Tecnická univerit v Liberci Fkult příroověně-umnitní pegogická Kter mtemtiky iktiky mtemtiky LINEÁRNÍ PERSPEKTIV Pomocný učební tet Petr Pirklová Liberec, litop 03
Lineární perpektiv npoobuje liké viění. Je plikcí třeovéo promítání, ky třeem promítání je liké oko průmětnu nrujeme ítnicí ok. Kvůli tomuto e lineární perpektiv používá lvně k obrování velkýc objektů. Nejnámějšími perpektivními obry jou jitě fotogrfie. K tomu, bycom íkli e třeovéo promítání lineární perpektivu, muíme vét pro třeové promítání ještě pomínky nvíc. ) Objekt, který cceme obrit, muí ležet v rotční kuželové ploše, která má vrcol ve třeu promítání, její o je kolmá k průmětně površky vírjí oou úel 40-50. Tuto kuželovou plocu nýváme orné pole (orná kuželová ploc) protíná průmětnu v orné kružnici k Z, která má tře v lvním boě (prvoúlý průmět třeu promítání n průmětnu) poloměr je mimálně. Protože objekt muí ležet v orném poli, pk obr muí ležet v orné kružnici. ) Pro největší průčelný roměr objektu n válenot objektu o třeu promítání v pltí nerovnot. Vycáí to too, že objekt leží v orném poli ároveň nemí být poorovtel o objektu příliš leko, by e perpektiv neměnil v rovnoběžné promítání. 3) Nejmenší válenot poorovtele o objektu je cm, což je me řetelnéo viění. 4) Poorovtel i objekt jou umítěni n voorovné rovině. Průmětnu většinou umiťujeme o vilé poloy. K ní kolmá je áklní rovin, n které tojí poorovtel (v prvoúlém průmětu S o roviny ) objekt. Oko poorovtele totožňujeme e třeem promítání S jeo prvoúlý průmět o průmětny ončujeme jko lvní bo. Přímk S je o perpektivy válenot těcto vou boů je itnce. v l Z p S S Zobrení bou
Průečnice rovin je áklnice. oriont je průečnice rovin. Přímk, která procáí lvním boem kolmo k áklnici, e nývá lvní vertikál v. Záklní bo Z je průečík vertikály v áklnice. Výšk perpektivy je válenot áklnice oriontu. oy, ve kterýc orná kružnice protne vertikálu oriont e nývjí olní orní itnčník levý l prvý p itnčník. Přímky kolmé k průmětně nýváme loubkové přímky. Přímky, které jou rovnoběžné průmětnou i áklní rovinou jou přímky průčelné. K áklní rovině jou kolmé vertikální přímky. průčelná přímk loubková přímk S S vertikální přímk Přímky v lineární perpektivě Střeový průmět bou o průmětny ončujeme nýváme o perpektiv bou, ončujeme třeový průmět půoryu bou ončujeme o jko perpektiv půoryu bou. Nemíme i jej všk plét půoryem perpektivy. V lineární perpektivě pltí náleující vltnoti, pole kterýc le v tomto promítání kontruovt.. lvní bo je úběžníkem všec loubkovýc přímek. Je tey průečíkem všec perpektivníc obrů loubkovýc přímek. rcitektonická perpektiv Cnl Cnletto 3
. oriont je úběžnice všec rovin rovnoběžnýc e áklní rovinou leží n něm všecny úběžníky přímek rovnoběžnýc e áklní rovinou. 3. Úběžníky přímek rovnoběžnýc e áklní rovinou, které vírjí průmětnou 45 jou prvý levý itnčník. 4. Rovnoběžnot průčelnýc přímek e covává. Zvětování Pnny Mrie Leonro Vinci Poku používáme k obrování objektu poue meto třeovéo promítání, nýváme perpektivu jko volnou. Využíváme-li i jiné obrovcí metoy, pk e nývá perpektiv váná. 4
VÁZNÁ PERSPEKTIV PRŮSEČNÁ METO Při této metoě e používá tké Mongeovo promítání. V Mongeově promítání je án obrovný objekt používjí e protřeky Mongeovy projekce. Objekt i poorovtel jou potveni n půoryně, která je tké áklní rovinou. Průmětn perpektivy je kolmá k půoryně volíme ji pole too, která čát objektu má být viitelná. Perpektivní obr objektu tvoří perpektivní obry všec jeo boů. C S S = mítění průmětny při průečné metoě Mimo néo objektu v Mongeově promítání volíme v nákreně oriont lvní bo. Průmětnu v Mongeově promítání pk umítíme tk, by oriont lvní bo přešli o volené přímky bou v Mongeově promítání. 5
= =C S y, C S p = Průečná meto - ání Poku cceme touto metoou obrit bo, pk jeo třeový průmět e třeu promítání S n je bo S. Průečík první promítcí přímky Mongeov promítání bou S oriontem ončíme. Pole poloy lvnío bou, oriontu první promítcí přímky bou S pltí:, Pole tooto etrojujeme perpektivní obr S bou. N oriontu etrojíme pole bo. N kolmici v tomto boě k oriontu etrojíme bo S pole Ottní boy objektu etrojíme obobně. 6
= =C v S = y, C -- = S p = -- v Průečná meto obrení bou Ke kontrukci můžeme tké využít úběžníky přímek rovnoběžnýc půorynou. Ty leží n oriontu. V Mongeově promítání muí tké ležet n oriontu n rovnoběžkác e těnmi objektu, jejicž oučátí jou ony rovnoběžné rny. ) STOPNÍKOVÁ METO Pomocným obrením je e tké Mongeov projekce. Půory všk bue umítěn n oou y náry po ní. Objekt umíťujeme n rovinu rovnoběžnou průmětnu totožňujeme nárynou. Stře promítání S oriont volíme tk, by opovíli výšce poorovtele. by e náry objektu nepřekrývl perpektivním obrem objektu, pouneme náry ve měru oy y otočíme o o průčelné poloy. Tím i půory náry v Mongeově promítání neopovíjí, le náry má poue pomocnou funkci. Půory umíťujeme nvíc tk, by poň jeen e topníků rn objektu ležel v nákreně. 7
N N y, =S = n S Zobrovný kvár ný v Mongeově promítání N N y, n S Zání kváru uprvené pro topníkovou metou o leží npř. n přímce, která je rovnoběžná půorynou, proto tké jeo perpektivní obr S leží n přímce S. Náry přímky muí být tey rovnoběžný oou y. Náryný topník N přímky leží v náryně (tey i v průmětně lineární perpektivy) proto 8
plývá e vým třeovým průmětem. Náry N nárynéo topníku N muí ležet n náryu přímky. Úběžník přímky muí ležet v průmětně. Tey její půory úběžníku leží n oe y náry leží n oriontu. Střeový průmět S bou leží n přímce N. Jeo polou jitíme tk, že promítneme e třeu S bo n rovinu, tím íkáme bo S. N orinále tooto bou muí ležet bo S. y, N N n S rčení perpektivnío obru S bou y, N N n S Zobrení celéo objektu v lineární perpektivě topníkovou metoou 9
Protože většinou umíťujeme obrovné těleo n půorynu roměry obrovnéo těle náme, míto klické topníkové metoy používáme tv. topníkovou metou be náryu. Při této metoě v uprvené Mongeově projekci náry objektu neobrujeme. 0
VOLNÁ PERSPEKTIV Při obrování objektů volnou perpektivou používáme poue protřeky třeovéo promítání uprvenéo pro lineární perpektivu. Nejříve i uveeme některé kontrukce, které e ve volné perpektivě používjí vycáejí právě e třeovéo promítání.. Úečk leží v áklní rovině Nneení úečky né élky ) Poku je přímk, n níž úečk leží, rovnoběžná e áklnicí, pk je rovnoběžná tké průmětnou. Proto velikot jejío prvoúléo průmětu o průmětny je její kutečná velikot. Prvoúle promítcí přímky (kolmé k průmětně) e obrí v perpektivě jko loubkové přímky (mjí polečný lvní bo, který je jejic polečný úběžník). Promítneme-li bou boy S, S n áklnici o boů,, pk. Poku i všk volíme jkýkoliv bo n oriontu (jkýkoliv úběžník), pk élku průmětu úečky tooto úběžníku n je tké kutečnou élkou úečky. b) Není-li úečk rovnoběžná e áklnicí, pk muíme použít tv. ělicí kružnicí. V tkovém přípě muíme mít ný lepoň jeen itnčník, npř. olní itnčník. rčení élky úečky v áklní rovině - ání
Úečk leží n přímce, která protíná oriont v jejím úběžníku. Nyní etrojíme ělící kružnici, která má tře právě v úběžníku přímky poloměr je válenot úběžníku néo olnío itnčníku. Tto kružnice protne oriont v ělícím boě přímky. Z ělícío bou přímky promítneme boy S, S n áklnici o boů,, jejicž válenot je kutečná velikot úečky. ělící bo přímky Příkl: Setrojte čtverec, který leží v áklní rovině je án třeem O vrcolem, v lineární perpektivě (án oriontem, áklnicí olním itnčníkem). O C Čtverec v áklní rovině - ání Protože přímk = O leží v áklní rovině, určíme její ělící bo něj promítneme boy S O S n áklnici. Tk íkáme boy O, jejic válenot je kutečná velikot poloviny élky úlopříčky čtverce. Pro íkání bou C S nejříve určíme bo C, který leží tké n áklnici je třeově ouměrný boem pole O. o C pk promítneme ělícío bou přímky S O S n bo C S.
ruou úlopříčku čtverce (leží n přímce b S ) etrojíme pomocí klopení oborové roviny o průmětny (morá kontrukce). Sklopená přímk () leží n přímce, která procáí jejím úběžníkem olním itnčníkem (příp. orním itnčníkem). Kolmice k () v olním itnčníku je klopená přímk (b). Tto přímk (b) protne oriont v úběžníku přímky b S, tey v úběžníku rué úlopříčky čtverce. Úlopříčk S S muí procáet tímto úběžníkem třeem čtverce O S. oy S, S etrojíme obobně jko bo C S. b b b (b) O O C () O C. Úečk leží n vilé přímce. Čtverec v áklní rovině - řešení Tková přímk je rovnoběžná průmětnou válenot vou boů, n ní je rovn válenoti jejic prvoúlýc průmětů,. P élk úečky n vertikální přímce - ání Prvoúlý průmět třeový průmět bou leží n přímce procáející lvním boem. Poku ončíme průečík přímky e áklní rovinou jko P, pk jeo prvoúlý průmět P leží n áklnici. Prvoúlým průmětem P procáí prvoúlý průmět přímky kolmo k áklnici. N tomto průmětu leží tké prvoúlé průměty, boů,. 3
P P P élk úečky n vertikální přímce - řešení Zvolíme-li i jkýkoliv bo n oriontu promítneme něj bo P S n áklnici, íkáme bo P. Kyž v tomto boě vtyčíme kolmici n ní promítneme boy S, S o boů,, pk velikot úečky je tejná jko kutečná velikot úečky (morá kontrukce). 3. Úečk leží n obecné přímce. Je-li án perpektivní průmět S přímky perpektiv půoryu S přímky (leží n áklní rovině ), pk kutečnou velikot této přímky určíme pomocí ělícío bou přímky. 4 élk úečky n obecné přímce Protože přímk S boy S, S leží n áklní rovině, určíme kutečnou velikot půoryu přímky pomocí ělícío bou jko v otvci b). Jko v otvci. pk muíme nlét velikot úečky (je kolmá k áklní rovině). rčíme průečík (P ) přímky S e áklnicí. V tomto boě veeme kolmici k áklnici n ní pk, průečíku S přímky S oriontem promítneme boy S, S o boů,. Velikot úečky P P jou kutečné velikoti úeček. Velikot úeček, pk nneeme n kolmice n áklnici v boec,. Tím íkáme klopené boy,, jejicž válenot je kutečná velikot úečky.
P élk úečky n obecné přímce řešení Reukce itnce Poku v lineární perpektivě obrujeme nějký objekt, čto e tne, že jeo obr je mlý. Proto, bycom při kontrukci moli využít celou nákrenu obr objektu nebyl příliš mlý, používáme tv. reukci itnce. lvní bo bue třeem tejnoleloti, která bue mít koeficient 0 < k <. Tto tejnolelot převee tře tejnoleloti S n bo S k, bo v protoru n bo k třeový průmět S bou n bo S k. Přičemž bo S k je třeovým průmětem bou k e třeu S k. k k S k S Stejnolelot reukce itnce 5
Příkl: N přímku, která leží v áklní rovině, nnete o bou úečku né élky v. v Nneení élky n úečku (reukce itnce) ání Úběžník přímky leží mimo nákrenu, proto použijeme reukci itnce voným koeficientem tejnoleloti npř. ¼. Stře tejnoleloti je bo v této tejnoleloti etrojíme obry všec objektů v nákreně (áklnici, přímku, bo, ). Poté proveeme běžnou kontrukci této úloy. Setrojíme ělící bo /4 přímky S /4 nneeme n ní o bou S /4 válenot v /4. Tím íkáme n přímce S /4 bo S /4. Tento bo pk nkonec obríme v určené tejnoleloti n přímku S, čímž íkáme lený bo S. v /4 /4 /4 N /4 /4 /4 v/4 /4 /4 /4 /4 N Nneení élky n úečku (reukce itnce) řešení 6
Tuto metou reukci itnce používáme většinou poue n čát ložitější úloy, pro kontrukci ělícíc boů. Příkl: Setrojte perpektivní obr krycle, jejíž potv C leží v rovině. Jou ány vrcoly, této krycle lineární perpektiv je án oriontem, áklnicí itncí. Obr krycle - ání Koeficient tejnoleloti i volíme npř. /3. Pro kontrukci i volíme orní itnčník, který převeeme n /3. Ve tejnoleloti určíme tké ottní né prvky (červená kontrukce). 7
/3 ( ) /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 Obr krycle reukce itnce Pro íkání přímky, která je kolmá k přímce muíme klopit tv. oborovou rovinu, která je rovnoběžná rovinou procáí třeem promítání. Nejříve etrojíme přímku S /3 /3,= ( /3 ) která je vltně klopenou přímkou /3 o oborové roviny, k této přímce etrojíme kolmici v itnčníku, čímž íkáme klopenou přímku (b /3 ). Průečík této přímky oriontem je bo b S /3, což je úběžník přímky obrený v nší tejnoleloti. Tooto úběžníku využijeme k etrojení potvy S /3 S /3C S /3 S /3. Tuto potvu poté pomocí tejnoleloti převeeme n potvu S S C S S (morá kontrukce). 8
/3 ( ) /3 (b ) /3 /3 b /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 b /3 b /3 /3 b /3 Obr krycle boy potvy v reukci itnce rny krycle kolmé n potvu již etrojíme be reukce itnce běžnou kontrukcí. Tyto rny e obrí jko kolmice k áklnici. rnu kolmou k potvě npř. v boě promítneme npř. bou. Tím íkáme n áklnici bo, v němž etrojíme kolmici, n ní nneeme kutečnou élku rny krycle o bou F (kutečnou élku rny krycle určíme v reukci itnce pltí, že pomocí úběžníků rovnoběžnýc rn (elená kontrukce). ). Ottní vrcoly orní potvy etrojíme 9
/3 ( ) /3 (b ) /3 F F E /3 b G /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 v/3 /3 C v b /3 b /3 /3 b b /3 Obr krycle - řešení /3 ( ) /3 (b ) /3 F F E /3 b G /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 v/3 /3 C v b /3 b /3 /3 b b /3 Obr krycle 0
Nyní již můžeme přitoupit k jenotlivým ruům volné perpektivy. Přetím všk muíme ještě volit ouřnicový ytém. Souřné oy prvil umíťujeme tk, by byly rovnoběžné rnmi obrovnéo objektu. JENOÚĚŽNÍKOVÁ (PRŮČELNÁ) PERSPEKTIV Poku oy, 3 volíme tk, by ležely v áklní rovině, o bue k nim ve kutečnoti kolmá, tey v perpektivě bue procáet boem, pk íkáme jenoúběžníkovou perpektivu. Jeiným úběžníkem o je právě lvní bo. 3 S P Oy ouřnic v jenoúběžníkové perpektivě Ou umíťujeme přímo o áklnice volíme n ní počátek outvy ouřnic, kterým procáí o 3 k ní kolmá. íky tomuto umítění o e jenotky n oác, 3 covávjí jenotky n oe e etrojují pomocí prvéo nebo levéo itnčníku. Tkto můžeme etrojit čtvercovou íť, pomocí které můžeme etrojit obr objektu. 3 l P = Čtvercová íť v jenoúběžníkové perpektivě V této perpektivě e obrují objekty, které jou v průčelné poloe, proto e jí tké říká průčelná perpektiv. Nejčtěji e v jenoúběžníkové perpektivě obrují npř. interiéry bytů.
VOJÚĚŽNÍKOVÁ (NÁROŽNÍ) PERSPEKTIV této perpektivy je o 3 tké umítěn o průmětny, oy, leží v áklní rovině, le již ni jen neleží v průmětně. Proto tyto oy mjí vé v úběžníky, proto vojúběžníková perpektiv. 3 S P Oy ouřnic v ojúběžníkové perpektivě V této perpektivě e čto obrují velké objekty, npř. omy, ulice, t., které jou v tv. nárožní poloe, too tké vnikl náev nárožní perpektiv.
3 P Jenotky n oác v vojúběžníkové perpektivě Poku i v nárožní perpektivě obríme čtvercovou íť, můžeme o ní krelit obrovný objekt. 3 P Čtvercová íť v vojúběžníkové perpektivě Severočeké mueum 3
PERSPEKTIV KRŽNICE Ve třeovém promítání e kružnice obrí n elipu, prbolu nebo yperbolu, pole too v jké kuželoečce protne průmětn promítcí kužel kružnice vrcolem ve třeu promítání. Protože všk v lineární perpektivě muí ležet kružnice uvnitř ornéo kužele, pk promítcí kužel této kružnice protne průmětn buď v elipe nebo v kružnici. K obrení kružnice v perpektivě nejčtěji opiujeme kružnici v čtverce, které jou vájemně otočené o 45. Tyto čtverce v perpektivě obríme obr kružnice (elipu) o nic vepíšeme. G C S F E Kružnice vepná věm čtvercům Poku kružnice leží ve voorovné rovině, npř. přímo v áklní rovině, pk čtverce volíme pro jenoucot kontrukce tk, by trn jenoo čtverce byl rovnoběžná e áklnicí. Pk trny obou čtverců jou buď průčelné, nebo loubkové přímky. r l G C r O E r O O F O OF Setrojení kružnice, je-li án její tře O poloměr r. 4
Je-li kružnice ve vilé rovině, pk top úběžnice této roviny jou kolmé n áklnici. Tentokrát volíme trnu jenoo čtverce tk, by byl rovnoběžná e áklní rovinou. Přímk p, která procáí třeem kružnice (ten neleží v ), je tké rovnoběžná. Prvoúlý průmět přímky p S o áklní roviny je p S. G C p O O F p p E Kružnice ve vilé rovině - ání Z ělícío bou p přímky p, promítneme tře kružnice O S o bou O n áklnici. O tooto bou již můžeme nnét kutečný poloměr kružnice, či jiné voné válenoti. Vniklé boy n áklnici promítneme bou p pět n přímku p S pk o přeneeme (pomocí kolmice k ) n přímku p S. Tkto íkáme lší bo nejen n kružnici, le tké n opném čtverci. G C n O p p p p u O F O F E O r FO F Kružnice ve vilé rovině nneení élky n loubkové přímky 5
6 Přímky, které jou vájemně rovnoběžné jou kolmé n průmětnu, mjí polečný úběžník (tejný přímkou p). Jejic kutečnou válenot nnášíme n topě vilé roviny tk, že promítneme úběžníku přímky p tře kružnice O o něj nneeme kutečnou válenot lenýc přímek n topu roviny. C E F G O n u O p p p r GO Kružnice ve vilé rovině nneení élky n vertikální přímky C E F G O n u O C E F G p p O F O F p p r Kružnice ve vilé rovině - řešení Ve vilé rovině e všk většinou neobrují celé kružnice, le poue jejic čáti (půlkružnice, oblouky v oobnýc štítec omů, t.). M. leš Lunety v jíárně Pržkéo ru
ZORZENÍ KŘIVEK POMOCÍ PERSPEKTIVNÍ SÍTĚ Poku cceme obrit nějkou neprvielnou křivku, nebo nějký ložitější půory objektu, pk e používá tv. grtikoláž. Křivku v tkovém přípě překryjeme ottečně utou čtvercovou ítí. Tuto íť v perpektivě obríme boově pk určíme obr lené křivky. l TROJÚĚŽNÍKOVÁ PERSPEKTIV (PERSPEKTIVNÍ XONOMETRIE) Poku cceme obrovt kompley buov, námětí po., pk uveené metoy neveou k upokojivému výleky. Zobrovné objekty e překrývjí obráek není náorný. Proto v tkovýc přípec volíme průmětnu šikmou vůči áklní rovině. Zobrovný objekt opět umítíme n áklní rovinu určíme mu ouřnicový ytém. Počátek outvy ouřnic volíme v áklní rovině, tejně jko oy žáná nic není rovnoběžná průmětnou. O 3 je kolmá k áklní rovině. 3 3 N S P N P 3 N 3 Průmětn oy v trojúběžníkové perpektivě 7
Protože průmětn není kolmá k áklní rovině, lvní bo neleží n oriontu oriont je průečnice průmětny oborovou rovinou. Stopníky N, N, 3 N o tvoří tv. topníkový trojúelník jejic úběžníky,, 3 tvoří úběžníkový trojúelník. oriont je přímk pojující úběžníky, ( = ). Jk víme prvoúlé onometrie, tk trojúelník N N 3 N je otroúlý průečík jeo výšek je prvoúlý počátek outvy ouřnic P. Úběžníkový trojúelník 3 je tké otroúlý průečíkem jeo výšek je lvní bo. Opovíjící i rny úběžníkovéo topníkovéo trojúelník jou vájemně rovnoběžné, tey opovíjí i v nějké tejnoleloti. Střeem tejnoleloti je třeový průmět P S počátku outvy ouřnic P (pojnice opovíjícíc i boů jím procáejí). Nyní i ukážeme, jk vypá trojúběžníková perpektiv přiruženéo ouřnéo ytému. Nejříve i volíme v tejnolelé otroúlé trojúelníky N N 3 N, 3. Průečík výšek v úběžníkovém trojúelníku je lvní bo. 3N 3 P N 3 N 3 Stopníkový úběžníkový trojúelník Válenot lvnío bou o průmětny je itnce, kterou určíme jko v prvoúlé onometrii klopením prvoúle promítcí roviny npř. přímky 3 o průmětny. Známe-li itnci, můžeme etrojit itnční kružnici. 8
3N k 3 (S) P N 3 N 3 itnce itnční kružnice Průečík přímek N, N, 3 3 N je bo P S (tře tejnoleloti). žitím ělící kružnice nnášíme jenotlivé jenotky n oy. Npř. pro ou klopíme přímku o průmětny ělící kružnice je kružnice e třeem poloměrem [S]. o [S] leží n itnční kružnici n kolmici k, boem N veeme rovnoběžku [S]. N tuto rovnoběžku promítneme bo P S o bou P. Poté o P vyneeme n tuto rovnoběžku kutečnou élku jenotek. Tyto jenotlivé jenotky n oác pětně promítneme n ou bou [S]. 9
3 N [S] 3 k P N 3 N 3 P rčení jenotek n oác Nkonec etrojíme čtvercovou íť o ní obríme ný objekt. 3N 3 k P N 3 N 3 Čtvercová íť v trojúběžníkové perpektivě 30
Trojúběžníkovou perpektivu můžeme použít tké v přípě, že obrovný objekt je án ruženými obry v Mongeově promítání. V tkovém přípě všk průmětn není vilá. Pro jenoucot i objekt volíme tojící n půoryně (áklní rovině) průmětnu kolmou k náryně. Stře promítání i volíme tk, by objekt byl v orném poli. n S y, S p Trojúběžníková perpektiv - ání 3
oriont je přímk v průmětně, ležící v rovině rovnoběžné půorynou procáející třeem promítání ( y,, n ). lvní bo je pt kolmice puštěné e třeu promítání n průmětnu. ále i určíme ružené průměty úběžníků,, 3. Úběžníky leží n průmětně n přímkác procáejícíc třeem promítání, které jou rovnoběžné nvájem kolmými rnmi těle ({, }, 3 n ). K určení perpektivníc obrů boů bueme používt rovinu (rep. její průečnici r průmětnou), která je kolmá k půoryně procáí třeem promítání (r p S r ). Průečnici r bueme používt k nnášení válenotí n perpektivní obráek. N perpektivním obráku určíme áklnici. Válenot oriontu o áklnice oečteme n náryné topě průmětny (je to válenot přímek, ). Poté libovolně volíme přímku r S, která je kolmá k oriontu. Poté určíme úběžníky,, 3 ( úběžník pltí obobná ituce. Úběžník 3 leží přímo n přímce r S oriontu oečteme n náryné topě průmětny ( ). ), pro jeo válenot o Nyní již můžeme obrit bo npř. bo S. Spojnice S protne půorynou topu průmětny v boě. Jeo válenot o přímky r je tejná jko válenot bou S o přímky r S n perpektivním obráku (bo S leží n áklnici). Spojnice S protne nárynou topu průmětny v boě. Válenot bou o je válenot bou S o áklnice. o S muí tké ležet n přímce S3. K určení bou můžeme využít tké bývjící úběžníky, muíme tomu všk připůobit vynášený bo n áklnici. Ottní boy vynášíme obobným půobem. Tké můžeme využít úběžníky rovnoběžnýc rn. 3
n v(, ) v(r, 3 ) 3 S v(, ) y, v(,r ) v(r, ) S p =r v(r, ) p = 3 v(r, 3 ) v(r, ) v(r, ) v(, ) v(, ) r v(,r ) Trojúběžníková perpektiv obrení bou 3 r Trojúběžníková perpektiv - řešení 33