Analytická geometrie v rovině

Transkript

1 nltická geometrie v rovině Souřdnicová soustv v rovině Zvolme v rovině dvě nvájem kolmé přímk číselné os. růsečík O těchto přímek nveme počátek souřdnic. Vodorovnou přímku ončíme osou svislou ončíme osou orientujeme je tk že vžd jednu polopřímek n osách s počátkem O prohlásíme kldnou poloosu druhou ápornou poloosu. Zvolíme-li n vájemně kolmých osách růné jednotkové úsečk mluvíme o prvoúhlé souřdnicové soustvě. Zvolíme-li n obou osách stejnou jednotku délk mluvíme o krtéské souřdnicové soustvě. Krtéské souřdnice v rovině. Kždému bodu v rovině přiřujeme v prvoúhlé souřdnicové soustvě uspořádnou dvojici reálných čísel tv. prvoúhlých souřdnic bodu tkto obr. : odem vedeme kolmici k ose její průsečík s osou je n této číselné ose přiřen reálnému číslu které nýváme první -ovou souřdnicí bodu v dné souřdnicové soustvě. odem vedeme kolmici k ose její průsečík s osou je n této číselné ose přiřen reálnému číslu které nýváme druhou -ovou souřdnicí bodu v dné souřdnicové soustvě. Souřdnice bodu v krtéské souřdnicové soustvě se nývjí krtéské souřdnice. 0 Obr. Tímto působem je bodu jednončně přiřen uspořádná dvojice což pisujeme. Zvedením souřdnicové soustv v rovině jsme sestrojili prosté obrení množin bodů rovin n množinu R R. Množinu všech uspořádných dvojic reálných čísel budeme nývt dvojroměrným prostorem nebo rovinou. Je-li v rovině jkožto dvojroměrném prostoru definován pro kždé dvod jejich vdálenost přičemž pltí právě kdž 3 4 C C tv. trojúhelníková nerovnost pk se tento dvojroměrný prostor nývá metrický. Je-li vdálenost bodů definován vorcem budeme dvojroměrný metrický prostor nývt dvojroměrným euklidovským prostorem. Znčíme jej E. Obdobně b se definovl víceroměrný euklidovský prostor En. V následujícím tetu budeme uvžovt poue euklidovské prostor. Kromě krtéské souřdnicové soustv používáme v prostoru E ještě dlší souřdnicovou soustvu. Je to polární souřdnicová soustv.

2 olární souřdnice v rovině. olárními souřdnicemi bodu v rovině roumíme uspořádnou dvojici čísel r přiřených jednončně bodu tk že r je délk úsečk O 0 je úhel který svírá polopřímk O s kldnou částí os. Je-li bod dný krtéskými souřdnicemi jsou-li r jeho polární souřdnice pk pltí mei těmito souřdnicemi vth r cos nebo nopk r tg. rsin r 0 Obr. Rovnice rovinné čár přímk v rovině Implicitní rovnicí rovinné čár roumíme rovnici tvru F které vhovují bod ležící n uvžovné rovinné čáře. okud le v této rovnici osmosttnit proměnnou ískáme eplicitní vjádření rovinné čár ve tvru f. rmetrickými rovnicemi rovinné čár roumíme rovnice tvru t t kde t b přičemž uvedeným rovnicím vhovují t bod t t které leží n uvžovné rovinné čáře. roměnnou t nýváme prmetrem. římk Obecná rovnice přímk. římku p v rovině E je možné vjádřit rovnicí tvru c kde b c jsou vhodné konstnt. řitom vektor n b je kolmý k přímce p nýváme ho normálovým vektorem této přímk. Kždý vektor s který je kolmý k normálovému vektoru se nývá směrový vektor přímk. Je to vektor rovnoběžný s dnou přímkou p. Jestliže normálový vektor n b má kždý směrový vektor tvr s kb k kde k 0 je libovolné číslo. směrnicový tvr přímk : k q kde k tg se nývá směrnice přímk úsekový tvr přímk : kde p 0 je úsek vťtý přímkou n ose q 0 je úsek vťtý přímkou n p q ose rmetrické rovnice přímk. římk jdoucí bodem rovnoběžně se směrovým vektorem s s s s s kde t je prmetr. má prmetrické rovnice

3 3 Úhel dvou přímek. Dvě přímk o rovnicích b c b c 0 svírjí úhl pltí vth n. n bb cos. n. n Vájemná poloh dvou přímek. Dvě přímk o rovnicích b c b c 0 jsou rovnoběžné právě kdž pro jejich normálové vektor pltí n kn nvíc c kc jsou tto přímk totožné růnoběžné právě kdž pro jejich normálové vektor pltí n kn ; jsou tto přímk n sebe kolmé. kde k 0 je vhodná konstnt; pokud pokud nvíc sklární součin n. n Vdálenost bodu od přímk. b c ro vdálenost d bodu od přímk o rovnici c 0 pltí d 0. 3 Křivk druhého stupně kuželosečk Křivkou druhého stupně kuželosečkou nýváme rovinnou křivku jejíž rovnici le psát ve tvru 0 kde ij jsou reálná čísl Kružnice. Kružnice je geometrické místo bodů dále jen g.m. v rovině které mjí od pevného bodu S střed kružnice stále stejnou vdálenost r poloměr kružnice. Kružnice se středem S m n poloměrem r má : obecnou rovnici prmetrické rovnice m n r m n r. cost r. sint kde t. Elips. Elips je g.m. bodů v rovině které mjí od dvou pevných bodů F F ohnisk stále stejný součet vdáleností. Elips se středem S m n osmi rovnoběžnými se souřdnicovými osmi má : m n obecnou rovnici prmetrické rovnice m. cost n b. sint kde t. je délk hlvní vedlejší poloos Hperbol. Hperbol je g.m. bodů v rovině které mjí od dvou pevných bodů F F ohnisk stále stejný rodíl vdáleností. Hperbol se středem S m n osmi ležícími n souřdnicových osách má : m n obecnou rovnici je délk hlvní vedlejší poloos rbol. rbol je g.m. bodů v rovině které mjí od pevného bodu F ohnisk od pevné přímk d řídící přímk stále stejnou vdálenost. rbol s vrcholem v bodě V m n osu rovnoběžnou s osou popř. má obecnou rovnici n p m popř. m p n

4 4 nltická geometrie v prostoru Souřdnicová soustv v prostoru Zvolme soustvu tří os v prostoru nvájem kolmých procháejících bodem O který nveme počátkem souřdnicové soustv. Řekneme že tto soustv je prvotočivá v prostoru E 3 jsou-li jednotlivé os orientován tk že poorujeme-li os některého bodu kldné části os musel kldná část os opst úhel proti směru otáčení hodinových ručiček b poprvé splnul s kldnou částí os obr. 3; při áměně os b vnikl levotočivá souřdnicová soustv. Kždé dvě e souřdnicových os tvoří jednu e tří souřdnicových rovin to které dělí celý prostor E 3 n osm stejných částí nývných oktnt. Zvolme dále n kldných částech všech tří os jednotk délk. Jsou-li tto jednotk n všech třech osách stejné mluvíme o krtéské souřdnicové soustvě v opčném přípdě o prvoúhlé souřdnicové soustvě. Kždému bodu v prostoru E 3 přiřujeme v krtéské souřdnicové soustvě uspořádnou trojici reálných čísel tv. krtéských souřdnic bodu vi obr. 3. Vdálenost bodů v prostoru E 3 je určen vthem. 0 Obr. 3 Kromě krtéských souřdnic v prostoru E 3 používáme ještě dlší souřdnicové soustv. Je to především clindrická válcová soustv souřdnic. Clindrické válcové souřdnice v prostoru. Mějme dánu krtéskou souřdnicovou soustvu libovolný bod jeho kolmý průmět 0 do rovin. Clindrickými souřdnicemi bodu v prostoru E 3 roumíme uspořádnou trojici čísel r přiřených jednončně bodu tk že r je délk úsečk O 0 0 je úhel o který se musí otočit kldná část os proti směru hodinových ručiček b splnul s polopřímkou O 0 ted dvojice r vjdřuje polární souřdnice bodu 0 v rovině je třetí souřdnice bodu v dné krtéské souřdnicové soustvě. odům ležícím n ose přiřujeme libovolně volený úhel. Mei krtéskými souřdnicemi bodu jeho clindrickými souřdnicemi pltí vth r cos r sin nebo obráceně r tg. 0 r 0 Obr. 4

5 5 Rovnice ploch rovin prostorové čár přímk v prostoru Implicitní rovnicí ploch S roumíme rovnici tvru F které vhovují bod ležící n uvžovné ploše. okud le v této rovnici osmosttnit proměnnou ískáme eplicitní vjádření ploch ve tvru f. rmetrickými rovnicemi ploch S roumíme rovnice : f u v f u v f3 u v v nichž funkce f f f3 jsou definován ve všech bodech určitého dvojroměrného oboru. Množinu všech bodů f u v f u v f3 u v kde u v nýváme prostorovou plochou dnou prmetrick ý- mi rovnicemi. roměnné u v nýváme prmetr. Implicitní rovnice prostorové čár. Nechť dvě ploch o rovnicích F G 0 se protínjí v prostorové čáře L. k říkáme že prostorová čár L je určen těmito rovnicemi ploch tto rovnice nýváme implicitními rovnicemi prostorové čár L. rmetrické rovnice prostorové čár. Nechť jsou dán tři rovnice f t f t f 3 t kde funkce f f f3 jsou spojité pro t b. Množinu všech bodů f t f t f3 t pro t b v prostoru nýváme prostorovou črou dnou prmetrickými rovnicemi. roměnnou t nýváme prmetr. růsečík dné čár s dnou plochou jsou t bod které vhovují součsně rovnicím ploch i čár. Njdeme je jko společné řešení všech těchto rovnic. Rovin Rovnice rovin. Rovin procháející bodem kolmo k nenulovému vektoru n b c b c 0. Uvedenou rovnici nýváme obecnou rovnici rovin. má rovnici rmetrické rovnice rovin. Rovin procháející bodem která je rovnoběžná se dvěm lineárně neávislými vektor s b c s b c má prmetrické rovnice: u v b u bv cu cv kde uv jsou prmetr. Vektor s s nýváme směrové vektor rovin. Rovin která je určená třemi bod C neležícími n přímce má rovnici C C C 0. C C C Vtíná-li rovin n souřdnicových osách úsek p q r růné od nul můžeme ji vjádřit v tv. úsekovém tvru. p q r

6 6 Úhel dvou rovin. Rovin b c d 0 b c d 0 svírjí úhl přičemž pltí n. n bb cc cos n n b c b c kde n b n b jsou normálové vektor obou rovin. c c Vdálenost bodu od rovin. Vdálenost v bodu od rovin c d 0 je dán vorcem v b b c c d. Vájemná poloh dvou rovin. Rovin b c d 0 b c d 0 jsou rovnoběžné právě kdž jejich normálové vektor jsou lineárně ávislé ted právě kdž je k b kb c kc kde k 0 je vhodné číslo; pokud nvíc pltí d kd jde o rovin splývjící růnoběžné právě kdž jejich normálové vektor jsou lineárně neávislé ted právě kdž je n kn ; pokud nvíc pltí n jsou dné rovin vájemně kolmé.. n římk rmetrické rovnice přímk. římk p která procháí bodem je rovnoběžná s nenulovým vektorem s s s s3 prmetrické rovnice s s s 3 kde t je prmetr. Vektor s nýváme směrovým vektorem přímk p proměnnou t jejím prmetrem. má římk jko průsečnice dvou rovin. římk dná jko průsečnice dvou růnoběžných rovin b c d b c d 0 má implicitní rovnice b c d b c d 0. ro směrový vektor s i j k tkto dné přímk pltí s n n c. b c Knonické rovnice přímk. římku p která je určená bodem směrovým vektorem s s s s3 není rovn nule je možné vjádřit pomocí knonických rovnic. s s s3 jehož žádná souřdnice Vájemná poloh dvou přímek. Dvě přímk p q dné svými prmetrickými rovnicemi p : q : b b c c

7 7 jsou rovnoběžné právě kdž jejich směrové vektor jsou lineárně ávislé ted právě kdž pltí s k k růnoběžné právě kdž sq ks p determinnt b c c q s p kde 3 mimoběžné právě kdž sq ks p determinnt c b c okud nvíc v bodech 3 pltí s p s. q jsou přímk p q n sebe kolmé. Vájemná poloh přímk rovin. římk p rovin jsou rovnoběžné právě kdž s p.n 0; pokud nvíc po dosení prmetrických rovnic přímk p do obecné rovnice rovin dostneme identitu leží přímk p v rovině mjí jediný společný bod právě kdž s p.n 0; pokud nvíc vektor s p n jsou lineárně ávislé je přímk p kolmá k rovině. Úhel přímk s rovinou. Úhlem přímk p s rovinou roumíme úhel 0 který svírá přímk p její prvoúhlý průmět do n. s p rovin. ltí sin kde n je normálový vektor rovin s p je směrový vektor přímk p. n s p loch druhého stupně loch jejichž rovnici le psát ve tvru kde ij i j 34 jsou dná reálná čísl přičemž se nývjí ploch druhého stupně neboli kvdrik. loch válcové. Válcovou plochou roumíme plochu vtvořenou pohbující se přímkou která protíná dnou křivku je stále rovnoběžná s dným vektorem. Tuto přímku nýváme vtvořující přímkou nebo površkou dnou křivku řídící křivkou válcové ploch. Jestliže vtvořující přímk je kolmá k rovině řídící křivk mluvíme o přímé válcové ploše svírá-li s ní jiný úhel jde o šikmou válcovou plochu. Npř. přímá válcová ploch s řídící křivkou F 0 má rovnici F 0. Konkrétně přímá válcová ploch o rovnici má řídící křivku elipsu o stejné rovnici ležící v rovině 0 vtvořující přímk jsou rovnoběžné s osou. Je-li jde o přímou kruhovou válcovou plochu pro jde o přímou eliptickou válcovou plochu Obr. 5.

8 8 Obr. 5 římá válcová ploch hperbolická má rovnici její řídící křivkou je hperbol o stejné rovnici v rovině 0. římá válcová ploch prbolická má rovnici p její řídící křivkou je prbol o stejné rovnici v rovině 0. loch kuželové. Kuželovou plochou roumíme plochu vtvořenou pohbující se přímkou která protíná řídící křivkou procháí dným bodem V vným vrcholem. Je-li řídící křivk středově souměrná podle bodu S přímk procháející bod S V je kolmá k rovině řídící křivk mluvíme o přímé kuželové ploše svírá-li s ní jiný úhel jde o šikmou kuželovou plochu. Npříkld přímý kužel eliptický který má vrchol v počátku O jehož řídící křivkou je elips v rovině c má rovnici 0. c Obr. 6 Elipsoid. loch o rovnici se nývá elipsoid Obr. 7. Její střed leží v počátku O. c Rolišujeme tto tp elipsoidů: trojosý kdž poloos b c mjí růnou délku b rotční kdž dvě poloos jsou stejně dlouhé c kulová ploch kdž c.

9 9 Obr. 7 Vlstnosti elipsoidu: Elipsoid je ohrničená ploch jeho průsečík s osmi souřdnic jsou vrchol elipsoidu. Souřdnicové rovin jsou rovinmi souměrnosti počátek O je středem souměrnosti elipsoidu. 3 Rovin protínjící elipsoid jej protíná v elipse popř. v kružnici. Hperboloid. loch o rovnici c se nývá jednodílný hperboloid Obr. 8. loch o rovnici c se nývá dvojdílný hperboloid Obr. 8b. Obr. 8 Obr. 8b Vlstnosti hperboloidu: Hperboloid jsou neohrničené ploch. Souřdnicové rovin jsou rovinmi souměrnosti počátek O je středem souměrnosti hperboloidu. 3 Rovin k procháející osou protínjí hperboloid v hperbolách rovin k k R v elipsách u dvojdílného hperboloidu jsou tto elips reálné mjí-li tto rovin od rovin vdálenost větší než c. 4 ro dostneme rotční hperboloid s osou rotce v ose. Ře kolmé n osu jsou kružnice. rboloid. loch určená rovnicí se nývá eliptický prboloid Obr. 9. loch určená rovnicí se nývá hperbolický prboloid Obr. 9b.

10 0 Obr. 9 Obr. 9b Vlstnosti eliptického prboloidu: Ře rovinmi k R jsou elips. Ře rovinmi k R jsou prbol. 3 Ře rovinmi k R jsou prbol. 4 ro dostneme rotční prboloid. Vlstnosti hperbolického prboloidu: Ře rovinmi k 0 k R jsou hperbol ře rovinou 0 tvoří dvě přímk. Ře rovinmi k R jsou prbol. 3 Ře rovinmi k R jsou prbol. Jestliže v rovnicích popsných kvdrik bude místo postupně dostneme rovnice 0 0 ploch se středem posunutým počátku O do bodu s osmi rovnoběžnými se souřdnicovými osmi Mei kvdrik ptří tké ploch o rovnici: což jsou dvě růnoběžné rovin 0 0 což jsou dvě rovnoběžné rovin 3 což je tv. dvojná rovin 0. Kvdrik ted ploch. stupně rodělujeme buď n regulární elipsoid hperboloid prboloid singulární válcové kuželové ploch dvojice rovin nebo n středové elipsoid hperboloid kuželové ploch nestředové prboloid válcové ploch dvojice rovin.