MI-AAK(Aritmetika a kódy) Cyklickékódy c doc. Ing. Alois Pluháček, CSc., 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha& EU: Investujeme do vaší budoucnosti
K3. Cyklickékódy mnohočleny, reprezentace slov, chyby a shluky chyb kódy generované mnohočlenem 1. typ násobení mnohočlenů syndrom chyb dělení mnohočlenů dělitelnost a stupeň mnohočlenů a jejich kongruence detekce shluků chyb kódy generované mnohočlenem a lineární kódy kódy generované mnohočlenem 2. typ cyklické kódy konečná tělesa kořeny mnohočlenu minimální mnohočleny Hammingovy kódy mnohočleny x i 1 MI-AAK c A. Pluháček 2011
mnohočleny mnohočleny nad tělesem GF(2): Příklad: C(x)=c n 1 x n 1 + +c 1 x+c 0 c i GF(2) x? xjeneznámá (doslova!) mnohočleny stupně < n: vektorový/lineární prostor (ale bez skalárního součinu) izomorfní s prostorem uspořádaných ntic: c n 1 x n 1 + +c 0 (c n 1,..., c 0 ) př.: n=7 x 5 +x 3 +x+1 0101011 izomorfie jen: součet & násobení skalárem mnohočleny: násobení a dělení mnohočlenů obv. postup analogie s okruhem celých čísel dělitelnost MI-AAK K3 1 c A. Pluháček 2011
reprezentace slov a=(a k 1,...,a 0 ) A(x)=a k 1 x k 1 + +a 0 b=(b n 1,...,b 0 ) B(x)=b n 1 x n 1 + +b 0... a A(x) k bitů původní informace b B(x) nbitů vyslanádata kódovéslovo e E(x) nbitů chyby(chybovéslovo) c C(x) nbitů čtenádata slovo příklad: n=7 b=0101100 B(x)=x 5 +x 3 +x 2 = =0 x 6 +1 x 5 +0 x 4 +1 x 3 +1 x 2 +0 x 1 +0 x 0 blzetedypovažovatzajinouformuzápisu B(x) uvědomíme si: uspořádaná n-tice mnohočlen stupně n 1 < n MI-AAK K3 2 c A. Pluháček 2011
chyby a shluky chyb b+e=c B(x)+E(x)=C(x) shluk chyb E(x) E(x)=E (x) x j & x E (x) E (x) e = E (x) x j e j,kde joznačujeposuvojmístvlevo E (x) e tvarshlukuchyb j poziceshlukuchyb deg E (x)+1 délkashlukuchyb deg E (x)označujestupeňmnohočlenu E (x) příklad: E(x) 0101100... shlukchybdélky4 E (x) 1011 j=2 deg E (x)=3 MI-AAK K3 3 c A. Pluháček 2011
kódy generované mnohočlenem 1. typ B(x)=A(x) G(x) G(x)=g r x r + +g 0 generovacímnohočlen x G(x) g 0 0 Proč? n=maxdeg B(x)+1 k =maxdeg A(x)+1 n=k+r r =deg G(x) deg G(x)... redundance(nadbytečnost) příklad: G(x)=x 3 +x+1 a=1010 A(x)=x 3 +x B(x)=A(x) G(x)=x 6 +x 3 +x 2 +x b=1001110 MI-AAK K3 4 c A. Pluháček 2011
násobení mnohočlenů příklad: B(x)=G(x) A(x)=(x 3 +x+1) (x 3 +x) 1 x 6 +0 x 5 +1 x 4 +1 x 3 G(x) x 3 0 x 5 +0 x 4 +0 x 3 +0 x 2 G(x) 0 1 x 4 +0 x 3 +1 x 2 +1 x 1 G(x) x 0 x 3 +0 x 2 +0 x 1 +0 x 0 G(x) 0 1 x 6 +0 x 5 +0 x 4 +1 x 3 +1 x 2 +1 x 1 +0 x 0 = B(x) zkrácenýzápis : 1011 1010 (zde neoznačujeskalárnísoučin!!!) 1011 0000 1011 0000 1001110 b=g a MI-AAK K3 5 c A. Pluháček 2011
B(x)=G(x) A(x) násobení mnohočlenů ii G(x)=g 3 x 3 + +g 0 = x 3 +x+1 předchozí příklad: 1011 1010 1011 0000 1011 0000 1001110 b klopný obvod typud MI-AAK K3 6 c A. Pluháček 2011
B(x)=G(x) A(x) násobení mnohočlenů iii G(x)=g 3 x 3 + +g 0 = x 3 +x+1 předchozí příklad: 1011 1010 1011 0000 1011 0000 1001110 b MI-AAK K3 7 c A. Pluháček 2011
syndrom chyb kód generovaný mnohočlenem: B(x) = A(x) G(x) G(x) B(x) B(x)%G(x)=0 (% označuje zbytek po dělení) B(x)+E(x)=C(x) E(x)=0 C(x)%G(x)=0 S(x)=C(x)%G(x) syndromchyb! S(x)=0 C(x) kódovéslovo S(x)=C(x)%G(x)=[B(x)+E(x)]%G(x)= = B(x)%G(x)+E(x)%G(x)= =0+E(x)%G(x)= = E(x)%G(x) syndrom závisí pouze na chybách MI-AAK K3 8 c A. Pluháček 2011
dělení mnohočlenů příklad: C(x)=x 6 +x 2 +x dělenec G(x)=x 3 +x+1 dělitel 1 x 6 + 0 x 5 +0 x 4 +0 x 3 +1 x 2 +1 x 1 +0 x 0 = 1 x 3 1 x 6 + 0 x 5 +1 x 4 +1 x 3 0 x 5 + 1 x 4 +1 x 3 +1 x 2 = 0 x 2 0 x 5 + 0 x 4 +0 x 3 +0 x 2 1 x 4 + 1 x 3 +1 x 2 +1 x 1 = 1 x 1 1 x 4 + 0 x 3 +1 x 2 +1 x 1 1 x 3 + 0 x 2 +0 x 1 +0 x 0 = 1 x 0 1 x 3 + 0 x 2 +1 x 1 +1 x 0 0 x 2 + 1 x 1 +1 x 0 zbytek C(x)%G(x) = x+1 podíl C(x) G(x) = x 3 +x+1 MI-AAK K3 9 c A. Pluháček 2011
dělení mnohočlenů ii zkrácenýzápis : 1000110:1011=1011 1011 0 0111 0000 0 1111 1011 0 1000 1011 0 011 6543210 C(x) 1000110 G(x) 1011 C(x) G(x) 1011 C(x)%G(x) 011 výstup: nejprve C(x) G(x) potom C(x)%G(x) MI-AAK K3 10 c A. Pluháček 2011
dělitelnost a stupeň mnohočlenů označení: P(x) Q(x) podíl P(x)%Q(x) zbytek P(x)%Q(x)=0 Q(x) P(x) Q(x) P(x) deg P(x) stupeňmnohočlenu P(x) deg0= (???deg0= 1???) deg(p(x)+q(x)) max(deg P(x),deg Q(x)) deg(p(x) Q(x)) = deg P(x)+deg Q(x) deg(p(x)%q(x)) < deg Q(x) Q(x) 0 deg(p(x) Q(x)) = deg P(x) deg Q(x) Q(x) 0 Q(x) P(x) X(x) P(x)=Q(x) X(x) Q(x)jedělitelem P(x) MI-AAK K3 11 c A. Pluháček 2011
dělitelnost a stupeň mnohočlenů ii nerozložitelný(ireducibilní) mnohočlen(polynom) P(x): nemájinédělitelenež1ap(x)ajejichskalárnínásobky obdoba prvočísel polynom Q(x) lze rozložit na prvočinitele prvočinitel = nerozložitelný mnohočlen rozklad na prvočinitele je jednoznačný (až na skalární násobky) příklad: x 7 +1=(x 3 +x 2 +1) (x 3 +x+1) (x+1) MI-AAK K3 12 c A. Pluháček 2011
kongruence mnohočlenů ( K(x)) P(x)=Q(x)+M(x) K(x) P(x) Q(x) mod M(x) Mnohočleny P(x)aQ(x)jsou kongruentní modulo M(x). P(x) Q(x)mod M(x) P(x)%M(x)=Q(x)%M(x) Kongruence je relace reflexivní, symetrická a tranzitivní. P(x) Q(x)&U(x) V(x) P(x)+U(x) Q(x)+V(x) P(x) U(x) Q(x) V(x) P(x)+X(x) Q(x)+X(x) P(x) X(x) Q(x) X(x) mod M(x) MI-AAK K3 13 c A. Pluháček 2011
detekce shluků chyb shlukchyb E(x): E(x)=E (x) x j & x E (x) E (x) tvarshlukuchyb L=deg E (x)+1 délkashlukuchyb detekcechyb: S(x)=E(x)%G(x) 0? x G(x) = x j nemávliv E (x)%g(x)=0? E (x) 0 deg E (x) <deg G(x) } = E (x)%g(x) 0 Lze tedy zjistit všechny shluky chyb délky L r=deg G(x). příklad: G(x)=x 16 +1 = L 16 MI-AAK K3 14 c A. Pluháček 2011
kódy generované mnohočlenem a lineární kódy A(x)=a k 1 x k 1 + +a 0 B(x)=A(x) G(x)= = a k 1 G(x) x k 1 +...+a 0 G(x) G(x) x k 1,..., G(x) lineárněnezávislé deg A(x) < k báze lineárního prostoru A(x) G(x) všechny lineární kombinace Kód generovaný mnohočlenem je lineární.? Existuje generovací matice G?? Existuje-li, jaký má tvar? MI-AAK K3 15 c A. Pluháček 2011
kódy generované mnohočlenem a lineární kódy ii G(x)=g r x r + +g 0 g=(g r,..., g 0 ) G(x) x j g j a j x j G(x) a j (g j) G generovacímatice a=(a k 1,...,a 0 ), a j =1aa i =0,je-li i j a G=g j,kdeg j je j-týřádekmaticeg G= g (k 1) g (k 2). = g g r g r 1... 0 0 g r... 0... 0 0... g 0 MI-AAK K3 16 c A. Pluháček 2011
kódy generované mnohočlenem 2. typ kód generovaný mnohočlenem(1. typ) B(x)=A(x) G(x) nebývásystematický příklad: G(x)=x 3 +x+1 G=? Jak vytvořit systematický klon? 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 B(x)=A(x) x r + A(x) x r % G(x), kde r=deg G(x) kód generovaný mnohočlenem 2. typ příklad: G(x)=x 3 +x+1 A(x) 0101 A(x) x 3 0101000 A(x) x 3 % G(x) 100 B(x) 0101 100 MI-AAK K3 17 c A. Pluháček 2011
kódy generované mnohočlenem 2. typ ii příklad: G(x)=x 3 +x+1 b a 1.typ 2.typ 0000 0000000 0000000 0001 0001011 0001011 0010 0010110 0010110 0011 0011101 0011101 0100 0101100 0100111 0101 0100111 0101100 0110 0111010 0110001 0111 0110001 0111010 1000 1011000 1000101 1001 1010011 1001110 1010 1001110 1010011 1011 1000101 1011000 1100 1110100 1100010 1101 1111111 1101001 1110 1100010 1110100 1111 1101001 1111111 totéž osmičkově 00 000 000 01 013 013 02 026 026 03 035 035 04 054 047 05 047 054 06 072 061 07 061 072 10 130 105 11 123 116 12 116 123 13 105 130 14 164 142 15 177 151 16 142 164 17 151 177 MI-AAK K3 18 c A. Pluháček 2011
cyklické kódy cyklický kód: lineární kód cyklický posuv kódového slova kódové slovo příklad: b a K 1 K 2 K 3 00 000 111 00000 α 01 011 001 01011 β 10 101 010 10101 γ 11 110 100 11110 δ K 1 jecyklickýkód K 2 nenícyklickýkód nenílineární K 3 nenícyklickýkód např. β 1 K 3 MI-AAK K3 19 c A. Pluháček 2011
cyklické kódy a kódy generované mnohočlenem předpoklad: G(x) (x n 1), tzn.: H(x) G(x) H(x)=x n 1 B(x)=b n 1 x n 1 + +b 0 = G(x) A(x) cyklický posuv vlevo: B (x)=b(x) x b n 1 x n + b n 1 = = B(x) x b n 1 (x n 1)= = A(x) G(x) x b n 1 G(x) H(x)= =[A(x) x+b n 1 H(x)] G(x) G(x) B (x) = kód(n, k)generovaný mnohočlenem G(x) je cyklický Platí pro 1. typ kódů generovaných mnohočlenem, ale i pro 2. typ kódů generovaných mnohočlenem a pro všechny jejich klony. MI-AAK K3 20 c A. Pluháček 2011
cyklické kódy a kódy generované mnohočlenem ii předpoklad: K cyklický kód (tzn.:lineárníkód+posuvkódovéhoslova...) kódováslova: b 0,b 1,... B 0 (x), B 1 (x),... b 0 =0 B 0 (x)=0 ( i >1)deg B 1 (x) deg B i (x) = ( i >1)deg B 1 (x) deg B i (x) (existuje jediný mnohočlen tohoto stupně) (jinak by existoval nenulový mnohočlen nižšího stupně) označme G(x)=B 1 (x) r=deg G(x)=deg B 1 (x) G(x), G(x) x,..., G(x) x n r 1 lineárněnezávislé a tvoří bázi kódu generovaného mnohočlenem G(x) = Každý cyklický kód nebo nějaký jeho klon je kód generovaný nějakým mnohočlenem G(x). Mnohočlenem G(x) je mnohočlen nejnižšího stupně příslušející nenulovému kódovému slovu. MI-AAK K3 21 c A. Pluháček 2011
dva jednoduché cyklické kódy G(x)=x+1 Æsystematickýkód (kód2.typu) B(x)=G(x) A(x) x=1 = G(x)=G(1)=0 = B(x)=0 = B(x)=b n 1 + +b 0 =0 = parita(sudá) cyklický kód pro každé n G(x)=x r +1 Æsystematickýkód (kód2.typu) x r 1 mod G(x) B(x)=b n 1 x n 1 + +b 0 B(x)=B j (x) (x r ) j + +B 0 (x) (x r ) 0 B(x) B j (x)+ +B 0 (x)mod G(x) = podélná parita rticbitů(sudá) r n cyklickýkód MI-AAK K3 22 c A. Pluháček 2011
konečná tělesa konečné těleso Galoisovo těleso GF(q) q=p,kde pjeprvočíslo prvky: uav nezápornáceláčíslamenšínež p u+v (u+v)%p u v (u v)%p q=p m,kde pjeprvočísloam >1přirozenéčíslo P(z) nerozložitelný mnohočlen nad tělesem GF(p), deg P(z)=m prvky: U(z)aV(z) mnohočlenystupně < m U(z)+V(z) sčítáníkoeficientůmod p U(z) V(z) [ U(z) V(z)]%P(z) Neexistuje konečné těleso s jiným počtem prvků! } P(z) GF(q) Všechna konečná tělesa se stejným počtem prvků jsou vzájemněizomorfní! (méněpřesně: jsouvšechnastejná ) MI-AAK K3 23 c A. Pluháček 2011
př.: GF(7) konečná tělesa ii 3+6=2 (protože3+6%9=7%7=2) 3 6=4 (protože3 6%7=18%7=4) atp. + 0 1 2 3 4 5 6 0 0 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 0 2 2 3 4 5 6 0 1 3 3 4 5 6 0 1 2 4 4 5 6 0 1 2 3 5 5 6 0 1 2 3 4 6 6 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 2 0 2 4 6 1 3 5 3 0 3 6 2 5 1 4 4 0 4 1 5 2 6 3 5 0 5 3 1 6 4 2 6 0 6 5 4 3 2 1 2 2 =4, 2 3 =4 2=1, 2 4 =1 2=2, 2 5 =1 2=4,... 3 0 =1,3 1 =3,3 2 =2,3 3 =6,3 4 =4,3 5 =5,3 6 =1 5 0 =1,5 1 =5,5 2 =4,5 3 =6,5 4 =2,5 5 =3,5 6 =1 MI-AAK K3 24 c A. Pluháček 2011
konečná tělesa iii př.: GF(4)=GF(2 2 ) P(z)=z 2 + z+1 prvkygf(8): 0, 1, z, z+1 (z+1)+z=1 (z+1)+1=z atp. nerozložitelný mnohočlen 2. stupně nad tělesem GF(2) z z= z+1 [protože z z% P(z)=z 2 % P(z)=z+1] (z+1) z=1 [protože(z+1) z% P(z)= =(z 2 +z) % P(z)=1] atp. z 0 =1, z 1 = z, z 2 = z+1, z 3 = z 2 z=1 atd. MI-AAK K3 25 c A. Pluháček 2011
konečná tělesa iv ϑ GF(q), ϑ 0 (např.číslo unebomnohočlen U(z)) způsob zápisu prvku ϑ není podstatný ( i) ϑ i =1 nejmenšítakové isenazývářádprvku ϑ V každém konečném tělese existuje aspoň jeden prvek α řádu q 1; takovýprveksenazýváprimitivníprvek. = Každýprvek ϑ 0jenějakoumocninouprvku α. P(z) GF(p m ) Je-li z primitivním prvkem tělesa, P(z) se nazývá primitivní mnohočlen. řádmnohočlenu P(z): j=ord P(z) P(z) (z j 1) & ( i < j) P(z) (z i 1) ord P(z)=p deg P(z) 1 P(z)jeprimitivní MI-AAK K3 26 c A. Pluháček 2011
konečná tělesa v příklad: p=2 P(z)=(z 2 + z+1) (z 3 +1) & P(z) (z 1 +1) & P(z) (z 2 +1) ord P(z)=3=p 2 1Æřád P(z) deg P(z)=2Æstupeň P(z) P(z) je primitivní mnohočlen: GF(2 2 )=GF(4): prvky ϑ {0,1, z, z+1} primitivníprvek α=z 0+ϑ=ϑ ϑ+ϑ=0 z+1=(z+1) (z+1)+1=z (z+1)+z=1 0 ϑ=0 1 ϑ=ϑ z z=z 2 % P(z)=z+1 z (z+1)=(z 2 +z)%p(z)=1 (z+1) (z+1)=(z 2 +1)%P(z)=z MI-AAK K3 27 c A. Pluháček 2011
konečná tělesa vi příklad: GF(4) z 2 +z+1 různé způsoby označování prvků: 0 00 0 1 01 1 z 10 2 z+1 11 3 + 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 0 3 2 2 2 3 0 1 3 3 2 1 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 3 1 3 0 3 1 2 mocniny primitivního prvku α: příklad použití: 3 3=α 2 α 2 =α 4 =α 3 α 1 =1 2 3 3=2 neboli 11 11=10 anebo(z+1) (z+1)=z i α i = z i 0 1 01 1 1 z 10 2 2 z+1 11 3 3 1 01 1 MI-AAK K3 28 c A. Pluháček 2011
kořeny mnohočlenu charakteristika tělesa χ nejmenší takové číslo, že χ i=1 1=0 GF(p m ),kde pjeprvočíslo = χ=p F(x) mnohočlennadtělesemgf(p),tzn. koeficienty mnohočlenu GF(p) ξ GF(q)=GF(p m ) & F(ξ)=0 ξjekořennebolinulamnohočlenu F(x) Y(x) F(x)=(x ξ) Y(x) (x ξ) F(x) F(ξ)=0 = F(ξ χ )=0 příklad: z 3 + z+1 GF(8) F(x)=x 3 + x 2 +1 F(z 3 )=0 F(z 6 )=0 F(z 12 )=F(z 5 )=0 MI-AAK K3 29 c A. Pluháček 2011
P(z) GF(q)=GF(p m ) β GF(q) M β (β)=0 minimální mnohočleny F(β)=0 deg F(x) deg M β (x) M β (x)je minimální mnohočlen prvku β minimální mnohočlen jeprodanýprvekjediný (ažnasvojenaskalárnínásobky) F(β)=0 M β (x) F(x) M α (x)=p(x) αjeprimitivníprvek minimálnímnohočlen M β (x)prvku β=α i,budeoznačován též M #i (x) MI-AAK K3 30 c A. Pluháček 2011
minimální mnohočleny ii Jak nalézt minimální mnohočlen? β GF(p m ) M β (x)=? ( M β (x)=(x β) x βp ) (p j 1)... x β, kde j >1jetakovénejmenšíčíslo,že β (pj ) = β γ= β p = M γ (x)=m β (x) př.: GF(4)=GF(2 2 ) ϑ=3=z+1 ϑ 2 =2=z ϑ 4 =3=z+1 M ϑ (x)=(x 2)(x 3)=x 2 + x+1 κ=2=z M κ (x)=m ϑ (x)=x 2 + x+1 λ=1 M λ (x)=x+1 µ=0 M µ (x)=x MI-AAK K3 31 c A. Pluháček 2011
Hammingovy kódy kontrolní matice H Hammingova kódu K všechny možné vzájemně různé nenulové sloupce, např. H= α n 1 α n 2... α 1, kde n=2 m 1a αjeprimitivníprvektělesagf(2 m ) syndrom: s=c H T =e H T c=(c n-1,...,c 0 ) C(x)=c n-1 x n-1 + +c 0 s=c n-1 α n-1 +...+ c 1 α+c 0 = C(α) s=0 αjekořenem C(x) M α (x) C(x) M α (x)jegenerovacímmnohočlenem K(nebojehoklonu) MI-AAK K3 32 c A. Pluháček 2011
Hammingovy kódy ii G(x) nerozložitelný mnohočlen, deg G(x) 2 Hammingůvkódsdélkouslova n=ord G(x) příklad: G(x)=(x 8 +x 4 +x 3 +x 2 +1) (x 255 +1) r=deg G(x)=8 n=ord G(x)=255 k=n r=255 8=247 G(x) generuje cyklický Hammingův kód(255, 247) Platíinaopak: Je-li KHammingůvkód(n, k), existuje mnohočlen G(x), který generuje cyklický kód ekvivalentní kódu K nebo jeho klon. MI-AAK K3 33 c A. Pluháček 2011
mnohočleny x i 1 (x i 1) (x j 1) i j důkaz: 1. j= q i & y= x i x j = y q 1jekořenem y q 1 y q 1=(y 1) (něco) 2. předp.: j= q i+z,kde z= j% q x j 1=x q i x z 1=x q i x z x z + x z 1= =(x q i 1) x z + x z 1 (x i 1) (x q i 1) x z 1=0 z=0 dva cyklické kódy: G(x)=x+1 provšechna n 1 G(x)=x r +1 pro r n (kde njedélkakódovéhoslova) MI-AAK K3 34 c A. Pluháček 2011