčkunazemodokamžikuodrazumíčkuod střecy Úloze vyovuje kořen t= v 1sinδ+ v1 sin δ+gh =161s g Míčekdopadnepředclapcemvevzdálenosti d = d v 1 tcosδ=9m Alternativní řešení úloy b): Úel dopadu míčku na střecu γ(viz obr R5) můžeme určit derivací vztau (1)podle : y g =tg α v cos α 5
Podosazení =daza v z()dostanemevbodědopadu y =tg γ=tg α tg α+ zčeož γ= 43 (H ) d = tg α+ (H ) d = 93 Velikost ryclosti dopadu míčku na střecu můžeme určit užitím zákona zacování energie: 1 mv + mg= 1 mv 1+ mgh v 1 = v +g( H)=587m s 1 6
3a) Střední příčka EG je rovněž izobara a střední příčka F H je izocora Protože při ději izobarickém je objem přímo úměrný termodynamické teplotě a při ději izocorickém je tlak přímo úměrný termodynamické teplotě platí Pak T S = + T T B = T C T = T T A = T D T = T B = T D = T =4K T A = =18K T C = T =98K p p B F C E S G T p 1 A H D Obr R6 V 1 V b) Práce vykonaná plynem při jednom cyklu je číselně rovna obsau obdélníka ABCD Ze stavové rovnice ideálnío plynu odvodíme W =(p p 1 )(V V 1 )=p V p V 1 p 1 V + p 1 V 1 = = nr(t C T B T D + T A )=nr T T + T1 =nr (T ) =66J c) Plynpřijímáteplopřidějíc ABa BC: Q AB = 5 nr(t B T A )=5nR T T 1 Q BC = 7 nr(t C T B )=7nR T T Q AB + Q BC = nr 7T T 5T1 Teoretická účinnost kruovéo děje η= W Q AB + Q BC = T 4T +T 1 7T T 5T 1 V =13J = (T ) 7T +5 =15 4body 7
4a) Celková energie elektronu a jeo energie klidová jsou v poměru Ztoo γ= E 1 = E 1 v c v c = 1 ( ) E 1 1 E = E 14GeV m c= 511 MeV =7 ( ) E =1 67 1 1 E Ryclostelektronujejeno67 1 8 %menšínežryclostsvětlavevakuu b) Dostředivou silou je síla magnetická: m e v R 1 v c = γm ev R = B ev R= γm ev B ev γm ec B ec = E B ec sinα= a =1 α =115 =41 R Maimální vzdálenost elektronů od osy undulátoru je ( ) d=r R a 4 = R 1 1 a 4R R (1 1+ )= a a 8R =75 1 4 mm=75 mm 8R =37m c) Undulátorovýparametrmáodnotu K = eb a = 35Podosazenído pm e c vztau pro vlnovou délku dostaneme λ= a ( γ 1+ K 15 1 )= 7 715 =14 1 1 m=14nm Fotony rentgenovéo záření mají v porovnání s celkovou energií elektronu vstupujícío do undulátoru nepatrnou energii E f = c λ =14 1 15 J =87keV =6 1 7 E Článek o undulátoru ze kteréo jsme čerpali je dosažitelný na adrese 4body ttp://wwwcscasfyzfzucz/burian_calupsky_hajkova_boacek_jua_lclspdf 8